Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

1

Twierdzenie Poincar´

e

1

–Bendixsona

2

1

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płasz-
czyzny R

2

i F : U → R

2

jest polem wektorowym klasy C

1

, generującym

lokalny potok ϕ.

Twierdzenie 1

(Twierdzenie Poincar´e–Bendixsona). Niech dla pewnego x ∈

U zbiór ω(x) będzie niepustym zbiorem zwartym nie zawierającym punktów
stacjonarnych. Wówczas

ω(x) jest orbitą okresową.

W dowodzie twierdzenia Poincar´e–Bendixsona wykorzystuje się następu-

jący wynik:

Twierdzenie 2

(Twierdzenie Jordana

3

o rozcinaniu płaszczyzny). Niech

J ⊂ R

2

będzie krzywą zwykłą zamkniętą

(tzn. zbiorem homeomorficznym z

okręgiem

). Wówczas dopełnienie R

2

\ J ma dwie składowe spójności, jedną

ograniczoną

(wnętrze krzywej J), i drugą nieograniczoną (zewnętrze krzywej

J). Ponadto, J jest wspólnym brzegiem swojego wnętrza i zewnętrza.

Przystępujemy teraz do dowodu twierdzenia Poincar´e–Bendixsona.
Jeśli O(x) jest orbitą okresową, to nie ma czego dowodzić. Załóżmy za-

tem, że x nie jest punktem okresowym, oraz że ω(x) jest niepustym zbiorem
zwartym nie zawierającym punktów stacjonarnych.

Przypomnijmy dwuwymiarową wersję

twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego:

Twierdzenie 3

(Twierdzenie o prostowaniu pola wektorowego — wersja

dwuwymiarowa). Niech F : U → R

2

będzie polem wektorowym klasy

C

1

i

niech u

∈ U będzie punktem regularnym pola F. Wówczas istnieją:

• transwersala L pola F w punkcie u,

• otoczenie otwarte V punktu u,

1

Henri Poincar´e (1854 – 1912), matematyk francuski, według kompilatora (J. M.) jeden

z najwybitniejszych matematyków wszech czasów

2

Ivar Otto Bendixson (1861 – 1935), matematyk szwedzki

3

(Marie Ennemond) Camille Jordan (1838 – 1922), matematyk francuski (od jego na-

zwiska pochodzi też postać Jordana macierzy; nie należy go mylić z Wilhelmem Jordanem
(1842 – 1899), geodetą i matematykiem niemieckim, od którego nazwiska pochodzi algo-
rytm Gaussa–Jordana)

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

2

• liczby dodatnie ε, δ, oraz dyfeomorfizm

M : V

1−1

−−→

na

(−δ, δ) × (−ε, ε)

klasy

C

1

o następujących własnościach:

(i) M(L) = (−δ, δ) × {0}; ponadto M(u) = (0, 0),

(ii) dla każdego v ∈ V istnieje dokładnie jedna para (w, t) ∈ L × (−ε, ε)

taka, że v

= ϕ

t

(w); ponadto, M(v) = (ξ, t), gdzie M(w) = (ξ, 0).

Oznaczmy M = (M

1

, M

2

).

Fakt 1. Niech y

∈ ω(x). Wówczas istnieją transwersala L pola F w punkcie

y oraz ciąg

(ϕ

t

k

(x)) ⊂ L, t

k

→ ∞ gdy k → ∞, zbieżny do y.

Dowód.

Niech s

k

→ ∞ będzie ciągiem takim, że ϕ

s

k

(x) dąży do y. Oznaczmy

przez L (odp. V ) transwersalę (odp. otoczenie) punktu y jak w twierdzeniu o
lokalnym prostowaniu (Tw. 3). Odrzucając skończenie wiele wyrazów, można
założyć, że wszystkie ϕ

s

k

(x) należą do V . Określmy t

k

:= s

k

− M

2

(ϕ

s

k

(x)).

Po pierwsze, zauważmy że, na podstawie Tw. 3(ii),

ϕ

t

k

(x) = ϕ

s

k

−

M

2

(ϕ

sk

(x))

(x) ∈ L.

Dalej, korzystając z własności (PL2) oraz z ciągłości potoku lokalnego (patrz,
np., wykład o lokalnym prostowaniu), widzimy, że

ϕ

s

k

−

M

2

(ϕ

s

k

(x))

(x) = ϕ

−

M

2

(ϕ

s

k

(x))

(ϕ

s

k

(x))

dąży, przy k → ∞, do ϕ

−

M

2

(y)

(y), które jest równe, znów na podstawie (znów

na podstawie Tw. 3(ii)), y.

Wystarczy teraz zauważyć, że t

k

­ s

k

−ε, zatem t

k

→ ∞ gdy k → ∞.

Fakt 2. Niech y

∈ ω(x). Wówczas dla każdej transwersali L pola F w punkcie

y jak w Fakcie 1, każdy ciąg

(ϕ

t

k

(x))

∞
k=1

⊂ L zbieżny do y i taki, że 0 < t

1

<

t

2

< · · · < t

k

< t

k+1

< · · · , jest monotoniczny.

Monotoniczność rozumiemy w następujący sposób: ciąg (M

1

(ϕ

t

k

(x)))

∞
k=1

jest monotoniczny.

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

3

Dowód Faktu 2.

Załóżmy najpierw nie wprost, że M

1

(ϕ

t

k

(x)) i M

1

(ϕ

t

k+1

(x))

są, dla pewnego k ∈ N, przeciwnych znaków.

Wówczas zbiór J, będący sumą odcinka transwersali L o końcach ϕ

t

k

(x)

i ϕ

t

k+1

(x), i „kawałka” orbity { ϕ

t

(x) : t ∈ [t

k

, t

k+1

] }, jest krzywą zwykłą

zamkniętą (patrz poniższy rysunek, gdzie x

1

:= ϕ

t

k

(x), x

2

:= ϕ

t

k+1

(x)).

y

y

−

1

x

1

x

2

Zauważmy, że na odcinku transwersali L łączącym punkty x

1

i x

2

pole

wektorowe F skierowane jest na zewnątrz krzywej J. Wynika stąd, że dla
s < 0 dostatecznie bliskich zeru punkt ϕ

s

(y) jest położony wewnątrz krzywej

J. Ustalmy takie s, i oznaczmy y

−

1

:= ϕ

s

(y). Lecz y

−

1

∈ ω(x), zatem istnieje

ϑ > t

k+1

takie, że ϕ

ϑ

(x) leży wewnątrz krzywej J. Lecz jest to niemożliwe,

bo dodatnia półorbita punktu x

2

nie ma jak wejść do wnętrza krzywej J: nie

może przeciąć zbioru { ϕ

t

(x) : t ∈ [t

k

, t

k+1

] } (przeczyłoby to założeniu, że x

nie jest punktem okresowym), i nie może wejść do wnętrza krzywej J przez
odcinek transwersali (gdyż tam pole wektorowe skierowane jest na zewnątrz).

Załóżmy teraz nie wprost, że, na przykład, 0 < M

1

(ϕ

t

k

(x)) < M

1

(ϕ

t

k+1

(x))

dla pewnego k ∈ N.

Wówczas zbiór J, będący sumą odcinka transwersali L o końcach ϕ

t

k

(x)

i ϕ

t

k+1

(x), i „kawałka” orbity { ϕ

t

(x) : t ∈ [t

k

, t

k+1

] }, jest krzywą zwykłą

zamkniętą (patrz poniższy rysunek, gdzie x

1

:= ϕ

t

k

(x), x

2

:= ϕ

t

k+1

(x)).

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

4

y

x

1

x

2

Teraz punkt y leży wewnątrz krzywej J. Lecz jest to niemożliwe, bo

(tak jak w poprzedniej części dowodu) dodatnia półorbita punktu x

2

nie ma

którędy wejść do wnętrza krzywej J.

Lemat 1. Niech y

∈ ω(x). Wówczas dla każdej transwersali L pola F w

punkcie y jak w Fakcie 1 zachodzi

ω(x) ∩ L = {y}.

Dowód.

Załóżmy nie wprost, że ξ 6= y ∈ ω(x) ∩ L. Zachodzi M

1

(ξ) 6= 0 =

M

1

(y). Załóżmy, że 0 ¬ s

0

< s

00

są takie, że ϕ

s

0

(x) ∈ L i ϕ

s

00

(x) ∈ L.

Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego (Tw. 3) wynika,
że s

00

− s

0

> 2ε. Zatem zbiór tych chwil t ­ 0, dla których ϕ

t

(x) należy

do transwersali L, jest co najwyżej przeliczalny. Zbiór ten (oznaczany przez
(t

k

)) jest w istocie przeliczalny, gdyż y ∈ ω(x). Dla pewnego podciągu (t

k

l

)

zachodzi ϕ

t

kl

(x) → y, czyli M

1

(ϕ

t

kl

(x)) → 0, zaś dla innego podciągu (t

k

0

l

)

zachodzi ϕ

t

k0

l

(x) → ξ, czyli M

1

(ϕ

t

k0

l

(x)) → M

1

(ξ) 6= 0. Lecz, na podstawie

Faktu 2, ciąg (M

1

(ϕ

t

k

(x)) jest monotoniczny, sprzeczność.

Lemat 2. Niech y

∈ ω(x). Wówczas y jest punktem okresowym.

Dowód.

Z tego, że ω(x) jest zwarty i niezmienniczy wynika, że ∅ 6= ω(y) ⊂

ω(x). Ustalmy z ∈ ω(y). Fakt 1 zastosowany do z ∈ ω(y) gwarantuje nam
istnienie transwersali L pola F w punkcie z i ciągu (t

k

) rozbieżnego do ∞

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

5

takiego, że ϕ

t

k

(y) ∈ L oraz ϕ

t

k

(y) dąży do z gdy k → ∞. O ciągu (t

k

)

możemy założyć, że jest rosnący. Lecz z Lematu 1 (zastosowanego do z ∈
ω(x)) wynika, że ϕ

t

1

(y) = ϕ

t

2

(y) = z, gdzie t

1

< t

2

, zatem y jest punktem

okresowym.

Wykazaliśmy zatem, że ω(x) jest sumą orbit okresowych.

Aby dokończyć dowód twierdzenia Poincar´e–Bendixsona, ustalmy y ∈

ω(x), i oznaczmy przez T > 0 okres podstawowy orbity okresowej Γ = O(y)
(oczywiście Γ ⊂ ω(x)). Rozważmy znów transwersalę L w punkcie y i otocze-
nie V . Z ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych wynika,
że dla każdego η > 0 istnieje otoczenie otwarte V

0

⊂ V punktu y takie, że

(i) kϕ

t

(z) − ϕ

t

(y)k < η dla dowolnego z ∈ V

0

i wszystkich t ∈ [0, T + ε],

(ii) ϕ

T

(V

0

) ⊂ V .

Załóżmy dalej, że otoczenie otwarte V

0

jest wypukłe.

Ustalmy η > 0, i dobierzmy V

0

do η. Istnieje s > 0 takie, że ϕ

s

(x) ∈

L ∩ V

0

. Z (ii) wynika, że punkt ϕ

s+T

(x) ∈ V . Z twierdzenia o prostowaniu

pola wektorowego (Twierdzenie 3) wynika istnienie ϑ ∈ (−ε, ε) takiego, że
ϕ

s+T +ϑ

(x) ∈ L. Z (i) wynika, że kϕ

t+s

(x) − ϕ

t

(y)k < η dla wszystkich t ∈

[0, T + ε].

Z monotoniczności (Fakt 2) wynika, że punkt ϕ

s+T +ϑ

(x) musi leżeć na

transwersali L pomiędzy punktami ϕ

s

(x) i y. Ponieważ otoczenie V

0

jest

wypukłe, punkt ϕ

s+T +ϑ

(x) należy do V

0

. Powtarzamy teraz powyższe rozu-

mowanie, otrzymując, że dla wszystkich t ­ s punkt ϕ

t

(x) jest w odległości

mniejszej niż η od orbity okresowej Γ. Wynika stąd, że ω(x) ⊂ Γ, co kończy
dowód twierdzenia Poincar´e–Bendixsona.

Orbitę okresową O(y) taką, że istnieje x /

∈ O(y), dla którego ω(x) =

O(y), nazywamy cyklem granicznym.

2

Dalsze własności pól wektorowych na płaszczyźnie

Sformułujemy teraz dwa twierdzenia z topologii, które będą potrzebne w
późniejszych rozważaniach.

Twierdzenie 4

(Twierdzenie Sch¨onfliesa

4

). Niech J ⊂ R

2

będzie krzywą

zwykłą zamkniętą i niech

h : J → T, gdzie T = { x ∈ R

2

: kxk = 1 }, bę-

dzie homeomorfizmem. Wówczas istnieje homeomorfizm

H : R

2

→ R

2

będący

rozszerzeniem homeomorfizmu

h (tzn. H|

J

= h i H

−

1

|

T

= h

−

1

).

4

Arthur Moritz Sch¨

onflies (1853 – 1928), matematyk niemiecki

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

6

Przed sformułowaniem następnego twierdzenia, przypomnijmy, że punk-

tem stałym

odwzorowania f : X → X (X jest dowolnym zbiorem) nazywamy

x ∈ X taki, że f (x) = x. Jeśli X jest przestrzenią metryzowalną (ogólniej:
przestrzenią topologiczną Hausdorffa) i f jest odwzorowaniem ciągłym, to
zbiór punktów stałych odwzorowania f (być może pusty!) jest domknięty.

Przestrzeń metryzowalną homeomorficzną z domkniętą kulą jednostkową

w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej nazywamy dyskiem n-wymiarowym.

Twierdzenie 5

(Twierdzenie Brouwera

5

o punkcie stałym). Ciągłe odwzo-

rowanie dysku

n-wymiarowego w siebie ma punkt stały.

Twierdzenie 6. Niech F

: U → R

2

będzie polem wektorowym klasy

C

1

, i

niech

Γ będzie orbitą okresową pola F taką, że jej wnętrze zawarte jest w U.

Wówczas wewnątrz

Γ istnieje y taki, że F(y) = 0.

Dowód.

Jako że Γ jest podzbiorem płaszczyzny R

2

homeomorficznym z okrę-

giem, na podstawie twierdzenia Sch¨onfliesa istnieje homeomorfizm płaszczy-
zny R

2

na R

2

przeprowadzający sumę D krzywej Γ i jej wnętrza D

0

na (do-

mknięte) koło jednostkowe. Wobec tego, D jest dyskiem dwuwymiarowym.

Oznaczmy przez Φ potok lokalny generowany przez pole wektorowe F.

Dla każdego x ∈ D

0

orbita O(x) jest, jako zbiór spójny, zawarta w D

0

.

Wynika stąd, że D

0

jest zbiorem niezmienniczym, i, co za tym idzie, dysk

dwuwymiarowy D też jest zbiorem niezmienniczym. Ponieważ D jest zbiorem
zwartym, ϕ

t

(x) jest określone dla każdego t ∈ R i każdego x ∈ D.

Dla k ∈ N oznaczmy przez E

k

zbiór punktów stałych odwzorowania

Ψ

k

: D → D, Ψ

k

(x) := ϕ

1/2

k

(x). Z twierdzenia Brouwera o punkcie stałym

wynika, że zbiory E

k

, k ∈ N są niepuste Ponadto, zbiory te są domknięte,

zatem zwarte. Dalej, E

k+1

⊂ E

k

. Wynika stąd, że E :=

T

∞
k=1

E

k

jest, ja-

ko przekrój zstępującej rodziny niepustych zbiorów zwartych, też niepusty i
zwarty.

Weźmy y ∈ E. Z definicji zbioru E wynika, że ϕ

t

(y) = y dla t > 0

dwójkowo wymiernych. Lecz odwzorowanie R 3 t 7→ ϕ

t

(x) jest ciągłe, zatem

ϕ

t

(x) = y dla każdego t > 0, czyli F(y) = 0.

Fakt, że E ∩ Γ = ∅, jest oczywisty.

Wniosek. Niech F

: R

2

→ R

2

będzie polem wektorowym klasy

C

1

takim, że

O

+

(x) ma zwarte domknięcie, dla pewnego x. Wówczas istnieje y takie, że

F

(y) = 0.

Dowód.

Zbiór ω(x) jest zwarty i niepusty. Jeśli ω(x) zawiera punkt stacjonar-

ny y, to teza wniosku jest spełniona. Jeśli nie, to na podstawie twierdzenia

5

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881 – 1966), matematyk holenderski

Twierdzenie Poincar´

e–Bendixsona

7

Poincar´e–Bendixsona (Tw. 1) ω(x) jest orbitą okresową Γ. Lecz z Tw. 6
wynika istnienie (wewnątrz krzywej Γ) punktu y takiego, że F(y) = 0.