07 Stabilnoscid 6780

background image

Politechnika Warszawska

Instytut Automatyki i Robotyki

Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny

PODSTAWY AUTOMATYKI

PODSTAWY AUTOMATYKI

część 7

Stabilność

background image

Stabilność

Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do

stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które

wytrąciło układ z tego stanu.

y

t

a)

b)

y

t

1

2

3

4

1

2

3

background image

Stabilność

Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:

Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:
• przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i
• przy każdej skończonej wartości zadanej w(t) oraz
• dla dowolnych warunków początkowych
sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej

dla czasu dążącego do nieskończoności.

Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zaniknięciu

zakłócenia układ powraca do tego samego stanu

równowagi co zajmowany poprzednio.

background image

Stabilność

z

b

dt

z

d

b

dt

z

d

b

y

a

dt

y

d

a

dt

y

d

a

m

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

0

1

1

1

0

1

1

1

+

+

+

=

+

+

+

K

K

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

s

N

s

M

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

z

s

y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

=

+

+

+

+

+

+

=

=

K

K

Układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania
różniczkowego lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej:

Równanie charakterystycznego układu zamkniętego - (mianownik

Równanie charakterystycznego układu zamkniętego - (mianownik
transmitancji operatorowej równy zeru)

Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego - s

k

0

)

(

0

1

1

=

+

+

+

=

a

s

a

s

a

s

N

n

n

n

n

K

background image

Stabilność

Przykłady:

Stabilność jest cechą układu, nie zależy od charakteru zakłócenia

Aby stwierdzić czy dany układ jest stabilny, wystarczy zbadać przebieg
jego charakterystyki impulsowej:

)]

(

[

)

(

1

s

G

L

t

g

=

t

t

Be

Ae

s

B

s

A

L

s

s

s

L

L

t

g

2

1

1

2

1

)

2

)(

1

(

)

(

)

(

+

=





+

+

+

=

+

+

=

0

)

(

lim

=

→∝

t

g

t

s

s

s

s

2

1

)

2

)(

1

(





+

+

+

+

t

t

t

Cte

Be

Ae

s

C

s

B

s

A

L

s

s

s

L

L

t

g

2

2

2

1

2

1

)

2

(

2

1

)

2

)(

1

(

)

(

)

(

+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

=

2

12

2

,

2

12

2

,

1

3

sin

3

3

cos

4

2

1

)

4

2

)(

1

(

)

(

)

(

3

2

1

2

1

2

1

j

s

j

s

s

t

e

B

C

t

Be

Ae

s

s

C

Bs

s

A

L

s

s

s

s

L

L

t

g

t

t

t

=

+

=

=

+

+

=





+

+

+

+

+

=

+

+

+

=

background image

Stabilność

Przykłady:

B

Ae

s

B

s

A

L

s

s

s

L

L

t

g

t

+

=





+

+

=

+

=

1

)

1

(

)

(

)

(

1

1

Ct

B

Ae

s

C

s

B

s

A

L

s

s

s

L

L

t

g

t

+

+

=





+

+

+

=

+

=

2

1

2

1

1

)

1

(

)

(

)

(

B

t

g

t

=

→∝

)

(

lim

=∝

→∝

)

(

lim

t

g

t

2

12

2

,

2

12

2

,

1

3

sin

3

3

cos

4

2

1

)

4

2

)(

1

(

)

(

)

(

3

2

1

2

1

2

1

j

s

j

s

s

t

e

B

C

t

Be

Ae

s

s

C

Bs

s

A

L

s

s

s

s

L

L

t

g

t

t

t

=

+

=

=

+

+

=





+

+

+

+

=

+

+

=

t

t

Be

Ae

s

B

s

A

L

s

s

s

L

L

t

g

2

1

1

2

1

)

2

)(

1

(

)

(

)

(

+

=





+

+

=

+

=

=∝

→∝

)

(

lim

t

g

t

=∝

→∝

)

(

lim

t

g

t

background image

Konieczny i dostateczny warunek stabilności

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkniętego były ujemne
lub miały ujemne części rzeczywiste:

0

)

Re(

<

k

s

Układ jest stabilny nieasymptotycznie, jeśli jego
równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków

równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
ujemnych i zespolonych o ujemnych częściach
rzeczywistych posiada jeden pierwiastek zerowy

Układ jest niestabilny, jeśli jego równanie
charakterystyczne posiada więcej niż jeden pierwiastek
zerowy lub pierwiastki dodatnie lub zespolone o
dodatnich lub zerowych częściach rzeczywistych

background image

Ograniczenie stosowalności kryterium bezpośredniego

Trudności wyznaczenia pierwiastków równania charakterystycznego
układów opisanych równaniami różniczkowymi wyższych rzędów
(wyskoki stopień równania charakterystycznego)

Stabilność jest cechą układu, nie zależy od charakteru zakłócenia

Stabilność

Metody oceny stabilności bez konieczności obliczania pierwiastków
równania charakterystycznego:

kryterium Hurwitza

• kryterium Michajłowa

kryterium Nyquista

background image

Kryterium Hurwitza

Równanie charakterystyczne układu :

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s

N

s

M

s

z

s

y

s

G

=

=

0

)

(

=

s

N

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

K

Warunek 1

Warunek 1

wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i mają jednakowy znak (warunek konieczny, ale
niedostateczny)

0

,

,

0

,

0

0

1

>

>

>

a

a

a

n

n

K

background image

Kryterium Hurwitza

Warunek 2 – podwyznaczniki ∆

i

, od i=2 do i=n-1, wyznacznika

głównego ∆

n

są większe od zera. Wyznacznik ∆

n

, utworzony

ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:

K

K

K

1

2

3

1

0

0

0

0

=

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

0

1

=

+

+

+

+

a

s

a

s

a

s

a

n

n

K

K

K

K

K

K

K

K

K

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Kryterium umożliwia stwierdzenie stabilności nieasymptotycznej i
asymptotycznej. Stabilność nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w
równaniu charakterystycznym współczynnik:

0

0

=

a

Nie można badać stabilności układów, w których występują człony opóźniające

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n

K

background image

Kryterium Hurwitza

Przykład:

=

=

1

0

0

0

2

2

1

0

1

3

2

2

0

0

1

3

4

n

0

4

2

6

)

det(

1

3

1

>

=

=

=

=

n

n

a

a

0

1

2

2

3

)

(

2

3

4

=

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

N

3

s

0

1

9

4

12

)

det(

2

1

0

3

2

2

0

1

3

0

3

3

4

5

1

2

3

1

3

<

=

=

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

0

4

2

6

)

det(

2

2

1

3

2

2

3

1

2

>

=

=

=

=

n

n

n

n

a

a

a

a

Przykład:

0

1

2

3

)

(

3

4

=

+

+

+

=

s

s

s

s

N

3

s

Układ niestabilny

background image

Kryterium Hurwitza

Przykład:

=

1

3

2

2

0

0

1

3

0

2

2

3

)

(

2

3

4

5

=

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

s

N

0

1

2

2

3

)

(

2

3

4

=

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

N

0

1

9

4

12

)

det(

2

1

0

3

2

2

0

1

3

0

3

3

4

5

1

2

3

1

3

<

=

=

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

=

=

1

0

0

0

2

2

1

0

1

3

2

2

4

n

0

4

2

6

)

det(

2

2

1

3

2

2

3

1

2

>

=

=

=

=

n

n

n

n

a

a

a

a

background image

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)

zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie

z

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

s

N

s

M

s

G

s

G

s

z

s

u

s

G

O

O

O

=

=

=

Transmitancja układu otwartego:

Transmitancja układu zamkniętego:

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

1

s

G

s

G

s

G

s

z

s

y

s

G

Z

+

=

=

background image

Kryterium Nyquista

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

s

M

s

N

s

N

s

G

s

z

s

y

s

G

o

Z

+

=

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

s

N

s

M

s

G

s

G

s

z

s

u

s

G

O

O

O

=

=

=

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

1

s

G

s

G

s

G

s

z

s

y

s

G

Z

+

=

=

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

s

N

s

M

s

G

s

z

s

y

s

G

o

o

Z

+

=

=

)

(

)

(

)

(

s

M

s

N

s

z

o

o

Z

+

Równanie charakterystyczne

układu otwartego:

Równanie charakterystyczne

układu zamkniętego:

0

)

(

=

s

N

O

0

)

(

)

(

)

(

=

+

=

s

N

s

M

s

N

O

O

Z

Oba równania są stopnia n

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich
częściach rzeczywistych (może mieć pierwiastki zerowe).

Warunek stabilności układu zamkniętego:

Przypadek ten dotyczy znacznej większości układów. Kryterium

odnoszące się tylko do tego przypadku nazywa się uproszczonym

Warunek stabilności układu zamkniętego:

=

ω

Jeżeli równanie charakterystyczne układu
otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o
dodatnich częściach rzeczywistych, to układ
zamknięty jest stabilny, jeżeli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego G

O

(jω) dla

pulsacji ω od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0).

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest
stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-
fazowa G

O

(jω) dla pulsacji ω od 0 do +∞ nie

obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po
zamknięciu będzie on również stabilny.

=

ω

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

=

ω

=

ω

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu są stabilne

Charakterystyki układów, które

po zamknięciu nie są stabilne

)

0

,

1

(

j

)

0

,

1

(

j

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 1

W przypadku złożonego kształtu krzywych G

O

(jω) wygodnie jest

posługiwanie się z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki G

O

(jω), idąc w stronę

rosnących ω.

Stabilne:

Niestabilne:

=

ω

=

ω

=

ω

=

ω

Możemy badać układy mające dowolna liczbę pierwiastków zerowych

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Warunek stabilności układu zamkniętego:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m
pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w

otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w
kierunku dodatnim

Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomości liczby pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo
ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce
są zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).

background image

Zapas stabilności

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

układów otwartych (po zamknięciu: układ

a stabilny,

układ

b niestabilny)

Warunek stabilności:

1

)

(

<

j

G

ω

M

1

)

(

<

x

O

j

G

ω

0

180

)

(

=

x

O

j

G

arg

ω

ω

x

– pulsacja, dla której:

Gdzie: ∆M – zapas modułu

∆φ

– zapas fazy

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych

w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω)
i fazowej

φ

(ω):

Definicja: Zamknięty układ

0

)

(

log

20

)

(

<

=

x

O

x

j

G

L

ω

ω

Definicja: Zamknięty układ
automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -180

0

.

background image

Układ otwarty zapisać można za pomocą logarytmicznych

charakterystyk częstotliwościowych - amplitudowej L(ω) i fazowej ϕ(ω).

Logarytmiczne kryterium Nyquista

0

=

ω

Charakterystyka
amplitudowo-
fazowa,
charakterystyka
Black’a

=∝

ω

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

złożonych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)

=

ω

background image

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest
wtedy, gdy liczba wartości dodatnich L(ω

x

) jest parzysta, a niestabilny

– gdy liczba wartości dodatnich L(ω

x

) jest nieparzysta

background image

Zalety kryterium Nyquista

 Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można

wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie

 Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie

układu od granicy stabilności

 Umożliwia badanie stabilności układów zawierających człony

opóźniające

background image

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności
układu regulacji automatycznej.
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego można przedstawić
w postaci:

K

K

+

+

=

+

+

=

7

7

5

5

3

3

1

6

6

4

4

2

2

0

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

a

a

a

a

Q

a

a

a

a

P

0

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

=

+

+

+

+

=

=

a

j

a

j

a

j

a

j

s

N

n

n

n

n

ω

ω

ω

ω

K

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy zmianie
pulsacji od 0 do + ∞ wynosi nπ/2, gdzie n oznacza stopień równania
charakterystycznego.

2

)

(

arg

0

π

ω

ω

n

j

N

=

<

<

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

N

+

=

background image

Kryterium Michajłowa

ω

ω

2

0

1

a

a

=

ω

Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub
hodografem Michałowa

3

1

2

a

a

=

ω

Krzywe charakterystyczne

układów stabilnych

Krzywe charakterystyczne

układów niestabilnych

background image
background image

Kryterium Michajłowa

Jako zmienną niezależną s możemy wybrać m.in. zbiór punktów
położonych na osi liczb urojonych, wówczas s = jω:

)

)...(

)(

(

)

(

s

j

s

j

s

j

a

j

N

=

ω

ω

ω

ω

)

)...(

)(

(

)

(

2

1

n

n

s

j

s

j

s

j

a

j

N

=

ω

ω

ω

ω

Każdy z czynników (jω – s

k

) można przedstawić graficznie jako różnicę

dwóch wektorów, wektora jω oraz wektora s

k

przedstawiającego k-ty

pierwiastek równania charakterystycznego.

jω

s

k

s

k

-jω

Im

Re

background image

φ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

j

n

n

e

j

N

j

N

s

j

s

j

s

j

a

j

N

)

(

)

(

)

)...(

)(

(

)

(

2

1

=

=

c

Kryterium Michajłowa

Funkcję N(jω), jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić
w postaci wykładniczej:

)

(

funkcji

moduł

oznacza

...

)

(

2

1

ω

ω

ω

ω

ω

j

N

s

j

s

j

s

j

a

j

N

n

n

=

.

+

+

+

=

=

)

N(j

s

j

s

j

s

j

j

N

n

ω

ω

ω

ω

ω

φ

funkcji

argument

oznacza

)

arg(

...

)

arg(

)

arg(

)

(

arg

2

1

background image

Kryterium Michajłowa

Jeżeli przyjmujemy, że spośród n pierwiastków równania
charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje się w lewej
półpłaszczyźnie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu
N(jω) przy zmianie ω od -∞ do +∞ wyniesie:

π

ω

ω

)

(

)

(

arg

m

n

j

N

=

<

<

π

ω

ω

n

j

N

=

<

<

)

(

arg

Warunek stabilności:

Ponieważ N(jω) jest funkcją symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:

K

K

+

+

=

+

+

=

7

7

5

5

3

3

1

6

6

4

4

2

2

0

)

(

)

(

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

a

a

a

a

Q

a

a

a

a

P

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

N

+

=

)

(

)

(

)

(

ω

ω

ω

jQ

P

j

N

=

wystarczy więc zbadać przebieg jednej z gałęzi krzywej N(jω), dla pulsacji
zmieniającej się od 0 do +∞.

0

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

1

=

+

+

+

+

=

=

a

j

a

j

a

j

a

j

s

N

n

n

n

n

ω

ω

ω

ω

K

background image

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy

i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy zmianie
pulsacji od 0 do + ∞ wynosi nπ/2, gdzie n oznacza stopień
równania charakterystycznego.

2

)

(

arg

π

ω

n

j

N

=

2

)

(

arg

0

ω

ω

j

N

=

<

<

background image

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie .

π

ω

ω

)

2

(

)

(

arg

0

m

n

j

N

=

<

<

N

0

(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:

2

)

2

(

)

(

arg

0

0

π

ω

ω

m

n

j

N

=

<

<

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:

2

)

(

arg

0

π

ω

ω

n

j

z

N

=

<

<

background image

Przykłady odpowiedzi układu

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

1

1

0

1

1

s

N

s

M

a

s

a

s

a

b

s

b

s

b

s

z

s

y

s

G

n

n

n

n

m

m

m

m

=

+

+

+

+

+

+

=

=

K

K

n

t

s

z

e

A

A

t

y

k

+

=

)

(

Jeśli układ zamknięty opisany jest za pomocą transmitancji operatorowej:

i równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków wielokrotnych ani
równych zero,
to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym
zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej
postaci ogólnej:

0

)

(

lim

=

t

y

t

t

e

B

A

s

B

s

A

L

s

s

s

M

L

t

g

+

=

+

+

=

+

=

1

)

1

(

)

(

)

(

1

1

st

k

t

s

k

z

e

A

A

t

y

k

+

=

=1

0

)

(

st

t

z

A

t

y

0

)

(

lim

=

Wówczas:

A przy zakłóceniu impulsowym:

Przykład odpowiedzi na zakłócenie impulsowe, przy jednym pierwiastku
zerowym:


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
07 Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
07 Stabilność
07 Stabilność liniowych stacjonarnych układów sterowania
stabilizatory 07
EŚT 07 Użytkowanie środków transportu
07 Windows
07 MOTYWACJAid 6731 ppt
Planowanie strategiczne i operac Konferencja AWF 18 X 07
Wyklad 2 TM 07 03 09
ankieta 07 08
Szkol Okres Pracodawcy 07 Koszty wypadków
Wyk 07 Osprz t Koparki

więcej podobnych podstron