Rozdzia l 1

Fizyka laboratorium 3

1.1. R´

o ˙znice sko´

nczone

Przyjrzyjmy si

e r´

ownaniu r´

o˙zniczkowemu zwyczajnemu pierwszego rz

edu, postaci:

f (y, t) =

dy(t)

(1.1)

R´

ownanie (

1.1

) opisuje zmian

e funkcji y przy zmianie parametru t, Je˙zeli parametr

t b

edzie oznacza l czas, r´

ownanie to opisuje wyra˙zon

a przez funkcj

e f zmian

e funkcji

y w czasie. Rozwi

azaniem analitycznym jest tego r´

ownania jest funkcja y(t). kt´

ora

podstawiona do r´

ownania (

1.1

) przekszta lca je w to˙zsamo´s´

Zamieniaj

ac odpowiednio przyrost dy na ∆y oraz dt na ∆t otrzymujemy:

lim

∆y→0,∆t→0

∆y

∆t

(1.2)

R´

ownanie (

1.1

) w rachunku r´

o˙znic sko´

nczonych zapisa´

c mo˙zemy w postaci:

f (y, t) =

∆y

∆t

(1.3)

Mno˙z

ac obie strony przez ∆t otrzymujemy wyra˙zenie na zmian

e funkcji y w prze-

dziale czasu ∆t:

∆y = f (y, t)∆t

(1.4)

Znaj

ac warunki pocz

atkowe (pocz

atkowa warto´s´

c y) mo˙zemy obliczy´

c now

a warto´s´

y po up lywie czasu ∆t jako:

∆y

= f (y, t)∆t

n+1

= y

+ f (y

, y

)∆t

(1.5)

1.2. Ca lkowanie r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych

1.2. Ca lkowanie r´

owna´

n r´

o ˙zniczkowych

R´

ownanie (

1.1

) przedstawia funkcj

e y zale˙zn

a od czasu t. R´

ownanie to mo˙zna rozwi

za´

c poprzez ca lkowanie po parametrze t. Poniewa˙z b

edziemy rozwi

azywali r´

ownanie

dla kolejnych krok´

ow czasowych wprowadzimy nast

epuj

ace oznaczenia: y

n+1

– war-

to´s´

c y w n + 1 kroku czasowym, y

– warto´s´

c y w n-tym kroku czasowym:

n+1

= y

n+1

f (y, t)dt

(1.6)

R´

ownanie to opisuje przyrost funkcji y w przedziale czasu od t

do t

n+1

. Ca la idea

metody numerycznej skupia si

e na przybli˙zeniu r´

o˙znicowym ca lki po prawej stro-

nie r´

ownania. Dok ladno´s´

c, z jak

a wyznaczymy warto´s´

c ca lki, ma znaczenie dla sta-

bilno´sci rozwi

azania numerycznego r´

ownania (

1.1

). Nale˙zy pami

eta´

c, ˙ze otrzymane

rozwi

azanie jest tylko przybli˙zeniem rozwi

azania dok ladnego.

1.3. Schemat r´

o ˙znicowy Eulera

Najprostszym sposobem na przybli˙zenie ca lki z r´

ownania (

1.6

) jest ca lkowanie me-

tod

a prostok

at´

ow.

f(y,t)

n+1

Rysunek 1.1. metoda prostok

at´

Stosuj

ac t

e metod

e otrzymamy najprostszy schemat r´

o˙znicowy, zwany metod

a Eu-

lera:

n+1

= y

+ f (y, t)h + O(h

)

(1.7)

gdzie h ↔ ∆t

Mo˙zemy wyprowadzi´

c schemat metody Eulera si

egaj

ac do definicji pochodnej:

(t) = lim

h→0

y(t + h) − y(t)

(1.8)

mo˙zemy wi

ec rezygnuj

ac z granicy mo˙zemy zapisa´

c przybli˙zenie:

(t) ≈

y(t + h) − y(t)

(1.9)

1.4. Metoda Midpoint

czyli po przekszta lceniu

y(t + h) − y(t) ≈ hy

(t)

(1.10)

czyli:

y(t + h) ≈ y(t) + hy

(t)

(1.11)

Przechodz

ac do wprowadzonej notacji y

(t) = f (y, t) mo˙zemy zapisa´

c schemat w

postaci:

y(t + h) ≈ y(t) = hf (y, t)

(1.12)

n+1

f(x

)

f(x

n+1

)

n+1

styczna

’

)

h=x

n+1

-x

Rysunek 1.2. metoda Eulera

1.3.1. Rz

ad dok ladno´

sci metody

Dla sprawdzenia rz

edu dok ladno´sci metody dokonamy rozwini

ecia funkcji y w szereg

Taylora:

y(t + h) =

∞

n=0

(n)

= y(t) + y

(t)h +

(t)

+ . . . +

(n)

(1.13)

Wida´

c, ˙ze metoda Eulera obcina rozwini

ecie po pierwszej pochodnej czyli: y(t+h) ≡

n+1

, y(t) ≡ y

, y

(t)h ≡ f (y, t)h

Obci

ecie rozwi

azania do wyrazu h w pot

edze 1 w l

acznie oznacza, ˙ze metoda r´

o˙zni-

cowa ma dok ladno´s´

c pierwszego rz

edu wzgl

edem rozwini

ecia w szereg Taylora. B l

obci

ecia wynosi O(h

)

1.4. Metoda Midpoint

Nazwa metody wynika z faktu, ˙ze t

+ h/2 jest punktem ´srodkowym pomi

edzy

w kt´

orym warto´s´

c funkcji y(t) jest znana, oraz punktem t

n+1

w kt´

orym szukamy

1.4. Metoda Midpoint

warto´sci funkcji y(t). Jest to metoda zaliczana do metod Runge-Kutta (inaczej zwana
metoda Runge-Kutta drugiego rz

edu).

Metoda ta bazuje na metodzie Eulera wykorzystuj

ac kolejn

a pochodn

a przy rozwi-

eciu w szereg Taylora.

(t +

) ≈

y(t + h) − y(t)

(1.14)

nast

epnie:

y(t + h) ≈ y(t) + hy

(t +

)

(1.15)

co mo˙zemy zapisa´

c jako:

y(t + h) ≈ y(t) + hf

y(t +

), t +

(1.16)

Nie mo˙zemy skorzysta´

c z r´

ownania (

1.16

) poniewa˙z nie znamy warto´sci y w punkcie

t +

. Rozwi

azaniem jest rozwini

ecie w szereg Taylora i przybli˙zenie tej warto´sci.

t +

≈ y(t) +

(t) = y(t) +

f (y(t), t)

(1.17)

Co po podstawieniu do (

1.16

) daje:

y(t + h) ≈ y(t) + hf

y(t) +

f (y(t), t) , t +

(1.18)

Og´

olnie schemat metody MidPoint mo˙zemy zapisa´

c jako:

= f (y

, t

)

(1.19)

= f

, t

(1.20)

n+1

= y

+ hk

+ O(h

)

(1.21)

1.5. Metoda Runge–Kutta

wynik Euler y

n+1

h/2

Przybli•ona styczna
w punkcie t

+h/2

wynik MidPoint

)

(

Rysunek 1.3. metoda MidPoint

1.5. Metoda Runge–Kutta

Og´

olnie metod

e mo˙zemy zapisa´

c w postaci:

n+1

= y

+ h

(1.22)

gdzie: a

– wsp´

o lczynniki wagowe, k

styczne obliczone w kolejnych krokach t

≤

x ≤ t

n+1

. Wagi spe lniaj

a warunek:

= 1

(1.23)

1.5.1. Metoda RK4

Schematycznie metod

e mo˙zemy zapisa´

c w nast

epuj

acy spos´

ob:

= f (y

, t

)

= f

, t

= f

, t

= f (y

+ hk

, t

+ h)

co zgodnie ze wzorem (

1.22

) daje:

n+1

= y

+ 2k

+ k

)

(1.24)

1.5. Metoda Runge–Kutta

h/2

)

(

)

(

Przybli•ona styczna
w punkcie t

+h/2

wynik Euler y

n+1

Rysunek 1.4. metoda RK4

Document Outline