RACHUNEK PRAWDOPODOBIE ´

NSTWA

Lista 3

1. Rzucono trzy kostki do gry. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze cho´

cby na

jednej z nich wypadnie jedynka, je˙zeli wiadomo, ˙ze na trzech kostkach by ly
r´

o˙zne wyniki? (odp. 1/2)

2. Pierwsza urna zawiera 10 kul, w tym 8 bia lych; druga urna zawiera 20 kul, w

tym 4 bia le. Z ka˙zdej urny losowo wybrano po jednej kuli, a nast¸epnie z tych
dw´

och kul wybrano jedn¸

a. Znale´

z´

c prawdopodobie´

nstwo tego, ˙ze wybrano

kul¸e bia l¸

a. (odp. 1/2)

3. Podczas cotygodniowych test´

ow z angielskiego zauwa˙zono, ˙ze odpowiedzi ´

Sci¸

a

galskiego w 60% pokrywaj¸

a si¸e z odpowiedziami Adama, w 30% - z odpowiedzi-

ami Bartka, a w 10% z odpowiedziami Czarka. Adam myli si¸e ´srednio w 4
przypadkach na 100, Bartek w 10 przypadkach na 100, a Czarek w 21 przy-
padkach na 100. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze przypadkowo wybrana

odpowied´

z ´

Sci¸

agalskiego jest niew la´sciwa? (odp. 0,075)

4. W loterii fantowej szansa wygranej jest r´

owna p, przegranej - q, a z praw-

dopodobie´

nstwem r wyci¸

agamy los ,,graj dalej”. Los ,,graj dalej” wrzucamy

z powrotem do urny i dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest praw-
dopodobie´

nstwo wygranej? (odp. p/(p+q))

5. W magazynie s¸

a ubrania z trzech zak lad´

ow krawieckich A

1

, A

2

, A

3

przy czym

wiadomo, ˙ze z zak ladu A

1

pochodzi 50% ubra´

n , z A

2

30%, a z A

3

20%. Zak lad

A

1

produkuje 80% ubra´

n I gatunku, A

2

70%, a A

3

60% ubra´

n I gatunku. W

spos´

ob losowy wzi¸eto ubranie z magazynu. Obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo, ˙ze

wybrane ubranie: (a) jest I gatunku; (odp. 0,73) (b) pochodzi z zak ladu A

1

,

je´sli stwierdzono, ˙ze jest I gatunku, (odp. 40/73) (c) pochodzi z zak ladu A

2

,

je´sli wiadomo, ˙ze nie jest I gatunku. (odp. 1/3)

6. Na 100 m¸e˙zczyzn pi¸eciu, a na 1000 kobiet dwie nie rozr´

o˙zniaj¸

a kolor´

ow. Z

grupy o jednakowej liczbie kobiet i m¸e˙zczyzn wybrano losowo osob¸e, kt´

ora

okaza la si¸e daltonist¸

a. Jakie jest prawdopodobie´

nstwo, ˙ze jest to kobieta?

(odp. 1/26)

7. W´sr´

od 65 monet jest jedna z dwoma or lami. Na wybranej losowo monecie

wypad l orze l 6 razy pod rz¸

ad. Jaka jest szansa, ˙ze to moneta z dwoma or lami?

(odp. 1/2)

8. Pewna izotropowa metoda wykrywania uszkodze´

n daje nast¸epuj¸

ace wyniki.

Je´sli urz¸

adzenie ma uszkodzenie, to metoda ta pozwala na jego wykrycie w

90% przypadk´

ow i nie wykrywa go w 10% przypadk´

ow. Je´sli urz¸

adzenie nie

ma uszkodzenia, to metoda ta daje w 99% przypadk´

ow informacje zgodne

ze stanem faktycznym i w 1% przypadk´

ow informacje o defekcie, kt´

orego nie

ma. W pewnej partii urz¸

adze´

n jest 2% maj¸

acych defekt. Ile wynosi praw-

dopodobie´

nstwo, ˙ze wylosowane urz¸

adzenie, rozpoznane jako uszkodzone jest

rzeczywi´scie uszkodzone. (odp. 180/278=0,6475)

9. Wiadomo, ˙ze 50% procesor´

ow wytwarzanych w fabryce ma usterki. Wiadomo

r´

ownie˙z, ˙ze pewne procesory s¸

a kradzione przed kontrol¸

a w fabryce i nielegal-

nie wprowadzane na rynek. Przeprowadzona inspekcja pokaza la, ˙ze tylko 5%
legalnie sprzedawanych procesor´

ow ma usterki i ˙ze 1% procesor´

ow b¸ed¸

acych

w sprzeda˙zy na rynku pochodzi z kradzie˙zy.

Oblicz prawdopodobie´

nstwo,

˙ze uszkodzony procesor zakupiony na rynku pochodzi z kradzie˙zy.

(odp.

10/109=0,0917)

10. W mie´scie dzia laj¸

a dwa przedsi¸ebiorstwa taks´

owkowe: Zielone Taxi (85%

samochod´

ow) i Niebieskie Taxi (15%). ´

Swiadek nocnego wypadku zako´

nczonego

ucieczk¸

a kierowcy twierdzi, ˙ze samoch´

od by l niebieski. Eksperymenty wykaza ly,

˙ze ´swiadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadk´

ow, a myli si¸e w 20%

przypadk´

ow. Jaka jest szansa, ˙ze w wypadku uczestniczy niebieska takswka?

(odp. 12/29=0,4138)