data 05.06.2013

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM

METOD NUMERYCZNYCH

Ć

wiczenie nr

5

Temat:

Numeryczne rozwiązywanie równań i układów

równań nieliniowych

Wydział: EEiA

rok akademicki: 2012/2013 semestr: IV

Grupa: 4C5

Dzień: czwartek godz. 14

15

-16

00

Kubiak Łukasz 171367

Leśnik Przemysław 171374

Zadanie 1

-m-funkcja realizująca metodę bisekcji:

function

[x0,x1,n]=bisekcja(F,xa,xb,e)

x0=xa;

x1=xb;

for

n=1:25

x=.5*(x0+x1);

a=sign(feval(F,x0)*feval(F,x));

f=feval(F,x);

if

a<0

x1=x;

else

x0=x;

end

if

f==0

x0=x;

x1=x0;

break

end

warunek=abs(x0-x1);

if

warunek<(2*e)

break

end

end

-m-funkcja realizująca metodę siecznych:

function

[xo,n]=sieczna(F,x0,x1,e)

x=[1:27];

x=0;

x(1,1)=x0;

x(1,2)=x1;

for

n=2:26

x(n+1)=((feval(F,x(n)))*x(n-1)-(feval(F,x(n-1)))*x(n))/((feval(F,x(n)))-
(feval(F,x(n-1))));

warunek=abs(x(n)-x(n-1));

if

warunek<e

break

end

end

xo=x;

-m-funkcja realizująca metodę Newtona:

function

[xo,n]=newton(F,Fd,x0,e)

x=[1:26];

x=0;

x(1,1)=x0;

for

n=2:26

x(n)=x(n-1)-(feval(F,x(n-1))/feval(Fd,x(n-1)));

warunek=abs(x(n)-x(n-1));

if

warunek<e

break

end

end

xo=x;

funkcja: f(x)=xe

x-2

-x

2

/2;

x’=2

metoda Newtona: x

0

=2,5 , przyjmuję

ε

=1e-16

uzyskane przybliżenia:

n

x

|x-x'|

f(x)

f'(x)

0 2.500000000000000 0.500000000000000 -0.066419745478745

-1.502248391294711

1 2.005786442599216 0.005786442599216 -0.006738658879160

-1.187348607914774

2 2.000111058946732 0.000111058946732 -0.000126833406758

-1.142480927818234

3 2.000000043170740 0.000000043170740 -0.000000049283407

-1.141592998955683

4 2.000000000000007 0.000000000000007 -0.000000000000008

-1.141592653589849

5 2.000000000000000

0

0 -1.141592653589793

6 2.000000000000000

0

0 -1.141592653589793

metoda siecznych: x

0

=2.5 ,x

1

=2.4 ; przyjmuję

ε

=1e-16

uzyskane przybliżenia:

n

X

|x-x'|

f(x)

f'(x)

0 2.500000000000000 0.500000000000000 -0.066419745478745

-1.502248391294711

1 2.400000000000000 0.400000000000000 -0.051724668485651

-1.436272053316942

2 2.254801362721704 0.254801362721704 -0.005572822484048

-1.179634772750672

3 2.110551137124541 0.110551137124541 -0.000630388208170

-1.145996890563825

4 2.000049037432576 0.000049037432576 -0.000010317393333

-1.141664951743598

5 2.000000717405163 0.000000717405163 -0.000000019869607

-1.141592792831092

6 2.000000000013551 0.000000000013551 -0.000000000000629

-1.141592653594201

7 2.000000000000273 0.000000000000273 -0.000000000000114

-1.141592653589793

8 2.000000000000000

0

0 -1.141592653589793

9 2.000000000000000

0

0 -1.141592653589793

metoda bisekcji: x

a

=1,8 ,x

b

=2,5 ; przyjmuję

ε

=1e-16

n

xa

Xb

|~x-x'|

f(x)

f'(x)

0 1.800000000000000 2.500000000000000

0.012500000000000

-0.014884498997154

-1.239095626241398

1 1.825000000000000 2.492500000000000

0.006250000000000

0.006977402250884

-1.090967853846121

2 1.843750000000000 2.472500000000000

0.003125000000000

-0.003606376789602

-1.166436415645190

3 1.843750000000000 2.463125000000000

0.001562500000000

0.001773952551422

-1.129053591857516

4 1.848437500000000 2.453125000000000

0.000781250000000

-0.000894308123743

-1.147832888012328

5 1.848437500000000 2.450781250000000

0.000390625000000

0.000445323960855

-1.138465212186528

6 1.849609375000000 2.444781250000000

0.000195312500000

-0.000223119863308

-1.143154543238417

7 1.849609375000000 2.425195312500000

0.000097656250000

0.000111445505637

-1.140811251001914

8 1.849902343750000 2.366195312500000

0.000048828125000

-0.000055751364911

-1.141983240442821

9 1.849902343750000 2.310048828125000

0.000024414062500

0.000027868530131

-1.141397331553050

10 1.849975585937500 2.250448828125000

0.000012207031250

-0.000013936053234

-1.141690307455607

11 1.849975585937500 2.216012207031250

0.000006103515625

0.000006967579586

-1.141543824868747

12 1.889993896484375 2.177512207031250

0.000003051757813

-0.000003483901553

-1.141617067503286

13 1.889993896484375 2.113503051757813

0.000001525878906

0.000001741922836

-1.141580446521292

14 1.949998474121094 2.055433051757813

0.000000762939454

-0.000000870968404

-1.141598757096112

15 1.949998474121094 2.001431162939453

0.000000381469726

0.000000435482455

-1.141589601829657

16 1.959999618530273 2.000789762939453

0.000000190734863

-0.000000217741664

-1.141594179468115

17 1.969999618530273 2.000056190734863

0.000000095367432

0.000000108870723

-1.141591890650192

18 1.979999904632568 2.000003590734863

0.000000047683716

-0.000000054435389

-1.141593035059485

19 1.99987904632568

2.000000547683716

0.000000023841858

0.000000027217688

-1.141592462854920

20 1.999999976158142 2.000000247683716

0.000000011920929

-0.000000013608845

-1.141592748957223

21 1.999879676158142 2.000000011920929

0.000000005960464

0.000000006804422

-1.141592605906080

22 1.999994894039536 2.000000011920929

0.000000002980233

-0.000000003402212

-1.141592677431657

23 1.999999784039536 2.000000002980232

0.000000001490116

0.000000001701106

-1.141592641668865

24 1.999999858509884 2.000000002980232

0.000000000745058

-0.000000000850553

-1.141592659550257

25 1.999999998509884 2.000000000745058

0.000000000372529

0.000000000425276

-1.141592650609561

funkcja: f(x)=cos(

ππππ

x)-

ππππ

(x+0.5);

x’=-0,5

metoda Newtona: x

0

=-0,3, przyjmuję

ε

=1e-16

uzyskane przybliżenia:

n

x

|x-x'|

f(x)

f'(x)

0 -0.300000000000000 0.2000000000000000 -0.001290335278517 0.077356437479629
1 -0.316680386539998 0,1833196134600020 -0.000382111660873 0.034391643997409
2 -0.342790982500501 0,1572090174994990 -0.000113190686121 0.015287346930514
3 -0.375195189825382 0,1248048101746180 -0.000033534352015 0.006794805237289
4 -0.390130482426739 0,1098695175732610 -0.000009935626597 0.003019998129124
5 -0.421342042706784 0,0786579572932160 -0.000002943826466 0.001342238118304
6 -0.455613649267198 0,0443863507328020 -0.000000872236597 0.000596553578924
7 -0.477075775432463 0,0229242245675370 -0.000000258439383 0.000265135576713
8 -0.492050519697216 0,0079494803027840 -0.000000076574488 0.000117838163002
9 -0.497700347275429 0,0022996527245710 -0.000000022688718 0.000052372542505

10 -0.499133565090996 0,0008664349090040 -0.000000006722581 0.000023276690589
11 -0.499422376796791 0,0005776232032090 -0.000000001991876 0.000010345196878
12 -0.499614917893583 0,0003850821064170 -0.000000000590185 0.000004597865287
13 -0.499743278599523 0,0002567214004770 -0.000000000174869 0.000002043495761
14 -0.499828852279481 0,0001711477205190 -0.000000000051813 0.000000908221641
15 -0.499885901371951 0,0001140986280490 -0.000000000015352 0.000000403655113
16 -0.499923934245793 0,0000760657542070 -0.000000000004549 0.000000179402284
17 -0.499949289585043 0,0000507104149570 -0.000000000001348 0.000000079734073
18 -0.499966193409300 0,0000338065907000 -0.000000000000399 0.000000035436626
19 -0.499977459611641 0,0000225403883590 -0.000000000000118 0.000000015753331
20 -0.499984958199031 0,0000150418009690 -0.000000000000035 0.000000007015349
21 -0.499989959097294 0,0000100409027060 -0.000000000000010 0.000000003126044
22 -0.499993226501977 0,0000067734980230 -0.000000000000003 0.000000001422577
23 -0.499995411708876 0,0000045882911240 -0.000000000000001 0.000000000652757
24 -0.499996772366019 0,0000032276339810 -0.000000000000000 0.000000000323012
25 -0.499998147204819 0,0000018527951810

0 0.000000000106440

metoda siecznych: x

0

=-0,3 x

1

=-0,35; przyjmuję

ε

=1e-16

uzyskane przybliżenia:

n

x

|x-x'|

f(x)

f'(x)

0 -0.300000000000000 0,2000000000000000 -0.001290335278517

0.077356437479629

1 -0.350000000000000 0,1500000000000000 -0.000660945158575

0.049544792843595

2 -0.370501358976451 0,1294986410235490 -0.000265184354049

0.026961422066286

3 -0.387537922640549 0,1124620773594510 -0.000117103529977

0.015637568603226

4 -0.403102494887798 0,0968975051122020 -0.000049858008814

0.008851009379184

5 -0.421228249099303 0,0787717509006970 -0.000021530034370

0.005056991595440

6 -0.439363934997220 0,0606360650027800 -0.000009247144119

0.002878829160364

7 -0.452724628516264 0,0472753714837360 -0.000003979995123

0.001641122721624

8 -0.464508430094395 0,0354915699056050 -0.000001711636146

0.000935043636232

9 -0.485854433654728 0,0141455663452720 -0.000000736336434

0.000532857667445

10 -0.491870645850358 0,0081293541496420 -0.000000316730882

0.000303637600244

11 -0.497637713356012 0,0023622866439880 -0.000000136246373

0.000173026576073

12 -0.498216766742610 0,0017832332573900 -0.000000058607359

0.000098597247835

13 -0.498653876738543 0,0013461232614570 -0.000000025210558

0.000056184772796

14 -0.498983842088467 0,0010161579115330 -0.000000010844555

0.000032016337901

15 -0.499232925106367 0,0007670748936330 -0.000000004664891

0.000018244205060

16 -0.499420952349224 0,0005790476507760 -0.000000002006648

0.000010396283318

17 -0.499562889856111 0,0004371101438890 -0.000000000863179

0.000005924221939

18 -0.499670035375249 0,0003299646247510 -0.000000000371305

0.000003375859343

19 -0.499750917060414 0,0002490829395860 -0.000000000159720

0.000001923700957

20 -0.499811972762683 0,0001880272373170 -0.000000000068705

0.000001096203377

21 -0.499858062149737 0,0001419378502630 -0.000000000029554

0.000000624663396

22 -0.499892853990803 0,0001071460091970 -0.000000000012713

0.000000355960340

23 -0.499919117367494 0,0000808826325060 -0.000000000005469

0.000000202843069

24 -0.499938942489823 0,0000610575101770 -0.000000000002352

0.000000115592005

25 -0.499953908098057 0,0000460919019430 -0.000000000001012

0.000000065871700

26 -0.499965209165375 0,0000347908346250 -0.000000000000435

0.000000037530065

Metoda bisekcji: x

a

=-0,3,x

b

=-0,6 ; przyjmuję

ε

=1e-16

uzyskany przedział zawierający poszukiwany pierwiastek:

n

xa

xb

x

|x-x'|

f(x)

f'(x)

0 -0.300000000000000

-0,600000000000000

-0,450000000000000 0,050000000000000

0.161441223800018e-3 0.019368963394949

1 -0.320000000000000

-0,575000000000000

-0,447500000000000 0,052500000000000

-0.020184821607483e-3 0.004844108164658

2 -0.337500000000000

-0,545000000000000

-0,441250000000000 0,058750000000000

0.002523248615827e-3

0.001211143770909

3 -0.357500000000000

-0,506250000000000

-0,431875000000000 0,068125000000000

-0.000315410636720e-3 0.000302793238688

4 -0.366875000000000

-0,506250000000000

-0,436562500000000 0,063437500000000

0.000039426472309e-3

0.000075698765674

5 -0.386875000000000

-0,501562500000000

-0,444218750000000 0,055781250000000

-0.000004928313313e-3 0.000018924719919

6 -0.399218750000000

-0,501562500000000

-0,450390625000000 0,049609375000000

0.000000616039664e-3

0.000004731181761

7 -0.419218750000000

-0,500390625000000

-0,459804687500000 0,040195312500000

-0.000000077004625e-3 0.000001182795551

8 -0.449804687500000

-0,500390625000000

-0,475097656250000 0,024902343750000

0.000000009625634e-3

0.000000295698895

9 -0.469804687500000

-0,500097656250000

-0,484951171875000 0,015048828125000

-0.000000001203038e-3 0.000000073924724

10 -0.489951171875000

-0,500097656250000

-0,495024414062500 0,004975585937500

0.000000000150546e-3

0.000000018481181

11 -0.499951171875000

-0,500024414062500

-0,499987792968750 0,000012207031250

-0.000000000018652e-3 0.000000004620295

12 -0.499987792968750

-0,500024414062500

-0,500006103515625 0,000006103515625

0.000000000002665e-3

0.000000001155074

13 -0.499987792968750

-0,500006103515625

-0,499996948242188 0,000003051757812

0 0.000000000288768

14 -0.499996948242188

-0,500006103515625

-0,500001525878907 0,000001525878907

0 0.000000000072192

15 -0.499996948242188

-0,499996948242188

-0,499996948242188 0,000003051757812

0 0.000000000288768

2 Zadanie

zastępuję funkcje f(x) wyrażeniem g(x)=f(x)/f’(x)

g(x)=((cos(

π

x)-

π

(x+0.5))/( -π (1+sin(π x))))

metoda Newtona: x

0

=-0,3,

uzyskane przybliżenia:

n

x

|x-x'|

g(x)

g'(x)

0 -0.300000000000000

0.200000000000000

-0.016680386539998

0.334157009709169

1 -0.499917811254403

-8.218874559701161e-005

-2.739630712961191e-005

0.333331913401343

2 -0.500000000525901

0.000000000525901

-

-

Metoda siecznych: x

0

=-0.3,x

1

=-0,35

uzyskane przybliżenia:

n

x

|x-x'|

g(x)

g'(x)

0 -0.300000000000000

0.200000000000000 -0.016680386539998

0.334157009709169

1 -0.350000000000000

0.150000000000000 -0.013340355678978

0.333860207376031

2 -0.459940815621398

0,040059184378602 -1.972893933885572e-005

0.333305857416946

3 -0.499999971241020

0,000000028758980 0

1

4 -0.499999971241020

0,000000028758980 0

1

3. Funkcja fzero

f(x)=xe

x-2

-x

2

/2

a = fzero(@(a) a*exp(a-2)-a^2*0.5, 1.8)

a =

2
f(x)=cos(

ππππ

x)-

ππππ

(x+0.5)

a = fzero(@(a) cos(pi*a)-pi*(a+0.5), -0.6)

a =

-0.5000

Wyniki uzyskane za pomocą standardowej funkcji Matlaba zgadzają się z wynikami
uzyskanymi ze zrobionych przez nas m-plików.

4.Metody Laguerre’a i Bairstowa oraz standardowa procedura roots

Posługując się plikami Laguerre.m, Bairstow.m oraz standardową procedurą roots
otrzymaliśmy wyniki:

1000

2750

2245

333

6

198

32

76

14

4

5

)

(

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

+

−

+

−

+

−

−

+

−

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

W

W = [1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000] – współczynniki wielomianu

Laguerre:

[A,iteracje]=laguerre([1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000],0.001)

ε

=10^-3

ε

=10^-6

ε

=10^-9

Miejsca zerowe

Iteracje

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe

Iteracje

0.9992

8 1.0000

13 1.0000

14

1.0001

6 1.0000 - 0.0000i

11 1.0000 - 0.0000i

14

1.0007

2 1.0000 + 0.0000i

3 1.0000 + 0.0000i

3

-0.9996 + 1.9994i

10 -1.0000 - 2.0000i

13 -1.0000 - 2.0000i

20

-2.0000 + 0.0000i

4 -2.0000 - 0.0000i

4 -2.0000 + 0.0000i

5

-0.9994 - 1.9997i

5 -1.0000 + 2.0000i

9 -1.0000 + 2.0000i

25

4.0000 + 0.0000i

4 4.0000 + 0.0000i

5 4.0000 + 0.0000i

5

2.0000 + 1.0000i

5 2.0000 - 1.0000i

5 2.0000 - 1.0000i

6

2.0000 - 1.0000i

4 2.0000 + 1.0000i

4 2.0000 + 1.0000i

5

-1.0006 - 2.0003i

2 -1.0000 + 2.0000i

2 -1.0000 + 2.0000i

2

-1.0004 + 2.0006i

0 -1.0000 - 2.0000i

0 -1.0000 - 2.0000i

0

Bairstow:

[A,iteracje]=bairstow([1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000],0.000000001)

ε

=10^-3

ε

=10^-6

ε

=10^-9

Miejsca
zerowe

Iteracje Iteracje

Miejsca zerowe

Miejsca zerowe

Iteracje

0.9996 - 0.0005i

16 1.0000 - 0.0000i

26 1.0000

99

0.9996 + 0.0005i

16 1.0000 + 0.0000i

26 1.0000

99

-2.0001

54 -2.0000

90 1.0000

94

1.0009

54 1.0000

90 4.0000

94

-0.9924 - 2.0016i

13 -0.9995 - 2.0001i

17 2.0000 - 1.0000i

7

-0.9924 + 2.0016i

13 -0.9995 + 2.0001i

17 2.0000 + 1.0000i

7

-1.0078 - 1.9982i

2 -1.0005 - 1.9999i

2 -0.9972 - 1.9993i

18

-1.0078 + 1.9982i

2 -1.0005 + 1.9999i

2 -0.9972 + 1.9993i

18

1.9988 - 1.0023i

6 2.0000 - 1.0000i

7 -1.0028 - 2.0008i

3

1.9988 + 1.0023i

6 2.0000 + 1.0000i

7 -1.0028 + 2.0008i

3

4.0028

0 4.0000

0 -2.0000

0

Roots:

Miejsca zerowe

4.0000

-2.0000

-1.0000 + 2.0000i

-1.0000 - 2.0000i

-1.0000 + 2.0000i

-1.0000 - 2.0000i

2.0000 + 1.0000i

2.0000 - 1.0000i

1.0000

1.0000 + 0.0000i

1.0000 - 0.0000i

Wyniki uzyskane funkcją roots i metodą Laguerre'a dają takie same wyniki. Metoda
Bairstowa daje podobne, ale trochę różniące się wyniki.

5. Metoda Lehmera – Schura.

Miejsca
zerowe

Iteracje

1.0000 + 0.0000i

5

1.0000 + 0.0000i

5

1.0000 + 0.0000i

5

-1.9999 + 0.0000i

5

3.9999 + 0.0000i

5

1.9994 + 0.9992i

8

1.9994 - 0.9992i

8

-1.0185 + 2.0236i

8

-0.9810 + 1.9752i

8

-1.0125 - 2.0488i

0

-0.9868 - 1.9500i

0

Metoda Lehmera–Schura znajduje miejsca zerowe wielomianu interpolującego badaną funkcję.
Zakładając, że wielomian ten jest tylko przybliżeniem więc miejsca zerowe uzyskane taką metodą
również są przybliżone i stąd rozbieżności z pozostałymi metodami.

Wnioski

W celu analizy szybkość metody dla każdej z metod przyjąłem stalą wartość

ε

=1e-16. Z

analizy przeprowadzonych pomiarów wynika, że najszybsza jest metoda Newtona, metoda
siecznych jest nieco wolniejsza, natomiast metoda bisekcji jest najwolniejsza. Metoda bisekcji
zwraca najmniejszy przedział w którym znajduje się poszukiwany pierwiastek.
Funkcja fzero pozwala na znalezienie dokładnej wartość pierwiastka w okolicy określonego
punktu. Funkcja roots zwraca pierwiastki wielomianu. Uzyskane wyniki posiadają dużą
dokładność. Funkcje Laguerre’a i Bairstow’a także pozwalają na obliczenie pierwiastków
wielomiany w zadaną dokładnością. Metody te dokładnie obliczają pierwiastki rzeczywiste,
natomiast pierwiastki zespolone obarczone są większym błędem.
Do poszukiwania pierwiastków rzeczywistych wielomianu można zastosować metodę
Newtona, oraz siecznych. Warunkiem jest aby znacz otoczenie w jaki się znajdują
poszukiwane pierwiastki. Jednak pierwiastki te są obarczone większym błędem niż w
przypadku zastosowania innych metod.
W przypadku zastosowania metody Lehmera-Schura pierwiastki są stosunkowo dokładnie
obliczone. Z tą różnicą że każdy z nich jest traktowany jako pierwiastek zespolony, z racji
tego że pierwiastki są poszukiwane na płaszczyźnie zespolonej. Pomimo tego ze podany
wielomian posiada 5 pierwiastków rzeczywistych z metody tej wynika ze wszystkie
pierwiastki są pierwiastkami zespolonymi.

6. Rozwiązanie układu równań za pomocą metody Newtona.

−2 + +

= 0

− − 2 + 3 = 0

(x

0

,y

0

) = (-0.8; -1.3) (x

*

,y

*

) = (-1 -1)