pochodne i całki

background image

Fakt 4.1.4 (pochodne ważniejszych funkcji elementarnych)

Funkcja

Pochodna

Zakres zmienności

c

0

R

c

Î

n

x

1

-

n

nx

n

Î N, x Î R

p

x

1

-

p

px

p

Î {-1, -2, -3, ...}, x ¹ 0

a

x

1

-

a

ax

a Î R, x > 0

x

sin

x

cos

R

x

Î

x

cos

x

sin

-

R

x

Î

Funkcja

Pochodna

Zakres zmienności

x

tg

x

x

2

2

tg

1

cos

1

+

=

Z

k

gdzie

k

x

Î

+

¹

,

2

p

p

x

ctg

x

x

2

2

ctg

1

sin

1

-

-

=

-

Z

k

gdzie

k

x

Î

¹

,

p

x

a

a

a

x

ln

0 < a

¹ 1, x Î R

x

e

x

e

R

x

Î

x

sh

x

ch

R

x

Î

x

ch

x

sh

R

x

Î

x

th

x

2

ch

1

R

x

Î

x

cth

x

2

sh

1

-

x

¹ 0

x

sin

arc

2

1

1

x

-

1

<

x

x

arccos

2

1

1

x

-

-

1

<

x

x

arctg

2

1

1

x

+

R

x

Î

x

arcctg

2

1

1

x

+

-

R

x

Î

x

a

log

a

x ln

1

0 < a

¹ 1, x Î R

x

ln

x

1

x > 0


Uwaga. Do obliczania pochodnych funkcji postaci

g

f

oraz

g

f

log

stosujemy wzory:

f

g

g

e

f

ln

=

f

g

g

f

ln

ln

log

=

background image

Fakt 4.5.3 (pochodne wyższych rzędów ważniejszych funkcji)

Funkcja

n-ta pochodna

Zakres zmienności

x

e

x

e

R

x

Î

x

sin

÷

ø

ö

ç

è

æ +

2

sin

p

n

x

R

x

Î

x

cos

÷

ø

ö

ç

è

æ +

2

cos

p

n

x

R

x

Î

m

x

n

m

x

n

m

m

-

- )!

(

!

R

x

m

n

Î

£ ,

x

1

1

!

)

1

(

+

-

n

n

x

n

0

¹

x

x

ln

n

n

x

n

)!

1

(

)

1

(

1

-

-

-

0

>

x


background image

Fakt 7.2.4 (całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych)

Funkcja

Całka nieoznaczona

Zakres zmienności

0

C

R

x

Î

n

x

C

n

x

n

+

+

+

1

1

n

Î N È {0}, x Î R

p

x

C

p

x

p

+

+

+

1

1

p

Î {-2, -3, -4, ...}, x ¹ 0

a

x

C

x

+

+

+

1

1

a

a

0

},

1

{

\

>

-

Î

x

R

a

x

1

C

x

+

ln

0

¹

x

x

a

C

a

a

x

+

ln

0 < a

¹ 1, x Î R

x

e

C

e

x

+

R

x

Î

x

sin

C

x

+

- cos

R

x

Î

x

cos

C

x

+

sin

R

x

Î

Funkcja

Całka nieoznaczona

Zakres zmienności

x

2

sin

1

C

x

+

- ctg

Z

k

gdzie

k

x

Î

¹

,

p

x

2

cos

1

C

x

+

tg

Z

k

gdzie

k

x

Î

+

¹

,

2

p

p

2

1

1

x

+

C

x

+

arctg

lub

C

x

+

arcctg

-

R

x

Î

2

1

1

x

-

C

x

+

sin

arc

lub

C

x

+

-

cos

arc

1

<

x

x

sh

C

x

+

ch

R

x

Î

x

ch

C

x

+

sh

R

x

Î

x

2

sh

1

C

x

+

- cth

0

¹

x

x

2

ch

1

C

x

+

th

R

x

Î


Uwaga. W powyższej tabeli symbol C oznacza dowolną stałą rzeczywistą.


Fakt 7.2.5 (tabela całek ważniejszych typów funkcji)

Wzór

Zakres zmienności

ò

+

+

=

+

C

n

f

dx

x

f

x

f

n

n

1

)

(

)

(

1

/

{ }

0

È

Î N

n

C

x

f

dx

x

f

x

f

+

=

ò

)

(

ln

)

(

)

(

/

0

)

(

¹

x

f

C

x

f

dx

x

f

x

f

+

-

=

ò

)

(

1

)

(

)

(

2

/

0

)

(

¹

x

f

C

e

dx

x

f

e

x

f

x

f

+

=

ò

)

(

/

)

(

)

(

f

D

x

Î

C

x

f

dx

x

f

x

f

+

=

ò

)

(

2

)

(

)

(

/

0

)

(

>

x

f


Uwaga. Powyższe wzory wynikają bezpośrednio z reguł różniczkowania funkcji złożonych oraz definicji całki nieoznaczonej.

background image



Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6 - spr pochodne i calki (2) dla ZSZ-PF34 - pl 4[1], Pomoce naukowe SGSP, Moje Dokumenty, Matematyka
Pochodne, całki
Pochodne i całki wzory
Pochodne Całki
zestaw 2 pochodne, całki
granice, ciagi, pochodzne, calki
Matematyka - pochodne + całki + liczby zespolone, STUDIA
ściąga pochodne i całki wzory, pwr
pochodne i calki
pochodne i całki wzory przypomnienie
pochodne i całki wzory przypomnienie
Matematyka pochodne, całki, miejsca zerowe (wzory)
Wektory, pochodne, całki Wiesława Korczak, Marianna Trajdos
pochodne i calki

więcej podobnych podstron