1

MODELOWANIE WSPÓŁCZYNNIKA RYZYKA BETA DLA

AKCJI PIĘTNASTU AUSTRALIJSKICH SPÓŁEK SEKTORA

FINANSOWEGO

PAWEŁ DADURA, TOMASZ KOC

na podstawie

FRIDA LIE, ROBERT BROOKS and ROBERT FAFF

W tym artykule zastosowano uogólniony model autoregresyjny warunkowej
heteroskedastyczności (GARCH) i podejście wykorzystujące Filtr Kalmana do
modelowania współczynnika ryzyka beta dla próbki piętnastu australijskich
przedsiębiorstw sektora finansowego. Zgodnie z istniejącą literaturą, autorzy
dowodzą, że te techniki modelowania działają dobrze, a preferowane jest podejście
zwązane z Filtrem Kalmana. Co więcej, autorzy dowodzą, że znaczna zmienność
ryzyka następuje w badanym przez nich okresie. W ten sposób znajdują dowód
zgodny z hipotezą, zgodnie z którą zniesienie regulacji rynku miało wpływ na ryzyko
towarów z sektora bankowości.

I. Wstęp

Zagadnienie testowania i modelowania zmienności ryzyka akcji przyciąga w ostatnich

czasach coraz więcej badaczy. To zainteresowanie zostało zwiększone w wyniku tempa, w

którym główne gospodarki świata i rynki kapitałowe przeszły w kierunku deregulacji. W

związku z globalizacją i integracją rynków, banki doświadczyły znacznie zwiększonej

konkurencji. Australijska sytuacja jest stosownym przykładem tego trendu.

Podstawową metodologią użytą przez innych autorów w tym temacie jest podejście

wykorzystujące uogólniony model autoregresyjny warunkowej heteroskedastyczności

(GARCH). Ta metodologia jest popularną ekonometryczną techniką dla modelowania

zmieniających się w czasie współczynników beta. Model ten wielu autorów stosowało do

modelowania współczynników beta dla portfeli amerykańskich akcji, dla narodowych

indeksów rynku giełdowego, dla towarów amerykańskiego górnictwa, dla towarów

amerykańskiego przemysłu komputerowego, dla australijskich portfeli akcji sektora

przemysłowego i dla amerykańskiego sektora bankowości.

Głównym celem artykułu było rozszerzenie analizy Brooks, Faff i McKenzie (1997)

(a) biorąc pod uwagę większą ilość akcji z sektora bankowego; (b) używając nowo

dostępnych danych; (c) wykorzystując dzienne dane (w przeciwieństwie do miesięcznych); i

(d) załączając porównanie modeli GARCH i filtra Kalmana. W tym kontekście, Brooks, Faff i

McKenzie (1998) zauważyli, że Filtr Kalmana dał dużo lepsze oszacowania współczynników

beta w porównaniu do modelu GARCH dla australijskiego sektora przemysłowego. Brooks,

Faff i McKenzie (1997) zbadali jedynie akcje trzech głównych banków, wykorzystując dane z

okresu kończącego się w 1992 r., używając miesięcznych danych. Aktualny artykuł rozszerza

2

to badanie do dziennego zestawu danych, obejmującego piętnaście spółek sektora

finansowego i wprowadza porównanie technik modelowania, z okresem próbki wydłużonym

do września 1998 r.

II. Specyfikacja modelu

Model CAPM jest jedną z najczęściej użytywanych technik, z wykorzystaniem której

ekonomiści szacują systematyczne ryzyko i może być zapisany jako:

it

i

i

Mt

it

R

R

α β

ε

= +

+

(1.1)

gdzie

it

R jest stopą zwrotu dla danego waloru,

Mt

R jest stopą zwrotu portfela rynkowego,

najczęściej przybliżanym przez stopę zwrotu reprezentatywnego indeksu,

it

e jest

stochastycznym błędem o rozkładzie

2

~ (0,

)

IN

σ ,

i

a oraz

i

b są wyestymowanymi

parametrami, które z założenia są stałe w czasie, gdzie beta reprezentuje systematyczne
ryzyko dla akcji i. Ten model stałego ryzyka może zostać oszacowany na wiele sposobów -
dwa takie przypadki są przedstawione poniżej.

Modelowanie zmiennych w czasie współczynników beta na podstawie modelu GARCH

Najpierw estymowano warunkową zmienną w czasie β korzystając z modelu M-

GARCH zaproponowanego przez Bollersleva (1990). W tym artykule wykorzystano

dwurównaniową wersję tego modelu, przedstawioną poniżej.

2

,

1

=

=

i

R

it

it

ε

)

,

0

(

~

1

t

t

it

H

N

−

ψ

ε

(1)

)

(

var

/

)

,

(

cov

Mt

t

Mt

it

t

it

R

R

R

=

β

(2)

Zaczynamy od specyfikacji formy funkcyjnej średniej (1), gdzie Ψ – zbiór dostępnych

informacji, H –macierz warunkowej kowariancji. W artykule do estymacji macierzy

warunkowej wariancji wykorzystano model GARCH (1,1). Bollerslev (1990) zaproponował,

aby w celu wyliczenia ostatniego równania przyjąć stały współczynnik korelacji stóp zwrotu.

Oszacowania tego modelu pozwalają nam skonstruować pożądany szereg β – warunkowych

dla każdej spółki (2). Dla modelu M-GARCH mamy: cov=h12; var=h22, gdzie model jest

estymowany na stopach zwrotu spółek i rynku.

1

,

11

11

2

1

,

1

11

11

,

11

−

−

+

+

=

t

t

t

h

b

a

c

h

ε

1

,

22

33

2

1

,

2

33

22

,

22

−

−

+

+

=

t

t

t

h

b

a

c

h

ε

2

/

1

,

22

,

11

,

12

)

(

t

t

t

h

h

h

×

×

=

ρ













=

t

t

t

t

t

h

h

h

h

H

,

22

,

21

,

12

,

11

3

Modelowanie współczynników beta wykorzystujące filtr Kalmana

Drugim podejściem do modelowania rozważanym w tym artykule jest model

przestrzeni stanów wykorzystujący filtr Kalmana. Ta technika szacuje zmieniające się
współczynniki beta poprzez równanie pomiaru:

~

(0, )

K

it

t

it

Mt

t

t

R

R

N

α β

ε ε

= +

+

Ω

(1.2)

gdzie proces, który definiuje zmieniające się współczynniki beta jest dany przez równanie

przejścia:

1

~

(0, Q)

K

K

it

it

t

t

T

N

β

β

η η

−

=

+

(1.3)

W naszym przypadku ustalamy T =1 i przez to modelujemy proces zmieniających się

współczynników beta jako random-walk. Zarówno podejście GARCH jak i filtr Kalmana
generują warunkową serię współczynników beta dla każdego banku. Autorzy porównują
obydwa

podejścia

używając

średniego błędu absolutnego (MAE) i błędu

średniokwadratowego (MSE).

III. Wyniki empiryczne

Dzienne dane o cenach akcji piętnastu spółek pochodzą z bazy danych Datastream.

Podsumowanie danych znajduje się w Tabeli I. Dane obejmują okres od pierwszej emisji
każdego waloru aż do 10 września 1998. Indeks rynkowy, który jest mierzony przez All
Ordinaries Accumulation Index był dostępny od 1 stycznia 1980. Data początkowa każdej z
próbek zawiera się pomiędzy 1 stycznia 1980, a 5 sierpnia 1996, w zależności od momentu
emisji akcji danej spółki. Wszystkie ceny zostały zamienione na stopy zwrotu, przy założeniu
ciągłości.

Nazwa firmy

Data początku próbki

punktowa estymacja β

Adelaide Bank

24 December 1993

0.7359*

ANZ Bank

10 February 1992

1.3282**

Bendigo Bank

2 April 1993

0.5262*

Bank of Queensland

28 June 1988

0.2817*

BT Australia

3 August 1989

0.5820*

Bank of Western Australia

1 February 1996

0.7233*

Commonwealth Bank

13 September 1991

0.8419*

First Australian Building

6 October 1993

0.2785*

Hartley Poynton

5 August 1996

0.3565*

Macquarie Bank Ltd

29 July 1996

1.2446**

National Australia Bank

1 January 1980

0.8385*

Rock the Building Society

10 December 1992

0.2076*

Suncorp-Metway

18 May 1990

0.4935*

Wide Bay Capricorn

19 September 1994

0.28763*

Westpac Banking Corporation

1 January 1980

0.9609**

Tabela I.

Estymacja współczynnika beta metodą MNK

Pierwszym krokiem w analizie było zastosowanie metody MNK do standardowego

modelu rynkowego, aby otrzymać punktową estymację współczynnika beta. Wyniki
przedstawia ostatnia kolumna w Tabeli I. Wszystkie piętnaście spółek ma współczynnik beta,
który jest istotnie różny od zera (*). Dla dwunastu spółek jest on istotnie różny od jedności
(brak **). Ogólnie, rezultat tych obliczeń wskazuje, że sektor finansowy jest mniej
ryzykowny niż portfel rynkowy.

4

Współczynniki beta uzyskane z wykorzystaniem modelu GARCH

Dla każdej spółki współczynniki α i β w równaniu warunkowej wariancji są

istotnie różne od zera, co więcej model dla każdej spółki okazał się stacjonarny (suma
parametrów mniejsza od jedności). W celu skonstruowania pożądanego szeregu beta
autorzy potrzebowali również współczynnika korelacji pomiędzy poszczególnymi
akcjami, a indeksem rynkowym. Współczynniki te przedstawiono w ostatniej kolumnie
tabeli II. W nawiasach, przy oszacowaniach parametrów znajdują się wartości statystyki
t-studenta.

Nazwa firmy

0

a

1

a

i

β

,

t

m

R R

ρ

Adelaide Bank

0.00008 (6.165)

0.1865 (6.515)

0.4808 (6.931)

0.3990

ANZ Bank

0.00001 (4.843)

0.1226 (8.115)

0.8233 (39.297)

0.6828

Bendigo Bank

0.00004 (5.557)

0.1453 (7.640)

0.6702 (15.157)

0.2833

Bank of Queensland

0.00006 (16.858)

0.1795 (15.971)

0.4749 (17.833)

0.1728

BT Australia

0.00007 (4.859)

0.0734 (5.144)

0.7337 (15.658)

0.2425

Bank of Western Australia

0.00002 (2.107)

0.0596 (2.699)

0.8275 (11.949)

0.4549

Commonwealth Bank

0.00001 (5.617)

0.1236 (6.472)

0.7204 (17.439)

0.6036

First Australian Building

0.00001 (9.001)

0.0312 (7.577)

0.9606 (232.72)

0.1381

Hartley Poynton

0.00007 (3.492)

0.1301 (5.096)

0.7087 (11.908)

0.1541

Macquarie Bank Ltd

0.00008 (5.795)

0.3452 (8.933)

0.3502 (4.540)

0.6258

National Australia Bank

0.00002 (17.048)

0.1489 (24.986)

0.7106 (53.449)

0.5682

Rock the Building Society

0.00001 (5.957)

0.0394 (7.555)

0.9223 (104.772)

0.1162

Suncorp-Metway

0.00006 (12.950)

0.3048 (13.399)

0.3824 (10.232)

0.2849

Wide Bay Capricorn

0.00002 (6.264)

0.1184 (9.566)

0.7836 (34.036)

0.1658

Westpac Banking Corporation

0.00003 (13.255)

0.1450 (32.906)

0.7221 (59.953)

0.6252

Market Portfolio

0.00001 (13.266)

0.2719 (62.187)

0.5763 (33.776)

1.0000

Tabela II.

Wyniki modelu GARCH

Współczynniki beta uzyskane z modelu z filtrem Kalmana

W poniższej tabeli przedstawiono średnie wartości β dla obu modeli, jak również

rozpiętość estymowanych parametrów. Można zauważyć następujące zależności: model z
filtrem Kalmana generuje szerszy zakres β, co jest odwrotnym wynikiem do uzyskanego
przez Brooks, Faff i McKenzie (1998). Różnica ta może wynikać z wykorzystania danych
miesięcznych, zamiast dziennych. Po drugie, największy zakres β miał National Australia
Bank, podczas gdy Bendigo Bank dał najmniejszy zakres tego parametru (związek z
długością próby). Po trzecie, prawie we wszystkich przypadkach model z filtrem Kalmana
dawał również ujemne wartości β, co przy danych dziennych może nie zaskakiwać, natomiast
częstotliwość pojawiania się tych wyników może budzić pewne podejrzenia. Po czwarte,
podobnie jak w przypadku modelu GARCH, średnia wartość β daje wynik zbliżony do
estymacji MNK. Model z filtrem Kalmana odbiega od estymacji MNK nieco bardziej niż
GARCH (np. średnia β dla Macquarie Bank wynosi tylko 0.7498 w porównaniu z 1.2825 w
estymacji MNK). Pomimo tej różnicy, współczynnik korelacji między tymi estymatorami dla
wszystkich spółek wyniósł 0.93. Przeciętna korelacja pomiędzy warunkowymi β dla modelu
GARCH i Kalmana (high/low range) dla wszystkich spółek wyniosła 0.1334 (od 0.703 dla
ANZ Bank do -0.1246 dla Rock the Building Society).

Garch Conditional Beta

Kalman Filter conditional Beta

Nazwa firmy

Average Time-

Varying Beta

High (Low)

Average Time-

Varying Beta

High (Low)

Adelaide Bank

0.7787

1.7530 (0.3946)

0.6454

2.2186 (-0.6899)

ANZ Bank

1.3687

2.7453 (0.7513)

1.3280

2.7208 (0.4264)

Bendigo Bank

0.5426

1.1565 (0.2991)

0.3634

1.3062 -0.2801)

Bank of Queensland

0.2971

2.1762 (0.0865)

0.2279

2.4602 -1.8204)

BT Australia

0.6094

0.9894 (0.1751)

0.5123

1.6548 -0.4184)

Bank of Western Australia

0.8080

1.1559 (0.2359)

0.6360

2.0837 -0.6883)

5

Commonwealth Bank

0.8731

2.2368 (0.4188)

0.8190

2.2684 -1.5351)

First Australian Building

0.2853

0.5724 (0.0310)

0.1946

3.3290 -1.4644)

Hartley Poynton

0.3990

0.8798 (0.1221)

0.3776

2.7729 -1.3543)

Macquarie Bank Ltd

1.1768

2.8421 (0.5559)

0.7498

2.4918 -0.8156)

National Australia Bank

0.9327

4.0901 (0.2721)

0.8792

4.9202 -5.1527)

Rock the Building

0.2183

0.3855 (0.0680)

0.1122

1.2046 -0.9497)

Suncorp-Metway

0.5125

2.1492 (0.1995)

0.4664

3.9367 -3.3940)

Wide Bay Capricorn

0.3022

0.6654 (0.1112)

0.1697

1.6786 -1.8488)

Westpac Banking Corporation

1.0951

4.7823 (0.3077)

1.0367

3.8029 -3.4626)

Tabela III.

Porównanie wyników estymacji współczynników beta

Porównanie błędów prognozy obu modeli

Wybór lepszego modelu oparto na porównaniu błędów prognozy z obu modeli. Dla

każdego przypadku modelowanie beta z wykorzystaniem filtru Kalmana daje niższe błędy
prognozy w porównaniu do modelu GARCH. Średnia wartość MAE dla modelu GARCH
wyniosła 0.0097, natomiast dla modelu wykorzystującego filtr Kalmana tylko 0.00437. Aby
zbadać odporność tego wniosku ze względu na wybraną miarę błędu policzono również MSE.
Analiza otrzymanych wartości prowadzi do takich samych wniosków. Model GARCH daje
wyższy średni MSE (0.00023) w porównaniu z modelem, w którym zastosowano filtr
Kalmana (0.00008). Ten wniosek popiera twierdzenie Brooks, Faff i McKenzie (1998), które
autorzy oparli na podstawie analizy danych miesięcznych australijskich firm z sektora
przemysłowego.

MAE

MSE

Company Name

GARCH

Kalman

GARCH

Kalman

Adelaide Bank

0.01279

0.00035

4.37E-12

3.49E-23

ANZ Bank

0.00852

0.00013

0.00615

0.00007

Bendigo Bank

0.01021

0.00021

0.00953

0.00018

Bank of Queensland

0.00757

0.00017

0.00673

0.00014

BT Australia

0.01440

0.00037

0.01363

0.00034

Bank of Western Australia

0.01046

0.00020

1.08E-14

2.07E-28

Commonwealth Bank

0.00631

0.00008

9.02E-08

1.60E-14

First Australian Building

0.00908

0.00027

0.00812

0.00020

Hartley Poynton

0.01348

0.00043

5.30E-16

4.67E-33

Macquarie Bank Ltd

0.01173

0.00036

4.13E-12

3.30E-23

National Australia Bank

0.00785

0.00014

0.00509

0.00006

Rock the Building Society

0.00870

0.00020

0.00353

0.00003

Suncorp-Metway

0.00925

0.00018

0.00725

0.00012

Wide Bay Capricorn

0.00784

0.00018

5.50E-16

7.89E-30

Westpac Banking Corporation

0.00843

0.00014

0.00547

0.00006

Tabela IV.

Podsumowanie błędów predykcji

IV. Wnioski

W tym artykule zastosowano model GARCH oraz podejście wykorzystujące filtr

Kalmana do modelowania współczynnika ryzyka beta dla próbki piętnastu australijskich
przedsiębiorstw sektora finansowego. Wyniki estymacji okazały się zgodne z literaturą
dotyczącą tego tematu – dowodząc zmienności β, nawet w obserwacjach z kolejnych dni.
Wykorzystano podstawowe miary błędu w celu porównania prognoz stóp zwrotu uzyskanych
za pomocą obu tych modeli. Analiza ta wykazała wyższość modelu korzystającego z filtru
Kalmana. W ten sposób potwierdzono wyniki uzyskane przez Brooks, Faff i McKenzie
(1998) dla spółek z sektora przemysłowego w Australii, mówiące o wyższości modelu z
filtrem Kalmana w estymacji zmiennego w czasie β, przynajmniej w odniesieniu do spółek z
sektora finansowego i przemysłowego w Australii.

6

MODELOWANIE WSPÓŁCZYNNIKA RYZYKA BETA DLA

AKCJI TRZYNASTU SPÓŁEK SEKTORA FINANSOWEGO W

POLSCE

Poniższy model zbudowaliśmy na podstawie omówionego artykułu, dlatego też

nie będziemy opisywać dokładanie metodologii, ograniczymy się jedynie do
omówienia wyników oraz różnic pomiędzy modelem zaproponowanym przez
autorów

powyższego

artykułu,

a

modelem

wykorzystanym

przez

nas.

Zastosowaliśmy do estymacji model bvGARCH – opisany szerzej przez L. Bauvensa
i podejście wykorzystujące Filtr Kalmana do modelowania współczynnika ryzyka
beta dla spółek sektora finansowego w Polsce. Zgodnie z powyższym artykułem, jak
również istniejącą literaturą dotyczącą tego tematu dowodzi się, że preferowane jest
podejście zwązane z Filtrem Kalmana. Nasze badanie również potwierdza tą tezę.

I. Wstęp

Głównym celem badania było rozszerzenie analizy omawianych autorów (a) biorąc

pod uwagę inny rynek; (b) używając bardziej aktualnych danych; i (c) załączając porównanie
modeli bvGARCH i filtra Kalmana. W tym kontekście, model oparty o filtr Kalmana dał
nieco lepsze oszacowania współczynników beta w porównaniu do modelu bvGARCH dla
polskiego sektora finansowego.

II. Specyfikacja modelu

Specyfikacja naszego modelu nie odbiega w istotny sposób od modelu

przedstawionego w powyższym artykule, dlatego też skupimy się jedynie na uzasadnieniu
wykorzystania modelu bvGARCH do estymacji zmiennego w czasie beta. Po pierwsze, taka
specyfikacja modelu pozwala na zrozumienie i prognozowanie zależności pomiędzy
momentami II rzędu stóp zwrotu. Ponadto, analiza zmienności stóp zwrotu poprzez modele
wielorównaniowe prowadzi do lepszych wyników, dzięki czemu stanowi lepsze narzędzie
decyzyjne przy wyborze modelu wyceny, doboru portfela, hedgingu i VaR.

Model przez nas estymowany różni się od modelu przedstawionego w artykule

następującymi szczegółami:

•

Autorzy założyli w modelu GARCH zerowe elementy na przecięciu przekątnych w

równaniu wariancji, my uchyliliśmy to założenie, dzięki czemu do obliczenia szeregu
beta nie potrzebowaliśmy współczynnika korelacji między szeregami.

•

W równaniu średniej w modelu GARCH uwzględniliśmy również stałą, zakładając,

że spółki różnią się między sobą również w fundamentalnej wycenie.

III. Wyniki empiryczne

Dzienne dane o cenach akcji trzynastu spółek pochodzą z serwisu bossa.pl.

Podsumowanie danych znajduje się w Tabeli I. Dane obejmują okres od pierwszej emisji
każdego waloru aż do 20 kwietnia 2006. Indeks rynkowy – WIG był dostępny od 16 kwietnia
1991. . Data początkowa każdej z próbek zawiera się pomiędzy 13 sierpnia 1992, a 10
listopada 2004, w zależności od momentu emisji akcji danej spółki. Wszystkie ceny zostały
zamienione na stopy zwrotu, przy założeniu ciągłości.

7

Pierwszym krokiem w analizie było zastosowanie metody MNK do standardowego

modelu rynkowego, aby otrzymać punktową estymację współczynnika beta. Wyniki
przedstawia ostatnia kolumna w Tabeli I. Wszystkie trzynaście spółek ma współczynnik beta,
który jest istotnie różny od zera (a). Dla dziewięciu spółek jest on istotnie różny od jedności
(b). Ogólnie, rezultat tych obliczeń wskazuje, że sektor finansowy jest mniej ryzykowny niż
portfel rynkowy.

Współczynniki beta uzyskane z wykorzystaniem modelu GARCH

Dla każdej spółki współczynniki α i β w równaniu warunkowej wariancji są

istotnie różne od zera (statystyka t-studenta na szarym tle), dla 10 spółek model okazał się
stacjonarny (suma parametrów mniejsza od jedności). Jedynie model dla Getin Bank i
ING BSK okazał się niestacjonarny. Jak już wcześniej wspomniano, w estymowanym
modelu liczenie stałego w czasie współczynnika korelacji było zbędne, gdyż kowariancję
pomiędzy stopą zwrotu danej akcji a indeksem rynkowym estymowaliśmy bezpośrednio
w modelu.

Tabela II

Wyniki modelu GARCH

Nazwa spółki

α0

α1

β1

BACA

0,000

0,150

-0,213

9,41

4,11

-2,48

BOS

0,000

0,164

0,706

13,55

11,06

40,55

BPH

0,000

0,142

0,753

10,44

11,88

41,43

BRE Bank

0,000

0,112

0,872

9,13

15,28

137,09

BZ WBK

0,000

0,101

0,888

6,71

15,13

128,32

Fortis PL

0,000

0,164

0,713

15,16

11,73

43,54

Tabela I Estymatory MNK beta dla akcji spółek sektora finansowego w Polsce

Nazwa Spółki

Początek próby

Punktowy estymator (β

i

)

BACA

14 Października 2003

0.434

ab

BOŚ

3 Marca 1997

0.431

ab

BPH

7 Lutego 1995

0.877

ab

BRE Bank

6 Października 1992

0.867

ab

BZ WBK

22 Czerwca 1993

1.058

a

Fortis PL

7 Listopada 1994

0.576

ab

Getin Bank

5 Października 2001

1.297

a

Bank Handlowy

30 Czerwca 1997

0.589

ab

ING BSK

25 Stycznia 1994

0.802

ab

Kredyt Bank

25 Lipca 1994

0.814

ab

Bank Millennium

13 Sierpnia 1992

0.981

a

Pekao SA

30 Czerwca 1998

0.860

ab

PKO BP

10 Listopada 2004

1.224

a

8

Getin Bank

0,000

0,200

0,813

10,77

17,02

100,06

Bank Handlowy

0,000

0,087

0,899

6,41

12,67

109,79

ING BSK

0,000

0,126

0,876

9,97

19,40

191,72

Kredyt Bank

0,000

0,022

0,975

6,51

12,37

519,38

Bank Millennium

0,000

0,152

0,817

11,93

18,65

97,16

Pekao S.A.

0,000

0,085

0,863

5,30

7,07

46,97

PKO BP

0,000

0,076

0,883

1,94

2,45

19,93

Współczynniki beta uzyskane z modelu z filtrem Kalmana

Model z filtrem Kalmana generuje szerszy zakres β, co jest wynikiem zgodnym z

wynikami omawianego artykułu, jest to prawdopodobnie konsekwencją sposobu działania
algorytmu Kalmana w początkowych iteracjach, dlatego też przy porównaniu obu modeli
pominiemy 50 pierwszych obserwacji, aby nie zafałszowywać wyników badania. Prawie we
wszystkich przypadkach model z filtrem Kalmana dawał dodatnie jak i ujemne wartości β, co
przy danych dziennych może nie zaskakiwać. Podobnie jak w przypadku modelu bvGARCH,
średnia wartość β daje wynik zbliżony do wyników MNK. Pomimo różnicy, współczynnik
korelacji między tymi estymatorami dla wszystkich spółek wyniósł 0.92. Przeciętna korelacja
pomiędzy warunkowymi β dla modelu GARCH i Kalmana dla wszystkich spółek wyniosła
0.53 (od 0.17 dla PKO BP do 0.86 dla Getin).

Tabela III

Porównanie wyników estymacji współczynników beta

Nazwa firmy

Average

time-varying

β

High/Low

Average time-

varying β

High/Low

BACA

0,4598

1,4304

0,5447

0,7433

-0,6688

-4,5430

BOS

0,4012

2,2827

0,4207

3,5466

-1,1327

0,0000

BPH

0,9392

2,2645

0,9071

1,5754

-0,1001

-0,3685

BRE Bank

0,8285

2,0146

0,8305

2,8579

-0,5685

0,0000

BZ WBK

1,0317

2,0127

1,0146

33,1091

0,1956

0,0000

Fortis PL

0,5420

2,1165

0,5113

2,1929

-1,5301

-32,7175

Getin Bank

1,1449

7,5066

1,2059

6,9068

-0,7223

-0,6593

Bank Handlowy

0,4714

1,5447

0,7162

1,3099

-0,1016

-18,0230

ING BSK

0,5893

2,8398

0,6112

1,4783

-0,7610

-0,0286

Kredyt Bank

0,6758

1,8672

0,9582

2,3552

0,0459

0,0000

Bank Millennium

0,9686

3,1097

0,9590

1,9555

-0,4348

-0,1256

9

Pekao S.A.

1,0267

1,9572

0,7639

1,7385

0,1337

0,0000

PKO BP

1,1944

1,8536

1,1444

1,4637

0,9006

0,0000

Wykres 1

Zmienność β dla BACA i Getin Bank

Wykresy pokazują wyestymowane wartości β dla próby, co więcej, pokazują również

różnice w estymacji zmiennego w czasie β dla BACA i Getin Bank. Drugi wykres, w
przeciwieństwie do pierwszego przedstawia bliski związek między parametrami z obu modeli.
Pojawia się więc pytanie, która metoda daje lepsze estymatory? W celu przeanalizowania
właściwości obu modeli przyjrzyjmy się jeszcze zmienności wyestymowanych parametrów na
tle stóp zwrotu z danych walorów.

Wykres 2

Stopy zwrotu vs β dla Getin Bank i Handlowy

Widzimy wyraźnie, że nasze modele dosyć dobrze opisują zmiany zachodzące na

rynku. Można zauważyć, iż dużym wahaniom stóp zwrotu towarzyszy bardzo znaczący
wzrost parametru beta (czyli wzrost ryzyka), co jest zgodne z naszymi oczekiwaniami.

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2002

2003

2004

2005

B-GARCH

B-KALMAN

corr=0.88

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2004M01

2004M07

2005M01

2005M07

2006M01

B-GARCH

B-KALMAN

corr=0.43

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

st.zwrotu - Handlowy

B-GARCH

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-.5

-.4

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

2002

2003

2004

2005

B-GARCH

B-KALMAN

rGETIN

10

Porównanie błędów prognozy obu modeli

Wybór lepszego modelu oparto na porównaniu błędów prognozy z obu modeli. Dla

każdego przypadku modelowanie beta z wykorzystaniem filtru Kalmana daje niższe błędy
prognozy w porównaniu do modelu GARCH. Średnia wartość MAE dla modelu GARCH
wyniosła 0,01859, natomiast dla modelu wykorzystującego filtr Kalmana tylko 0,01648. Aby
zbadać odporność tego wniosku ze względu na wybraną miarę błędu policzono również MSE.
Analiza otrzymanych wartości prowadzi do takich samych wniosków. Model GARCH daje
wyższy średni MSE 0,00086 w porównaniu z modelem, w którym zastosowano filtr Kalmana
0,00066. Ten wniosek potwierdza wnioski Brooks, Faff i McKenzie (1998), które autorzy
oparli na podstawie analizy danych australijskich firm z sektora przemysłowego i
finansowego.

Tabela IV

Podsumowanie błędów predykcji

MAE

MSE

Nazwa firmy

GARCH

Kalman

GARCH

Kalman

BACA

0,01250

0,01238

0,00030

0,00029

BOS

0,01726

0,01731

0,00067

0,00062

BPH

0,01742

0,01466

0,00063

0,00043

BRE Bank

0,02120

0,01790

0,00097

0,00064

BZ WBK

0,02254

0,01757

0,00109

0,00064

Fortis PL

0,02291

0,02212

0,00128

0,00117

Getin Bank

0,02678

0,02596

0,00219

0,00200

Bank Handlowy

0,01395

0,01357

0,00047

0,00040

ING BSK

0,01655

0,01421

0,00071

0,00047

Kredyt Bank

0,01745

0,01598

0,00070

0,00052

Bank Millennium

0,02484

0,02099

0,00140

0,00099

Pekao S.A.

0,01595

0,01307

0,00048

0,00033

PKO BP

0,01227

0,00853

0,00026

0,00012

MEAN

0,01859

0,01648

0,00086

0,00066

IV. Wnioski

Na podstawie artykułu i dostępnych opracowań zastosowano model bvGARCH i

model oparty o filtr Kalmana do modelowania β na próbce 13 polskich firm z sektora
bankowego. Wyniki estymacji okazały się zgodne z literaturą dotyczącą tego tematu –
dowodząc zmienności β, nawet w obserwacjach z kolejnych dni. Ponadto wykorzystano
podstawowe miary błędu w celu porównania prognoz stóp zwrotu uzyskanych za pomocą obu
tych modeli. Analiza ta wykazała wyższość modelu korzystającego z filtru Kalmana, co
pozwoliło potwierdzić - na podstawie danych z innego rynku - wyniki uzyskane przez
Brooks, Faff i McKenzie dla spółek z sektora przemysłowego i bankowego w Australii,
mówiące o wyższości modelu z filtrem Kalmana w estymacji zmiennego w czasie β.

11

Bibliografia:

•

Luc Bauwens, Multivariate GARCH models, KU Leuven 2005.

•

Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The Equity Beta Risk Of

Australian Financial Sector Companies, Blackwell Publishers Ltd.

•

Jerzy Mycielski, Slajdy z wykładu Ekonometria II, WNE UW, Warszawa 2006.

•

Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The Kalman Filter, Department Of

Computer Science, University Of North Carolina At Chapel Hill.

•

Wikipedia: The Free Encyclopedia. Wikimedia Foundation. 9 April 2005.

http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

•

www.bossa.pl

– dane źródłowe do modelu