Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 1 z 11
Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki. Zasady te są omawiane na szkoleniach
kandydatów na egzaminatorów, w zakresie egzaminu maturalnego z matematyki, organizowanych przez wszystkie Okręgowe Komisje
Egzaminacyjne w naszym kraju.
• Praca podlega ocenie kryterialnej zgodnie ze schematem oceniania. Za każdy etap rozwiązania należy przyznać odpowiednie punkty, jeśli
wynika to z czynności opisanych w schemacie oceniania. Nie stosujemy przy tym cząstek punktów.
• Jeżeli uczeń zastosował inną metodę rozwiązania zadania od tej, która jest opisana w schemacie oceniania i rozwiązanie jest w pełni
poprawne, należy przyznać maksymalną liczbę punktów.
• Jeżeli uczeń zastosował metodę poprawną, ale różną od opisanej w schemacie oceniania i w rozwiązaniu popełnił błędy, to należy zbudować
schemat oceniania odpowiadający zastosowanej metodzie rozwiązania i według niego ocenić rozwiązanie.
• Błędy, które nie mają wpływu na tok rozwiązania (na przykład: błędy w opisie, błędy towarzyszące poprawnemu rozwiązaniu) nie powodują
zmniejszenia liczby przyznanych punktów.
• Jeżeli w rozwiązaniu uczeń popełni błąd i będzie konsekwentnie używał błędnego wyniku do dalszych obliczeń, i:
- nie spowoduje to drastycznego obniżenia stopnia trudności zadania,
- wykonane przez ucznia czynności są zgodne lub równoważne tym, które należałoby wykonać przy rozwiązaniu bezbłędnym,
to za niepoprawnie wykonaną czynność nie otrzymuje punktów, natomiast pozostałe czynności powinny być wypunktowane tak, jakby błąd
nie wystąpił.
• Nie należy przyznawać punktów za odpowiedź, jeżeli:
- rozwiązanie zadania lub odpowiedniej jego części jest błędne,
- rozwiązanie nie pozwala poprawiającemu stwierdzić poprawności rozumowania (pojawia się sam wynik),
i odpowiedź jest różna od podanej w schemacie oceniania.
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 2 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
1.1 Dokończenie szkicowania wykresu funkcji
f , w tym:
• (1p), za naszkicowanie asymptoty o równaniu
1
=
y
,
• (1p), za dorysowanie odpowiedniej gałęzi hiperboli
x
y
1
1
+
=
.
2
1.2 Odczytanie z wykresu i zapisanie zbioru wartości funkcji f .
np.
)
∞
−
=
−
;
4
1
D
1
1.3 Obliczenie wartości funkcji, w tym:
• (1p), za podstawienie do odpowiedniego wzoru,
• (1p), za obliczenie wartości funkcji.
( ) ( )
2
4
2
2
4
2
)
2
(
2
−
=
−
+
−
=
−
f
2
1.
(6 p.)
1.4 Odczytanie z wykresu i zapisanie zbioru argumentów, dla których funkcja
przyjmuje wartości nieujemne.
⇔
≥ 0
)
(x
f
)
(
∞
∪
−
∞
−
∈
;
0
4
;
x
1
2.1 Wybór metody – pogrupowanie niewiadomych na jednej stronie, a liczb na drugiej
stronie nierówności.
5
3
2
5
−
≥
− x
x
1
2.2 Rozwiązanie nierówności.
2
5
5
3
−
−
≥
x
1
2.3 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności w żądanej postaci.
1
5
+
≥
x
1
2.
(4 p.)
2.4 Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność. Szukaną liczbą jest 4.
1
3.
(3 p.)
3.1 Zapisanie przychodu po zmianie ceny telefonu oraz liczby klientów.
⋅
c
n
4
3
5
7
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 3 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
3.2 Obliczenie różnicy po i przed zmianą ceny telefonu oraz liczby klientów.
( )
c
n
c
n
⋅
−
⋅
20
21
=
⋅c
n
20
1
1
3.3 Zapisanie procentowej wielkości przyrostu przychodu.
Przychód zwiększyłby się o
%
5
.
1
4.1 Wykonanie dzielenia wielomianu
W
przez dwumian
(
)
3
+
x
.
45
13
2
)
3
(
:
)
(
2
+
−
=
+
x
x
x
x
W
1
4.2 Wyznaczenie pierwiastków trójmianu
(
)
45
13
2
2
+
− x
x
(w tym 1p, za poprawne
obliczenie wyróżnika).
2
3
,
5
,
49
3
2
=
=
=
∆
x
x
2
4.
(4 p.)
4.3 Zapisanie wielomianu w żądanej postaci.
(
) (
) (
)
3
2
5
3
)
(
−
⋅
−
⋅
+
=
x
x
x
x
W
1
5.1 Zapisanie dowolnej liczby całkowitej
c
, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
C
d
d
c
∈
+
=
,
1
4
1
5.2 Obliczenie kwadratu liczby
c
.
1
8
16
2
2
+
+
=
d
d
c
1
5.
(3 p.)
5.3 Zapisanie kwadratu liczby
c
w odpowiedniej postaci i uzyskanie tezy.
(
)
1
2
4
4
2
2
+
+
=
d
d
c
i
C
d
d
∈
+
)
2
4
(
2
1
6.1 Zapisanie układu równań z niewiadomymi
1
a
,
r .
−
=
+
=
+
9
14
15
2
1
1
r
a
r
a
1
6.2 Rozwiązanie układu.
2
,
19
1
−
=
=
r
a
1
6.
(7 p.)
6.3 Zapisanie wzoru ogólnego na
n
- ty wyrazu danego ciągu.
21
2
+
−
=
n
a
n
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 4 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
6.4 Wyznaczenie wzoru sumy
n
początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu,
w tym:
• (1p), za wstawienie odpowiednich wartości do wzoru sumy,
• (1p), za zapisanie sumy
n
początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu
w postaci iloczynowej.
(
)
n
n
S
n
⋅
−
= 20
2
6.5 Zapisanie, że dla
10
=
n
suma
n
S osiąga wartość największą.
1
6.6 Obliczenie największej wartości sumy.
100
10
=
S
1
7.1 Obliczenie odległości SA oraz SB.
(
) (
)
2
2
6
3
−
+
+
=
y
x
SA
,
(
) (
)
2
2
2
9
−
+
−
=
y
x
SB
1
7.
(3 p.)
7.2 Rozwiązanie równania
SB
SA
=
, w tym:
• (1p), za wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia,
• (1p), za doprowadzenie równania do postaci typu
0
=
+
+
C
By
Ax
36
12
9
6
2
2
+
−
+
+
+
y
y
x
x
=
=
4
4
81
18
2
2
+
−
+
+
−
y
y
x
x
0
5
3
=
−
− y
x
2
8.
(4 p.)
8.1 Obliczenie liczby odcinków, których oba końce należą do zbioru A,
w tym:
• (1p), za obliczenie liczby odcinków niezerowych zawartych w każdej prostej,
• (1p), za obliczenie liczby odcinków, których każdy koniec leży
na innej prostej oraz zapisanie odpowiedzi do podpunktu a.
+
2
3
2
4
3
4
⋅
Jest
21
12
3
6
=
+
+
takich odcinków.
2
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 5 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
8.2 Obliczenie liczby trójkątów, których wszystkie wierzchołki należą do zbioru A, w
tym:
• (1p), za obliczenie liczby trójkątów, których podstawa zawiera
się w prostej
k
,
• (1p), za obliczenie liczby trójkątów, których podstawa zawiera
się w prostej
l
oraz zapisanie odpowiedzi do podpunktu b.
3
2
4
⋅
4
2
3
⋅
Jest
30
4
3
3
6
=
⋅
+
⋅
takich trójkątów.
2
9.1 Zauważenie, że
CA
SC
=
.
1
9.2 Ułożenie równania z niewiadomą
SC
.
o
15
60
tg
SC
SC
=
+
1
9.3 Wyznaczenie niewiadomej
SC
z powyższego równania, w tym:
• (1p), za poprawną metodę rozwiązania równania,
• (1p), za wyznaczenie
SC
.
(
)
60
15
+
⋅
=
SC
tg
SC
o
(
)
o
o
15
60
15
1
tg
tg
SC
⋅
=
−
⋅
(
)
o
o
15
1
15
60
tg
tg
SC
−
⋅
=
2
9.4 Podstawienie
2679
,
0
15
=
o
tg
i obliczenie przybliżonej wartości
SC
.
956
,
21
≈
SC
1
9.
(6 p.)
9.5 Podanie wysokości wieży z żądaną dokładnością.
Wieża ma
m
96
,
21
.
1
10.1 Sporządzenie rysunku z odpowiednim podziałem przyprostokątnej.
1
10.
(4 p.)
10.2 Zapisanie równania. (np. przyprostokątne
AB
AC,
;
CD - dwusieczna kąta
ACB
).
CB
AC
DB
AD
=
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny I – grudzień 2004
Strona 6 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
10.3 Rozwiązanie równania. (obliczenie długości przyprostokątnej
AC
)
AC
CB
3
=
, czyli
5
=
AC
1
10.4 Obliczenie długości przyprostokątnej
AB .
2
10
=
AB
1
11.1 Sporządzenie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta nachylenia ściany
bocznej do płaszczyzny podstawy.
1
11.2 Obliczenie kosinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
3
3
cos
=
α
1
11.3 Oszacowanie obliczonej wartości kosinusa kąta nachylenia ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy.
2
1
cos
>
α
o
60
cos
cos
>
α
1
11.4 Skorzystanie z monotoniczności funkcji kosinus.
Ponieważ funkcja kosinus maleje
w przedziale
2
;
0
π
, zatem
o
60
<
α
.
1
11.5 Wyznaczenie długości wysokości danego ostrosłupa.
2
2
a
H
=
1
11.
(6 p.)
11.6 Wyznaczenie objętości danego ostrosłupa.
6
2
3
a
V
=
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny II – grudzień 2004
Strona 7 z 11
Uwaga:
Zasady oceniania rozwiązań zadań egzaminacyjnych z matematyki zostały opisane na stronie 1 schematu oceniania Arkusza I .
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
12.1 Zapisanie warunku istnienia dwóch różnych pierwiastków równania.
p
p
4
2
>
1
12.2 Przekształcenie danego wyrażenia do postaci pozwalającej zastosować wzory
Viete’a.
(
)
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
⋅
+
+
1
12.3 Wykorzystanie wzorów Viete’a – zbudowanie równania z niewiadomą p.
0
1
2
2
=
−
+ p
p
1
12.4 Rozwiązanie równania.
1
1
−
=
p
,
2
1
2
=
p
1
12.
(5 p.)
12.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej warunek z p. 12.1.
Dla 1
−
=
p
dane wyrażenie osiąga
wartość
1.
1
13.1 Przekształcenie wielomianu
T do postaci umożliwiającej porównanie
współczynników.
(
)
(
)
c
c
x
c
x
x
x
T
4
1
4
4
)
(
2
3
−
+
+
+
−
=
1
13.2 Wyznaczenie wartości współczynnika
c
.
3
1
4
−
=
⇒
=
+
c
c
1
13.3 Wyznaczenie wartości współczynników .
,b
a
8
)
1
(
4
−
=
⇒
+
=
a
c
a
12
4
=
⇒
−
=
b
c
b
1
13.
(4 p.)
13.4 Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności .
0
)
(
≤
x
T
(
{ }
2
3
;
∪
−
∞
−
∈
x
1
14.
14.1 Wybór dwóch dowolnych argumentów z danego przedziału i ustalenie relacji
między nimi.
Np.
0
2
1
<
< x
x
1
SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny II – grudzień 2004
Strona 8 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
14.2 Zbudowanie różnicy wartości funkcji f dla wybranych argumentów.
( ) ( ) (
) (
)
(
)
2
2
1
1
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
⋅
+
⋅
−
=
−
1
14.3 Określenie znaku różnicy wartości funkcji.
Ponieważ
(
)
0
1
2
>
− x
x
,
(
)
0
1
2
<
+ x
x
,
(
)
0
2
2
1
>
⋅ x
x
zatem
( ) ( )
0
2
1
<
−
x
f
x
f
1
(4 p.)
14.4 Zinterpretowanie otrzymanego wyniku i uzyskanie tezy.
Z założenia
0
2
1
<
< x
x
wynika, że
( )
( )
2
1
x
f
x
f
<
zatem w przedziale
(
)
0
;
∞
−
dana funkcja jest rosnąca
1
15.1 Zapisanie rozwinięcia dwumianu.
5
4
3
2
5
10
10
5
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
1
15.2 Podstawienie
3
−
=
x
i wykonanie potęgowania.
3
9
45
3
30
30
3
5
1
−
+
−
+
−
1
15.
(3 p.)
15.3 Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie rozwinięcia w żądanej postaci.
3
44
76
−
1
16.1 Zapisanie równania wynikającego z danych w zadaniu.
4
14
2
1
=
⋅ q
a
1
16.2 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższego równania.
2
)
(
7
1
−
=
⋅ q
a
lub
2
)
(
7
1
=
⋅ q
a
2
16.3 Przekształcenie iloczynu piętnastu początkowych kolejnych wyrazów danego
ciągu do postaci:
14
...
3
2
1
15
1
+
+
+
+
⋅ q
a
1
16.4 Zapisanie powyższego iloczynu w postaci:
15
7
15
1
⋅
⋅ q
a
1
16.
(6 p.)
16.5 Przekształcenie powyższego iloczynu do postaci pozwalającej podstawić dane
z p.16.2 i zapisanie ostatecznej odpowiedzi.
15
15
7
1
2
)
(
=
⋅ q
a
lub
15
7
1
)
2
(
)
(
−
=
⋅ q
a
Iloczyn piętnastu początkowych
kolejnych wyrazów danego ciągu jest
równy
( )
15
15
2
lub
2
−
.
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny II – grudzień 2004
Strona 9 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
17.1 Zapisanie założenia o liczbie logarytmowanej oraz rozwiązanie powstałej
nierówności. Uwaga. Jeżeli uczeń tylko zapisze założenie, to za czynność 17.1
otrzymuje 1p. wówczas, gdy w p. 17.5 rozwiąże tę nierówność.
(
) ( )
∞
∪
∞
−
∈
⇒
>
−
;
2
0
;
0
2
x
x
x
1
17.2 Wykorzystanie monotoniczności funkcji wykładniczej.
0
2
log
3
<
−
x
x
1
17.3 Wykorzystanie monotoniczności funkcji logarytmicznej.
1
2 <
−
x
x
1
17.4 Rozwiązanie nierówności wymiernej.
0
>
x
1
17.
(5 p.)
17.5 Sformułowanie odpowiedzi uwzględniającej poczynione założenia.
Zbiorem rozwiązań danej nierówności
jest przedział
( )
∞
;
2
.
1
18.1 Obliczenie sinusa kąta
ACB
.
5
4
)
sin(
=
∠ACB
1
18.2 Obliczenie kosinusa kąta
ACB
.
(
)
5
3
cos
=
∠ACB
lub
(
)
5
3
cos
−
=
∠ACB
2
18.
(4 p.)
18.3 Wykorzystanie tw. kosinusów i obliczenie długości boku AB .
41
=
AB
lub
137
=
AB
1
19.1 Zapisanie równania wynikającego z danych treści zadania.
Np.
2
3
)
(
r
l
r
r
π
π
=
+
1
19.
(3 p.)
19.2 Wyznaczenie z powyższego równania jednej ze zmiennych.
r
l
2
=
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny II – grudzień 2004
Strona 10 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
19.3 Zapisanie szukanej miary kąta rozwarcia tego stożka.
Np. Szukany kąt ma miarę
o
60 , bo
przekrój osiowy tego stożka jest
trójkątem równobocznym.
1
20.1 Obliczenie kosinusa kąta
α , nachylenia prostej
l
do osi
OX
.
5
4
cos
=
α
lub
5
4
cos
−
=
α
2
20.2 Obliczenie tangensa kąta
α , nachylenia prostej
l
do osi
OX
i zapisanie
odpowiedzi do podpunktu a.
4
3
=
α
tg
lub
4
3
−
=
α
tg
Współczynnik kierunkowy prostej
l
równa się
4
3
lub
−
4
3
.
1
20.3 Wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji f .
(
)
2
2
1
2
)
(
'
−
−
=
x
x
x
x
f
i
1
≠
x
1
20.4 Rozwiązanie równań
4
3
)
(
'
=
x
f
oraz
4
3
)
(
'
−
=
x
f
, w tym:
-
po (1p) za doprowadzenie każdego z równań do postaci równania
kwadratowego i obliczenie wyróżnika,
-
po (1p) za podanie liczby rozwiązań różnych od 1 w każdym z równań.
(1) 0
3
2
2
=
−
− x
x
,
16
1
=
∆
,
3
1
=
x
,
1
2
−
=
x
,
(2) 0
3
14
7
2
=
+
− x
x
,
112
2
=
∆
,
7
7
2
7
3
−
=
x
,
7
7
2
7
4
+
=
x
4
20.
(9 p.)
20.5 Sformułowanie odpowiedzi do podpunktu b.
Istnieją 4 takie styczne.
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki – Arkusz egzaminacyjny II – grudzień 2004
Strona 11 z 11
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Wynik danego etapu
Maks. liczba
punktów za
dany etap
21.1 Zapisanie równości kątów naprzemianległych wewnętrznych.
(E oznacza punkt wspólny przedłużenia AC i prostej równoległej do CD
i przechodzącej przez p. B)
CBE
BCD
∠
=
∠
1
21.2 Zapisanie równości kątów odpowiadających.
CEB
ACD
∠
=
∠
1
21.3 Zapisanie wniosku wynikającego z powyższych równości kątów.
Trójkąt
BCE
jest równoramienny.
1
21.
(4 p.)
21.4 Zastosowanie stosunku długości odpowiednich odcinków i uzyskanie tezy.
DB
AD
CB
AC
AB
AD
CE
AC
=
⇔
=
1
22.1 Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do opisania
prawdopodobieństwa iloczynu dwóch zdarzeń.
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
∪
−
+
=
∩
1
22.2 Zapisanie własności prawdopodobieństwa sumy dwóch zdarzeń.
1
)
(
≤
∪ B
A
P
1
22.
(3 p.)
22.3 Oszacowanie szukanego prawdopodobieństwa warunkowego i uzyskanie
żądanej nierówności.
5
,
0
1
5
,
0
8
,
0
)
(
)
(
)
(
−
+
≥
∩
=
B
P
B
A
P
B
A
P
1
Przygotowano w OKE Wrocław