MODELLING THE EQUITY

MODELLING THE EQUITY

BETA

BETA

RISK

RISK

OF AUSTRALIAN FINANCIAL SECTOR

OF AUSTRALIAN FINANCIAL SECTOR

COMPANIES

COMPANIES

FRIDA LIE, ROBERT BROOKS, ROBERT FAFF

Paweł Dadura, Tomasz Koc

Filtr Kalmana

Filtr Kalmana

na podstawie

na podstawie

Filtr Kalmana

|

Opisany w 1960 r. przez Rudolph’a E.
Kalman’a

|

Artyku

ł opisywał rekursywne

rozwi

ązanie dla problemu liniowego

filtrowania danych w postaci
dyskretnej

Filtr Kalmana

|

Filtr Kalmana jest zbiorem matematycznych
równa

ń, które dostarczają wydajnego

rekursywnego sposobu do wyestymowania
stanu procesu, w sposób który minimalizuje
b

łąd średniokwadratowy

|

Mo

żna go stosować do estymacji

przesz

łych, teraźniejszych i przyszłych

stanów

Równania Kalmana

|

Proces do estymacji

|

Równanie pomiaru

|

Rozk

ład błędów procesu i pomiaru

1

1

1

[

]

k

k

k

k

x

Ax

Bu

w

−

−

−

=

+

+

k

k

k

z

Hx

v

=

+

( ) ~

(0, )

( ) ~

(0, )

p w

N

Q

p v

N

R

Obja

śnienie

–

Zmienne losowe reprezentuj

ące szum

procesu i pomiaru

–

Macierze kowariancji b

łędów procesu i

pomiaru (const.)

–

Macierz wi

ążąca poprzedni stan procesu z

aktualnym (const.)

–

Opcjonalna macierz wi

ążąca „option

controll input” z aktualnym stanem (const.)

–

Macierz wi

ążąca stan procesu z jego

pomiarem (const.)

,

,

k

k

w v

Q R

A

B

H

Sposób obliczania

–

Estymacja a priori

–

Estymacja a posteriori

–

B

łędy a priori

–

B

łędy a posteriori

–

Macierz kowariancji b

łędów

a priori

–

Macierz kowariancji b

łędów

a posteriori

ˆ

ˆ

n

k

n

k

x

x

−

∈ℜ
∈ℜ

ˆ

ˆ

k

k

k

k

k

k

e

x

x

e

x

x

−

−

=

−

=

−

[

]

[

]

T

k

k

k

T

k

k

k

P

E e e

P

E e e

−

− −

=
=

Sposób obliczania

Rozpoczynamy od znalezienia równania,

które poda nam estymacj

ę a posteriori

stanu procesu jako liniow

ą kombinację

estymacji a priori stanu procesu oraz
wa

żonej różnicy pomiędzy pomiarem a

predykcj

ą pomiaru

ˆ

ˆ

ˆ

(

)

k

k

k

k

x

x

K z

Hx

−

−

=

+

−

k

z

ˆ

k

Hx

−

Sposób obliczania

1

(

)

T

T

T

k

k

k

k

T

k

P H

K

P H

HP H

R

HP H

R

−

−

−

−

−

=

+

=

+

Macierz K jest dobrana w taki sposób

aby by

ła tzw. czynnikiem „blending

factor”, który minimalizuje kowariancj

ę

b

łędów a posteriori

Forma K, która minimalizuje P

k

jest

podana poni

żej

Algorytm filtra

Równania Kalmana:

-

aktualizacji czasowej

-

aktualizacji pomiaru

Filtr Kalmana estymuje

proces u

żywając

pewnej formy
sprz

ężenia zwrotnego.

Filtr estymuje stan
pocesu w pewnej
chwili, po czym
otrzymuje feedback w
postaci zaburzonego
pomiaru.

Równania aktualizacji
czasowej

1

1

1

ˆ

ˆ

k

k

k

T

k

k

x

Ax

Bu

P

AP A

Q

−

−

−

−

−

=

+

=

+

Równania aktualizacji
pomiaru

1

(

)

ˆ

ˆ

ˆ

(

)

(

)

T

T

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

K

P H

HP H

R

x

x

K z

Hx

P

I

K H P

−

−

−

−

−

−

=

+

=

+

−

= −

Algorytm filtra Kalmana

Rozszerzony Filtr Kalmana

Zale

żność między poprzednim stanem procesu a

nast

ępnym nie jest liniowa.

Algorytm polega na linearyzacji tej funkcji w punkcie.

1

( ,

, 0)

(

, 0)

k

k

k

k

x

f x u

z

h x

−

=

=









Zastosowania

|

In

żynieria

z

robotyka, promy kosmiczne, samoloty,
samochody

|

Komputery

z

Namierzanie, grafika czasu rzeczywistego,
computer vision

|

Ekonomia

z

Przewidywanie mierników ekonomicznych

|

Inne

z

Telefonia, elektryczno

ść

MODELLING THE

MODELLING THE

EQUITY

EQUITY

BETA

BETA

RISK OF

RISK OF

AUSTRALIAN

AUSTRALIAN

FINANCIAL SECTOR

FINANCIAL SECTOR

COMPANIES

COMPANIES

Cel artyku

łu

Modelowanie wspó

łczynnika ryzyka beta

dla akcji pi

ętnastu australisjkich

spó

łek z sektora finansowego

Porównanie dwóch metod:

- model GARCH

- filtr Kalmana

Cel artyku

łu

|

Rozszerzenie analizy opisanej w Brooks,
Faff i McKenzie (1997)

|

Bior

ąc pod uwagę większą ilość akcji z

sektora bankowego

|

U

żywając nowo dostępnych danych

|

Wykorzystuj

ąc dzienne dane (w

przeciwie

ństwie do miesięcznych)

|

Za

łączając porównanie metod GARCH i

filtra Kalmana

Dane

|

Notowania dzienne pi

ętnastu akcji

australijskich spó

łek z sektora

finansowego

|

Próbka obejmuje dane z okresu od
pocz

ąku notowania do września 1998

Specyfikacja modelu

it

Mt

i

i

it

R

R

ε

β

α

+

+

=

)

,

0

(

~

2

σ

ε

N

it

R

it

– stopa zwrotu waloru

α

i

i β

i

– charakterystyki waloru

R

Mt

– portfel rynkowy

GARCH

2

,

1

=

=

i

R

it

it

ε

)

,

0

(

~

1

t

t

it

H

N

−

ψ

ε

2

11,

11

11

12

13

1,

1

11

12

13

11,

1

12,

12

21

22

23

1,

1

2,

1

21

22

23

12,

1

2

22,

22

31

32

33

2,

1

31

32

33

22,

1

(

)(

)

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

h

c

a

a

a

b

b

b

h

h

c

a

a

a

b

b

b

h

h

c

a

a

a

b

b

b

h

ε

ε

ε

ε

−

−

−

−

−

−

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ ⎤ ⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

=

+

×

+

×

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ⎦ ⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

1

)

(

−

+

+

=

t

t

BH

A

C

H

vech

ε

1

,

11

11

2

1

,

1

11

11

,

11

−

−

+

+

=

t

t

t

h

b

a

c

h

ε

1

,

22

33

2

1

,

2

33

22

,

22

−

−

+

+

=

t

t

t

h

b

a

c

h

ε

2

/

1

,

22

,

11

,

12

)

(

t

t

t

h

h

h

×

×

=

ρ

)

(

var

/

)

,

(

cov

Mt

t

Mt

it

t

it

R

R

R

=

β

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

t

t

t

t

t

h

h

h

h

H

,

22

,

21

,

12

,

11

Filtr Kalmana

)

,

0

(

~

Ω

+

+

=

N

R

R

t

t

Mt

K

it

t

it

ε

ε

β

α

)

Q

,

0

(

~

1

N

T

t

t

K

it

K

it

η

η

β

β

+

=

−

• Równanie pomiaru

• Równanie procesu

Wyniki regresji

Table I OLS Beta Estimates for Australian Banking and Financial Institutions Stocks

Company Name

Sample Period Start Date

Point Estimate Beta (β

i

)

Adelaide Bank

24 December 1993

0.7359

ab

ANZBank

10 February 1992

1.3282

a

Bendigo Bank

2 April 1993

0.5262

ab

Bank of Queensland

28 June 1988

0.2817

ab

BT Australia

3 August 1989

0.5820

ab

Bank of Western Australia 1 February 1996

0.7233

ab

Commonwealth Bank

13 September 1991

0.8419

ab

First Australian Building

6 October 1993

0.2785

ab

Hartley Poynton

5 August 1996

0.3565

ab

Macquarie Bank Ltd

29 July 1996

1.2446

a

National Australia Bank

1 January 1980

0.8385

ab

Rock the Building Society 10 December 1992

0.2076

ab

Suncorp-Metway

18 May 1990

0.4935

ab

Wide Bay Capricorn

19 September 1994

0.28763

ab

Westpac Banking Corp.

1 January 1980

0.9609

a

Wyniki modelu GARCH

GARCH vs. Kalman Filter

Wykres zmienno

ści β dla ANZ i Adelaide

Bank

Porównanie b

łędów prognozy

modeli

MAE

MSE

Company Name

GARCH

Kalman

GARCH

Kalman

Adelaide Bank

0.01279

0.00035

4.37E-12

3.49E-23

ANZ Bank

0.00852

0.00013

0.00615

0.00007

Bendigo Bank

0.01021

0.00021

0.00953

0.00018

Bank of Queensland

0.00757

0.00017

0.00673

0.00014

BT Australia

0.01440

0.00037

0.01363

0.00034

Bank of Western Australia

0.01046

0.00020

1.08E-14

2.07E-28

Commonwealth Bank

0.00631

0.00008

9.02E-08

1.60E-14

First Australian Building

0.00908

0.00027

0.00812

0.00020

Hartley Poynton

0.01348

0.00043

5.30E-16

4.67E-33

Macquarie Bank Ltd

0.01173

0.00036

4.13E-12

3.30E-23

National Australia Bank

0.00785

0.00014

0.00509

0.00006

Rock the Building Society

0.00870

0.00020

0.00353

0.00003

Suncorp-Metway

0.00925

0.00018

0.00725

0.00012

Wide Bay Capricorn

0.00784

0.00018

5.50E-16

7.89E-30

Westpac Banking Corporation

0.00843

0.00014

0.00547

0.00006

Podsumowanie

|

Zastosowano model GARCH i model oparty o filtr Kalmana
do modelowania

β na próbce 15 australijskich firm z sektora

bankowego

|

Wyniki estymacji okaza

ły się zgodne z literaturą dotyczącą

tego tematu – dowodz

ąc zmienności β, nawet w

obserwacjach z kolejnych dni

|

Wykorzystano podstawowe miary b

łędu w celu porównania

prognoz stóp zwrotu uzyskanych za pomoc

ą obu tych

modeli. Analiza ta wykaza

ła wyższość modelu

korzystaj

ącego z filtru Kalmana

|

Potwierdzono wyniki uzyskane przez Brooks, Faff i
McKenzie (1998) dla spó

łek z sektora przemysłowego w

Australii, mówi

ące o wyższości modelu z filtrem Kalmana w

estymacji zmiennego w czasie

β, przynajmniej w odniesieniu

do spó

łek z sektora finansowego i przemysłowego

Bibliografia

|

Greg Welch, Gary Bishop, An Introduction To The
Kalman Filter, Department Of Computer Science,
University Of North Carolina At Chapel Hill

|

Frida Lie, Robert Brooks And Robert Faff, Modelling The
Equity Beta Risk Of Australian Financial Sector
Companies, Blackwell Publishers Ltd,

|

Wikipedia: The Free Encyclopedia. 9 April 2005.
Wikimedia Foundation.
<

http://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter

>