M A R Z E N A O R L IŃ S K A
OBOWIĄZKOWA
MATURA
Z MATEMATYKI
Z A K R E S PODSTAWOWY
P u b l i k a c j a z
.. . , p ł y t q C D - R O M
.Kríflaafcsi
^ D O P E ^ D N
Spis treści
Opis egzaminu maturalnego z m atematyki zdawanego jako przedmiot obowiązkowy ......... 7
Testy
III. Wielomiany i funkcje wymierne ......................................................
IX, Rachunek prawdopodobieństwa i elementy statystyki ....................................
Przykładowe arkusze egzaminacyjne
Wyniki etapów rozwiązań
II. Funkcje i ich własności .......................................................................
IV. Funkcje trygonometryczne ......................................................................
Modele odpowiedzi i schemat punktowania arkuszy
egzaminacyjnych
3
w s t ę p
Oddajemy w twoje ręce publikację, dzięki której lepiej i łatwiej przygotujesz się do egzaminu ma
turalnego w nowej formule. Zamieściliśmy w niej trzy typy zadań, które pomogą ci nabywać umie
jętności wymagane na maturze. Dzięki nim będziesz miat okazję powtórzyć wiadomości i utrwalić
specyfikę zadań określonych przez nowe standardy egzaminacyjne.
Publikację
Matematyka. Matura 2010. Testy dla maturzysty
polecamy szczególnie z tego powo
du. że zawiera ona:
- praktyczne informacje o egzaminie maturalnym,
- wskazówki przydatne do rozwiązywania testów maturalnych,
- wszystkie typy zadań z przewidywanym czasem rozwiązywania,
- przykładowe arkusze egzaminacyjne,
- odpowiedzi do zadań ze szczegółowymi kryteriami zaliczania.
Testy zostały ułożone w taki sposób, abyś mógł systematycznie przygotowywać się do matury.
Materiał podzieliliśmy na typy zadań zgodnych z tymi, które obowiązują na maturze zakresu
podstawowego. Zestawy zadań zostały umieszczone w obrębie działów tematycznych. Zastosowa
liśmy przy tym następujący porządek:
- zadania zamknięte,
- zadania o tw a rte krótkiej odpowiedzi,
- zadania o tw a rte rozszerzonej odpowiedzi.
Na egzaminie maturalnym będziesz znać jedynie czas przeznaczony na napisanie całego testu. Mu
sisz zatem sam rozplanować własną pracę, uwzględniając zapoznanie się z instrukcją, przejrzenie arku
sza oraz załączonych materiałów. Na samo rozwiązywanie zadań maturalnych pozostaje więc odpo
wiednio mniej czasu, w arkuszach maturalnych zamieszczonych w zbiorze nie podajemy informacji
na temat czasu, w jakim należy rozwiązywać poszczególne zadania. Jednak dla ułatwienia przygoto
wań do egzaminu dojrzałości przy zadaniach w testach uwzględniliśmy szacunkowo czas przewidywa
ny na ich rozwiązanie. Umożliwi on rozeznanie, ile czasu powinieneś przeznaczyć na dany typ zadań.
Jest to o tyle ważne, że na przykład zadania otwarte rozwiązuje się dłużej niż zamknięte.
Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON przygotowało zestawy testów maturalnych do następują
cych przedmiotów: język polski (w form ie przykładowych arkuszy egzaminacyjnych), historia, wie
dza o społeczeństwie, matematyka, fizyka i astronomia, chemia, biologia, geografia. Wszystkie za
warte w nich informacje są aktualne w momencie wydania tych publikacji. Do czasu egzaminu
w 2010 roku mogą zajść pewne zmiany, które bedą ogłaszane na stronach Centralnej Komisji Eg
zaminacyjnej, dlatego tak ważne jest Siedzenie zamieszczanych tam informacji.
Jako znakomite uzupełnienie testów dla ucznia proponujemy naszą najnowsza publikację
Nowa matura
2010. Obowiązkowa matura
z
matematyki. Zakres podstawowy,
dzięki której uzupełnisz swoją wiedzę, a
także nauczysz się rozwiązywać zadania maturalne krok po kroku.
Zapraszamy także na stronę www.matura.operon.pl, gdzie z myślą o maturzystach zamieściliśmy dodat
kowe materiały, które pomogą skuteczniej przygotować się do egzaminu dojrzałości.
5
Podstawowe in&Htnaeje o egzaminie maturalnym
Od roku 2005 egzamin maturalny jest jednakowy dla wszystkich absolwentów szkót średnich
w catej Polsce, bez względu na typ szkoty i profil ukończonej klasy. Ta nowa form uła m atury spra
wia, że wiele wyższych uczelni przyjmuje kandydatów na studia na podstawie wyniku egzaminu
maturalnego. Abiturient zdaje więc egzamin tylko raz, nie zaś - jak kiedyś - dwa lub więcej razy.
Wiele wydziałów wskazuje, jakie przedmioty uczeń musi zdać na maturze, aby się móc ubiegać
o przyjęcie na pierwszy rok studiów, Niektóre z nich organizują dodatkowe egzaminy czy rozmo
wy kwalifikacyjne. Od roku szkolnego 2006/2007 egzamin przeprowadzany jest raz w roku.
A biturient przystępujący do egzaminu zdaje trzy przedm ioty jako obowiązkowe - są to zda
wane na poziomie podstawowym w form ie ustnej i pisemnej język polski oraz nowożytny jeżyk
obcy, a także matematyka zdawana tylko w form ie pisemnej. Ponadto uczeń może wybrać je
den, dwa lub trzy przedmioty dodatkowe, które zdaje na poziomie podstawowym lub rozszerzo
nym. Wyjątek stanowi egzamin z matematyki wybranej jako przedm iot dodatkowy - w tym wy
padku zdaje się ją tylko na poziomie rozszerzonym. Do końca września roku kalendarzowego po
przedzającego egzamin uczeń dokonuje wstępnego wyboru przedmiotów, które będzie zdawać
na egzaminie, oraz poziomu, na jakim będzie zdawać przedm ioty wybrane jako obowiązkowe
Zadania na pisemny egzamin maturalny opracowuje centralna komisja Egzaminacyjna, z którą
współpracują Okręgowe Komisje Egzaminacyjne organizujące sprawdzanie prać. Harmonogram eg
zaminów Jest ogłaszany na stronie Centralnej Komisji Egzaminacyjnej nie później niż na cztery m ie
siące przed rozpoczęciem egzaminu;
Prace sprawdzane są przez egzaminatorów zewnętrznych, którzy stosują jednolite w catym kra
ju kryteria oceniania według jednakowego schematu punktowania. Każda praca sprawdzana jest
dodatkowo przez innego egzaminatora - specjalnie przeszkolonego weryfikatora. W ten sposób
w całej Polsce zachowana zostaje jednolitość i obiektywizm oceniania
Absolwent, który zamierza zdawać maturę, chcąc mieć wyczerpującą wiedze na tem at wyma
gań oraz formy egzaminu, powinien zapoznać się z następującymi dokumentami:
- strona internetowa Centralnej Komisji Egzaminacyjnej www.cke.edu.pi, na której na bieżąco
podawane są wszystkie informacje dotyczące matury, takie jak lista przedmiotów, które można
zdawać, terminy egzaminów, zmiany w zasadach, standardy egzaminacyjne oraz arkusze wraz
z odpowiedziami z przeprowadzonych egzaminów maturalnych;
- strona internetowa Ministerstwa Edukacji Narodowej www.men.gov.pl, na której podaje się
ważne komunikaty na tem at egzaminu maturalnego oraz planowanych zmian w form ule egzami
nu od nowego roku szkolnego;
- Informator maturalny z matematyki od 2010 r. zawiera podstawowe i najważniejsze informacje
o egzaminie maturalnym, odpowiedzi na najczęściej pojawiające się pytania dotyczące matury, stan
dardy maturalne wraz z opisem, czyli listę zagadnień, które powinien znać maturzysta, a także przykła
dowe arkusze maturalne, informator jest dostępny na stronie internetowej Centralnej Komisji Egzami
nacyjnej
6
Opis egzaminu maturalnego z matematyki zdawanego faks
przedmiot obowiązkowy
Od roku 2010 matematyka jest jednym z trzech przedmiotów zdawanych na egzaminie matu
ralnym jako obowiązkowe, na poziomie podstawowym. Jeżeli abiturient chce zdawać matematy
kę na poziomie rozszerzonym, powinien wybrać ten przedmiot Jako dodatkowy. Wynik uzyskany
na egzaminie z przedmiotu dodatkowego nie ma wptywu na zdanie matury, jednak jest odnoto
wywany na świadectwie i może mieć znaczenie podczas rekrutacji ńa wyższe uczelnie.
Podczas egzaminu maturalnego uczniowie mogą korzystać z kalkulatora prostego i zestawu
wzorów dopuszczonych jako pomoce przez CKE
M atura 2010 z m atem atyki
Matematyka
jako przedmiot obowiązkowy
Egzamin na poziomie
podstawowym
\
Matematyka
I
jako przedmiot dodatkowy
Egzamin na poziomie
rozszerzonym
Í
Rozwiązanie zadań z poziomu
podstawowego
i
i
170 minut
\ - maksymalna liczba punktów; 50
- zakres wymagań dla poziomu
podstawowego
Rozwiązanie zadań z poziomu
i
rozszerzonego
180 minut
- maksymalna liczba punktów; 50
- zakres wymagań dla poziomu
rozszerzonego
[ Warunkiem zdania egzaminu jest j
I uzyskanie 30% punktów za rozwią- '
; zanie zadań z arkusza.
i
¡ Wynik egzaminu nie ma wpfywu na
i zdanie matury.
Ocenianie arkuszy egzaminacyjnych
Prace egzaminacyjne sprawdzają i oceniają zespoty egzaminatorów powotane przez dyrektora
Okręgowej Komisji Egzaminacyjnej
Egzaminatorzy sprawdzający prace przyznają punkty za czynności opisane w schemacie ocenia
nia, Ocenianiu podlega zarówno poprawność merytoryczna rozwiązań, jak I kompletność prezen
tacji rozwiązań, czyli wykonanie cząstkowych obliczeń I przedstawienie toku rozumowania. Ocenie
podlegają wyłącznie fragmenty pracy dotyczące polecenia. Dodatkowe działania, obliczenia i opi
sy (poprawne) nie są oceniane. Nie są brane pod uwagę zapisy w brudnopisie.
Jeśli do rozwiązania jednego zadania zdający podaje kilka odpowiedzi, z których tyiko jedna ilub
kilka) jest prawdziwa, to nie otrzymuje punktów.
7
W M A T E M A T Y K A - I E S T Y M A T U R A L N E
Rozwiązanie całkowicie poprawne, lecz inne niż w schemacie oceniania, je st oceniane na mak
symalną liczbę punktów. Jeżeli metoda ta jest poprawna, lecz podczas rozwiązywania pojawity sie
btędy, to uczeń otrzymuje punkty proporcjonalnie do punktów uzyskiwanych za poprawne części
rozwiązania.
Jeśli uczeń zastosował btędną metodę - nie otrzymuje punktów.
T fp y zs&Bń m a te m a ty c z n y c h w a rk u sza ch m a łu r a fn y c ii
Standardy wymagań, będące podstawą przeprowadzenia egzaminu maturalnego z matematyki,
obejmują pięć obszarów: 1, wykorzystanie ¡tworzenie informacji, 2. wykorzystanie i interpretow a
nie reprezentacji, 3. modelowanie matematyczne, 4. użycie i tworzenie strategii, 5. rozumowanie
i argumentacja.
Standardy te oraz opis wymagań i treści programowe znajdują sie w inform atorze maturalnym
z matematyki, ponadto omawiają je z maturzystami nauczyciele.
Zadania maturalne sprawdzają umiejętność postuźenia się znaną definicją lub twierdzeniem,
umiejętność dobrania odpowiedniego algorytmu do podanej sytuacji problemowej, przetwarzania
informacji w inną postać służącą do rozwiązania problemu.
W rozwiązaniach zadań mających polecenia typu „uzasadnij...", „wykaż..." uczeń powinien wy
raźnie wyszczególnić założenie i tezę podanego twierdzenia, a wyciągane wnioski opisywać czytel
nie i poprawnie językowo.
Polecenia powinny być wykonywane precyzyjnie, Zadania typowe, które wydają się uczniowi
znane, często rozwiązywane są w sposób, jaki uczeń zapamięta! z lekcji. Trochę inne polecenie m o
że w konsekwencji wpfynąć na utratę punktów, na przykład jeśli w zadaniu należy podać, który wy
raz ciągu jest równy 7, to nie wystarczy w odpowiedzi zapisać
= 3", ale „trzeci wyraz ciągu jest
równy 7" lub „u,-- 7". Uczeń powinien też pamiętać o założeniach i dziedzinach funkcji i ich wyko
rzystaniu przy podaniu odpowiedzi, gdyż właśnie one często decydują o wyborze rozwiązania
(a więc o przyznanym punkcie).
Rysunki w zadaniach nie zawsze są punktowane. Punkty przyznawane sa oczywiście, gdy pole
cenie brzmi „wykonaj rysunek' lub „zilustruj rozwiązanie" itp. Rysunek może być również punkto
wany, jeśli związany jest z analizą zadania lub ją zastępuje (zdarza się to w zadaniach z planimetrii
czy stereometrii),
Przećwiczenie przed egzaminem maturalnym dużej liczby zadań zwiększa szansę na uzyskanie na
maturze większej liczby punktów. Trzeba bowiem pamiętać. Ze każde nowe zadanie może wskazać
drogę do rozwiązania następnego i następnego. W trakcie przygotowań do egzaminu maturalnego
dobrze Jest się zastanowić, czy istnieje inna metoda rozwiązania danego zadania - niekiedy bardziej
kształcące okazuje się rozwiązanie jednego zadania kilkoma metodami, niż rozwiązanie kilku zadań tą
samą. metodą.
8
W*VW. U
f O i! . P J
I. LICZBY, ICH ZBIORY
W
I. Liczby, ich z b io ry
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1.
Liczba
jest równa:
*■
j/5 - 3
(
B.
- 2 / 5 +
6
C
. i 4 ^
D - 2 / 5 - 6
( a 2)
2.
Po wykonaniu dziatań na potęgach ■—
■
otrzymamy:
a 5
A. o " 1
B
.a~6
C .a "‘
D.
a
3. Liczba log 64 jest równa:
A. (log 8)*
B. 2 log 8
C. 2 log 32
D .lo g 3 2 lo g 2
4. Liczba
\2 -
/
7
Ijest równa:
A . / 7 - 2
8 , - / 7 + 2
C . - 2 - / 7
D . / 7 + 2
5. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których pierwsza cyfra jest nieparzysta?
A. 25
B.
30
C. 45
D. 50
S.
Wskaż liczbę, której 0,3% jest równe 12:
A. 0,3 6
B. 0 .0 3 6
C. 400
D. 4000
7.
Liczba 3 ’ 0- 2 7 '"je s t równa:
A. 3 "
B.
3“
C. 324i)
D .3™
8.
Liczba — —— jest równa:
/ 7 + 3
A.
9
B .- 3 / 7 + 9
C.
ł l l ź ź
D .- 3 / 7 - 9
C
9
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
9. Dane są liczby
a
= 50,
b
= 24. Liczba
a
jest większa od liczby
b
o
p%.
Wówczas;
A, f> = 48
B p = 52
C. 108,(3)
O, p =
20 8 ,(3 )
‘« ♦ » ¿ à 10- Liczba (7 - 2
f $ )
jest równa;
A. 37
B. 61
C. 61 - 1 4 /3
D. 6 1 - 2 8 / 3
11. Liczba ( / 2 - l) jest równa;
A. 5 / 2 - 7
B. 5 / 2 + 7
C. 3 / 2 - 5
D. 3 / 2 + 5
1 2 - Wiadomo, ź e | x - 2 | « 6 . Wskaż przedział, do którego należą wszystkie liczby
x o
tej własności;
A, (-o o . - 4 ) U (
8
, + co)
B. ( - 4 , 8 )
C ( - 8 , - 4 )
D. ( - o o . - « ) U (4 ,+oo)
j w s i | 13. 2e zbioru liczb { 1 ,2 ,3 .4 ,5 } wybieramy dowolne dwie liczby. Wszystkich możliwości wyboru
pary liczb jest:
A 10
B. 20
C. 25
D. 5
1 *. Dane są dwa przedziały liczbowe
A =
( - 6 ,3 ) ,
B = ( - 2 ,
7). Przedział
B \ A
to:
A. ( - 6 , - 2 )
B. ( - 6 , - 2 )
C. (3 ,7 )
D. (3 ,7 )
f
•
.ś li** /!) 1 5 - Wśród Itczb należących do zbioru Z = | / 2 4 ,
0 , ( 7 3 ) , •ł-—- ! liczb wymiernych Jest
v « - « c a
— J
3
4
2
A. I
B, 2
C, 3
D. 4
16. Liczba lo g ;)36 jest równa:
A, 2 lo g ,6
B ^ log, 72
C lo g , 9 lo g ,4
D. lo g 320 + lo g ,1 6
W - Wyrażenie
W - 4 x 2- 9 y -
można przedstawić w postaci;
A. ( 2 r - 3 y )
B .(2 x + 3y)
C. (2 x -
3y)(2x
+ 3y)
D, ( 4 . r - 9 y ) ( 4 x + 9 y )
18. Liczba 125 -'jest równa:
“i
A. 25
C ,- 2 5
□ . ------
25
to
i. LICZBY, ICH ZBIORY
M
19. Dla liczby
x
spełniony jest warunek 3 x -
6
| =
6
- 3x. Wówczas:
A.
x
e (-o o ,2 )
B ..T e ( - o o ,- 2 )
c. x e ( - 2 ,+ o B )
d. x e ( 2 ,+ o c )
20. Wartość wyrażenia W = | x - 6 | - 3 x + 5 dla liczby
x
e (0 ,6 ) jest równa:
A. — 2
jc
— 11
B. — 2
jc
+ I I
C. 4.t + 11
D . - 4 x + l l
,/20
pfet
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1. Wiosną cenę zimowej kurtki obniżono o 20% i wówczas kosztowała ona 320 złotych. Oblicz cenę
ę
kurtki przed obniżką.
k .
2. Wyznacz liczbę,!, wiedząc, ż e lo g 2( x - I ) = — 3.
3. Wiadomo, że I o g ^ =
a.
Oblicz łog,5.
a. Dane jest wyrażenie i r = [ 2 ! - 1 Oj — |.r + 2| Zapisz wartość tego wyrażenia bez symbolu wartości
bezwzględnej dla dowolnej liczby a rs ( - 2 ,5 ) .
-
5. Dla pewnej liczby
x
prawdziwy jest wzór |2.ï — 7| = 7 —
2x.
Wyznacz maksymalny przedział, do
którego należy liczba
x.
6. Dane są przedziały A = ( - 5 ,2 ) , £¡= (0 ,6 ). Wyznacz przedziały A n
B
oraz
A\B .
7, Oblicz liczbę
x ,
jeśli wiadomo, że * =
( ~ 8 ) ! + 9 s
4
c
8. Wyznacz liczbę
x,
której 7% jest równe 28.
9. Dana jest liczba
x
= ( / 3 - 2
f Ź )
+ 4 / 6 . Wykaż, że liczba nr jest naturalna.
10. Wykaż, że log,,
b = 2
log„j
b.
11. Dane są przedziały A = (-c o ,
3),B =
(-4 ,+ o o ). Wyznacz przedziały A U B oraz
B\A.
12. Przedstaw liczbę
a =
/ l l - 4 / 7 w postaci
x + y j l ,
gdzie
x,
y są liczbami wymiernymi.
13. Dane są liczby
a = { 2
) V l6 ,
b
= 20. Jakim procentem liczby a jest liczba
b?
14. Rozwiąż równanie
J(Z x
- 3)~ = 7.
1 5 .
84 krawcowe szyją daną partię odzieży w ciągu
1
4 dni. Oblicz, w jakim czasie taką samą partię
odzieży i przy takiej samej wydajności pracy uszyją 24 krawcowe.
« MAltMtTYKA - POZIOM POOSUWOWY
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1. Wymień wszystkie liczby pierwsze, które spetniająjednocześnle nierówność!—* - 7 < 4 i nierówność
. * / - 12.v > 0
1
5 l6+ 2 5 7
2. Dane są liczby
a
=
— i
b
= (4
J 2 - 2
y 3 ) ( 4 / 2 +
2
,/3).
26 ■ 5
a) Porównaj liczby
a
1 i
b~'
b) Porównaj liczby
a b
i
b “.
3. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 1 i. Jeśli na końcu tej liczby dopiszemy 7, to otrzymamy
liczbę większą od danej o 51.1. Wyznacz tę liczbę dwucyfrową.
4. Na dziatce leśnej założono szkółkę drzewek, która zajmuje 8800 n i
2.
co stanowi 1
6%
całej dziatki.
Resztę przeznaczono na tereny rekreacyjne.
a) Ile hektarów ma tączna powierzchnia dziatki?
b)
Jaki procent terenu rekreacyjnego stanowi teren przeznaczany na szkółkę?
5. Sznurek o długości 2,8 m przecięto na trzy części, których długości są w stosunku
2 : 5 : 7 .
Oblicz
długość każdej części. Sprawdź, czy najdłuższa część wystarczy do obwiązania pudełka w kształcie
prostopadłościanu o wymiarach 2 5 ,1 8 ,3 0 cm, jeśli mamy je przewiązać jednokrotnie wzdłuż ścian
o najdłuższych wymiarach.
6
. Dane są przedziały
A
= ( - o o ,/n z-
6
),
B
= (5
m,
10).
a) Dla
m
= - 2 wyznacz
A
U 5,
A
n
B, A \B .
b) wyznacz wszystkie wartości parametru
m,
przy których część wspólna tych przedziałów Jest
zbiorem pustym.
i.
liczby
,
ich
zbiory
«
7.
W partii 1000 płaszczy
2%
stanewia. płaszcze z usterkami. Oblicz, Ile co najmniej płaszczy z wadami
należy usunąć, aby w pozostałych było mniej niż 1% płaszczy z wadami
8
. Wykonaj działania i zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniu łV = (
2 x - y f - { 2 x + y ) ' -
- ( 4 * - 3 y } ( 4 .ł' + 3.v)+
\ 2 x !y + y 1 + 2 0 x 1 + 4xy,
a następnie oblicz wartość tego wyrażenia dla
* = ./Ś,
y - - 2
/5 .
k
5 17—5 |fi
9 .-Rozwiąż równanie 25’ * = - ^ —
sprawdź, czy liczba * należy do przedziału określonego
12 5 “ ■ 2 5 “ >
przez nierówność | 2 * - 3| > 7.
10. Dwóch studentów pojechało na wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia pokonali I5 % całej
trasy, drugiego dnia przejechali i pozostałej drogi, Trzeciego I czwartego dnia przejechali po —
catej trasy, a piątego dnia przejechali ostatnie 34 km. Oblicz, ile kilometrów studenci przejechali
w ciągu pięciu dni.
*s MATEMATYKA • P02I0M PODSTAWOWY
it.
ftm kcje f ic ii wfasn»$cS
Zadania zamknięte
W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
f—.
1
+
1
dla : i E ( - o o , -
2
)
ę
1. Dana jest funkcja / określona wzorem
f i x ) =
+ 3 * + l dla x e ( - 2 , 1)
'— r a n o —
[ - ł t - 4 dla x e { l , + c o )
Miejscem zerowym funkcji / jest liczba:
A. I
B .- 2
C - 2
D. i
3
3
2 Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji / o 5 jednostek w pra
ln a
— '
wo, to:
A. y = /( .r + 5)
B.
y =f(x)
+ 5
C. v
- f i x -
5 )
D.
y = f ( x )
- 5
s.
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji
/ o
3 jednostki w dóf,
n—
t O:
A.
y =f(x
+ 3)
B.
y - f i x )
+ 3
C.
y - f ( x
- 3 )
D .v = / { * ) - 3
5x — 5
—
j
x " + 4
A.
/ f \ { - 2 , 2 }
B. /?\ { 2 }
C R
D.
R \ { - 4 }
(
4- Dziedziną funkcji / określonej wzorem / U ) =
jest zbiór:
f "
S. Dana Jest funkcja / określona wzorem
f i x )
= -
2x
+ 4. Przedział, w którym wartości te j funkcji
' —
— ? są ujemne, to:
A. ( 2 , +
00
)
B. { 2 , +
00
)
C. < -o o ,2 )
D. (—c o ,- 2 )
, ^ 6. Funkcja
fix )
= (3
m
+ 9) x +
Sm -
I jest malejąca dla
A.
III
£ (—
00
, —3)
B, m £ (3, +
00
)
C. OT E (—txj,3 )
D. m e ( 3 ,+ o o )
6 x
7. Dziedziną funkcji / ( x ) ~ —
— jest:
- J
|2ar + 7|
'g
Z 21
n
p
n PN
L I
A
R \ L \
B R M - 2 ' 2 f
C R
D' « \ p 2
14
w#..*
fii-i oią. o!
I I . F U N K C J E I ICH W Ł A S N O Ś C I H
8
. Dana jest funkcja
f
określona wzorem
f ( x ) =
A. /(O ) = 1
B . / ( 5 ) = l
( a - 3 )
dla
x
G (—oc, 0)
x - 2
d l a x e (0 ,5)
.Wówczas:
1 d ia ^ e ( 5 ,+ o o )
C ./( 0 ) = 9
D. / ( 5 )
-
3
9. Dana jest funkcja / ( * ) = { m 2+ 4).ie2 + m x + 3. Wówczas:
A. dla m = - 2 funkcja osiąga swoją wartość największą
B. dla
m
= O funkcja ma dwa miejsca zerowe
C. dla
m = - 2
funkcja jest liniowa
D. dia
m =
O funkcja nie ma miejsc zerowych
C ~
-— n
o
z
10. Wykresem funkcji
y = —x - 5
jest prosta prostopadła do wykresu funkcji:
2
l
y = 3 * + 5
B.
5
C.y = j x + 5
11. Dana jest funkcja / określona wzorem
f ( x ) = - x 2- 4 x .
Punkt
P = ( - 2 , b )
należy do wykresu
funkcji / . Wynika stąd, źe:
A.
b
4
B b = - ] 2
C. b = 4
D .h = l6
12.
Dana jest funkcja
f ( x ) = x ~ - 3 x .
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową /
* * * * *
względem osi
0X,
to:
ę — — ' ' ’
k y = - x z - 2 x
B. y = - x 2 + 3x
C > ’ =x"’ - 3 *
D.
y = x
+ 3 x
1S. Dana jest funkcja
f i x ) = J x - 2.
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową
r
względem osi
OY,
to:
v'— « b b ~ 2
3.
y - f - x +2
C.
y - - f x ~ 2
D . y = - f x + 2
14. Rozwiązaniem równania
= 4 jest:
- x + 2
A.
x= —
3
B . jr = 3
C. x = — I
D.
jc
= l
15. Dana jest funkcja / określona wzorem f ( x ) = - 5x + 4. Funkcja, której wykres jest równoległy
do wykresu danej funkcji, to:
A ./ ( * ) = - 5 * - 4
B . f ( x ) = 5x + 4
C ./( x ) = t * - 4
D. f(x ) = - —x + 4
m at?1
15
m
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
16.
Dana jest funkcja / określona wzorem
f ( x )
=
x 2
+ 4.r + 3. Wówczas:
A. funkcja osiąga swoją wartość największą
B. funkcja nie ma miejsc zerowych
C, osią symetrii wykresu jest prosta
x= 2
D, funkcja osiąga swoją wartość najmniejszą
17. Zbiorem wartości funkcji
f ( x)
A.
R \ {
5}
x - 5
jest:
| * - 5 |
B. { 5 }
C, {1,
1}
D.
18. Do wykresu funkcji określonej wzorem
J'{x) =
4 J należy punkt A - I
a, —
J. Wynika stąd, że:
A.
a = - 2
B.
a
= 2
C
a
= -
D.a = ~
19. Do wykresu fu n k c ji,/' określonej wzorem
f (x) = ax + b
należą punkty A - (0 ,3),
B -
( 3, 3).
Wynika stąd, że:
a
= 2
b - i
a ~ 2
b = - 3
C.
a = ~
2
b
= - 3
D.
a ~ - 2
i> = 3
20. Zbiorem wartości funkcji
f ( x)
= 2* jest:
A. R
B. (O.+oo)
C. <0,+oo)
o. R \ { 0 }
:U,. t:— : ' ' f j
/
2 0
pw
*
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1.
Wyznacz wszystkie wartości
x,
dla których funkcja
f ( x )
= 3ar + 4x + I osiąga wartości ujemne
2. Sporządź wykres funkcji
f i x )
=
- a : + 4 d la jc e ( - o o ,2 )
x - 2
d l a x e (2,+oo)
3. Wyznacz dziedzinę funkcji:
f ( x) = j l ~ ^ x '
I I . F U N K C J E i IC H W Ł A S N O Ś C I «
4. Dana jest funkcja
f ( x ) = { 3 m -
1 ) .x — 7 Wyznacz parametr
m,
tak aby miejscem zerowym funk
cji byta liczba
x
= -3 .
5. Zapisz wzór funkcji
f ( x )
= |Sx - 10| + 3 bez symbolu wartości bezwzględnej. Warunki dla
x
za
pisz w postaci przedziałów.
( . o , ! " 7
6. Wyznacz dziedzinę funkcji
f{ x) -
x - l x
7
.2
naszkicowanego wykresu funkcji odczytaj:
a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca,
b) maksymalne przedziały, w których funkcja przyjmuje
wartości nieujemne.
8. Wyznacz dziedzinę funkcji
f ( x )
=
J x 2
-
6 x
+ 9 ,
9. Wyznacz miejsca zerowe funkcji
f ( x) = x l -
2 * 2- 3x + 6,
13. Narysuj wykres funkcji
f ( x
) = | ~ j - 4. Podaj jej miejsce zerowe.
14. Wyznacz wzór funkcji wykładniczej, której wykres przechodzi przez punkt
10. Funkcja / przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej
n
należącej do zbioru { 3 ,4 ,5 .6 .7 ,8 } naj
większy wspólny dzielnik liczb
n
i 10,
a) Sporządź tabelkę wartości tej funkcji / .
b) Podaj zbiór wartości funkcji
f .
11. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji
f ( x )
= 4 * - 5
i przechodzi przez punkt
A -
(- 2 ,1 ) .
12. Wyznacz współczynnik
c
funkcji kwadratowej
y - x 2+6 x +c ' \
jeśli wiadomo, że ma ona do
kładnie jedno miejsce zerowe.
15. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres je st prostopadły do wykresu funkcji
f(x) = - 2 x + 4 i
przechodzi przez punkt
A
= ( 6 , - 2 ) .
m
,
1 7
Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi
1. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
f i x )
=
2.x1- Sx
+ 5 w przedziale ( - 1 ,3 ) .
2. Wzór funkcji / ( . r ) = ( 2 je - 3 ) ' + ( . r - 4 ) J- 4 x 2+ 1 0 * - 16:
a) doprowadź do najprostszej postaci, wykonując dziatanla i redukując wyrazy podobne,
b) narysuj wykres funkcji
f
l podaj jej zbiór wartości,
c) wyznacz maksymalny przedział, w którym wartości funkcji są ujemne,
d> wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja Jest malejąca,
e) narysuj wykres funkcji
g(x)
3. Marcin zatrudni! się w czasie wakacji w sklepie z częściami do rowerów na 14 dni roboczych.
Otrzymywał wynagrodzenie 50 z ł dziennie plus 6 złotych
zs
każdą sprzedaną częśó rowerową kosz
tującą powyżej 4 0 zł.
a) Podaj wzór funkcji opisującej dochód Marcina
b) Oblicz, ile Marcin zarobił, jeśli sprzedał 25 części rowerowych kosztujących powyżej 40 złotych,
cl Oblicz, ile Marcin sprzedałby części, gdyby zarobił 1240 złotych.
4. Dana jest funkcja kwadratowa
f ( x ) - a x 1+ bx + c.
Do wykresu tej funkcji należy punkt
A
= (3 ,1 4 ), a je j miejscami zerowymi są liczby 2 i ( - 4 ) . Wyznacz współczynniki
a, h, c.
5. Dana je st funkcja kwadratowa
f ( x ) = a x 2+ b x + c .
Do wykresu tej funkcji należy punkt
A
= ( - 1 , - 13), a jej wartość największa Jest równa 2 dla
x = 4.
Wyznacz współczynniki
a, b, c.
1
6. Wyznacz dziedzinę funkcji / ( * ) =
J x -
2 * - 3 — — —
/ 5 - M
7. Dana Jest funkcja
W ( x ) - a ( x 3+ 3 x 2- l x -
21).
a) Wyznacz miejsca zerowe te j funkcji.
b) Wyznacz współczynnika, tak aby do wykresu należał punkt /I = {1. - 48).
c) Wykaż, żejeśli
G(x) - a x ’ -
4
a x ~
20
a,
to dla każdego
a +
0 równanie
W(x)
-
G(x)
= 0 ma dwa
rozwiązania
8. Dana Jest funkcja / ( * ) = * - ' - 3 x 2 + 5. Funkcja g je ś t określona wzorem
g i x ) = f ( x +
l ) - / ( x ) + 8,
Wykaż, że funkcja
g
nie ma miejsc zerowych.
I I F U N K C J E I ICH W t A S N O Ś t l H
9. Dana jest funkcja
f ( x )
= 2 \
a)
Narysuj wykres funkcji
h
(.t) =
f ( x ) -
2.
t>) Narysuj wykres funkcji
g i x ) = - f i x ) .
c)
Wyznacz wszystkie wartości je, dla których
f i x 1)
<s/(jc + 2).
f - 2x - 8 d l a j r e ( - 6 , - 2 )
10. Dana jest funkcja:
f ( x ) =
i
- x 2
d l a x e ( - 2 , 2 )
[ 2 x - S
d l a * e ( 2 , 6 )
a) Narysuj wykres funkcji.
b) Podaj zbiór wartości funkcji.
ci Podąj najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale ( - 2 , 1).
www.ap-er&n.pi
1 9
m
matemjtvka - p o n o * p o d s t a w o w y
iii. Wielomiany i funkcje wymierne
Zadania zamknięte
W
zadaniach 1-20 wybier
z
i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
ę ~
1.
Funkcja liniowa / przyjmuje wartości dodatnie jedynie w przedziale (2, +
00
>. Wzór tej funkcji, to:
A. y =
2x
+ l
B. v =
i x
+ 6
G. y =
x
+ 2
D, V = 3x
-
6
1 Dana Jest rurłkęja kwadratowa /(* ■ )= x 2+ 2 x - 4. Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A. {- 5 ,+ c o )
B, ( - l, + o o )
C. (—« ¡ ,—1)
D. ( - o o ,- 5 )
f ~ T
5- Wielomian W = x ~ 7 * - - 4 x + 2 8 p o rozłożeniu na czynniki ma postać:
A.
(x
- 7 )(x - 2 ) ( x - 2)
B, ( x - 7 ) ( x — 2 ) (x + 2}
C . ( x - 7 ) ( x - 4 ) ’
D. ( x - 7 ) ( x + 2)"
. x 2- 16
fifwssA 4. Rozwiązaniem równania;
x - 4
A.,
t
= —4 lu d x = 4
B. tylko,* = 4
= O jest:
C. ty lk o * = - 4
D.
x -
16 lu b * = -1 6
fśg sl) 5. Para liczb (2, - 2 ) jest rozwiązaniem układu:
| - 3 x - 5 y = 16
i - 3 x + 5v = - 16
B-
4
C.
3 x - 5y = 16
D. i
' | x + y = 4
[x + y = 4
II
1
H
i
[3 a c + 5 y = 16
1 * - y = 4
6. Dana jest funkcja kwadratowa / ( * ) = - * + 6 * + c\ Do wykresu tej funkcji należy punkt
A =
( - 2 , - 9). Parametr c jest równy;
A .- 2 5
B .- 1 7
C. 7
D. 17
f
■— ■
»
1
1
Bask-—
7. W
20
r funkcji liniowej, której wykresem jest prosta nachylona do osi
OX
pod kątem 60", to:
A.
y ~ x
+ ,/ 3
B. y = / 3 x + 5
D, ,y = x +
v/3
(
T
3 f 5 3 ^ 8
.
Liczby -3 , 3, - I , I są pierwiastkami wielomianu:
A. W (*) = ( *
j
- 3 ) ( * 2 + 3 ){
x
- ! ) ( * + I)
B. W<x) = ( x 2- 3 ) ( * 2+ 3 ) ( x 2- l ) ( * 2 + l)
C,
W(x)
= ( x ! - 9 ) ( x 2- I)
D. W (x) = ( x 2 + 9 ) ( * 2- I)
20
a w w .
O j >' ; f o
i
I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E
m
9.
Rozwiązaniem równania -
* 2
- 4
- O są liczby:
( x - 2 ) ( x + 3)
A.
x
= - 2 lub * = 2
B.
x ~ - 2
lub * = 2 lub
x
= - 3
C.
ty lk o * = - 2
D. ty lk o x = 2
10.
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
W (x)= x' + m x2- 3 x + 2 .
Parametr
m
jest równy:
A. 2
B . - 2
C .l
D .- 1
(
:
-A
k— m w t — Z
11. Wielomian W = x 4~ 8 x 2+ 16 po rozłożeniu na czynniki ma postać:
A ( x 2- 4 ) { x 2+ 4)
B. (
x
- 2 ) 2( * + 2 ) 2
C .(
x
2 + 4 )3
D .(
x
+ 2 ) 4
12. Równanie
x~
+ 4 = 0:
A. nie ma pierwiastków
C. ma jeden pierwiastek x „ = - 2
B. ma pierwiastki * , = 2, x 2= - 2
D. ma jeden pierwiastek
x„= 2
c
15. Pierwiastkami równania
x ~ - x
są;
A. tylko
x
= I
B. tylko x=<)
C. x, = 0, * , = 1
D. * , = - ! , x , = 0
14. Dane są wielomiany W'(x) = x 4- 5 x , + 3, G (x ) = 2 x 4 + 4 x ‘ + 2. Wielomian
W ( x ) - G ( x )
ma
wzór:
B . - x '‘ - 9 x 3+ l
C. - x 4- 9 x3+ 5
D . - x 4- 9 x 3+ 5
15. Dany iest wielomian
W{x) = 2 x i - x ~ - l .
Wartość wielomianu dla * = - 2 jest równa:
A .- 2 7
B. - 1 9
C. 13
D. 5
16. Równanie x 3 + 1 = 0:
A. ma tylko jeden pierwiastek,
x ~
1
C. ma dwa pierwiastki,
x.=
1, x , = - L
B. ma tylko jeden pierwiastek, x = - l
D. nie ma pierwiastków
x 2 —
2 1
17. Rozwiązaniami równania---- —- = 0:
(Je- D*
A. są liczby
x
= - 5 lub
x =
5
C, jest tylko x = - l
B. są liczby
x = - S
lub
x
= 5 lub
x
= l
D. jest tylko x = I
e
18.
Dana jest funkcja kwadratowa / ( x ) = x 2- 8 x - 5 . Funkcja jest rosnąca w przedziale
A, (4 ,+co)
B .(-4 ,+ o o )
' C. (-00,2 1)
□. (2 1 ,+
00
)
SS M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
19.
Dane jest wyrażenie wymierne
W (x) -
—
Wartość tego wyrażenia dla
= y'7 je s t rOwna:
x
- 3
20. Dany jest wielomian
W(x) = x 3 - l x 2 + 5x
- 9, Wartość tego wielomianu dla
x = -
/ 2 jest równa:
A .—7 / 2 - 1 3
6. - 3 / 2 - 5
C . - 7 / 2 - 5
D .- 3 / 2 - 1 3
Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi
1. Roztóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian
W(x) = x 6-
3 x 4+
3 x l -
1
2. Roztóż na czynniki stopnia możliwie najniższego wielomian
W ( x ) = x 3- 3 x 2—2x + 6.
S. Rozwiąż nierówność
- 6 x 1
+
5x
- l > O,
4.
Rozwiąż nierówność 1 6at2 — 8ar + 1 > 0.
—
3
5.
Rozwiąż rów nanie---------- 1 = 0 .
x
■+*1
6
.
Dany je st wielomian
W
(a )
=
5 x , + 4 x i +
3 a /+
2 x 1+ax.
o którym wiadomo, że
W
(1)
-
W
(-1).
Wykaż,
ż e a = -
8
.
7. Dany jest wielomian
W ( x ) = x i - 6 x i + a x i +Ax,
o którym wiadomo, że i y ( - 2 ) = 8. Wyznacz
liczbę a.
8
. Suma dwóch liczb jest równa 35. Różnica 60 % większej liczby 1120% mniejszej liczby Jest rów
na 3. Wyznacz te liczby.
9. Dane Jest wyrażenie W (jc) =
- o którym wiadomo, że Wd2 ) = W (—3). Wyznacz liczbę
a.
I I I . W I E L O M I A N Y I F U N K C J E W Y M I E R N E
X
10. Dana jest funkcja
f ( x ) =
2 x 3- 8x + l. Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykre
sem funkcji / .
11. Wyznacz wzór wielomianu pierwszego stopnia, jeśli wiadomo, że do jego wykresu należą punk
ty .4 = ( 0 ,- 5 ) , 5 = (- 3 ,4 ) .
12. Dany jest wielomian
f ( x ) = 2 x %+ x - 3 .
Przedstawień wielomian w postaci iloczynowej.
13. Napisz wzór wielomianu postaci
W(x) = x i + axi + b x i + c x ± d .
o którym wiadomo, że jego
pierwiastkami są liczby:
- J l ,
-1,1, / 2 .
14. Rozwiąż równanie /(5 -
3x)~
= 12.
15 .5 maszynistek pisze pewną, liczbę stron maszynopisu w ciągu 6 godzin. Oblicz, w jakim czasie
taką samą partię stron i przy takiej samej wydajności pracy napisze 12 maszynistek.
3 0 pkt
’
?
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
2 x - 3
1
. Rozwiąż równanie
I = -
x — 2
e
2. Z miejscowości
A
do miejscowości
B
odległej cc
A
o 160 kin wyruszyły samochód osobowy i ro
werzysta, Prędkość rowerzysty jest o 50 ~
mniejsza od prędkości samochodu. Czas przejazdu sa
mochodu jest o 3 godziny I 20 m inut krótszy od czasu przejazdu rowerzysty, Oblicz średnie pręd
kości samochodu i rowerzysty.
3. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 19. Różnica cyfr setek i jedności jest równa l. Jeśli cy
fry zapiszemy w odwrotnej kolejności, to otrzymamy liczbę mniejszą od danej o 99, Wyznacz tę
liczbę trzycyfrową.
4. Stojak na plakat ma kształt trójkąta równoramiennego o podstawie 2,4 m i wysokości 2 m . Na
klejony na trójkąt plakat ma mieć kształt prostokąta (wpisanego w trójkąt). Jakie wymiary musi
mieć ten prostokąt, aby powierzchnia plakatu zajmowata jak największą część powierzchni tró j
kąta?
23
* M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
5.
Dany jest wielomian W (,x )= x 3 + a * 2- 9 x + 6 spełniający warunki W ( - I ) = - 1 6 i
W
(4 ) = 49.
a) Wyznacz parametry
a, b
b) Rozłóż wielomian na czynniki I wyznacz jego miejsca zerowe.
x
3 — 2x ~ — 3x
f
" j j y g f r
6
. Dane jest wyrażenie W (x ) =
x 6- l& ^ + S b r
a)
Wyznacz dziedzinę tego wyrażenia,
b! Przekształć to wyrażenie do postaci ułamka nieskracalnego.
7. Liczby 4 i ( - 5 ) są pierwiastkami wielomianu W ( x ) = x 3 + a x 2 + i> x -8 0 .
a) Wyznacz wartości parametrów
a, b.
b) Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu
8
. Dany jest wielomian W (jf) = x 3+ Z v + 5 . Wykaż, że wielomian
G ( x ) ~ W ( x +
1
) - W ( x )
nie ma
miejsc zerowych
9.
Dane jest wyrażenie
W (x) =
~ —
Oblicz wartość tego wyrażenia dla x = / 2 + 3 . Wynik
X'
przedstaw w postaci
a J l
+
b,
gdzie
a, b
są liczbami wymiernymi,
( ~
10- w Dawnej szkole maturzyści mieli zapłacić za salę i muzykę na bal studniOwkowy w sumie
v
'
16500 złotych. Gdyby 10 osób nie poszło na studniówkę, każdy z pozostałych musiałby zapłacić
o 15 złotych więcej. Oblicz, ilu maturzystów jest w tej szkole.
€
754
pk t
24
f w w .
cjperon.pl
IV. FUNKCJE
T R Y G O N O M E T R Y C Z N E
W
IV. Funkcje try g o n o m e try c z n e
Zadania zamknięte
W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1. W trójkącie prostokątnym
ABC
kąt przy wierzchołku
A
ma miarę 30°, a najkrótszy bok ma
(
długość 4 cm. Długość przeciwprostokątnej Jest równa:
-— c a a
» — '
A.4 / 3
B.
C . M
D, 8
3
3
2. W kwadracie
ABCD
o boku
a
połączono wierzchołek A z punktem
E
należącym do boku
BC
i dzielącym ten bok w stosunku 1:2 licząc od wierzchołka
B.
Tangens kąta
AEB
jest równy:
2
S. Kąt a jest ostry i s i n a = - Wówczas cos a jest równy:
A .-
B . -
C .
4
I
D . / f
5
2
5
y 5
4. Wiadomo, że a jest większym kątem ostrym w trójkącie prostokątnym. Wtedy na pewno:
A. sin Or < tg
ot
B. s in a > t g a
C. s in a c c o s a
D. cosQł> -—
tg a
5. Sinus kąta ostrego
a
jest dwa razy większy od jego cosinusa. Wówczas;
A . s m c ^ 2^ -
B .
cosot
= - ^ -
C . s in a = -
D .c o s a = -
6. Cosinus kąta ostrego er jest trzy razy większy od jego sinusa. Wówczas:
A .c o s a = -
B, tg er = 3
C. t g a = -
D .s m a = -
7. Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego
a
prawdziwy jest warunek sinorcoscr=
Zatem
wyrażenie H/ = ( s i n a - c o s a ) 2 ma wartość:
A.W=2
B.
W=
1
t W = -
D.
W=
0
2
w w w ,opsran.pl
25
a MA1EM1YKA - POZIOM PODSTAWOWY
B.
Wiadomo, że dla pewnego kąta ostrego a prawdziwy jest warunek s in a c o s a = ^ . Wybierz
wartość, którą przyjmie wyrażenie
W
= ( t g a + —
]
l
tg
a !
9.
Przekątna rombu tworzy z jego bokiem
a
kąt 30°. Wiadomo, że e =
6
cm. Dłuższa przekątna
rombu ma długość:
10. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i
6
, zaś ramie ma długość 4. Miara kąta
ostrego trapezu jest równa:
A. 60°
B. 30°
C. a > 6 0 °
D. a < 3 0 °
12
11. Jeśli a jest kątem ostrym i s jn a = ~ , to:
1
5
12
A. cosot = —
B. c o s a = —
C. t g a = —
D. t g a = 1 2
13
13
5
3
12. Jeśli
a
jest kątem ostrym i tg a =
to:
4
3
4
4
3
A . s in a < —
B .c o s a c —
C . c o s a = -
D . s in c r = -
5
5
5
7
13. Wiadomo, że t g
3
cr= 3 i 0° < a <90°. Wynika stąd, że;
A, a = 6 0 ”
B.
ce=
30°
C. a > 6 0 °
D. a < 30°
14. Wiadomo, że s'uii a = - i 0°
<a<
90°, Wynika stąd, że:
A ,a = 60°
B. cr= 30°
C,
« = 45°
D .ce<30°
15. Dany je st trójkąt równoramienny o wysokości 24, podstawie 20 i ramieniu 26. Kąt a Jest kątem
przy podstawie trójkąta. Wynika stąd, że.:
5
5
12
.
12
A. smQł= —
B. c o s a = —
C. t g a = —
D. s in a = —
16.
Dany jest kąt a = 60°, Dla tego kąta prawdą jest, że:
A.
lo g , c o s a = - l
B, lo g 2s m a = - l
C. l o g , t g a = - l
D .io g
3
t g a = 2
26
I V . F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N I B
17. Dany jest kąt
a
= 60°. Dla tego kąta prawdą jest, że.
A. tg
0
= 3
3 / 3
C. tg sa = 3 / 3
D. cos' t t = -
18.
Dany jest kąt a = 30°. Dia tego kąta prawdą jest, że:
A . ( c o s o - l) 2= i
B. ( s i n a - 1 ) ! = ^
C. ( c o s a - 1 ) 2= ^
D. ( s i n a - l ) 3= i
19, W kwadracie połączono wierzchołek
A ze
środkiem 5 boku
BC.
Kąt
SAB
ma miarę
a.
Wynika
stąd, że:
A. a = 30°
B. c o s a = -
c . t g « = -
D. a = 45°
3
3
2 0 .0 kącie ostrym
a
wiadomo, że c o s a = - i t g a = - Zatem:
5
4
A. s in a = —
B. s in a
.1 6
15
C. takie dane są niemożliwe
D. s in a =
20
■
— <ESEE>-—
c
c
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1. Wykaż, że dla kąta ostrego
x
prawdziwa jest tożsamość c o s * - c o s ; ts in 2jc = cos
3
x.
2. Wyznacz kąt ostry
a,
wiedząc, że log
2
sin
a
= - l.
5. Wykaż, że dla kąta o stre g o a prawdziwa jest równość cos
3
a s in a + s in ’ a = s in a .
4. Dane jest wyrażenie W =
mniejsza od | —^
sin 60° - -
/ 5
. Wykaż, że wartość tego wyrażenia jest liczbą
5.
Dla pewnego kąta
a
prawdziwy jest wzór (tg
a
- / 3 ) ( t g
2
a
- 1) = 0. Wyznacz a, jeśli 0° < a < 90°.
w w w . o p & r O H . p i
27
0 M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
6
. Przedstaw liczbę
a
= (s in 60" - 2) ” w postaci
a + b j .
3, gdzie
a, b
są liczbami wymiernymi.
7. Wiadomo, że t g a = 3 i 0 ° < a < 9 0 ”. Wyznacz sin a , cosa.
8
. W trójkącie prostokątnym długość krótszej przyprostokątnej jest równa 10, a sinus kąta leżącego:
naprzeciwko tej przyprostokątnej Jest równy
Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta.
9. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma dtugoSć 12, a jeden z kątów ostrych 30',
Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta
10. Wiadomo, że c o s a =
a
i 0" <
a <
9 0”. Wyznacz sin a , ig a.
11.
Wykaż, że tg ’ a + l = — J— .
cos
a
12. Wyznacz kat ostry
a,
wiedząc, że lo g . c o s a = -1 i 0° < a < 90”.
|
13. Oblicz wartość wyrażenia
W=
(cos 30° + tg 30") 3.
I
l
14. Wykaż, że nie istnieje kąt ostry
a
taki, że sin
a = -
i tg or = —.
15. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość
6
l
8
. Wyznacz sinus I tangens
najmniejszego kąta.
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
2
,
1. Zbuduj k ą ta , taki, żeO" < a < 9 0 " , s in a = - Oblicz wartość wyrażenia ( c o s a +
t g a y
2.
Wyznacz wszystkie wartości parametru
m.
dla których równanie
s\nx = m : - 4 m
+ 4 ,0 ° < * < 90'
ma rozwiązanie.
3. a! Wyznacz wszystkie wartości parametru
m,
dla których istnieje kąt ostry
x,
taki, że
t g x = - m 2-
5m +
6
, 0 “ < * < 9 0 "
bl Wyznacz liczbę
m,
jeśli wiadomo, że kąt ostry
x
taki, że
t g x = - m ‘ - 5 m
+
6
, je st równy 45”.
28
wwv/.operoo.p.[:|
IV , F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N E l i
4.
Dane jest kolo o promieniu f2. Poprowadzono cięciwę odległą od środka kola o 6 /3 . Wyznacz
rrilarę kąta środkowego opartego na tej cięciwie.
1
-
1
t© y
5
5.
Sprawdź tożsamość
= 2 sin
x
- 1 dla kąta
x,
takiego, że 0" <
x
< 90°.
1
+ -
\ ■
tg
x
1
6
.
Dla pewnego kata 0 ° < a < 9 0 " prawdziwy jest wzór t g a +
= 3cos
a.
Oblicz wartości
tg a
funkcji trygonometrycznych kąta
a.
_ , . . .
. . . .
sin 30 - 2 c o s 4 5 . ^
_
7.
a) Sprawdź, czy liczba
x =
-:— — — jest liczbą wymierną.
sin 45 tg 60
b)
Zapisz liczbę
x
w postaci utamka o wymiernym mianowniku.
c
8
.
W rombie o boku
a
= 26 długość dłuższej przekątnej jest równa 40. Wyznacz sinus kąta ostrego
tego rombu.
9.
Dany jest trapez równoramienny o podstawach długości
8
i 12 kącie ostrym 60°. Oblicz wartości
funkcji trygonometrycznych kąta między przekątną i podstawą trapezu.
10, Stosunek długości boków prostokąta
AD
:
AB
jest równy 3 ; 5, Punkt
E
należy do boku
BC
¡ I M
- i
\CE\
2
1
7
^ } = i . Oblicz cos
ZE AB.
/48r
29
o
H M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
v. C iągi
Zadania zamknięte
W zadaniach 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź,
1. Dany jest ciąg ( a jo w y r a z ie ogólnym
a , = n 2-
4, Wówczas
a, =
O, gdy:
A. rc = O
B.
n
= 2 lub « = - 2
C, tylko « = 2
D. « = - 4
2. Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym
a„~ 5n
+ 3. Różnica te g o ciągu jest równa:
A. r = 3
B, r = - 3
C . r = 5
D. r = - 5
S.
Ciąg geometryczny, w którym iloraz
q
= ^ l o, # O jest:
A. na pewno malejący
B. na pewno rosnący
C. na pewno nie monotoniczny
D. na pewno monotoniczny, ale nie wiadomo, czy rosnący, czy malejący
4. Liczby
(2,x,
8
) tworzą ciąg geometryczny, który nie je st monotoniczny. Wówczas:
A,
x = 4
B . x = - 4
C. zt = 4 lub a: = - 4
D, * = 5
5. Liczby naturalne
n,
których reszta z dzielenia przez 4 je st równa 3:
A. tworzą ciąg arytmetyczny
B. tworzą ciąg geometryczny
C. tworzą ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geom etryczny
j
D. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym
a„
= 3n + 4
i
i
6
. Dany jest ciąg arytmetyczny (
a
„ ) o pierwszym wyrazie a, = 3 i różnicy
r
=
m 2
+ 4. Dla Jakich
m
dągj
( a ,) jest rosnący?
A
m e ( - 2 , 2 )
B. m £ ( - » , - 2 ) U ( 2 , +oo)
C. nie ma takich
m
D m e J !
7. Dany Jest ciąg
(a„)
o wyrazie ogólnym « „ = 5 " *
A. Jest to ciąg arytmetyczny
B. jest to ciąg geometryczny
C. je st to ciąg, który nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny
I 3 0
v . c i ą g i
m
8
.
Dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 25, a Jedenasty wyraz jest równy 30. Pierwszy
wyraz tego ciągu jest równy:
7 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wskaż liczbę
10. Liczby
x
+ 3, 5, 7 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Wskaż liczbę
x
A. * = —
C .x = -
D . x = -----
11.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
a
„ = — — . Wyraz
a„ .
, ma wzór:
2n
+ l
, t , =
2/1
+ 3
2n + 2
a ', +
2n + 3
D‘
2 n + l
+
1
12, Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym
a„=
3n - 5. Różnica te g o ciągu je st równa:
A ,r = 3
B,
r - 5
C . r = - 3
D. r = —5
1S.
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym a „ = - 5 • 2". iloraz tego ciągu jest równy:
A .? = 5
B . q = - 5
C . q - 2
D .q = - 2
14.
Dany je s t ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie ( - 7 ) i różnicy ( - 2 ) . Drugi wyraz tego ciągu
jest równy:
15. Dany jest ciąg geometryczny o drugim wyrazie 16 i ilorazie ( - 2 ) , Pierwszy wyraz tego ciągu
Jest równy.-
16. Liczby 5,9, 2 x - 1 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa:
17. Liczby
3x + 2,
7, - 2 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczba x jest równa:
A.x = —
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
18. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
a „ = - n +
3. Liczba dodatnich wyrazów teg o ciągu Jej
równa:
A. 3
B. 2
C.
wszystkie
od czwartego włącznie
D. wszystkie od trzeciego włącznie
19. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
a„ = \ 2 n -
L0|, Wyrazami dodatnim i tego ciągu, są:
A. a ,
B. wszystkie oprócz piątego
C.
wszystkie
od piątego włącznie
D. wszystkie
4
2
20. Dane są dwa początkowe wyrazy ciągu a rytm e tyczn e g o « ^ —
■, « ,= —
Różnica te®
v'
3
+ 2
*
J3 + 2
ciągu jest równa:
A. 2 / 3 - 4
B. 2 / 3 + 4
C .- 2 / 3 - 4
D .- 2 / 3 + 4
c
720
plćt
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1.
W ciągu arytmetycznym a
2
= - l , « 5=
8
. Wyznacz pierwszy wyraz I różnicę tego ciągu.
2.
W ciągu geometrycznym « ,=
8
, « ,=
Wyznacz pierwszy wyraz
i
Iloraz teg o ciągu.
3. Wyznacz sumę dwudziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, mając dane «,= li
a 2 -
6
,
4. Wyznacz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, mając dane «,=;
a
2
= l, 5 .
5. Dany Jest ciąg o wyrazie ogólnym a „ = ( n - 4 ) ( n - 7 ) . Sprawdź, które wyrazy tego ciągui
ujemne.
6
.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
a
= - 2ń +
8
. Wyznacz wszystkie dodatnie wyrazy tego ciąg
7.
Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym
a „ = - - n -
1 jest arytmetyczny.
32
V. ( 1 / j G I «
3"
8
.
Wykaż, Ze ciąg o wyrazie ogólnym « ^ y jest geometryczny.
9. Dany jest ciąg ( y
x, ~ +
2xJ, Wykaż, że nie istnieje taka liczba
x.
aby ten ciąg byt arytmetyczny,
10. Ciąg | - 4 . jr , j r + y j jest geometryczny. Wyznacz liczbę
x,
11. W ciągu arytmetycznym « ,= - 4 ,
r -
3, zaś suma
n
początkowych wyrazów jest równa 732.
Wyznacz
n.
12. W ciągu geometrycznym
q
= 2, suma
8
początkowych wyrazów jest równa 765. Wyznacz «,.
13. Dany Jest ciąg o wyrazie ogólnym
a = 2n + \
sprawdź, który wyraz ciągu jest równy l.
/ -
3n - 5
L " '
14.
tycznym
.. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym u , = ~ . Wykaż, że
l a , . a
, - - , « , ) jest ciągiem arytme-
n
. + l
\
'
2
I
żnym.
15, Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym « „ = ——--. Wykaż, że ( a
2
, a , , ^ — ) je st ciągiem geome-
n + 1
\ Ł
64 /
trycznym.
c
/30
m
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 15. Jeśli do pierwszej liczby
dodamy 5, do drugiej 3, a do trzeciej 19, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.
2. Wyznacz takie liczby
x. y.
aby ciąg (27,uc,.y) był geometryczny, a ciąg ( j t . y , - 3 ) - arytmetyczny.
3. Pierwszy, siódmy i trzydziesty pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego są równe odpowiednio
pierwszemu, drugiemu i trzeciemu wyrazowi ciągu geometrycznego. Pierwszy wyraz ciągu aryt
metycznego jest równy 4. wyznacz sumę początkowych 30 wyrazów tego ciągu.
W W * . < > p e ? 0 9 . p l
33
rn
MMUU1YK* • POZIOM PODSTAWOWY
a.
Dane są cztery liczby ustawione w ciąg. Trzy pierwsze tworzą ciąg geometryczny, a trzy ostatnie
- arytmetyczny. Suma pierwszej i czwartej liczby jest równa 35, a sumą drugiej i trzeciej liczby Jest
równa 30. Wyznacz te liczby.
5.
Wyznacz sumę wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych, które z dzielenia przez 7 dają resztę 5.
6
.
Wyznacz sumę wszystkich ułamków postaci — dla
n
<
8
oraz sumę wszystkich utamków postaci
3"
~
dla
n
<
8
. Wyznacz różnicę tych sum.
7
, Ewa przeczytała w czasie ferii czterotom owe dzieto. Pierwszego dnia przeczytała 2 0 stron,
a każdego następnego o 20 stron więcej, W sumie przeczytała 1100 stron, Oblicz, przez ile dni Ewa
czytata to dzieto.
8
.
Tomek rozwiązywał przed egzaminem zadania testowe z fizyki. Pierwszego dnia rozwiązał 40
zadań, a każdego następnego dnia rozwiązywat 1,5 raza więcej. W sumie Tomek rozwiązał 325
zadań testowych. Przez ile dni rozwiązywat te zadania?
9. Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugiego
wyrazu i piątego jest równa 24.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz te g o ciągu.
b) ftrdaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu.
Ci Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu,
10. Suma szóstego i dziesiątego wyrazu ciągu arytmetycznego je st równa 52, a różnica kwadratu
dziesiątego wyrazu i kwadratu szóstego wyrazu jest równa 624.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
b) Podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu,
c) Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu daje w sumie 735.
V I . P L A H I M E T I I A K
vi. Planimetria
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1.
Pole rombu jest równe 12,5, a kat ostry ma miarę 30'. Długość boku tego rombu jest równa:
A.5
B. 5 / 2
c . 5
-
2
D.
6,25
2.
Na rysunku zaznaczone są kąty a , /?, Prosta /je s t styczna do okręgu.
Jeśli kąt
a=
140', to kąt /3 je st równy:
A. 20°
B. 40°
C, 70°
D. 50°
S. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy f l = 4 v/3. Bok tego trójkąta
ma d iij
90
śc:
A. 6 / 3
B. 4»/3
C. 12
D. 18
4. Trójkąt
ABC
je st podobny do trójkąta
A'B'C.
Kąty przy wierzchołkach
C
i
C
są proste.
Najdłuższy bok trójkata
A'B'C'
ma długość 39, a dwa krótsze boki trójkąta
ABC
mają długości 12
¡5. Skala podobieństwa trójkątów jest równa:
A. —
12
39
' 5
c . 3^
3
39
13
5. Dany je st okrąg o promieniu
r=
1,4. Wiadomo, że odległość środka tego okręgu od prostej ¿jest
równa / 2 . Wówczas:
A. prosta jest styczna do okręgu
B. prosta ma z okręgiem
2
punkty wspólne
G, prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
D. nie można stwierdzić, ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem
S M A T E M A T Y K A - P 0 2 I O M P O D S T A W O W Y
vi.
p l a n i m e t r i a
m
6
. Trójkąt
ABC
jest wpisany w okrąg o środku
O.
Wiadomo, że
\<BAC
| = 7 0 ”,
\<AOB\-
100*.
Wówczas:
A. ¡<iASCl= 10”
B.
\<ABC\=
30“
C .[< A flC | = 50*
D, |<iAfiC| = 60°
7. Dany jest trójkąt
ABC,
w którym ]A C j = |BC | =
8
, zaś wysokość |CD| = 4. Miary kątów t®3
trójkąta są następujące:
A. 9 0 ”, 45°, 45°
B. 60", 6 0 “, 6 0 ”
C, 3 0 ”, 30", 120°
D. 30”, 4 5 ”, 105"
8
. Trójkąt
ABC
jest podobny do trójkąta
A'B'C.
Pole trójkąta
ABC
Jest równe
6
c m 2, pole trójką^
A'B 'C
jest równe 2 4 c n r , zaś obwód trójkąta
ABC
jest równy 18cm. Obwód trójkąta
A'B'C
je$j
równy:
A, 7 2 cm
B. 3 6 cm
C. 9 cm
D. 4 ,5 cm
9. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku
O.
Wiadomo, że |< A O C |= 80“. Wówczas:
A. |< A B C |= 40"
B, |<AB C | = 5 0 “
C .|< A B C | = 90°
D. |<A B C [ = 60*
10. Dany jest równolegtobok o bokach
u=
6
, ¿ = 1 0 1 krótszej przekątnej
d = 6.
kąt ostry |
równolegtoboku spełnia warunek:
A. 45° <
a
<60 °
B, « > 6 0 °
C .3 0 " < a < 4 5 ‘
D. a < 3 0 °
11. Przekątne rombu mają długości 16 i 12. Jeśli
P
jest polem rombu, a
L
jego obwodem, tg
wówczas:
:
A. P=
384
B. P=
192
C.
L
= 4 0
D .L = 80
12. Na rysunku zaznaczone są kąty. Prosta /je s t równoległa do prostej
k,
Jeśli
\OD\ =
2, |CD| = 4, |£V\| = 5, to:
A. |jBC| = 10
B .|B C | = |
C.
\BC\=
!5
D .|B C | = |
13. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy
r =
6
, Bok teg o trójkąta i i
dtugość:
A. 24
B, 12 73
e. 12
D. 2 4 / 3
3
^
14. Przekątna kwadratu o polu P je s t równa 10:
A, P = 1 0 0 /2
B .P = 1 0 0
C. a =
2 5 / 2
D. P = 50
15. Obwód kwadratu opisanego na okręgu o promieniu 3 jest równy:
16. Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 2 / 3 . Zatem pole tego trójkąta jest równe:
17. Stosunek miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest
równolegtobokiem, jest równy 1: 3. Miara kąta przy krótszej podstawie trapezu jest równa:
18. Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu S a n Jest równe:
19. Kąt środkowy l wpisany są oparte na tym samym tuku. Suma miar tych kątów jest równa 60".
Miara kąta Srodkowegojest równa:
20. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych
a =
8
,
b =
6
jest
równy:
Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi
1
. Boki trójkąta prostokątnego mają dtugość 5 i 13. Wyznacz dtugość trzeciego boku.
2. Boki trójkąta równoramiennego mają długości:
x + i x + 2,
7. Wyznacz
x.
3. Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej 26 i jednej z przyprostokątnych 10. Oblicz
pole tego trójkąta.
4. Jedna z przyprostokątnych trójkąta je st 3 razy cftuższa od drugiej przyprostokątnej, Dtugość
przeciwprostokątnej jest równa 20. Wyznacz dtugość krótszej przyprostokątnej.
w w w .
r>peron. pi
37
S M A T E M A T Y K A - P 0 7 I O M P O D S T A W O W Y
5. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie 12, Wysokość jest □ 2 krótsza od ramienia trójkąta,
Wyznacz długość wysokości teg o trójkąta.
6
. Jeden z boków prostokąta jest dwa razy dłuższy od drugiego. Pole prostokąta jest równe 98 cm*.
Wyznacz obwód tego prostokąta.
7. W trójkącie dane są: |AB| = 12, |
AC\
=
6
,
\BC\ =
8
, Poprowadzono prostą równoległą do boku
AB,
która przecięta bok
AC
w punkcie
E
odległym od punktu
C
o 2, a bok
BC
przecięta w punkde
F.
Wyznacz obwód trójkąta
EFC.
8
. Dany jest bok rombu
a
= 10 i kąt wewnętrzny
o.
= 30°. Oblicz wysokość tego rombu,
9. Jedna z przekątnych rombu o polu 96 jest równa 12. Oblicz bok rombu.
10. Ma rysunku podane są długości niektórych odcinków, a proste /,
k
są równoległe. Wyznacz |
DC\
11. Dany jest trójkąt równoramienny
ABC o
ramionach
AC, BC
i podstawie
AB
Na prostej
AB,
zaznaczono na zewnątrz trójkąta punkty
E, F,
takie, że |A E | = |B F |. Wykaż, że trójkąt
EFC
jesl
równoramienny.
12. Dany Jest trójkąt prostokątny
ABC
o przyprastokątnych
AC, BC
Odcinek C Djest wysokością trójkąty
\<CAB\ = a , a
punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Wyznacz miarę kąta
DCO.
15. Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej A S Jest wpisany w okrąg. Kąt C A
8
ma miarę 50'
Wyznacz kąt między styczną do okręgu poprowadzoną w punkcie
B
l bokiem
BC
trójkąta.
14. Dany jest trapez równoramienny o podstawach |AB| = a,
\CD\=b(a>b).
Odcinek
DE
¡es:
wysokością tego trapezu. Wykaż, że |£ S | =
a + b
15. Wykaż, że odcinek
x
łączący środki ramion trapezu o podstawach
a. b
ma długość
— —.
V I . P L A N I M E T R I A SE
Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi
1.
W półkole wpisano trapez, tak że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą okręgu. Stosunek
r
*
¡\
przekątnej trapezu do sumy podstaw jest równy 2. Wykaż, że cosinus kąta między przekątną l
2 . 7
i podstawą tego trapezu jest równy —.
2.
Z punktu C leżącego na okręgu o promieniu r = 10 poprowadzono dwie cięciwy CA i
CB
równej
długości. Kąt
ACB
ma miarę
a =
30°, Oblicz pole trójkąta
ABC.
5.
Dany jest trójkąt prostokątny
ABC.
Symetralna przeciwprostokątnej
AB
dzieli jedną z przypro-
stokątnych na odcinki długości 3 cm i
6
cm. Wyznacz długość drugiej przyprostokątnej i przyległy
do niej kąt ostry.
4, W trójkącie prostokątnym
ABC
poprowadzono odcinek
DE
równoległy do przeciwprostokątnej
AB,
taki
ie D e BC, E e AC,
Długość tego odcinka jest równa długości przyprostokątnej AC, zaś
kąt przeciwległy tej przyprostokątnej ma miarę
a.
Oblicz stosunek pola trójkąta
DEC
do pola tró j
kąta
ABC.
s.
Dany jest równolegtobok o kącie ostrym 3 0 ”, Punkt przecięcia się przekątnych jest odległy od
jego boków odpowiednio o 2 cm i 4 cm. Wyznacz obwód
i
pole równoiegloboku.
6
. Stosunek boków równoległoboku jest równy 2 : 5. Wyznacz długość wysokości równoiegloboku,
jeśli wiadomo, że suma ich długości jest równa 56.
7
.
Dany Jest kwadrat
ABCD.
Punkty
E. F
są środkami boków odpowiednio
BC
i
CD
kwadratu.
Wyznacz stosunek pola trójkąta
EFC
do poią trójkąta
AEF.
(
0
*« Y
T—
erm
s jł—
s
8
. Stosunek przyprastokątnych trójkąta prostokątnego jest równy I : 3. Wyznacz stosunek odcin
ków, na jakie wysokość
CD
podzieliła przeciwprostokątną
AB.
*€53323—
9. Trapez
ABCD
jest wpisany w okrąg w ten sposób, że podstawa
AB
trapezu jest średnicą okręgu.
Kąt ostry trapezu jest równy 60°, a przekątna ma długość 12. Wyznacz pole tego trapezu.
10. Wysokość
CD
trójkąta
ABC
ma długość 20 i tworzy z bokiem
AC
kąt
a,
taki że sincr = - ,
3
a
i
bokiem
BC
kąt /?, taki źe tg
f i -
2. Wyznacz obwóct trójkąta.
7531
«©fig '
1
'
i ; # ' : ' r ‘
39
f f i M A T E M A T Y K A
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
VII. G e o m e tria a n a lityczn a
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedz.
1.
Prosta
I
ma równanie: 3 * - 5y + J = 0. Współczynnik kierunkowy prostej / jest równy:
^ 2. Proste / i
k
są równolegle i
l:
4x
- 2;y + I = 0 , fcy =
ax +
b.
Wówczas:
k . a = - 2
B , £ ) = - -
C .a = —
D .o = 2
2
2
3. Punkt
P - ( x , 2 )
należy do prostej o równaniu y = 2,t + 3. Odcięta punktu P jest równa:
A.
x = ~ -
B .x = 7
C. x = —
D.
x
= — 2
2
2
4, Punkt S = (2, - 3 )jest środkiem odcinka .4fi i wiadomo, że 4 = ( - 4 . 7). Wówczas:
A. f i = (O J )
B. S = (5, - 13)
C. S = (8 ,1)
D. £ = ( 8 , - 1 3 )
“■dtaw ji 5. Dany jest okrąg o r 0 w n a n iu ( ,x - 4 ) '+ ( y + 3 ) ‘'= 4 . Wówczas:
- « a a
m
a. S = ( - 4 , 3 )
B . r = 4
C. S = ( 4 , - 3 )
D .r = 1 6
6. Proste
ł
i
k
są prostopadle i i : 3 * - 9 . y + 2 = 0,
k:y = ax + b.
Wówczas:
9
i
1
A
b
= —
B
. 6
= —
C. a = —
D.
a
= - 3
2
3
3
f
7- Dany jest odcinek o końcach
4 = { - 4 . -
6
), i i = ( 2 ,- 4 ) .
Długość odcinka jest równa:
\.\ AB\ = A j l
B .|4 B | = 2yTÓ
C. 4 B = 4 / 6
D. |4 5 | = 2 v/2 6
8
. Dane są proste o równaniach /:
2x
-
6
y - 2 = 0,
k: ~ x + 3 y +
I = 0. Proste te:
A. są prostopadle
B. są przecinające się, ale nie prostopadle
C. nie mają punktów wspólnych
D. mają nieskończenie wiele punktów wspólnych
4«
www.opitrtłinpi
V I I . G E O M E T R I A A N A L I T Y C Z N A K
A.A’ = ( -
8
,
6
)
B, 5 = (
8
,
6
)
C.S = (4 ,3 )
D.S = < - 4 , - 3 )
10. Dana jest prosta /:y = ^ rc + 7 i punkt
P = (
4 ,- 3 ) . Prosta k prostopadła do prostej /
i przechodząca przez punkt P ma wzór:
A.
y ~ - 2 x + 7
B.
C, y = - 2 x - l l
D. y = - 2x + 5
11. Prosta
I
ma równanie: 2 ; t - 3y + l = 0 . Prosta
I
przecina oś
OY
w punkcie o rzędnej:
12. Proste
l
i
k
są równolegle i
t:y = 3 x
- 5, Wówczas prosta
k
ma równanie:
k . y =3 x + b
B . y = - ^ ; r + £>
C . y = - 5 x + b
D.y = ~ x + b
13. Punkt
P =
( - 4 ,
y)
należy do prostej o równaniu
y = ~ x +
3. Rzędna punktu
P
jest równa:
14. Punkt S jest środkiem odcinka
AB
i wiadomo, że 4 = (- 2 ,5 ) , f i = ( - 6 , 11). Wówczas:
A.
S
= ( 2 ,
8
)
B. S = (—4, - 3)
C. 5 = ( 2 , - 3 )
D.S = ( - 4 , 8 )
15. Dany jest okrąg o równaniu
x 1+2 x + y 2- 6 y -
10 = 0. Wówczas:
A.
r = /2 Q
B. r = 20
C.
r=
10
D. r = / l 0
16. Proste / i
k
są prostopadle i
l : y - - 5 x +
1. Wówczas prosta
k
ma równanie:
A .y = 5x + 6
B. y = ~ ^ x + b
C.y = 5x + b
D . y = i , r + fc
17. Dany jest odcinek o końcach
A =
(5 ,4), f l = (5 ,y). Długość odcinka jest równa 7. Zatem:
A.
f i = (5 ,3 )
B. S = ( 5 , 3 ) V f l = ( 5 ,—11)
C.
f i = ( 5 , - l l )
D.
B
= ( 5 , - 3 ) v f i = (5.11)
18. Punkt przecięcia się prostych o równaniach y = 3x + 5 i y = x + 1 ma współrzędne:
A, (2,1)
B. ( 2 ,- 1 )
C, ( - 2 , 1 )
D. ( - 2 , - 1 )
c
wwv?.opcifi>«.pi
41
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
f g & 19- Dany jest okrąg o równaniu ( * - 4 ) - + ( y - 3 ) J= 2 5 oraz punkt
P - { 9 , y )
należący do tego
J
okręgu. Wówczas:
A. v = —3
3 .y = 5
C.y = 3
D. y = —5
( '
f ś j g i p i 20- Dane są dwa przeciwległe wierzchołki kwadratu
A =
( - 1 , - 5 )
i
punkt
C =
(5, i). Bok kwadratu
^— w w
•' ma długość;
A. a = ¿26
B ,o =
6
C.a = % J l
D.
a = \
—
—
.
/ z O p k t
, : i
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
j j j i .i!D 1- Dana jest prosta
t : y = - - x -
6
, Wyznacz równanie prostej
k
prostopadłej do prostej
I
i przecho
dzącej przez punkt 4 = ( l , -
2
).
śj| 2. Dana jest prosta
l:y= 2x + 5.
Wyznacz równanie prostej
k
równoległej do prostej
l
i przechodzą
cej przez punkt
A
= (4 ,2),
3. Punkt A = ( 3 , - 7 ) jest końcem odcinka
AB,
którego środek ma współrzędne S = (-3 ,1 3 ).
Wyznacz współrzędne punktu
B.
f
-
Środek odcinka o końcach
A
= ( 5 ,-1 ) ,
B
= ( - 7 , - 3 ) Jest środkiem okręgu o promieniu r =
8
.
■-— o r a — ' Napisz równanie tego okręgu.
5. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu
x l + y 1
- + \(1x-
1 2 y + 5 2 = 0.
» a
6
. Wyznacz liczbę
m,
tak aby proste o równaniach
y = ( 2 m -
1).* i v = ( 5 - m ) * + 7 byty równo
ległe.
7 - Wyznacz liczbę
m,
tak aby proste o równaniach
y = ( m 2- 3 ) x - 2 \ y = - - x + \
były prosto-
’
padle.
6
S. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach
A =
( - 4 ,2 ) ,
B
= (
6
, - 2 ) . Wyznacz promień okręgu
opisanego na tym kwadracie.
(
-
e fjiia ? ) 9. Dany jest kwadrat o przeciwległych wierzchołkach
A = (
3,1), C = (-1 ,3 ) . Wyznacz długość boku
^
^
tego kwadratu.
f
• 2-»’
"'O-
BoK AB
prostokąta
ABCD
jest dwa razy dłuższy od boku
AD.
Wyznacz obwód tego prostokąta,
—
—
jeśli wiadomo, że
A
= (2,1), i ł = (4,9).
42
w-o $ er o tt. () i
V I I . G E O M E T R I A A N A L I T Y C Z N A R
1
11. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach y = 2 x +
8
i y = -
x +
3.
f
^
12. Wykaż, że proste o równaniach - 3 x + - 2 y - 1 = 0 i
6
uc — 4> + J5 nie mają punktów wspólnych.
13. Wykaż, że punkty
A =
(1 ,-3 ),
B
= ( - 2 , - 9 ) , C = (4 ,3 )s ą wspótllnlowe.
14. Wykaż, że prosta
k
przechodząca przez punkty A = (1 ,-5 ),
B =
(- 1 ,3 ) Jest prostopadła do
prostej
I
o równaniu
y = - x + 2.
4
15. Napisz równanie okręgu o środku
S =
( - 3 ,
6
) i promieniu równym długości odcinka o końcach
A = ( 2 ,- 3 ) , f i = ( - 5 , - 1 ) .
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1. Wykaż, ze punkty
A
= ( l . 3),
B = (3 ,
1),C = (
6
,4 ) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz
r
—
pole tego trójkąta.
v—
m * S .
2. Dane są punkty
A
- ( - 7 , -3 ),
B =
(- 3 ,5 ) .
a) Napisz równanie okręgu o średnicy
AB.
b) Wyznacz długość boku kwadratu wpisanego w ten okrąg.
c
3. Dany je st kwadrat o przeciwległych wierzchołkach A = ( l,5 ), C = ( - 3 , - 5 ) . Wyznacz
współrzędne wierzchołków
B,
D te g o kwadratu.
4. Dany jest trójkąt o wierzchołkach
A
= ( - 4 ,2 ) , B = (0,4),
C=
(
6
, - 4 ).
a) Wyznacz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka
B
b) Oblicz pole trójkąta.
5. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach
A
= (4 ,2), B = ( - 4 ,~ 2 ) . Wyznacz współrzędne
wierzchołka C tego kwadratu.
6 . Sprawdź bez rysowania, ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu
y
=
2x -
I z okręgiem
r ■
o równaniu
x l + 2 x + y 2- 4 y =
4,
•
<■ « ■»
liif w w.
0
e f o s>. fł i
43
MATEMATYK* - POZIOM PODSTAWOWY
7. Dany jest okrąg o równaniu x 2+ (> • - 4 ) ' = 2 5 1 prosta o równaniu
y - ~ l x +
29 przecinająca ter
okrąg w punktach
A, B.
a) Wyznacz współrzędne punktów A, fi.
b) Oblicz długość cięciwy
AB.
c) Wyznacz kąt
a
między cięciwą
AB
i promieniem 5’A gdzie punkt
S
jest środkiem okręgu.
8
. Dane są wierzchołki trójkąta: A = (
6
, - l ) , f i = (10,1), C = (2 ,7).
a) Wykaż, że trójkąt
ABC
jest prostokątny.
b) Oblicz sinus kąta
ABC.
9. Dane są równania prostych, w których zawarte są dwa boki równolegtoboku -
AB:y= 2 x - 2
i
A D :y= ~ x +
I. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równolegtoboku, jeśli wiadomo, że
punkt przecięcia się przekątnych ma współrzędne
S =
(3,1).
10. Dana jest prosta
l
o równaniu
y =
^
x -
2 i punkt A = (4, - 4). Wyznacz współrzędne punktu
B
symetrycznego do punktu A względem prostej
l.
44
V I I I . S T E R E O M E T R I A S*
VIII. S te re o m e tria
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1.
Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30. a promień podstawy jest o 5 mniejszy od
tworzącej stożka. Wówczas:
A. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30”
J i
B. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a,
którego cosor= — -
C. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60”
i 2
D. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a,
którego sinor=
^
2. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12. Objętość tego stożka
jest równa:
A. 2 8 8 / 3 ż t
B. 3 6 / 3 JI
C. 21 6 /3 5 1
D .7 2 /3 S
S.
Dany jest graniastoslup prawidłowy czworokątny o wysokości
h = 4
i przekątnej podstawy
d = 4.
Przekątna ściany bocznej tego graniastostupa Jest nachylona do podstawy:
/2
r
A. pod kątem
a.
takim, że tgor = -^~
B. pod kątem
a,
takim, że tg a = y 2
. 6
Ji
C.
pod kątem
a.
takim, że tg
a =
D. pod kątem
a,
takim, że tg a = —
fl. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości
6
. Powierzchnia boczna tego walca Jest
równa:
A. 3631
B. 1871
C. 547t
D. 7231
5. Przekątna sześcianu o krawędzi
a
ma długość:
A.
a
v 2
B . a / 3
C, 2
a
D. 3a
6
.
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat
ABCD,
zaś krawędź boczna
SD
jest jego wysokością.
Wówczas:
A. dokładnie jedna ściana boczna Jest trójkątem prostokątnym
B. dokładnie dwie ściany boczne są trójkątami prostokątnymi
C. dokładnie trzy ściany boczne są trójkątami prostokątnymi
D. dokładnie cztery ściany boczne są trójkątami prostokątnymi
45
m
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
C
7. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 4 i wysokości
opuszczonej na podstawę długości 4. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy:
A. pod kątem
a,
takim, że t g a = ~
B, pod kątem a, takim, że tgcr = 2
2
¡5
C, pod kątem
a,
takim, ż e t g a = - j -
D, pod kątem
a.
takim, ż e t g a = / 5
c
8,
Pole powierzchni bocznej walca jest równe
4871
, a jego objętość
9631
. Długość wysokości walca
A. jest o 2 większa od promienia jego podstawy
B. jest 2 razy mniejsza od promienia jego podstawy
C. jest o 2 mniejsza od promienia jego podstawy
D. jest 2 razy większa od promienia jego podstawy
9. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku
a.
Powierzchnia całkowita stożka
m ‘
. JŁT
_ 331
a 1
jest równa:
. A a1
„ 3ŁT
~ T
D .;
10- Wysokość ostrosłupa jest równa
8
. Podstawą ostrosłupa jest romb o przekątnych
=
6
,
d 2 -
4.
Objętość tego ostrosłupa jest równa:
A 16
B. 48
C. 96
D. 32
1 1
.
w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 60”. krawędź podstawy ma długość
a
=
6
, zatem wysokość ostrosłupa jest równa:
A. 3
B. I
C.
6
D. 2
(
¡jpągA 12. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 5031, a tworząca
1
jest diuższa od promienia
r
... a. «
¿
a
podstawy o 5. Dla stożka spełniony jest warunek:
A. r =
6
B r = 10
C ./ = 5
D. / = 10
15.
Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem o polu 9. Objętość prostopadłościanu jest równa 45.
y
Przekątna ściany bocznej prostopadłościanu tworzy z podstawą prostopadłościanu kąt
a,
taki, że:
A. Ig0ł = ;
C . t g a =
3 / 3 4
34 ’
D. tg a :
5 / 3 4
34
14. Przekątna sześcianu ma długość 5 / 3 . Objętość tego sześcianu jest równa:
A. 1 5 0 /2
B. ¡25
C, 1 2 5 /2
D. 150
15.
Przekątna ściany sześcianu ma długość 4. Powierzchnia całkowita tego sześcianu jest równa:
A, 192
B. 9 6 / 2
C. 48
D. 2 4 / 3
4
^
w w . eparoft.pS
V I I I . S T E R E O M E T R I A i i
16. Objętość kuli jest równa 3 6 ti. Powierzchnia tej kuli jest równa:
A. 931
B. 1 6 /3 6 31
C. 367t
D. 4 / 3 6 31
17. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna podstawy tego ostrosłupa jest równa 4,
a wysokość
6
. Objętość ostrosłupa jest równa:
A. 16
B. 32
C. 48
D. 192
18. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 12. Wysokość tego
ostrosłupa jest równa:
c
A. 4 / 6
a ,
33
C. 8 / 3
D. 4 / 5
19. Dany je st ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równych
8
r
Powierzchnia boczna tego ostrosłupa jest równa:
A, 4 / 3
B 6 4 / 3
C. 3 2 / 3
D. 1 6 /3
20
.
suma diugośd wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 60. Suma pól wszystkich ścian tego
sześcianu jest równa:
—T
A. 125
B. 600
C 150
D. 900
/ 2 0 p
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
1. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej równej 16. Oblicz
r
«
pole powierzchni bocznej tego stożka.
2. Wysokość stożka jest równa
8
, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 30” Oblicz
objętość tego stożka.
3. Przekątna przekroju osiowego walca Jest nachylona do podstawy walca pod kątem
a
takim że
2
tg O - - . Promień podstawy walca ma długość 24. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego walca
4. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 9. Wyznacz długość ,
— - ■
.
wysokości tego ostrosłupa.
'
‘■ * • » 4
5. Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej sześcianu do podstawy tego sześcianu
r -
■■■
«łŁia-liHEii
y
4 7
» M A T Ł M A T Y K A - P 0 2 I 0 M P O D S T A W O W Y
6
.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach jednakowej długości.
Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
7. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędziach bocznych dwa razy dłuższych od kra-
!' - - a a »
— *
wędzi podstawy. Oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny
jego podstawy,
8
.
Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytme
tyczny o różnicy 3, Suma długości tych krawędzi jest równa 24. Wyznacz długości krawędzi tego
prostopadłościanu.
c
9 .
Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg geome-
- o t S * — ^ tryczny o pierwszym wyrazie 3. Suma długości tych krawędzi jest równa 21. Wyznacz długości po
zostałych krawędzi tego prostopadłościanu.
10. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Długość krawędzi bocznej jest o 2 większa od
wysokości ostrosłupa. Krawędź boczna jest nachylona do podstawy pod kątem, którego sinus jest
2
równy —. Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa
11. Pole powierzchni bocznej stożka jest dwa razy większe od pola podstawy stożka. Wykaż, że
tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60".
12. Suma pól podstaw walca jest rOwna polu jego powierzchni bocznej. Wykaż, że przekątną
—
J t | Ł—
]
przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kątem, któnego tangens Jest równy
13. Dany jest graniastostup prawidłowy sześciokątny, którego wszystkie krawędzie mają jednakową
długość. Objętość graniastoslupa je s t równa 1 2 /3 . Wyznacz długość krawędzi tego
graniastostupa.
1«. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 6 0 “.
Podstawa prostopadłościanu Jest kwadratem o boku 3, Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego
prostopadłościanu,
15. Dany jest graniastostup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie krawędzie mają jednakową
długość Pole powierzchni całkowitej graniastostupa jest równe l2 , 5 ( / 3 +
6
). Wyznacz długość
krawędzi tego graniastoslupa.
48
VL»WW.
8
|K'i<i tł. pi
V I I I . STER E O M ET R I A
W
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1. Graniastostup prosty ma w podstawie trOjkąt równoramienny o ramieniu długości
b
i kącie
ostrym
a
między ramionami. Pole podstawy Jest równe sumie pól dwóch przystających ścian
bocznych graniastostupa. Wykaż, że wysokość graniastostupa Jest nie większa, n iż
- b .
4
2. Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym bok odpowiadający wysokości walca jest dwa
razy większy od drugiego boku prostokąta.
a! Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego podstawy.
b! Wyznacz sinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do płaszczyzny jego
podstawy.
3. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 2
a
I krawędzi bocznej
a j
5 ora
2
stożek o średnicy podstawy 2
a
i tworzącej
a j
5. Oblicz stosunek objętości ostrosłupa do objętości
stożka.
4. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy
a =
18
1
kącie nachylenia krawędzi
bocznej do płaszczyzny podstawy 60°, Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego
ostrosłupa.
5. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości
a =
8
. Krawędź
2
boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem
a,
że cos o r = - Wyznacz objętość i pole
powierzchni bocznej tego ostrosłupa
6
.
Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy. Pole powierzchni bocznej stożka
jest równe 12071. Wyznacz objętość tego stożka.
7. Długości średnicy podstawy, wysokości i przekątnej przekroju osiowego walca tworzą ciąg
arytmetyczny o różnicy 2 i sumie 24.
a) Wyznacz objętość walca.
bl Wyznacz sinus kąta, jaki przekątna przekroju osiowego waica tworzy z płaszczyzną jego
podstawy.
(
" *05»* ^
■— <«ra ’.»—
■>
8
.
Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku długości boków J : 2 i potu 3 2 c m 3.
Przekątna prostopadłościanu tworzy zje g o wysokością kąt
a,
taki, że s in « = - . Wyznacz wymiary
prostopadłościanu.
5
-■ffsw.opiiroił.jii
4»
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
9. Podstawa, ostrosłupa jest trójkąt
ABC
o bokach długości
\AC\ = 6
i |
8
C| =
8
. Wysokość
CD
trójkąta
ABC
tworzy z bokiem
AC
kąt 30°, a z bokiem
BC
kąt 60°. Długość wysokości ostrosłupa
jest równa długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Wyznacz objętość
ostrosłupa.
C
'"flwwiĄ
10- Podstawa graniastosłupa prostego jest trójkąt o bokach długości 7, 13.
8
. Długość wysokości
■°
'
ostrosłupa jest równa długości promienia okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa. Wyznacz
objętość graniastosłupa.
—
-
m m ' '"
'
. / o Z p i t t
.......
50
w w w , « f s a K n r t . p l
IX, R A C H U N E K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S T A T Y S T Y K I H
IX. R achunek p ra w d o p o d o b ie ń s tw a i
elementy statystyki
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-20 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1.
Rzucono 3 razy monetą. Prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł co najmniej Jeden raz, jest
równe:
2.
Rzucono dwa razy kostką sześcienna do gry. Prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadła
parzysta liczba oczek. Jest równe:
3.
Darek mial w 1 semestrze z matematyki oceny: 2, 2, 4, 4, 5, 3,3. Średnia arytmetyczna tych ocen
z dokładnością do O.OlJest równa:
A. 3.28
B. 5.50
C. 3,29
D. 3,30
a.
SpośrOd liczb 1,2,3,..., 2010 wylosowano jedną. Prawdopodobieństwo, że Jest to liczba
podzielna przez 5 lub przez 11, jest równe:
548
„ 3 6
„ 620
A 2 0 1 0
B' 2 0 1 0
C 2 0 1 0
547
2010
5. Marek mial w I semestrze z matematyki oceny; 2 ,2 ,4 ,4 ,5 ,3 ,3 . Średnia ważona, jeśli waga każdej
/ —
¡ ¡ E j a
z czterech początkowych ocen (z odpowiedzi) wynosiła
0
,!, a waga każdej z trzech ostatnich V— « m
— J
(z prac klasowych!
0
,
2
, Jest równa:
A. 3 —
B. 3,4
C. 3,5
D. 3,6
7
6
. Wśród danych liczb: 1,1,1.1, 3, 4, 4, 5, 5, 5,
6,
6
, 7 dominantą jest:
A. 7
B. 4
C. 5
D .l
7.
Rzucono kostką do gry I monetą, prawdopodobieństwo, że wyrzucono reszke i co najwyżej 5
oczek, jest:
A. większe od -
2
B. mniejsze od —
C. równe -
2
D. mniejsze od -
51
m
M A T E M A T Y K A
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
■kęmtSh S ‘
Tabela przedstawia odpowiedzi pewnej grupy osób na pytanie, ile czytaja czasopism,
r :
Liczba osób
5
15
25
25
15
5
Liczba czasopism
0
1
2
3
4
5
Wskaż punkt zawierający prawdziwe dane:
A. dominanta
d =
2,
= 3, mediana
m -
2
C. dominanta
d ~
25, mediana
m =
3
B, dominanta
d -
2,
d=
3, mediana
m
= 3
D dominanta
d = 2 , d - 3 ,
mediana
m =
2,5
9.
Z
talii 24 kart wylosowano Jedną kartę. Prawdopodobieństwo, że wylosowano kiera lub asa, jest
równe
c
10. Średnia zarobków w pewnej firm ie liczącej 21 pracowników wynosiła 30 00 złotych. Przyjęto
nowego pracownika i wtedy Średnia wyniosta 3030 ztotych. Mowy pracownik zarabia:
A. 3660 zl
B 3600 zł
C. 3030 zł
D. 63 0 z ł
11. Rzucono 4 razy monetą. Prawdopodobieństwo, ze reszka wypadła co najmniej jeden raz, jest ł
równe
A. —
16
I i
16
c
12. Rzucono dwa razy kostką sześcienną do gry. Prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadło co
najmniej 5 oczek, jest równe:
C' 18
36
« (fs w il 15. Tabela przedstawia wyniki ankiety przeprowadzonej wśród kilkunastu rodzin, które
‘
odpowiadały na pytanie, ile mają dzieci.
Liczba małżeństw
4
7
5
1
Liczba dzieci
1
2
3
4
Jaka Jest Średnia liczba dzieci przypadająca na jedną rodzinę z dokładnością do części dziesiętnych?'
A, 2 ,1
B. 2,2
C. 2 ,0
D. 2,5
52
'& w e t.G
ą £ i u
. ii I
IX. R A C H U N t K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S TA T Y S T Y K I R
14. Spośród liczb 2 0 ,2 1 ,2 2 ,2 3 ,..., 40 wylosowano jedną Prawdopodobieństwo, ze jest to liczba
podzielna przez 4, jest równe:
A. A
20
6_
20
21
21
15. Zawodnik za występ wjeżdzle figurowej na lodzie otrzymał od sędziów średnią liczbę punktów:
r
za wartość techniczną programu 4,8, za wykonanie 5 i za oryginalność układu 5,2. Waga każdej V
" j
oceny wynosi odpowiednio 0,4: 0,5; 0,1. Ogólna nota zawodnika to średnia ważona otrzymanych
ocen. Zatem zawodnik otrzymał notę:
A. 4,94
B. 5,5
C. 5
0 . 4.84
16. Wśród danych liczb: 1,1,1,1, 3, 4, 4, 5, 5, 5,
6
,
6
, 7 medianą jest:
A. 7
B. 4
C. 5
D. 1
17. Rzucono kostka do gry I dwiema monetami Prawdopodobieństwo, że wyrzucono dokładnie
r -
..
jednego orla i
6
oczek na kostce, jest równe:
■-
. n .i.«..
A. i
3
D .—
12
18. Wszystkich liczb dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od
6
, jest:
A. 30
B. 36
C, 42
D. 49
19. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Prawdopodobieństwo, że wylosowano pika lub króla,
jest równe:
52
52
c l
6
52
D.
17
52
2
3
20. Zdarzenia
A
I
B
zawarte w zbiorze Q spełniają warunki:
P(A)
= - ,
P(B) = - , A c B .
Wówczas:
/
,<« w '
A.
P (AU B) =
^
B. P ( A U B ) = -
C.P (AUB) = ^
D.
P(A
u B) = 1
SWW.
$>3?. ił i
53
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
ę
1. Średnia arytmetyczna danych 2, 7. O, O, ar jest równa 3. Wyznacz liczbę
x.
1
OMcz średnia ocen Klas pierwszych w pewnym liceum na I semestr, jeśli wiadomo, że klasy 1i
—
i 1t> mały średnią ocen 3,4, klasa ic - 3,8, a klasy Td 11e miaty średnią ocen równą 3,5.
3. Oblicz medianę danych 0, 2, 4, 4, 5,
6
, 7, 7, 7,
8
, 9, 9,
4. Oblicz medianę danycn przedstawionych w tabeli.
Wartość
0
1
2
3
1
4
5
i
| Liczebność
4
4
2
1
1
3
j f w . A s. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy
oczek równej 7.
6
. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania Iloczynu
oczek równego 25.
c
7.
A
I
B
są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze 42, takimi, że
P (A ) =
0,8 i P ( fi) = 0,4.
Sprawdź, czy zdarzenia
A
i
B
mogą się wyłączać.
2
7
8
.
A
i
B
są zdarzeniami losowymi zawartymi w zbiorze 42. takimi, że P (X ) = —
P(B) = —
13
13
i
P(A
u
B)
= — Oblicz prawdopodobieństwo iloczynu tych zdarzeń.
gS 9. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami, Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co
najwyżej jednego orla.
10- ku ca m y trzema symetrycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy co
—
najmniej jednego orla.
1 1
Ze zbionj licztl trzycyfrowych wybieramy Jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo. Ze
wybierzemy liczbę podzielną przez
1 20
.
1 2
.
A
l
B
są zdarzeniami losowymi, takimi,
i e B c A , P(A) =
0,8 i
P(B) = 0,5.
Oblicz
P(A
u
B).
13. 4 i
B
są zdarzeniami losowymi, takimi, Z e S c A , P (4 ) = 0 ,9 i
P(B) = 0,6.
Oblicz /->M \ £ ) .
54
I X . R A C H U N E K P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A I E L E M E N T Y S T A T Y S T Y K I «
14. Ze zbioru liczb dwucyfrowych wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo,
wybierzemy liczbę podzielną przez
1 1
.
15. Bartek rzucai kostką do gry I otrzymał 7 razy
6
oczek, 4 razy 5 oczek,
6
razy 4 oczka,
8
razy
2
oczka i 5 razy 1 oczko. Oblicz średnią liczby wyrzuconych przez Bartka oczek,
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
1.
W urnie Jest
6
kul białych i
8
czarnych. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo. Ze wyjmiemy co najmniej jeden raz kulę blatą.
2. Ze zbioru liczb ( 4 , 5 ,
6
,7,..., 2 0 } losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
; -
prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwie liczby parzyste.
v— @ h
5
t
3. Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry, Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wyrzuconych oczek jest równa
8
lub Iloczyn wyrzuconych oczek Jest równy 12.
4. Rzucamy trzy razy sześcienną symetryczną kostka cfo gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wyrzuconych oczek jest równa co najwyżej 16
5. Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wyrzucimy orla
lub wyrzucimy dokładnie dwie reszki.
(
4 « )
— -
6
. Rzucamy cztery razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo,
że
wyrzucimy dokładnie jedną reszkę
lub wyrzucimy co najmniej jednego orla.
7. ze zbioru c y f r { l , 2
9 } losujemy dwa razy po jednej cyfrze bez zwracania i układamy
w
kolej
ności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożymy licz
bę większą od 40.
8
. Rzucamy kostką do gry i moneta. Oblicz prawdopodobieństwo. Ze wyrzucimy reszkę i co najwy
żej
2
oczka.
9. Asia, Krysia, Ewa i Natalka poszły do kina. Na sali usiadły losowo na wykupionych kolejnych
r
czterech miejscach. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ewa i Natalka usladty w tym kinie kolo siebie. \ __
Hrwwf.ttperejs.ssf
55
m
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
10.
Tabela przedstawia pewne dane statystyczne.
1 _ Wartość r _ ^ j L z . 4- - LJ L_~4_— — -
l
l — - - — - - " I - !
[lic z e b n o ś ć
|
45
25
J
1.5
|
15
|
2 5 ~T
30 j
2 0
I
25
j
a) Wyznacz wariancje tych danych.
b) Wyznacz odchylenie standardowe tych danych z dokładnością d o 0,01.
Miejsce
na naklejkę
z kodem
PRZYKŁADOW Y ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARK USZ 1
PO ZIO M PODSTAW OW Y
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 12 stron.
2. W zadaniach od 1. do 25. są podane 4 odpowiedzi:
A, B. C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jedną odpowiedź.
3. Rozwiązania zadań od 26. do 33. zapisz starannie i czytel
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu
mowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj dlugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymal
na liczba punktów możliwych do uzyskania.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
Ż y c z y m y p o w o d z e n ia !
Wypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 50 punktów .
I
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
Matematyka
,
Poziom podstawowy
3
Z A D A N IA Z A M K N IĘ T E
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. ( / pkt)
Liczba
a =
/j
jest równa liczbie:
A - 3 + /21
p v/iÓ' + 3
^ 3 + / 7
- 3 - / 2 1
4
10
10
U-
4
Zadanie 2. ( / pkt)
-2x+2
dla
( - o c ,- l}
Dana jest funkcja / określona wzorem
f{x)
3 *+
1
dla ^
G
( -
1
,
1
)
- x - 2
d la * e (l,-ł-oo)
Miejscem zerowym funkcji / jest liczba:
A .l
B . - 2
C
.
D
.
i
Zadanie 3. (7 pkt)
Funkcja liniowa / przyjmuje wartości dodatnie jedynie w przedziale ( - 2 , +
00
), a do je j wykresu
należy punkt
A
= (1,9). Wzór tej funkcji, to:
A . y = - 2 * + t l
B.>' = 4jc+8
C .y = x +
8
D .y = 3x +
6
Zadanie 4. (1 p k t)
W trójkącie prostokątnym
ABC
kąt przy wierzchotku A ma miarę 30°, a najkrótszy bok ma długość
8
cm. Dtugość przeciwprostokątnej jest równa:
A. 16/3
B . ^
C. 8 /3
D. 16
Zadanie 5. (1 pkt)
Dany jest ciąg ( a ,) o wyrazie ogólnym
at = n~-
9. Wówczas
an=
0, gdy:
A .« = ()
B .n = 3 Iu b n = - 3
C./? = 3
D . u = - 9
Zadanie 6. (7 pkt)
Pole rombu jest równe 12.S, a kąt ostry ma miarę 30". Dtugość boku
a
tego rombu jest równa:
A. 5
B .5 /2
C . f
D
.2
Zadanie 7. (1 p k t)
Prosta / ma równanie:
3x
- 7y + I = 0. Wspótczynnik kierunkowy prostej
l
jest równy:
A.
a
= 3
B . « = - 7
C .n = y
D . a
=—j
59
4
Matematyku. Poziom podstawowy
Zadanie 8. (7 pkt)
Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30, a promień podstawy jest o 5 mniejszy od tworzącej
stożka. Wówczas:
A . tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a
= 30"
B. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a,
takim , że sina = r=
C. tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a.
takim, że cos or =
i
D . tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
a
= 60"
Zadanie 9. (7 pkt)
Rzucono 4 razy monetą. Prawdopodobieństwo, że orzet wypadł co najmniej jeden raz, jest równe:
Zadanie 10. (7 pkt)
Wiadomo, że 1.4% pewnej liczby jest równe 0,756. Liczba ta jest równa:
Zadanie 11. (7 pkt)
4
Liczba 64 3 jest równa:
A . 512
B . - j j j
c - 256
D- 555
Zadanie 12. (7 pkt)
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji / o 4 jednostki w dót. to:
A. y = /U + 4)
B .y =/(.c) + 4
C. y = /(x -
4
)
D .y = / ( * ) - 4
Zadanie 13. (7 p k t)
X — *7
Dziedzina funkcji /' określanej wzorem / U ) = ■
% “ jest zbiór:
* +
1
A . Ał\ { —1,1}
B . R \ { l j
C .R
n . « \ { 5 }
Zadanie 14. (7 pkt)
Dana jest funkcja kwadratowa / ( * ) =
x l
+ 4x -
6
. Zbiorem wartości tej funkcji jest:
A . (-lO .+ cc)
B .(-2 ,+ u o )
C .(-o o .lO )
D .( - a o .- 2 )
60
Matematyka. Poziom podstawowy.
5
Zadanie 15. (1 p k t)
Wielomian
) =
x
5x'
-
9
x
1
45 po rozłożeniu na czynniki ma postać:
A . ( j t - 5 ) ( * - 3 ) ( j c - 3 ) B . ( j r - 5 ) ( a - 3 ) ( x + 3) C . ( * - 5 ) ( j
< - i f
D . ( je - 5 ) { i- + 3 ) '
Zadanie 16. ( / pkt)
Kąt a jest ostry i sin a = y . Wówczas cos
a
jest równy:
A. |
B . |
C
. ^
D.
Zadanie 17. ( / pkt)
Liczba log 36 jest równa:
A.
2
log
2
+
2
log 3
B *log4-log9
C* 4 log 2 Jog 3
D. log 30 + log
6
Zadanie 18. ( i pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym a>= Rn + .1. Różnica tego ciągu jest równa:
A. r = 14
B .t- =
- 8
C . r
=8
D . r = 3
Zadanie 19. ( / pkt)
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy i? = 2 /2 . Bok tego trójkąta ma
długość:
A. 2 / 6
B . 4 / 6
C . 2 / 5
D . 4 / 5
Zadanie 20. ( i p kt)
Trójkąt
ABC
jest podobny do trójkąta
A'B'C".
Kąty przy wierzchołkach
C
i
C'
są proste. Najdłuższy
bok trójkąta
A ‘B'C'
ma długość 39. a dwa krótsze boki trójkąta
ABC
mają długości 24 ł 10. Skala
k
podobieństwa trójkątów
A'B’C"
i ABC jest równa:
12
“ • 5
T
2
Zadanie 21. (I pkt)
Proste / i
k
są równoległe i /:
4x
-
2y +
5 - 0,
k:y = ax
+
b.
Wówczas:
A .« = ~ 4
B. u
=-2
C . « = §
D . a = 2
Zadanie 22. (J p k t)
Dany jest okrąg o równaniu ( jc —
6
f + (y + i f -
4. Wówczas:
A.S = ( - 6 , 3 ) , r = 2
B .S = ( ó . - 3 ) . r = 4
C..V= (
6
, - 3 ).r = 2
I).
S =
( - 6 ,3 ) ,r = 4
i i
Y
6
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 23. (1 pkt)
Darek
m iai w J .semestrze z matematyki ocenv:
1
. 2.4.4.5.3.3. Średnia arytmetyczna tych ocen z tferi
kładnośeią do
0,01
jest równa:
A . 3.14
B.3.15
C .4,4
D. 3,00
Z adanie 24. (1 pkt)
Rozwiązaniem nierówności |ite - 2| < 0 jest:
A . zbiór iiczb rzeczywistych
B. zbiór pusty
C. l
i
c
z
b
a
D
.
liczba ( “ jjJ
Zadanie 25. (1 p k t)
Funkcja/fcx) = (-2 m -
8
).*+ 5 m - 1 jest malejąca dla:
A . / » e (
4
.+oo)
B .m e ( -4 ,+ o o )
C.m e (~ou,- 4 )
D .m e ( - o o ,4 )
Z A D A N IA O T W A R T E
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod
treścią zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Wyraz ogólny ciągu (a „) wyraża się wzorem «„= 2 5, l ł '. Wykaż, że jest Lo ciąg geometryczny.
62
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Zadanie 27. (2 pkt)
Długości boków prostokąta zwiększono o 20%. Oblicz, o ile procent zwiększyło się pole tego
prostokąta.
Zadanie 28. (2 pkt)
Rozwiąż równanie: 5x
4
+
6
* ‘’ + ;i'2- 0.
1
63
Matematyka, Poziom podstawowy
Zadanie 29. (2 p k t)
Dany jest kwadrat
ABCD
o boku di u gości a. Punkt ¿’ jest środkiem boku
DC.
Prosta / jest równoległa
do boku
AB
kwadratu i przechodzi przez środki boków
AD,BC.
Oblicz obwód trójkąta
hFG,
gdzie
punkty
F,G
są odpowiednio punktami przecięcia odcinków
AE,BE z
prostą /.
Zadanie 30. (2 pkt)
Dane są Liczby rzeczywiste
a.b
takie, że
ach.
Wykaż, że średnia arytmetyczna tych liczb jest
mniejsza od
b.
64
Matematyka. Paziom podstawowy
Zadanie 31. (4 pkt)
Wysokość prostopadłościanu jest o 2 dłuższa od jednej krawędzi podstawy i o
2
krótsza od drugiej
krawędzi podstawy. Objętość graniasto słupa jest o 24 mniejsza od objętości sześcianu, którego
krawędź jest równa wysokości prostopadłościanu. Oblicz długości krawędzi podstawy tego
prostopadłościan u.
[ Q
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
W ciągu arytmetycznym różnica między siódmym i drugim wyrazem jest równa 20, a czwarty wyraz
jest równy 17. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie »60.
65
66
Matematyka. Poziom podstawowy
1 1
Zadanie 33. (6 p k t)
Rzucono dwiema kośćmi do gry i określono zdarzenia:
A
- suma wyrzuconych oczek jest większa od
8
,
B
- na obu kościach wypadła ta sama iiczba oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
A UB.
i
67
Miejsce
na naklejkę
z kodem
PRZYKŁADOW Y ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARK USZ 2
PO ZIO M PODSTAW O W Y
C zas pracy: 170 m inut
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 12 stron.
2. W zadaniach od 1, do 25. są podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jedną odpowiedź.
3. Rozwiązania zadań od 26. do 33. zapisz starannie i czytel
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu
mowania prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie. Używaj długopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie podlegają ocenie.
7. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymal
na liczba punktów możliwych do uzyskania.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
Życzym y powodzenia!
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie 50 punktów .
(W ypełnia zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
KOD
ZDAJĄCEGO
i
Matematyka. Poziom podstawowy
3
Z A D A N IA Z A M K N IĘ T E
W zadaniach od 1. do 25, w ybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną popraw ną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba (3
J l
+ 5 ] jest równa:
A. 43 + 3 0 /2
B. 3 1 + 3 0 /2
C .43
D. 25 + 3 9 /2
Zadanie 2. (1 pkt)
Jeśli
A -
{-2,71 ,
B - {
1, +
00
), to wówczas
A \B
jest przedziałem:
A. ( 7 ,+ » )
B . ( - 2 , l)
C . (-2 ,1 )
D .(7 ,+ no)
Zadanie 3. (7 p k t)
Rozwiązaniem nierówności |x +
2
| < 0 jest:
A. zbiór liczb rzeczywistych
B . zbiór pusty
C. liczba ( - 2 )
D. liczba(2 )
Zadanie 4. (7 p k t)
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu fu n k c ji/ o 7 jednostek w prawo, to:
A .y = /( a + 7)
B ..y = /(
3
j + 7
C . y = f ( x - 1 )
D .y = / ( * ) - 7
Zadanie 5. (7 p k t)
Dana jest funkcja
j
określona wzorem
fix) =—4 x -
8
. Ta funkcja przyjmuje wartości ujemne dla:
A .* > - 2
B. 3 < - 2
C. + > 2
D .3 < 2
Zadanie 6. (7 p k t)
Dana jest funkcja / określona wzorem
( jc - 5 )
dla x e ( - o c ,
0
)
fix)
- 1
x
+
2
dla
x G
(
0
, 5)
, Wówczas:
3 dla
i e
( 5 .+
co
)
A ,/(O ) = - 2 5
B ./{ 5 ) = 3
Zadanie 7. (7 pkt)
Para liczb (2, - 2 ) jest rozwiązaniem układu:
■ i - 3 3 - 5 y = l 6
„ J -3 x + 5 y = -1 6
A '| 3 + y = 4
“ - | 3 + y = 4
C . / ( 0 ) = 25
C.
3 3 -5 y = 16
x - y
= 4
D ./( 5 ) = 7
„ f3r-5,= -16
\ x - y = 4
71
4
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 8. (7 pkt)
Dana jest funkcja kwadratowa /( a j = -
3
3+
43
+
e.
Do wykresu tej funkcji należy punkt
A
= (- 3 ,- 8 ) .
Parametr r jest równy:
A . - 5
B. 13
C .-1 1
D .-1 3
Zadanie 9. (7 pkt)
Liczby -4 ,4 , -
1 , 1
są pierwiastkami wielomianu:
A . IVU) = (
3
* -4 )(.> / + 4)(3 - 1)(3+ 1)
B. lV(,3j = ^3* —4 ^ 3 * + 4 j | x 2-
+ l)
C .H '(3) = ( 3 J-1 6 ) ( 3 ! - l)
D .W (3) = ( 3 i + lć ) ( 3 2- l)
Zadanie 10. (7 pkt)
Dany je st trójkąt
ABC
o kącie prostym pTzy wierzchołku
C
i bokach |
BC\
= 5, |
AC \ -
3, |
AB \ =
/3 4 . Jeśli
kąt
CA£
ma miarę
a,
to wartość wyrażenia sin
a
+ cos a je st równa:
i 34
K 4 /3 4
„ 8 /3 4
n ,
T5
T T -
c - ~ T i r
1,11
Zadanie 11. (7 pkt)
Sinus kąta ostrego « jest trzy razy większy od jego cosinusa. Wówczas:
A .s in « = -J
B .
cosk
= ^
c .s in a =
D. cosCt=
Zadanie 12. (7 pkt)
Dłuższa przekątna rombu tworzy
z
jego bokiem
a
kąt 30' oraz wiadomo, że
a -
12 cm. Krótsza
przekątna rombu ma długość:
A . 6 / 3
B. 1 2 /3
C
.6
D. 12
Zadanie 13. (7 pkt)
Liczby (
4
.
3
,
9
) tworzą ciąg geometryczny. Wówczas:
A
. 3
=
6
B . * = 6,5
C
. 3
=
6
lu b
3
=
- 6
D .
3 = - 6
Zadanie 14. (7 pkt)
Liczby naturalne
n
> 5, których reszta z dzielenia przez 5 jest równa 3:
A. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym
a,t-
5
n
+ 3
B. tworzą ciąg o wyrazie ogólnym
an -
3« + 5
C . tworzą ciąg geometryczny
U . tworzą ciąg, który nie jest ani arytmetyczny.,
72
Matematyka. Poziom podstawowy
5
j Zadanie 15. ( i p k t)
| Dany jest ciąg arytmetyczny ( a j o pierwszym wyrazie a, = 2 i różnicy r = m 1+9. Ciąg ma dodatnią
’ h różnicę, gdy:
! A . « e ( - 3 . 3 )
B . / n e ( ~ ó o , - ~ 3 ) u ( 3 , + o o )
i
1
i
!'
! C, nie ma takich m
[). m e R
j
i
!
j Zadanie 16. ( / pk t)
i
|
Dany jest okrąg o promieniu
r -
1,4. Wiadomo, źe odległość środka tego okręgu od prostej
/
jest
\
] równa / 2 . Wówczas:
i i
. i
i
;
j A. prosta jest styczna do okręgu
B, prosta m a z okręgiem 2 punkty wspólne
i
i
|
C. prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych
D. nie można stwierdzić, ile punktów wspólnych
1
ma prosta z okręgiem
i
i
i Zadanie 17. (1 pkt)
] Kąt ostry /3 trójkąta prostokątnego ma miarę 38". Zatem:
I)
! A. a =26"
B. a = 38"
C .a = 5 2 "
D . a = 62"
1
I
| Zadanie 18. (1 pkt)
j Punkt P= (x ,4 ) należy do prostej o równaniu y= 2* + 5. Odcięta punktu P jest równa:
I
1
i
A . * = - £
B . je = 13
C . * = i
D . * = - |
I
I
I Zadanie 19, (1 p k t)
j Proste / i k są prostopadłe i l: 3x + 9y + 6 = 0, k:y = ax + b. Wówczas:
i
..i
j
A .a = - 3
B .a = l
c - “ = - 5
» - “ = 3.
i
i
i Zadanie 20. (1 p k t)
j Dany jest odcinek o końcach A - ( -4 , -6 ), B = (2, - 4 ). Długość odcinka jest równa:
r
i
i A.|Afl| = 4 / 2
B.|A B| = 2 /1 0
C .|A B | = 4 /Ó
D.(AB| = 2 /2 6
j Zadanie 21. (1 pkt)
i Dany jest graniastosiup prawidłowy czworokątny o wysokości h = 6 i krawędzi podstawy a = 2.
i Przekątna tego graniastosiupa jest nachylona do podstawy:
I
i
A. pod kątem or, takim, że tg « =
B. pod kątem a , takim, źe tg
a =
I
I
| C. pod k ą te m « , takim, że tg «
D. pod kątem « , takim, że tg a = ^
73
i
6
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 22. (1 pkt)
Pole powierzchni bocznej walca jest równe 48tt, a jego objętość 9671. Długość promienia podstawy
wałca jest:
A. o 2 mniejsza od wysokości
B. 2 razy mniejsza od wysokości
C. 2 razy większa od wysokości
D. o 2 większa od wysokości
Zadanie 23. ( / pkt)
Dane są wielomiany W (*) = x 3+ 5x2- 3x, P (x )= 3x + 2x - x - 7 . Wielomian G {x) - 2 W ( x ) - P( j)im
wzór:
A .G (* ) = - jc ’ + 3*j - 2 j t+ 7
B . G ( x ) - - x i + 7 x " - 4 x - 7
C . G ( x ) = - x > + Rxi - 5 x + 7
D . G ( x ) = - x ' + \ 2 x ' - 7 x ~ 7
Zadanie 24. ( / pkt)
Rzucono kostką do gry i monetą. Prawdopodobieństwo, że wyrzucono reszkę i co najwyżej 2 oczka.,
jest:
A.
większe o d 4
B.mniejsze o d |
C .r ó w n e j
D. równe ^
Zadanie 25. ( / pkt)
Tabeia przedstawia pewne dane i ich liczebność.
Liczba danvch
5
10
30
30
10
5
Dane
0
1
2
3
4
5
Zatem:
A. średnia arytmetyczna x = 2,5, d = 3, mediana m = 2
B. średnia arytmetyczna ï = 3,1 (6), mediana m = 3
C. średnia arytmetyczna * = 3,1(6), mediana m = 2.5
D. średnia arytmetyczna x = 2,5, mediana m - 2.5
74
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Z A D A N IA O T W A R T E
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod
treścią zadania.
Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność - l 2 x ł - * + l < 0 .
Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie. ,xJ +
x~-§x
- 9 = 0.
7 5
8
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 28. (2 pkt)
Przy prostokątne trójkąta ABC mają diugości 10 i 24. Przeciwprostokątna trójkąta KLM podobnego tej
niego ma długość 13. Oblicz obwód trójkąta KLM.
!
Zadanie 29. (2 pkt)
I
3
Wiadomo, że log23 = a. Wykaż, źe l o g - - ^ a .
Matematyka
.
Poziom podstawowy
9
Zadanie 30. (2 pkt)
Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 25, a czwarty 28. Wyznacz ósmy wyraz tego ciągu,
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 31. {4 pkt)
Trzy liezby, których suma jest równa 49. tworzą ciąg geometryczny. Jeśli do pierwszej liczby
dodamy 4, do drugiej dodamy 1, a od trzeciej odejmiemy 9, to otrzymamy ciąg arytmetyczny
Wyznacz te liczby.
y
7 7
7 8
Matematyka, Poziom podstawowy
1 1
Zadanie 32. (6 p k t)
Punkty A = (1,3), C = (7,1) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz współrzędne
pozostałych wierzchołków tego kwadratu.
79
12
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 33. (5 p k t)
Objętość stożka jest równa 100071, a tworząca tworzy z podstawą kąt 30*. Oblicz pole powierzchni
bocznej tego stożka.
li
80
I. LICZBY, ICH ZBIORY - WYNIKI CTAPOW ROZWIĄZAŃ B
ł . L i c z b y , l e l i z b i o r y
Zadania zamknięte
S i
10PS
L
_____________
|__________ j 7 5 ^ 3 = J5 - 9
[
~D-
i r t T
!
I (a j a-«
a- i
| 2 - / 7 < O =» 12 - /7 1 = - (2 - / 7 ) = - 2 + / 7
D.
i Jest 5 cyfr nieparzystych i IO wszystkich cyfr,
2
atem wszystkich liczb
dwucyfrowych, w których pierwsza cyfra jest nieparzysta jest 5 • 10 - 50.
| 0,0()3
jc
=
=
=s.v = 4000
8'
i
B'
.
ń
6 ( / 7 - 3 )
|
^ (
7
-
2
/
3
) = 4 9 - 2 8 / 3 + 1 2 = 6 1 - 2 8 / 3
11
j A‘
| ( / 2 - l ) ’’ = 2 / 2 - 3 - 2 + 3 / 2 - I = 5 / 2 - 7
1 !-
|
B-
| , v -
2
| «
6
« J c -
2
> -
6
A . v -
2
«
6
« i ' J > -
4
A j ; t ;
8
» x e ( -
4
,
8
)
_ L _ I
Sa to pary {1.2}. {1.
{1.4}. {I, S f. {2.3}. {
2. 4>. f 2.5}. {3.4}. {3. S> i 4 5 },
jest Więc ich 10.
1 1
f‘\
I Różnicą przedziałów jest przedział otwarty (3 ,7 ), gdyż odejmujemy przedział ^
| Liczby wymierne zbioru, to y3 6 = 6, 0,( 73),
8 1
gft MAltMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
16.
A.
log?36 = io g ,6 £ = 2 log ,6
1
17.
C.
Różnicę kwadratów liczb można według wzoru skróconego mnożenia zastąpić
iloczynem różnicy i sumy tych liczb.
1
18.
B.
1 25 "* -
\ ~ ~ -
y \ i 2 5 l
25
1
19.
A.
| 3 * - 6| = 6 - 3a => 3 a - 6 « 0
* x < 2
1
20.
D
W
=
|x — 6| - 3a + 5 i
x
E (0 , ó )
=>
W
= - .r + 6 — 3a + 5 =>
IV'
= —
4a
+ I I
1
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
i.
Wprowadzenie oznaczenia
x - cena kurtki i zapisanie ceny kurtki po obniżce: 0.8x.
1
Obliczenie ceny kurtki przed obniżką: A' “ 400 zi.
1
2.
zapisanie równania:
x
- l =
2
’\
1
Rozwiązanie równania:
x
=
1 g-
1
3.
Wprowadzenie oznaczeń: log ,5
=
a, log;t5
=
b
i
zapisanie równam
3"=
5 i
9* =
5.
1
Wyznaczenie szukanego logarytmu:
b = ^ a .
1
4.
zapisanie wyrażenia bez symbolu wartości bezwzględnej: W (.v) =
~(2a
-■ 10
)
-
(
x
+
2
).
Redukcja wyrazów podobnych i zapisanie odpowiedzi:
W{ A ) =
-3a
+ 8.
1
5
Zapisanie nierówności wynikającej' z treści zadania: 2 * - 7 < 0.
1
Rozwiązanie nierówności i zapisanie przedziału
: x G
1
6.
Wyznaczenie przedziału
A
n
A
n
B -
(0.2).
1
Wyznaczenie przedziatu A \
B: A
\B = { - 5
,
0).
1
7.
Obliczenie liczby
a:
|
^ j
1
Obliczenie liczby
x ": a '= 1 6 .
i
8.
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 0,07
a
= 28.
1
Wyznaczenie liczby
x: x ~ 400.
1
9.
Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia:
x = 3 - 4
/6
+
8
+ 4
/6.
1
1. LIC?BY, fCH Z8I0RY - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ K
II
1
Zredukowanie wyrazów podobnych, co wykazuje tezę zadania:
x = L l e N.
|
10.
!
Wprowadzenie oznaczeń i wykorzystanie definicji logarytmu: log
b
= x => ax~
b,
log„<* = v
- ( j ł y - b.
1
Zapisanie, równania i przekształcenie do tezy zadania:
x
= 2v =* log
b
- 2
log
?
b.
1
i i .
Wyznaczenie przedziału
A U B:A U B -R .
Wyznaczenie przedziału B \A :
B \A - (3, +oo).
12.
I
Zapisanie liczby pod pierwiastkiem w postaci kwadratu różnicy:
a - / i 2 - J l ) .
V '
’
Opuszczenie pierwiastka i zapisanie liczby w żądanej postaci:
a - - 2 + J l.
13.
Zapisanie liczby
a w najprostszej postaci: a =
1
Obliczenie, jakim procentem liczby
a jest liczba b: 8000%.
1
j
14.
Opuszczenie pierwiastka: 1
2x - 3 - 7.
1
Rozwiązanie równania:
x = 5 lub x - - 2 .
15.
84
r
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: iP r =• f r .
24
J 4
1
i
f
Rozwiązanie równania:
x
- 49.
1
•
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1.
Rozwiązanie pierwszej nierówności układu:
x e {6 ,2 2 ).
Rozwiązanie drugiej nierówności układu; ar e (-<x>,0) U (12, +oc).
1
Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań:
x £ (12,22).
Zapisanie odpowiedzi: liczby pierwsze spełniające obie nierówności jednocześnie to:
13. J7,19.
1
2.
Obliczenie liczby
a: a = 25.
Obliczenie liczby
b:b~
20.
i
Obliczenie odwrotności liczb:
a -
b 1 = j j -
1
!
Porównanie odwrotności liczb:
i
j
Zapisanie
a b=
25
2'\
b"-
20 2\
WWW.OgetęiU.igi
83
W
Y
N
I
K
I
E
T
A
8
6
W
ROZW
IĄZA
Ń
W
Y
N
I
K
I
F
T
i
i
O
W
R
0
2
W
U
I
M
)
m
M A T E M A T Y K A - P 0 7 I O M P O D S T A W O W Y
i
Przekształcenie potęg do postaci umożliwiającej ich porównanie i podanie odpowiedzi:
20"5= (-4'S j 5i's, 25_l",=
5” , zatem
a ' < b*.
2
1
)1
pW za
metod?
I 1 Dlit Ł3
obliczenia) •
3.
Wprowadzenie oznaczeń:
x, y - odpowiednio cyfra dziesiątek i jedności,
l ().x + y - szukana liczba,
x + y » II.
1
Zapisanie liczby po dopisaniu cyfry 7 na końcu liczby danej: (1 Uar + y ) 10 + 7.
1
i
|(1 G k + v )I0 + 7 = J0* + y + 51L
zapisanie układu równań:
\
|
x + y - 11
1
[
x - 5
Rozwiązanie układu: 'v _ jj, zatem szukana liczba, to 56.
2
H pktza
metod?
i i pkt
m
obliczenia)
!
4.
Zapisanie równania: OJ 6 * - 8800, .t - powierzchnia działki.
1
Rozwiązanie równania:
x - 55000. działka ma 55000 m ‘.
1
i
zapisanie odpowiedzi: działka ma 5.5 ha.
1
;
Obliczenie powierzchni terenu rekreacyjnego: 46200 m '.
1
i
Obliczenie, jakim procentem powierzchni terenu rekreacyjnego jest teren szkółki: ok. 19%.
1
I
5-
Zapisanie równania; 2* +
5x + 7,x = 280.
1
Obliczenie najdłuższej części sznurka: 140 cm.
1
Obliczenie obwodu pudełka wzdłuż najdłuższych wymiarów: 2 • 25 + 2 • 30 - 110 cm.
1
I
Zapisanie odpowiedzi: najdłuższy kawałek sznurka wystarczy do obwiązania pudełka.
1
;
6.
Wyznaczenie sumy. iloczynu i różnicy przedziałów:
A U B = (-o o , 10). A n B =■ ( - 1 0 .- 2 ) ,
A \B = (-o o ,-IO ).
3
ipo
1
pkt
za każda
czynność)
Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania-,
m" - 6 < 5m.
1
i
Rozwiązanie nierówności:/« e { - 1,6).
2
<w tym
•i pktza
wyznaczenie
pierwiast
ków)
7.
Wyznaczenie liczby płaszczy z usterkami: 20.
1
2 0 _x
1
Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania:
— < f
x
- liczba płaszczy do
usunięcia.
1
.
. .
1000
Rozwiązanie nierówności:
x > ~§§~-
1
j podanie odpowiedzi: należy usunąć co najmniej 11 płaszczy.
1
84
i >-! fl
I. LICZBY, ICH ZBIORY - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ i
I Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia:
W - (2%) - 3 ( 2x) v + 3 ■ 2xy2- v‘'~ ^4.r"+ 4xy + y '] - ( ló % - 9y* j + J2%
2
y + >>" +
■I- 20%" + 4%y.
Zredukowanie wyrazów podobnych:
W = 8%"+ 6%v' + 8y~.
Obliczenie wartości wyrażenia dla danych liczb
x, v: W - 160(! + v/ 5 ).
Przekształcenie wszystkich potęg do potęgi o tej samej podstawie: 5‘
x -
5 5"
Wykonanie działań w liczniku i mianowniku ułamka po prawej stronie równania:
5 %
- ^ .
Wyznaczenie niewiadomej:
x ~ 20.
Analiza zadania, wprowadzenie oznaczeń:
x - długość trasy,
OJ
5x - długość trasy pokonanej pierwszego dnia,
i 0,85% - długość trasy pokonanej drugiego dnia,
17
120
x - długość trasy pokonanej trzeciego dnia,
x - długość trasy pokonanej czwartego dnia,
34 km - długość trasy pokonanej piątego dnia.
Zapisanie równania:
0,15% + ^ 0,85% +
% + -p^y + 34
=
x.
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: % = 120 km.
3
(po
1
pkt>
2
(po 1 pkt
za lewy
i prawą
stron«
równania)
35
• MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
f i . F u n k c j e i i c h w ł a s n o ś c i
Zadania zamknięte
! Numer
i zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki cło rozwiązania
Liczba
punktOW
1
1.
C.
Liczba I jest miejscem zerowym funkcji liniowej y
+ i. ale nie funkcji
f
określonej w zadaniu, gdyż J $ ( -o o ,—2). analogicznie liczba ( - 2), zaś liczba
4 nie jest miejscem zerowym żadnej z funkcji liniowych podanej we wzorze
funkcji / . Jedynym miejscem zerowym funkcji / jest więc liczba
należąca
do przedziału ( - 2 , l).
1
i
2-
c.
Wykres funkcji
y =•f i x - «) powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji
v
- f i x ) o a jednostek w prawo, gdy a > i).
1
|
3.
i
D.
Wykres funkcji
y -/(%.) + b powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji
1
1
v =/(%) o
b jednostek w dół, gdy b < 0.
;
4.
C.
X1 + 4 0 =? x €■ R, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą
1
nieujemną.
i
5
A.
- 2% + 4
< 0
- 2%
< - 4 =* x > 2
1
|
6.
A.
im + 9 < 0 =* m < - 3
1
1
7’
i
D.
|2 * + 7|'#:0 a 2x
+ 7 * 0
X
1
j
8.
D,
5 e ( 0 , 5 } ~ / ( 5 ) = = 5 - 2 ~ A 5 ) = 3
1
9.
D.
m = 0 **f(x ) - 4%' + 3
funkcja nie ma miejsc zerowych.
1
10.
D.
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej
y = ax + h jest
równy
1
11.
C.
b = - 4 + 8=^ b = 4
1
12.
B.
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową wykresu funkq'i
y = / ( * ) względem osi
OX to y - - /(% ).
1
!
15.
A.
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez symetrię osiową wykresu funkcji
y =/(%) względem osi
OY to y - / ( —%),
i
14.
D.
D =
4 = 4 (-% + 2 ) =>% = 1
i
15.
A.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej
y - ax + b jest
równy
a.
i
j
16.
i
\
.......
D.
Funkcja osiąga swoją wartość najmniejszą, gdyż współczynnik
a trójmianu
kwadratowego jest dodatni.
i
....J
86
w w w. c|> s roa.pl
II. FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ B
17.
C.
p/~\ i i dlii x > 5
/ ( A > = j - l
dla
i <5
r ._
18.
C.
j = 4 =; a ~ ~ \
1
19.
A.
13 =
0 - a + b
f
b - 3
\-3 a + b - ~ 2
* * \a = 2
1
20.
B.
Wartości potęg liczby dodatniej
są zawsze
dodatnie.
1
Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
1 Liczba •
punktów |
1
.
Zapisanie nierówności; 3x
‘ + Ax + J <
0 i wyznaczenie pierwiastków:
x {
~ - l ,
= - ^*
1
i
Rozwiązanie nierówności:
x &
( - 1 ,
1
i
2
.
sporządzenie wykresu funkcji:
4
/ 1
r>
Tc-
0
Il
i1
0
7
1
2
X
i
3.
Zapisanie warunku wynikającego z treści zadania: 1 - 1
x
2
0.
1
Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:
D = ( -
00
,3).
1
f
4.
Zapisanie równania; (3
m - 1 )(— 3) — 1 = 0.
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: miejscem zerowym funkcji jest liczba ( - 3 ) dla
4
m = ~g .
1
i
5.
Zapisanie wzoru funkcji bez symbolu wartości bezwzględnej:
_
1
5x -
7
dla 5 x -
10
> 0
•
- [-5X +
J3
dla 5x - 1
0
<
0‘
1
l
Zapisanie wzoru funkcji bez symbolu wartości bezwzględnej i zapisanie warunków
w postać? przedziałów:
f 5x ~ 7 dla x ę (.2,
+
00
)
f{x) = <
\
/
.
[-5 a + 13
dla x <£
( —
00
.
2
)
1
j
6.
Zapisanie warunku wynikającego z treści zadania: 7 - 7 *
± 0.
1
i
87
W
r
N
I
K
i
E
T
A
*
Ó
W
W
Y
N
I
K
I
E
T
A
P
Ó
m m i t i
UTYKA - POZIOM PODSTAWOWY
I
9-
Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi:
D - R \ {0,71.
Odczytanie przedziałów w których funkcja jest malejąca: { - 4 , ()), (5 ,7 ).
Odczytanie przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości nieujerrtne:
( -
6
, - 2 ) U (4 ,7 ),
Zapisanie równania:
x
" -
6x
+ 9 > 0.
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:
D = R.
Zapisanie równania: , 7 -
2x2-
3rc +
6
= 01 przekształcenie do postaci:
7 ( * - 2 ) - 3 ( . v - 2 ) = 0.
Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynowej:
( x - y'3j(x + v/ 3 )(.v- 2)
i podanie miejsc zerowych funkcji;
x, = /3 , x?= " / 3 , x 3=
2
.
10.
Sporządzenie tabelki wartości funkcji:
3
1
4
5
6
7
1
2
5
|
2
i
1
i
1 1 .
!
1 2 .
Zapisanie zbioru wartości funkcji: W = { l . 2 ,5 }.
Zapisanie wzoru rodziny funkcji o wykresach równoległych do danej:
y
= 4x + b.
Wyznaczenie wzoru szukanej funkcji: / (
x ) - 4x + 9.
Zapisanie równania: 36 -
Ac -
0.
Rozwiązanie równania:
c
= 3 lub
c
- -3 .
Zapisanie równania: <1 =
a
Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji: / ( x ) - 3*.
Zapisanie wzoru rodziny funkcji o wykresach prostopadłych do danej:
f { x ) -
5
+ +
b.
Wyznaczenie wzoru funkcji:
f ( x ) -
2 * ~
88
II. FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ »
Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Wyznaczenie
x w = 2 i sprawdzenie, źe xw e (-1 ,3 ).
Obliczenie
y w: y.t, = - 3.
Obliczenie wartości funkcji na końcach przedziału: / ( - l ) = 15, / ( 3 ) = - l .
Zapisanie odpowiedzi: Największą wartością funkcji w danym przedziale jest 1.5,
a najmniejszą ( - 3 ) .
Doprowadzenie wzoru funkcji do najprostszej postaci:
f(x ) *x ~ — i Gx + 9.
Narysowanie wykresu funkcji
f
: i podanie zbioru wartości:
W -
(-16, +o&).
Liczba |
punktów ;
1
1
;
1
2
,
(1 pkt2a ^
mon/
l
skróconego \
mnożenia !
1 1
p k t za
i
redukcję
j
w yrazów
'
podobnycn! f
2
ipO 1 pKt
I
V
|» = * i - 10*+9
i
i
za każdą
C
2
ynnośći
1
\
[V X
- li
:
\
\
V /
1
1
1
!
Zapisanie maksymalnego przedziału, w którym wartości funkcji są ujemne:
x G (1,9).
1
Zapisanie maksymalnego przedziału, w którym funkcja jest malejąca: ( "
00
,
5
).
1
Narysowanie wykresu funkcji #:
i
i
1
Y
9
1
fit
k
) = f [ ~ x )
1
|
t
1
X
\
f
89
W
Y
lł
lK
t
E
T
A
P
Ó
W
R
O
Z
W
I
Ą
Z
A
Ń
A
Ń
m
MATE WATY KA - POZIOM PODSTAWOWY
!
A.
2
apisanie wzoru funkcji: /(jer) - 700 +
6x.
Obliczenie zarobku Marcina: 850 zt.
Zapisanie równania: 700 +
bx = 1240,
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: Marcin powinien sprzedać 90 części.
Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej:
f ix ) ~ a ( x - 2 ) ( * + 4).
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 14 = « { 3 - 2 ) ( 3 + 4).
Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
f ix ) = 2 {;t - 2 )(x + 4).
Przekształcenie wzoru do postaci ogólnej:
f ix ) = 2x'-Jr 4x - 16.
« =
2
7 i l i n - i
Zapisanie odpowiedzi;
\ b - 4 .
r = - 16
Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:
f ix ) =■ a ( x - 4) +
2
.
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: -1 3 =
a ( - 1 - 4 ) + 2 .
Rozwiązanie równania i zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:
/ ( * ) = - | ( * - 4 ) V z .
Przekształcenie wzoru do postaci ogólnej:
f ix ) = —| x 2 + -^ę-x~ '^ą--
Zapisanie odpowiedzi:
fl = - T
b =
5
24
5 ‘
_38
5
zapisanie warunków wynikających z treści zadania: x Ł- 2 t f - - 3 > ( ) i 5 - | ; * | > 0 .
Rozwiązanie pierwszej nierówności:
x E (-o o ,-L ) U (3,+oo).
Rozwiązanie drugiej nierówności:
x G ( -5 ,5 ).
Wyznaczenie części wspólnej 1 zapisanie dziedziny funkcji:
D - ( - 5 , -1 } U (3,5).
zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej:
W O ) = a ( 'X + 3 )(x — f i )(x + / 7).
Wyznaczenie miejsc zerowych:
x { = -3 , x2= f l , x }= - f l .
Zapisanie równania: - 4 8 = d (1 + 3 - 7 - 2 1 ) .
<w tym
1 p kt za
wyzna
czenie
pierwiast
ków)
90
w
w w. o per o tt.pl
II. FllNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ
M
Rozwiązanie równania:
a
=
2 .
1
i
(
Przekształcenie równania W U )
-
G(x) = 0 do postaci: 3
a x
- 3
ax
“ ¿7
= 0.
1
!
Wyznaczenie wyróżnika:
A
~
2
l a ”
1
S
Zapisanie wniosku: dia
a # 0 wyróżnik zawsze dodatni, zatem równanie ma dwa
rozwiązania dla każdego
a i=-
0
.
■
1
!
Wyznaczenie wzoru funkcji
g : g
U ) = 3.xZ-
3.x +
6
.
3
(
2
p k t za
f
w zo ry
i
skróconego
i
mnożenia
;
i
1
pkt za
redukcję
l
wyrazów
*
podobnych)
i
Wykazanie, że funkcja nie ma miejsc zerowych:
A
= - 63 -> zl <
0
.
Narysowanie wykresu funkcji .y
~ f{x ) -
2 :
^
1
!
v = A - r )
.
; j i , ( X ) = f ( x ) - 2
i
i i Ą
x
!
- 2
1
Narysowanie wykresu funkcji
g :
y
1
—
'--------------®
A
W
) = - ¡ U )
|
X1
- * -
Zapisanie nierówności:
2 X « 2 ' ~
'
1
“ j
Przekształcenie nierówności:
x 2<
x
+ 2.
1
Rozwiązanie nierówności:
x
E
( - 1 ,2 ) .
2
tw tym
1 p k t za
wyzna
czenie
pierwiast
ków»
Narysowanie wykresu funkcji:
Y
\
//
3
I
(za każdą
Część po
1 pkt)
4
.
.
,
\!
/
* i
y
!
I
I
Zapisanie zbioru wartości:
W
= ( - 4 , 4).
1
;
Zapisanie największej i najmniejszej wartości funkcji w danym przedziale:
m = - 4, M - 0.
2
• !
(po
1
p k t
|
za każdą
j
czynności
i
pi
91
® MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
iii... W ie lo m ia n y i fu n k c je w y m ie rn e
Z a d a n ia z a m k n i ę t e
Numer
zadania
poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktóW'
1.
0.
Liczba 2 musi być miejscem zerowym funkcji liniowej rosnącej.
1
2-
A.
Zbiór wartości dia funkcji kwadratowej o dodatnim współczynniku
a
to
przedział
(yw
,
-t-oc),
y lv
=
-5 .
1
3
.
B.
» 'W
4(.ie- 7) => W"!.i) = (ar— 7)(.v’ - 4 j
=»
W\x)
- (,v — 7)(.v —
2
)(.v
+ 2)
1
|
4.
C.
D - R \ {4 }, zatem po pomnożeniu obu stron równania przez mianownik
otrzymujemy
x*
- 16 = 0 =»
= 4
D. x7
= - 4 e
D.
1
5.
C.
Podstawiając do układów parę liczb (2, -2 ), sprawdzamy, że ta para spełnia
jedynie oba równania trzeciego układu.
1
6 '
C.
- 9
- - 4 - 12 +
c
-o
c
= 7
1
7
B.
Dla prostej v =
ax
+
b współczynnik kierunkowy
a =
tg 60c
=> a -
y:3.
1
8
.
C.
Podstawiając do każdego z wielomianów podane cztery liczby, sprawdzamy,
że są one pierwiastkami jedynie dla wielomianu z przykładu C.
W
( - 3 )
= 0.
W
(3 )
= 0,
W
( - 1 ) =
0.
W
( 1 ) =
0.
1
9.
C.
D
- A
5
\ { - 3 . 2 } , zatem po pomnożeniu obu stron równania przez mianownik
otrzymujemy
- 4 = 0 =>
- 2 £
0.
x 2
=™2 F
D.
1
10
.
D.
W (2) = 0 ^ 8 + 4 w - 6 - ł- 2 = 0 = *
m = - 1
1
1 1
.
B.
W(x)
= (,v:‘ - 4 ) => l^'U ) = [ ( - t -
2
){A' +
2
) ] =>
lV(jf) = ( x -
2
) Z( j c +
2)2
1
12
.
A.
x 1
=
- 4,
zatem równanie jest sprzeczne.
1
13,
C.
.i2- *
=
0
u>
x (x -
1
) =
0
* , =
0
,jf2= l
1
14.
8.
W (x)- G(x) - x 4- 5.t' +
3
- ^2.y4+ 4x' +
2 ) =--
W(x) - G(x) = x 4- 5x} +
3
- 2x4 - 4x*- 2 *
W { x ) - G ( x ) = - x * - 9 x y+ 1
1
15.
A
W (-
2 ) = - I 6 - 4 - 7 =
ó
W ( - 2 ) = - 2 7
1
92
•rfWW.
cperoii.pl
III. WIELOMIANY I EUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ SS
16.
B.
ję3= - l = > * = - !
1
i
17.
A.
D ~
R \ { i } , zatem po pomnożeniu obu stron równania pr
2
e
2
mianownik
otrzymujemy
x - 25 = 0 =* x,= 5 G D, x 2= - 5 e 0.
1
i
18.
A.
Funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku «jest rosnąca w przedziale
1
i
19.
A.
Podstawiając daną liczbę do wyrażenia, otrzymujemy:
1
" T fT T ”
-*
M -
14
ł- ;" '7
- +
f i
3
A
1
I
!
20
.
A.
W ( - / 2 ) = - 2 / 2 - 4 - 5 / 2 - 9 - W ( - / 2 ) = - 7 ^ - 1 3
Lu
Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
Zapisanie wielomianu w postaci: W (x) ~ ( U - I ) -
1
Rozłożenie wielomianu na czynniki:
W(x) = ( ar — 1) (a + 1) .
1
2
.
Zapisanie wielomianu w postaci:
ty{x) - x " { x - 3) - 2 ( x - 3).
Rozłożenie wielomianu na czynniki:
Wije) - (a - /2 )(a : + / 2 ) ( x — 3).
3.
1
1
1
1
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
x { - jr- x2=-^.
Rozwiązanie nierówności:
x £
4.
Wyznaczenie pierwiastka trójmianu kwadratowego:
x(i-
1
Rozwiązanie nierówności:
x e R \
j.
1
5.
Zapisanie dziedziny równania:
D = R \ { - 1} i przekształcenie do postaci:
2
a
- 3 - ( a + l ) - 0.
1
Rozwiązanie równania:
jc
= 4.
1
6
.
zapisanie równania:5 + 4 + 3 + 2 + £ i - - 5 + 4 - 3 + 2 - £ i.
Rozwiązanie równania:
a = -
8
.
7.
Zapisanie równania: - 32 - 96 -
8
t? -
8
=
8
.
1
Rozwiązanie równania:
a = —18.
1
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
zapisanie układu równań:
a
+ v = 35
0,6
a
- l,2 y = 3’
Rozwiązanie układu równań: x = 2 5
y —
LO-
Rozwiązanie równania.-
a = - 2.
Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli:
x w = 2.
wyznaczenie drugiej współrzędnej wierzchołka paraboli:
y w = -
7
.
Zapisanie układu równań:
h = - 5
- 3
a + fo = 4'
Wyznaczenie wzoru wielomianu: V1/(
a
) = - 3
x
- 5.
Wyznaczenie pierwiastków wielomianu:
Zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej:
Zapisanie wielomianu w postaci Iloczynowej:
Zapisanie wielomianu w żądanej postaci: W(.t) = j : 4- 3 x
2
+ 2.
Zapisanie równania bez symbolu pierwiastka: |5 - 3x| = 12.
Wyznaczenie pierwiastków równania;
x = - ^ lub x = -j-.
Zapisanie równania:
12 ‘ 6-
Rozwiązanie równania:
x = 2,5 (godz.).
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
I zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Zapisanie dziedziny równania:
D = R \ { - l . 2}.
Przekształcenie równania do postaci: -x - 4
.
A + l
A - 2'
Rozwiązanie równania: * =
94
III. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ 8
Wprowadzenie oznaczeń:
v - prędkość samochodu,
v r = v - 5 0 - prędkość rowerzysty,
( - czas samochodu,
/ + 3 ^ - czas rowerzysty.
Zapisanie układu równań:
160 .
i
160
10
= v - 50'
Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą: ~ ~ - 50 = ^ }
a
-
t
4
. i.y.
3
Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego: - 3
1~- 10/ + 32 = 0.
Rozwiązanie równania kwadratowego: /*,= 2,
Wybranie właściwej wartości i obliczenie prędkości samochodu i rowerzysty:
v ~ 80 kin
v - 30
km
Wprowadzenie oznaczeń:
x - cyfra setek,
y - cyfra dziesiątek,
z - cyfra jedności,
100* + lOy +
z - szukana liczba,
100
z + I
0
>‘ + jc - liczba po przestawieniu cyfr.
x -
z =
1
Zapisanie układu równań:
\ 100x + 10v + z - 99 - lOOz + 10v + x.
x + y + z= 19
x = 6
X = 1
x -■
8
x - 9
Rozwiązanie układu:
v =
8
lub
y =
6
. lub
y = 4, lub y -
2
.
z - 5
z =
6
z - 1
1
* =
8
Zapisanie odpowiedzi: szukaną liczbą jest 685 lub 766, lub 847, lub 928.
Wprowadzenie oznaczeń:
y - bok prostokąta zawarty w podstawie trójkąta,
x - drugi bok prostokąta.
Zapisanie proporcji:
Wyznaczenie jednej niewiadomej:
y - 1,2 ■ (2 - x ).
Ułożenie funkcji przedstawiającej pole plakatu:
P(x) ~ -i,2 x + 2,4x.
Wyznaczenie dziedziny funkcji:
x e (0
4
2).
2
(1
pkt
za
metodę
i 1
P « t 23
obliczenia)
Wyznaczenie argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość największą:
x w~ 1.
Wyznaczenie drugiego boku plakatu i podanie odpowiedzi: pole plakatu będzie największe,
gdy bok zawarty w podstawie trójkąta będzie miał długość
1,2
m, a drugi bok
1
m.
w w isi. o js e ? <5 r< . & ?
95
m
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
5.
, •
•
A
( " 1
+ *-1 -9 +
6
= -1 6
1
i
Zapisanie układu równań: j
64
+
} ^ ^ +
Rozwiązanie układu równań:
_
2
?
7
-
1
i
Zapisanie wzoru wielomianu:
W(x)
~
x + 3x" - ftr - 27.
1
•
Przekształcenie wzoru wielomianu do postaci:
W (ar) = x "(x + 3 ) - 9 ( x
+
3).
1
' Rozłożenie wielomianu na czynniki:
W(x) = ( x + 3)(x + 3 )(x - 3).
1
Wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu: :v, = -3 ,
x2
-
3.
1
6
.
Zapisanie warunku dotyczącego dziedziny wyrażenia:
l & t '+
8
U1'# 0.
1
Przekształcenie lewej strony do postaci iloczynowej: jc“ (
x - 3) ( x + 3) ^ 0.
2
iw tym '
1 oJkt
wyclągjiiĘda
przed
nawias)
Zapisanie dziedziny funkcji:
D = R \ { - 3 ,0 .3 }.
ł
x ( x - 2 ) { x + l )
Zapisanie licznika ułamka w postaci iloczynowej: w (jc ) = — ------•
-j---------- j.
x~(x - 3) ( x + 3)
2
(w tym
■ł pKtia •
wyzna
czenie
pierwlast- .'
k<jw
trojmiany
kwadrato
wego!
Skrócenie ufamka: IV (
x ) = --------x ± J -------y.
x ( x
— 3){ x + 3)
1
7
, .
.
* 1 -125 + 2 5 a - 5 6 -
80 = 0
zapisanie uktadu równań: j
64
+ [
6
« + t ó - 80 =
0
■
Rozwiązanie układu równań:
= £ |^ -
1
Zapisanie wzoru wielomianu:
W{x)-=xm
+
5x~— 16 x- 80.
1
Przekształcenie wzoru do postaci: W(x> = :sr“(.t + 5) - 16
( x + 5).
Rozłożenie wielomianu na czynniki: WCy) = ( x +
5 )(x - 4)(.y-+- 4).
1
Zapisanie odpowiedzi; trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba
x - -4 ,
1
8
.
Zapisanie wzoru wielomianu: iV(x; + 1):
W(x + 1) = x + 3x" + 5x +
8
.
1
zapisanie wzoru wielomianu
G tar): G(x) = 3x‘L + 3x + 3.
wykazanie, że wielomian
G(x) nie ma miejsc zerowych: A ~-21, ćatem wielomian G (x)
1
nie ma miejsc zerowych.
III. WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ K
9.
, ^
.
( / 2 + 3 ) ! - 3 ( / 2 + 3)
Podstawienie liczbvdo danego wyrażenia:
W (¿2 + 3) = ------------------- ^ ------- -
( / 2 + 3)
1
Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia w liczniku ułamka i zredukowanie wyrazów
podobnych:
W( ¿2 4* 3) =
^ +
( / 2 + 3 )
2
[po
1
pkt
2
a każde
obliczenie)
wykorzystanie wzorów skniconego mnożenia w mianowniku utamka:
W (J2 +
3
] = ^
>'2
+
2
'
;
2 9 / 5 + 45
1
Usuniecie nlewymierności
2
mianownika utamka: l v ( / 2 + 3) = - ^ + l 'g / 2 .
2
(1
pkt
za
wykorzysta
nie wzoru
skróconego
mnożenia
r 1 p k t 2a
pozostałe
obliczenia)
10
.
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: — 500 +
)5
= 165Q(|
g
¡ ^ ^ x> jq
•*
X — TU
x - liczba maturzystów w szkole.
1
Przekształcenie równania do postaci: ^ O O h - 15*
=
x
x - l O
1
Przekształcenie równania do postaci równania kwadratowego:
x 2~ 10x - 11000 = 0.
1
Rozwiązanie równania: ar, =-1 0 0 . x 2= 110.
1
zapisanie odpowiedzi: w tej szkole jest
110
maturzystów.
1
Í
i
I
i
97
W
Y
N
I
K
I
E
T
A
P
Ó
W
ROZ
WIĄZ
AŃ
W
Y
H
I
K
I
E
T
A
P
Ó
W
R
OZW
IĄZ
AŃ
M MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
IV. Funkcje trygonom etryczne
Zadania zamknięte
Numer J Poprawna
zadania
1
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów/ •:
Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciwko najmniejszego kąta.
+cos‘flf=
1 =» cos O. =
s in a = f i t g a = £ = > sin
a <
tg
a. ponieważ długość przyprostokątnej jest
mniejsza od długości przeciwprostokątnej.
sin
a
= 2 c o s a =* cos?o r+ 4 co s2a = 1
=»
co s« = - y
cosor= 3sinOi=>
tg a -
=>t
8
“ = |
2
i
?
W = ( s i n a - cosa) = -sin 'o r-2 sin a c o sa + c o ś a =
W= l- 2 - - j= > W^O
w = (
s i n a . cosóf
\ _
sin
'a
-i- cos
a
w
Icos
a
s in a
J
"
sin a c o s a
W = -
. W = 9
(sin a c o s a )
i
d
cos
30’ = -=£-
=*d-
6
v/3
cos
a =
i
=> a - 60’
tz k + cos" a =
1 =* cos a — -pr
169
ló
sin a _ 3
cosa
4
sin
2 a + cos2 a -
3
4
»s in a - ^
eona - j
l(X= / 3
a = 60°
sin a = ^ =» a = 45°
74
.
17
s i n a - - ~ |
sm a =
98
IV. F U N K C J E T R Y G O N O M E T R Y C Z N E - W Y N I K I E T A P Ó W R O Z W I Ą Z A Ń
8
16.
A.
cos60° = -Jj- => Iogscos60° - -
1
1
17.
C.
tg 6 0 ° = / 3 ^ t g i 60a = 3v/ 3
1
18.
B.
3in 3 0 0 = ^ = * ( s in 3 0 a- l ) ' = |
1
19.
c.
tg Z6:45 =
=> tg
^
1
!
i
20
.
C.
^ => sinCi = - ^ j =* sin
2
a + cos
2
a /
1
, zatem takie dane są
5
niemożliwe.
1
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
Wyciągnięcie przed nawias wspólnego czynnika po lewej stronie tożsamości:
L = c o s x (l - sin
2
ar).
1
Wykorzystanie Jedynki trygonometrycznej" do przekształceń w nawiasie i wykazanie
tożsamości:
L ~ cos*cos
2
x = cos3* = P.
1
2
.
Wyznaczenie wartości sinusa
ot: sin cc =
1
Wyznaczenie wartości kąta:
Ot- 30D.
1
3.
Wyciągnięcie przed nawias wspólnego czynnika po lewej stronie tożsamości:
L = sin a (coś2 a + sin
2
cc).
1
Wykorzystanie Jedynki trygonometrycznej" do przekształcenia wyrażenia w nawiasie
i wykazanie tożsamości:
L - s in a = P.
1
4.
¿3
Js
J$
Wykorzystanie wartości sinusa i definicji wartości bezwzględnej: Vv - - --j- +
------
1
Zredukowanie wyrazów podobnych i oszacowanie wartości wyrażenia:
W = - ^ y - =*■
W < ”
1
5.
Wyznaczenie tangensa kąta: tg a - / 3 lub Lg a = 1 lub tg
x =-1.
1
Wyznaczenie kąta
a: a = 60° lub Ot - 45°.
1
6
.
Wykorzystanie wartości sinusa i wzoru skróconego mnożenia: -rg—-— —.
Ą- - 2 / 3
1
Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie liczby w żądanej postaci:
a - J Ł + 3 Ł r i
a ~ \ 6 9 + i6 9 vó'
1
w w w . o p e r & s K p i
99
W
y
N
1
K
I
E
T
«
P
fl
W
8
0
2
w
)
Ą
2
A
Ń
m
M A T E M A T Y K A - P O Z I O M P O D S T A W O W Y
i
zapisanie układu równah: •
si.it a _ o
cos a
°
sin“ ot + cos- a =
1
1
Rozwiązanie układu; •
3 / T
g
sin ot =
/ i d ’
cosa = -jQ -
1
8
.
wyznaczenie przeciwprostokątnej:
c = 26.
| Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej:
b = 2:4.
9.
Wyznaczenie przyprostokątnej leżącej naprzeciw danego kąta:
a ~
6
.
| Wyznaczenie drugiej przyprostokątnej:
b =
6
v/'3.
!
Wyznaczenie sinusa kąta: sin
CC = y
I
-
a'.
J
j
!\ -<?'
Wyznaczenie tangensa kąta: tg
o. - - —
q
— .
1
1 1
.
Przekształcenie lewej strony tożsamości:
L =
2a + 1.
cos
a
1
Wykazanie tożsamości:
L = s'm a + ,CQS a = p_
cos" a
1
12
.
Wyznaczenie wartości cosinusa: cos.a= -j.
1
Wyznaczenie kąta:
a
= 60°.
1
13.
Przekształcenie wyrażenia w nawiasie:
W
- 1
j .
1
24
/ i
Obliczenie wartości wyrażenia:
W -
1
14.
Obliczenie wartości cosinusa ze wzoru na tangens: cos er
=
-j.
1
Sprawdzenie wzoru na Jedynkę trygonometryczną":
^ j
£
1.
1
1S-
Wyznaczenie przeciwprostokątnej:
c=
10.
1
Wyznaczenie sinusa i tangensa najmniejszego kąta: s in a =
tg
a
-
1
100
IV. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ R
Zadania otw arte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
1
Liczba
punktów
1
.
Zbudowanie kąta
a-, np. zbudowanie trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej 2 i prze-
ciwprostokątnej 3.
1
Obliczenie cosinusa kąta: cos a =
1
2J5
Obliczenie tangensa kąta: tg Ci = —g—..
1
Obliczenie wartości wyrażenia:
W =
1
2
.
Zapisanie układu nierówności wynikających z treści zadania: m2- 4 m
+
4 < 1
m - 4m + 4 > 0'
1
Rozwiązanie pierwsze] nierówności układu:
m G (1,3).
2
(1 p kt za
wyznacze
nie pier
wiastków
i 1 p kt za
rozwiązanie
nierówności!
Rozwiązanie drugiej nierówności układu:
m e R \ {2 }.
2
(1
p k t za
wyzna
czenie pier
wiastków
f 1 p kt za
rozwiązanie
nierówności)
Zapisanie odpowiedzi:
m. e ( l , 3 ) \ { 2 | .
1
3.
zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania:
~m 2-5 m + 6 >
0
.
1
Rozwiązanie nierówności:
m e ( ”
6
, 1).
2
(-1 p k t za
wyzna
czenie pier
wiastków
11 pkt za
rozwiązanie
nierówności)
zapisanie równania:
- 5m + 6= 1.
1
“ 5 - 3 / 5
- 5 + 3 A
Rozwiązanie równania:
w , = ---------
,
m2
= ----------------------
1
4 .
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
0
- środek okręgu,
AB
-
cięciwa,
OD
- wysokość trójkąta
ABO, \¿AOB\
=
a.
1
Obliczenie długości cięciwy:
- 12.
1
Wyznaczenie sinusa połowy kąta
(X: sin Jj-a =
1
j
.
I
101
W
Y
«
1
K
i
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
Wyznaczenie potowy kąta Cf:
j CL = 30“
Wyznaczenie kąta Of: C
( - 60°.
Zastosowanie wzoru na tangens kąta do przekształcenia lewej strony nierówności:
cos" er
1 -
1 =
-
sinket
Przekształcenie utamka po lewej stronie tożsamości:
L =
sin a + cos or
Zastosowanie jedynki trygonometrycznej'' do przekształcenia lewej strony tożsamości:
L - 2 sin' c r - 1 =P.
Przekształcenie lewej strony równania;
+ slÜcx ~~ c o s a
1
Dodanie ułamków po lewej stronie równania: -
: c o s a -
Wyznaczenie sinusa kąta: sin
OL = y
~
2 /2
Wyznaczenie cosinusa kąta: cos
a - ^
/ 2
Wyznaczenie tangensa kąta: tg a =
-
ę
1
h
1 ”v 2
Podstawienie wartości funkcji trygonometrycznycn:
x =
_ .
Przekształcenie liczby:
x = -
I - 2 / 2
A
, . '6 - 4 / 3
Usuniecie niewymierności w mianowniku:
x =
g
-
Zapisanie wniosku: xjest liczba niewymierną.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
O - punkt przecięcia się przekątnych rombu,
|A C j = 40.
BD - krótsza przekątna rombu,
\lD A B\ = a.
Obliczenie długości krótszej przekątnej;
\BD\ = 4 /6 9 .
Obliczenie pola rombu:
P - 80 /6 9 .
I Zapisanie równania pozwalającego obliczyć sinus kąta a: 80 /6 9 = 2 62 sin or.
IV. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ B
Wyznaczenie sinusa kąta
a : sin a =
1
9.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
CE - wysokość trapezu,
AB - dłuższa podstawa,
CD
- krótsza podstawa,
\ZCAB\=a.
1
i
Obliczenie dfugości odcinków
EB, EA:
|£i?| = 2, |£ A |= 10.
1
Obliczenie wysokości trapezu; [Cfi1] ~ 2 /3 .
1
Obliczenie przekątnej
AC:
|AC| = 4 /7 .
h i
5
h
i \
Obliczenie funkcji trygonometrycznych kąta
a\ sin a ~ *“ p cos (X - ~J
ą
~> tg a =
3
tpo 1 pkt
na K3żde
obliczenie \
10.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
\AD\
=
3x.\AB\
=
5x.
1
Wyznaczenie
długości odcinka
BE:\BE\= x.
1
Wyznaczenie długości odcinka
AE:
|A £ | = x /2 6 .
1
Obliczenie
cosinusa kąta a: cos a =
■
1
w w w. ©per »». pi
103
E
T
A
P
Ó
W
ROZ
WIĄZ
AĆ
K MATEMATYKA - P0210M PODSTAWOWY
V. Ciągi
Zadania zamknięte
Numer | Poprawna
zadania
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów
1.
C.
n 1- 4 = 0 i n G N +=> n = - 2 <£ Z) lub n = 2 e D =*• « = 2
1
2
. ~
C.
4
i -
= 5« +
8
-
5n - 3 =* an M
, -
an - 5 ** r = 5
1
3.
D.
Np. dla
al = - 5 ciąg jest rosnący, dla a, = 5 ciąg jest malejący.
1
4.
B.
X7, = 16 => x = - 4 lub % = 4. Dla x = 4 ciąg jest rosnący, zatem odpowiedzią
jest
x = - 4.
1
5.
A.
ogólna postać liczby, która z dzielenia przez 4 daje resztę 3. a więc ogólny
wyraz ciągu,
toaK = 4«. + 3.
Zatem
an f , - an - 4« + 7 - 4n - 3 => an „ - an = 4 => r - 4.
1
6
.
D.
Ciąg jest rosnący, gdy r > 0
/«2
+ 4 > 0 => m E /?.
1
7.
B.
1
8
,
A.
d ,t - « w = r => r = 5, 2-5 = a, + 9 r= *a , = - 2 0
1
9.
D.
( 4jc + 5) * 7 -
x =* *
= -6
1
10
.
C.
25 = ( x + 3 ) '7 = > x = i
1
11.
A.
( « + 1)"
n + 2 n + l
2
( « + l ) + l ~ * • '
2
« + 3
1
12
.
A.
£Zn
+1
-
an = 3« - 2 -
+ 5 =*
an j - tf(f ~ '3 => r = 3
1
13.
C.
- 5 ' 2 ' ,+ l
0
= - 5 2"
" “ = 2
1
14.
A.
a2~ - l - 2 » a = - 9
1
15.
I
c.
a ,= 1 6 : ( - 2 ) » f l | = - 8
1
16.
C.
9 - 5 = 2 * - l
- 9 = > x = l
1
17.
D.
4 9 = (3 x + 2 ) - ( - 2 ) ^ x = - ^
1
18.
B.
- n + 3 > 0 i n e Ar,. =» » < 3 i ti £ W+ =, « s {1 ,2 }, zatem sa dwa dodatnie
wyrazy ciągu.
1
104
w ww, o peron „pi
V. CUGI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ tg
19.
B.
20
.
A.
|
* _____ l 2 n _ 1 0 | > o l
n
e
n
e .Vł \ {
5
}
y
* + 2
^
*
r = ^ 7 I - ^ 2 / 3 - 4
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Zapisanie układu równań:
1
Rozwiązanie układu równań-
^
' r = 3 '
Zapisanie układu równań:
i 1 6 i inh J '
i
»
•
K * 32
Rozwiązanie układu równań- J
i
■|<? = i ■
Wyznaczenie różnicy ciągu: r = —
6
.
Wyznaczenie sumy dwudziestu wyrazów: ó' = -
90
().
Wyznaczenie ilorazu ciągu.-
q ~ -i-.
r
Wyznaczenie wyrazu
a
■ a
= - 1 « _
3
*m « * *,
2
I *
Wyznaczenie ilorazu zapisanie wniosku: -
7
p
2
=•
3
Wyznaczenie sumy dziesięciu wyrazów:
S]0- 4jy^r-
Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych:
n e (4 ,7 ).
Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: « e { 5 ,
6
} i zapisanie odpowiedzi:
piąty i szósty wyraz ciągu są ujemne.
Rozwiązanie nierówności:
n < 4 i n G
:
n E {1, 2,3}.
Wyznaczenie dodatnich wyrazów.-
a y =
6
.
=
4
. ^ = 2
Wyznaczenie różnicy i zapisanie wniosku:
a
-
a = - I
2
ał-pm ria„
*
«-
1
2
J
iem
c,39
jest arytmetyczny.
Wyznaczenie wyrazu
a
Ó
W
R
O
Z
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
| Zapisanie równania:
x -
j + lx - x.
. ±
Rozwiązanie równania i Zapisanie wniosku: równanie sprzeczne, zatem nie istnieje taki
x.
aby ciąg był arytmetyczny.
I Zapisanie równania: * 2= - 4^
x + j.
L
1 1
.
|
Rozwiązanie równania-.
xt = -3 , x.2= - l
- 8 + ( n - 1)3
Zapisanie równania: —--------
11 = 732. n e N v
1
Rozwiązanie równania:
n = 24.
" i '
4 - -
I
12-
,
i _
2
*
I Zapisanie równania: ai y r % “ ~ 765.
L.
[ Rozwiązanie równania: a, = 3.
- — i
3/7 — 5 ”
i
Rozwiązanie równania:
n -
6
i zapisanie wniosku- szósty wyraz jest równy l.
I Wyznaczenie wyrazów ciągu: ( f ' § ~
^
)'
3 + 5
| Wykazanie,
te wyznaczony ciąg jest arytmetyczny: 4 -
i 4 9
043
\
| Wyznaczenie wyrazów ciągu: (
3
.
4
.
)•
/
9
\
4
243
| Wykazanie, że wyznaczony ciąg jest geometryczny-. ( ^ j = y -
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
i Numer i
| zadania I
i.
1
.
h
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
| Liczba
i punktów
I Zapisanie układu równań: {
| x + y + ż= 15
\s =y
[(.V + 3 )3- (
jc
+ 5 )(
ż
+ 19)
| Wyznaczenie liczby
y.y = 5.
r r
Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą:
x - 24x - 8 1 = 0.
L _______________________________________________________ _______________________________
I Rozwiązanie równania kwadratowego.-
x = 2 1 , -.*,=-3.
1
Wyznaczenie obu ciągów: (2 7,5 , - 17). (-3 ,5 ,1 3 ).
I
2
npkt
w przypadku
1
jednego
I
oiedu lud
!
Braku
I
równania)
' I
T
4 _ _ .
106
V. CIĄGI - WYNIKI ETAPÓW R02WIĄZAŃ
8
x ‘ =-21y
l
Przekształcenie do postaci równania
z jedną niewiadomą.- 2 * ’ - 21 x + 81 =0.
Rozwiązanie równania:
x, = j , .*„ = 9.
U = f
(X = Q
Rozwiązanie układu: j
| lub •{ _
3
.
-v = ?
i:v '
Wprowadzenie oznaczeń: (* *„).(£ „) - odpowiednio ciąg arytmetyczny i geometryczny - ora
2
Przekształcenie układu do układu z dwiema niewiadomymi:
4
+
6 r =
44
4 + 30r = 4 ^ J'
Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego:
q2~ 5q + 4 = 0.
Rozwiązanie równania:
<7
- 1 lub
¿7
= 4.
Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego:
/) = 0, r2= 2.
_ n
_
t T
Wyznaczenie sumy trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego- Sf — 120
I
1
{x,y, z. t ) - szukany ciąg.
Zapisanie układu;
.
y + t
2
(1
p kt
! w przypadku
i
jednego
błędu lub
1
braku
1
równania)
i Przekształcenie do postaci układu dwócn równań, z dwiema niewiadomymi, np.:
|
1
I ( 3 0 - * ) * = «
I ' » - 3 0 - .t- i- 3 5 - .c -
1
2
1
Doprowadzenie do równania kwadratowego, np.:
Az' - I25z + 900 = 0.
Rozwiązanie równania:
zt= 20,
2
, = 4 r .
w w w . o o e r o u , p i
107
K
I
E
T
A
P
Ó
W
R
O
Z
W
M
Z
A
M
M MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
-
lx
=
5
Rozwiązanie układu równam j +
2 0
lutl
[i* = 3 0
r - l 2 1
* -
4
75
y = T
45 •
4
!
4
2
[1 pkt
w przypadku
jednego
biędu lut)
braku
Jednego
rozwiązania)
5.
Zapisanie wzoru na dag liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 daja reszte 5:
a„=7n + 5.
1
Wyznaczenie pierwszego i ostatniego wyrazu ciągu: u,= 12, u,
, -
96.
1
Obliczenie sumy trzynastu początkowych wyrazOw ciągu: .S'13= 702.
1
6
.
<7
1^93
Obliczenie sumy 7 początkowycn wyrazPw ciągu geometrycznego: i 7- j j g y -
2
(1
pkt za
metod?
11 pkcża
obliczenia!-
28
Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: S’7= - y -
2
n pkt za
metodę
M p K tz a .
'
obliczenia)
, , , ■
c"
v - 1 9 3 1 9
Obliczenie różnicy sum: 5
7~ o , - 218T'
1
7.
Wprowadzenie oznaczeń:
o] - 20, r - 20, Slf= 1100.
1
40
+ ( n - 1 ) 2 0
1100
.
1
przekształcenie równania do postaci:
n
+
n -
1 10
- 0 .
1
Rozwiązanie równania i wybranie odpowiedzi:
n - 10.
1
a.
:
3
Wprowadzenie oznaczeń:
a, = 40,
,S ,= 325.
1
' ■ ( i )
Zapisanie równania: 4 0 ------- 325,
1 “
2
1
/ 3 \
8
J
Przekształcenie równania do postaci: ( ^ 1 =
1
|
Rozwiązanie równania:
n - 4.
1
1 9
i
. ja , + a ,
9
J= 48
Zapisanie układu równah wynikąlących z treści zadania: 1
a
g" - 24
1
V. CIĄGI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S
Rozwiązanie układu:
- r ‘¥
7
= I
2
(1
pkt za
m etodę
i
1
p k t za
oBliezenrai
Wyznaczenie ogólnego wyrazu ciągu: aj( =
j J
1
Obliczenie sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu:
- i '
=
8 5 .
1
1 0 .
[a. +
5r + a, + 9 r = 52
Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania:
\ ,
.z ,
,2
[(fl, + 9 r) - f a + S r) =624
1
Rozwiązanie ukiadu:
j
i
in
n_
II
2
;
<1
p kt za
m etodę
i
1
p kt za
obliczenia)
Wyznaczenie ogólnego wyrazu ciągu:
an~3n + 2.
1
10
+ ( /i -
1)3
Zapisanie równania:------- ^ ----- — « =
7 3 5 .
1
Przekształcenie równania do postaci;
3n2 + In -
J 4 7 0 = 0 .
1
Rozwiązanie równania
i
wypranie odpowiedzi:
n - 21.
1
109
B
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
I
Vi. Planimetria
Zadania zamknięte
Numer *
zadania
Poprawna |
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
I
Liczba
punktów
1
.
A.
a 2 sin 30“ = 12,5 => a = 25 =>
£2
= 5
1
2
.
C.
|
<OAB | =
180* - 140") =>
P = 90" - 2 0 ' .» 0 = 7 0'
1
3.
C.
* = f ,!^ = » a = / f ^ = » a =
12
1
4.
D.
|A
8
| = 13 => * =
1
5.
c.
d(SJ\>
r,
zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
1
6
.
D.
\<ACB\ = 50° =» \<ABC\ = 180° - (70* + 50°) => \<ABC\ = 60°
1
7.
C.
cos
<DCB = 4 =* \<DCB\ = 60°, zatem (<ACB| = 12O
5
1
8
.
B.
Skala podobieństwa
k
spełnia warunek
k" - 4
=*
k
= 2.
Obwód trójkąta
= 36,
1
9.
A.
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym
samym łuku.
1
10.
C.
sin
a -
=>
\ < sin a. <
=> 30° <
a < 45°
1
1 1
.
C.
Bok rombu
a =
/6 4
+
36
=>
a
=
10
=>
L -
40.
1
12
.
\
C.
Ic s l _ 5
4 T I _ 2
l
1
“
1
\
13-
I
B.
r = i
11 = 12 A
1
|
14.
D.
Kwadrat Jest rombem, zatem
P
=
- j-
10
■
10
** P =
30.
1
I
15.
A.
a
= 2r =* ci
=
6
=*
=
24
1
16.
i
C.
=
2 ,/3
m
a
=
4
=»
P
=
4 / 3
1
i
17.
i
B.
a + 3a = 180° =? a = 45°, zatem przy krótszej podstawie jest kąt 3
a = 135°.
1
i
18.
i
A.
Przekątna kwadratu
d = 16, zatem jego pole jest równe 128 cm ".
1
110
■ w v sw .o fJ 05 0n .p l
VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ
M
19.
C.
a + 2a = 60° => a = 20°, zatem miara kąta środkowego jest równa 40°.
1
20.
A.
'
Przećiwprostokątna
c = /3 6 + 64
c = 10 =>
2R = 10
R - 5.
1
,
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
i.
Wyznaczenie długości trzeciego boku, gdy jeden z danych jest przeciwprostokątną: 12.
1
Wyznaczenie długości trzeciego boku. gdy dane boki są przyprostokątnymi: / 1 94.
1
2
.
Wyznaczenie niewiadomej, gdy pierwszy bok ma długość 7
:x =
6.
1
Wyznaczenie niewiadomej, gdy drugi bok ma długość
7:x = 5.
1
3.
Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej: 24.
1
Obliczenie pola trójkąta:
P = 120.
i
4.
2
,
,2
Zapisanie równania:
a +(3<z) = 2 0 '.
1
|
|
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: krótsza przyprostokątna ma długość
a - 2 / l 0.
1
!
5
i
■>
j
2
Zapisanie równania:
6
" +
h - (A + 2 ) .
1
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi:
h =
8
.
1
6
.
Zapisanie równania: 2£z'= 98.
1
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: boki prostokąta mają długości 7 i 14, zaś
obwód 42 cm.
1
7.
Obliczenie obwodu trójkąta
ABC
:
26.
1
Obliczenie skali podobieństwa:
k
= ^ i obwodu trójkąta
EFC:
1
8
.
h
1
Zapisanie równania: ^ - sin 30°.
Rozwiązanie równania:
h = 5.
1
9.
Obliczenie drugiej przekątnej rombu:
d = 16.
1
Obliczenie boku rombu:
a = 10.
1
10
.
\DC\ + 3
8
Zapisanie równania:J— ^
1
Rozwiązanie równania: |
DC| = j .
1
w w w , o p e r o « . p i
U l
E
T
A
P
Ó
W
R
E
T
A
P
Ó
W
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
1 1
.
Wykazanie przystawania trójkątów
ACE
i
BCF:
cecha
bkb.
I
1
Wykazanie tezy zadania: z przystawania trójkątów wynika, że |EC j
= \CF\
zatem trójkąt
ECE
jest równoramienny.
1
12
.
Wyznaczenie miary kąta
OCAi CL.
1
i
Wyznaczenie miary kąta
DCO: \ 2<X - 90°
1
13.
Wyznaczenie miary kąta
ABC\
40°.
1
Wyznaczenie miary kąta miedzy styczną i bokiem
BC
trójkąta: 50°.
i
1 4 .
Wyznaczenie długości odcinka
AE:\A£ | =
1
Wyznaczenie długości odcinka
EB\ | BE | ~
1
1 5 .
Zapisanie długości odcinka
x
w postaci:
x
-
^ ^ ^ + b.
1
Wykazanie tezy zadania:
x =
■
1
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
Wykonanie rysunku
z
oznaczeniami łub wprowadzenie dokładnych oznaczeń i zapisanie
równania wynikającego z treści zadania:
AB
- dłuższa podstawa trapezu, |
A8| = 2r.
CD-
krótsza podstawa,
|C£)|
=
2x,
AC
- przekątna trapezu,
\AC\ ~ d 4
CE
- wysokość trapezu,
\<CAB\-a.
d ~ 4 ( r + x ) .
1
Zapisanie długości odcinka
AE
w zależności od
r
i
x:
\AE\=r+x.
1
wykorzystanie definicji cosinusa kąta w trójkącie prostokątnym do wykazania tezy zadania:
COS
OL -
1
2
.
Wykonanie rysunku
z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń i wyznaczenie
kąta
A OB
;
CD
- wysokość trójkąta
ABC,
\<AOB\ = 60*.
\<AOD\
=
30°.
1
Wyznaczenie
] AB |: \AB\
-
10.
1
Wyznaczenie |
OD
j: |
OD [ - 5 J 3.
|
^
112
VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ SI
Wyznaczenie j
CD |: j CD | = 5 (2 + ¿3 ).
1
Wyznaczenie pola trójkąta
ABC: P = 25 ( l + /3 ).
1
3.
wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
D - środek przeciwprostokątnej,
E - punkt przecięcia symetralnej przeciwprostokątnej i przyprostokątnej AC,
\AB\ = c,
\ZABC\ = a.
1
|CA|
{\AB \
Wykorzystanie podobieństwa trójkątów
ABC i DE A do zapisania proporcji:
= ¡'.TT'•
\AB\
\AE\
1
Rozwiązanie równania | A 0 | - c =
6
/3 .
1
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości drugiej przyprostokątnej:
\BC\ = 3 /3 .
1
Wykorzystanie definicji jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie
1
prostokątnym do obliczenia szukanego kąta: cos a -
\ => cr = 60°.
4.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
|
BC| = a. | AC| = | DE\ = b, \ DC | = x, \AB\ = c,\Z.ABC\ = a.
1
Wyznaczenie długości odcinków
c., a, x w zależności od b. a:
C = ¡ I M ' U ~ b Ctg a ‘ *
= h C 0S
a -
3
(po 1 plft
za
Każde
oznaczenie)
Zapisanie pól trójkątów
ABC i DEC w zależności od b, a
:
P
wc =
j
b 2
ctg a, Pam = \ b2 cos cr s
i n
a.
P(
.
2
Obliczenie szukanego stosunku:
- j r ^ = sin a.
‘
ABC
1
5.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
|/WJ| =
\BC\ = a. | AB\ = |CD| = b, \OE\ = 2. \Oh'\ = 4,
0 - punkt przecięcia się przekątnych,
DO, BR - wysokości równolegtoboku,
| « z w ł| = 3 i r .
1
wyznaczenie długości boku
a: a ~
8
.
1
wyznaczenie długości boku
b: b - 16.
1
Wyznaczenie obwodu równoległoboku:
L = 48.
1
Wyznaczenie pola równoległoboku:
P - 64.
1
6
.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
\AD\ = \BC\ = a,\AB\ = \CD\ = h,
0 - punkt przecięcia się przekątnych,
DE. BE - wysokości równoległoboku,
a
2
* - y -
1
113
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
M
Wykazanie poaooieństwa trójkątów
ABE
i
ADF
: cecha
kkk.
Oh'
|
2
BE\ + [/>/■ | = 56
[| « F |= 16
Rozwiązanie układu równań:
I Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
|.4D| = |
8
r | = |4B | = |CO| = «,
' /^ - pole trójkąta
EFC.
____________________________________
| Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
\BC'\ = a,\CA\= ia.\AB\-c,
j CO-wysokośi trójkąta. \C D \-h ,\D B \
Wykorzystanie podobieństwa do zapisania równania:
Wyznaczenie >■: v - — ^ — .
| Wyznaczenie szukanego stosunku: y =
' Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
i |
AB\ - a. |C£>| = b - podstawy trapezu,
i Wyznaczenie długości podstaw trapezu:
I
(po
1
pkt
za każde
1
| obliczenie)
114
W W li/. «PT?
i otl.pl
VI. PLANIMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S
— .........
Wyznaczenie wysokości trapezu:
k - 6 .
<
Wyznaczenie pola trapezu:
P = 36 /3 .
1
10
.
Wykonanie rysunku
z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczert:
\<ACD\ = a,\<DCB \=p.
1
2,/2
Wyznaczenie cosinusa kąta
cc cos a = ^
Wyznaczenie długości boku <4C:|/4C| = 1 5 /2 .
Wyznaczenie długości odcinka
AD:\A D
= 5
J2.
Wyznaczenie długości odcinka
BD\\BD\
= 4Q.
1
Wyznaczenie długości boku
BC:\BC
\ = 2 0 /5 .
1
Wyznaczenie obwodu trójkąta:
L = 20 ( / 5 +
¡ 2
+ 2].
i
1 1 5
a
i
*
» MATEMATYKA
POilOM PODSTAWOWY
v ii. G e o m e tria a n a lity c z n a
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów
1
.
C.
,y = f * + 5 " > a = !
1
2‘
D.
I:y - 2x + ^ =s ii = 2
1
3.
A.
2 =
2x + 3 -» x = — j
1
4.
D.
[ r i + x
=2
x = *
i ,
=>
= > B = (8 ,-1 3 )
17 + v
'
'
| —J-Ł
3
[>-=-13
1
5.
C.
Równanie okręgu o środku
S = ( « , i promieniu r to (.*; - a) + {y — b) - r .
Stąd
S - (4, -3 ). r = 2.
1
i
6
.
D.
1
2
1
I: y ~ x + ^ => tły — -> ii “ ™ 3
1
7.
B.
|/ti(| =
v/(2
+ 4
)3
+ ( - 4 +
6)2
=» |AB| = v/4 0 =>
\A B \- 2 /1 0
1
8
.
|
D.
/:y = t x - A : y = - ^ * - - j =W = A
1
i
9.
I
i
C.
Równanie okręgu przekształcamy do postaci (.* - 4) + (
y — 3 ) =25, zatem
S = ( 4,3).
1
10
.
0
.
Mamy wybór spośród
A ,C \D ze wzgiędu na własności współczynników kie
runkowych prostych prostopadłych. Łatwo sprawdzić,
że punkt P spełnia
równanie prostej z punktu
D.
1
r *
B.
Gdy podstawimy do wzoru prostej
x = 0, otrzymamy y ~
1
;
12
A.
Proste / i
k muszą mieć taki sam współczynnik kierunkowy.
1
!
13.
D.
Gdy podstawimy do wzoru prostej .* = -4 , otrzymamy y = 7.
1
i 14
D.
S - = ( = ^ l ź .Ł j t L ) = * S = ( -
4
.
8
)
1
i
15.
A.
2
3
Przekształcamy równanie okręgu:
( x + 1) - 1 + ( y - 3) - 9 - 1 0 = 0, stąd
( x + 1 )* + (>> *- 3)* = 20. Zatem r - /2 0 .
1
www.opei on.pl
VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ M
16.
D.
Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych powiązane są warunkiem
&i~~ci •
i
uk
1
17.
D.
f ( 5 - 5 ) ł + ( . y - 4
)2
= 7 = | y - 4 | = 7 = y = n v > - = - 3
1
18.
D.
f y * 3 * + 5
\ x - - 2
[>’ = A'+1 ^ j y = - 1
1
19.
C.
( 9 - 4
)2
+ { y - 3 ) ‘ = 2 5 ^ ( > - - 3 ) 2= 0 ^ y = 3
1
20
.
B.
|.4C| = /3 6 + 36 =» |A C j = 6 ,/2 = 6 / 1 = « / 2
=>a = b
1
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
-
Zapisanie szukanej prostej
k w postaci: y = 3x +
Wyznaczenie
b i zapisanie odpowiedzi: k:y - 3* - 5.
1
s
Zapisanie szukanej prostej
k w postaci: y - 2x + b.
1
Wyznaczenie
b i zapisanie odpowiedzi: k:y - 2x -
6
.
3.
Zapisanie równania: |
x ^
^ j = (_ 3 , 13).
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
B
=
( - 9 .
33).
1
4 .
Wyznaczenie środka okręgu:
S = (-1 , -2 ).
1
Zapisanie równania okręgu:
+ 1
)2
+ ( j + 2 )” = 64.
5 .
Przekształcenie równania okręgu do postaci: ( x + 5 ) ‘ + ( j -
6
) " - 9.
1
Zapisanie odpowiedzi:
S
= ( - 5 ,
6
),
r - 3 .
1
6
.
Zapisanie równania:
2m
-
1 = 5 - m.
1
Rozwiązanie równania:
m = 2.
1
7 .
Zapisanie równania:
n f - 3 =
6
.
1
I
i
i
Rozwiązanie równania: /
h
= 3V
1
i
8 .
Wyznaczenie długość boku kwadratu:
a = / l 16.
1
j
!
Wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na kwadracie:
r
= y 58.
I
1
i
:
9 .
Obliczenie długości przekątnej kwadratu:
d
= 2
JS.
I
WWW* ftp cr a st j ) s
117
W
Y
N
I
K
I
E
T
A
P
6
W
R
O
t
Yl
iĄ
Z
k
U
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
1
wyznaczenie długość boku kwadratu:
a - y lO.
1
10
.
wyznaczenie długość dłuższego boku prostokąta: | A flj = 2 /1 7 .
1
Wyznaczenie obwodu prostokąta:
L = 6 /1 7 ,
1
1 1
.
f y =
2
* +
8
Zapisanie układu równań: j y __ 1
x + ^
1
Rozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu przecięcia się prostych:
P = ( - 3 , 2 ) .
1
12
.
, •
•
-
a
a i - 3 x + 2 v - 1 = 0
zapisanie układu równań: j
_
4
_y + 15 =
0
'
1
Rozwiązanie układu równań i zapisanie wniosku: układ sprzeczny, zatem proste nie mają
punktów wspólnych.
1
13.
Wyznaczenie równania prostej
AB:y
-
2x
- 5.
1
Wykazanie, ze
C e AB: 3 = 2- 4 - 5.
1
14.
Wyznaczenie równania prostej
A B : y ~ -
4
jc
- 1.
1
Wykazanie tezy zadania:
ak-a ¡=— 1.
15.
Wyznaczenie promienia okręgu:
r = / 53.
1
zapisanie równania okręgu: ( * + 3 ) + ( v -
6
) - 53.
1
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
i_
2
.
i
|
Obliczenie długości boków trójkąta: |
A B ]
= 2 y 2, |ZJCj = 3 /2 , |
AC\ - v/26.
3
(pa
1
pkt za
każdy bok!
,
„
2
,
.2
,---
2
Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny: (2 y 2 j + ( 3 V'2 ) - y 26 .
1
1
Obliczenie pola trójkąta:
P =
6
.
Wyznaczenie środka okręgu:
S - ( - 5 , ]).
1
wyznaczenie promienia okręgu:
r =
2
/5 .
1
zapisanie równania okręgu: ( A' •+■ 5) + (>' -*
1
) =
20
.
1
Obliczenie długości boku kwadratu wpisanego w okrąg:
a - 2 /1 0
1
3.
Wyznaczenie równania prostej
AC:y
+
1
Wyznaczenie punktu przecięcia się przekątnych:
S = ( - 1 ,0 ) .
|
1 IB
VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ
M
>
7
Wyznaczenie równania prostej
BD:y = - ^ x -
Oznaczenie współrzędnych punktu
B: B = | x. -
x “ j j-
Zapisanie równania:
J(—
1 - 1) + ( 0 - 5) = /(-* + 1)* +
•
Przekształcenie równania do postaci:
x ? + 2x?' - 24 = 0.
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
B = ( -
6
,2).
D = (4. —2).
Wyznaczenie równania prostej
AC: 3ar + 5v + 2 = 0.
11 ''34
Wyznaczenie długości wysokości poprowadzonej
z wierzchołka B: h = —
— .
Obliczenie długości boku AC:| AC| = 2 /3 4 .
Obliczenie pola trójkąta:
P = 22.
wyznaczenie równania prostej
AB: y = y x.
Wyznaczenie równania prostej
BC:y=~2x - 10.
Obliczenie długości boku kwadratu: |
AB\- 4 /5 .
Oznaczenie współrzędnych punktu
C: C '-(x . - 2x - 10).
zapisanie równania: / ( 4 + 4 ) ’ + (2 + 2 ) ’ = ^ (
jc
+ 4 )‘ + ( - 2
x
- 1 0 + 2 ) \
Przekształcenie równania do postaci: 5
jc
‘ + 4 ( k - 0.
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: C = (0. - 10) V
C = ( -
8
.
6
).
Wyznaczenie środka i promienia okręgu:
S = ( - J , 2), r ~ 3.
Wyznaczenie odległości środka okręgu od danej prostej:
d - /5 .
Zapisanie wniosku:
ii < r, zatem prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne.
Zapisanie układu równań:
,v" + ( v - 4 ) = 2 5
y = -
7x+ 29
Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą:
x'" - 7 x + 12 = 0.
2
(1 pkt
23 WSPÓt-
C2yr»nik kie
runkowy
i 1 pkt
za pozosta
łe oblicze
nia)
2
l
(1pfct
i
za współ-
i
czynnik kle- i
runkowy i 1 i
Pkt 23 PO- •
zostałeobii- i
czenlai
I
1
2
(po
1 pkt za :
każcie
obliczenie! i
1
pi?
1!3 R . p i
1
19
Ó
W
* mateimtyka
-
poziom podstawowy
Wyznaczenie współrzędnych punktów wspólnych prostej i okręgu:
A
= ( 3 ,
8
),
B -
( 4 , l ) .
1
Obliczenie długości cięciwy
AB'.\AB\
= 5
1
Wyznaczenie długości promienia okręgu:
r
= 5.
1
/■">
Obliczenie cosinusa kąta
Cii
cos cc
=
1
Wyznaczenie kąta
a: a
- 45
/
1
8
.
Obliczenie długości bokow trójkąta: |
AS| = 2 /5 , |BC| = 10, | AC] = 4
J5.
3
(po
1
pkt
każde
obliczenie)
Wykazanie, że trójkąt jest prostokątny:
^2
/ S ' ) + (4 / Ś ) - 10’ .
1
2
f i
Obliczenie sinusa kąta
ABC:sm<ABC =
—
.
1
9.
Wyznaczenie współrzędnych punktu
A:
A ~
(1,0).
2
(1 pkt
za zapisanie
układu rów
nań
1 1
pkt
za rozwią
zanie!
Wyznaczenie współrzędnych punktu
C: C = (5 ,2 ),
2
(1 pkt
za zapisanie
uktaOU rów
nań i 1 pkt
za rozwią
zanie!
1
Wyznaczenie równania prostej
DC: y ~ 2x -
8
.
2
(1 pkt
za współ
czynnik kie
runkowy
i 1 pkt
za pozosta
łe oblicze
nia)
Wyznaczenie współrzędnych punktu
D :D ~ (
3 , - 2 ) .
2
(1 p kt
za zapisanie
układu rów
nań
1 1
pkt
za rozwia-
zantei
Wyznaczenie współrzędnych punktu
B:B = ( 3 ,4
).
2
11 pkt
za zapisanie
układu rów
nań i
-1
pkt
za rozwią
zanie)
10
.
j
i
Wyznaczenie równania prostej
k prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt
A: y = - 2x +
8
.
2
(1 pkt
za współ
czynnik kie
runkowy
1 1 pkt
23 pozosta
łe oblicze
nia)
120
www..opii(Qii.pl
VII. GEOMETRIA ANALITYCZNA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ »
Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych / i
k: P = (3, - ł).
2
(1 pkt
za
zapisanie
układu rów
nań i 1 pkt
ta rozwią
zanie)
Wyznaczenie współrzędnych punktu ¿3: (2 ,2 ).
2
(1 pKt
za zapisanie
układu rów- ;
nań i
1
pkt j
za rozwią- I
tanie)
121
W
I
Ą
Z
A
Ń
* JViATtMATVKA - POZIOM PODSTAWOWY
VIII. S te re o m e tria
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki da rozwiązania
Liczba
punktów
1.
C.
r, r + 5 - odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka, <X - kąt nachyle
nia tworzącej do płaszczyzny podstawy stożka,
2 r + 2 ( r + 5 ) = 3 0 = ir = 5 l o o s C f--j =>Cf-6Ó“.
1
2.
D,
r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość stożka,
r = 6 ,/t = 6 /3 = » V = 7 2 Ą
1
3.
B.
u - krawędź podstawy graniastostupa,
a v'2 = 4
=9
a = 2 ¿2 => tg a =
=? tg or =
f i .
1
4.
A.
r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość walca,
r = 3, h - 6 =» Pt = 3671.
1
5.
B.
d, ¿i, - odpowiednio przekątna sześcianu
1
przekątna podstawy (ściany)
sześcianu,
- a ¿2, d 2 = a + ( a f l ) ^ d = a /3 .
1
6.
D.
Skorzystaj z twierdzenia o trzech prostopadłych lub narysuj ostrosłup prawi
dłowy czworokątny i podziei go na cztery identyczne ostrosłupy (o wspólnej
wysokości), z których każdy spełnia warunki zadania.
1
7.
B.
r, i - odpowiednio promień podstawy
1
tworząca stożka,
r = 2.
tg a = 4 => tg or = 2.
1
8.
A.
r. h - odpowiednio promień podstawy i wysokość walca,
f
2
m
*/2
= 4 8 jt
JY= 4
,
{■nr1h = 9 6 n '* [ h = 6 ^ h = r + 2 -
1
9.
D.
r. ł - odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka,
r= % .t = a - P *
1
10.
D.
| / = ^ ' 6 - 4 - 8 = » V = 3 2
1
11.
A.
h, x~ odpowiednio wysokość ostrosłupa i odległość spodka wysokości od
krawędzi podstawy ostrosłupa,
x
= ir ^ 4 ^ => x
~
f i. =* tg 60"
~
h
= 3.
1
12
.
A.
( / = ;• + 5
» f - S l í - l Ü
13.
A.
S
1
a = \ h = 5 => tgCX= ^
|
122
VIII. STEREOMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S
14.
B.
£2
- krawędź sześcianu,
a / 3 = 5 / 3
=
= 125.
1
15.
c.
<a ~ krawędź sześcianu,
a J 2 = i= > a = 2 j2 = > P ^ m .
1
16.
c.
r -
promień kuli,
^
TU 3 = 3671 *+ r ~
3
=»
P = 26%.
1
17.
A.
Pp = 8 = > V =
16
1
18.
A.
h, x - odpowiednio wysokość ostrosłupa i odległość spodka wysokości od
wierzchołka podstawy ostrosłupa,
x r, l . ]
2
j A ^
x _
4
j g =>/t = y
]44
- 48
=
4
/
6
,
1
19.
B.
ii, h -
odpowiednio krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
¿1
=
8
.
ft =
4 / 3 = > ^ = 6 4 / 3 .
1
20
.
C.
a
-
krawędź sześcianu, 12<z
=
60
=>
a =
5
=>
Pv=
150.
1
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1.
Wyznaczenie długości tworzącej stożka:
/ =
8 / 2 .
1
Wyznaczenie powierzchni bocznej stożka: Ph~
6 4 / 2
71.
1
2.
Wyznaczenie długości promienia podstawy stożka: r
-
8
/3 .
1
Wyznaczenie objętości stożka: V
~ 5 1
271.
1
3.
Wyznaczenie dfugości wysokości waica: h
=
32.
1
Wyznaczenie powierzchni bocznej walca: Pft= 153671.
1
4.
Wyznaczenie odległości spodka
S'
wysokości ostrosłupa od wierzchołka
A
podstawy:
| AS'
|
-
3 /3 .
1
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:
H -
3 /6 .
1
5.
Obliczenie długości przekątnej ¿i sześcianu w zależności od długości krawędzi a
sześcianu:
d
=
a
/ l
1
Wyznaczenie sinusa kąta a nachylenia przekątnej sześcianu do jego podstawy: s in a
=
/ p
1
6
.
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa h
w zależności od krawędzi podstawy
«:
A = 2 / .
1
123
W
I
Ą
Z
A
Ń
w
y
w
j
t
t
l
t
T
Ą
»
0
'
W
«
Q
Z
W
I
Ą
Z
A
Ń
SE MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
Wyznaczenie sinusa kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
/ ó
s in a =
1
7.
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa
k w zależności od krawędzi podstawy a:
.
a j 33
Wyznaczenie tangensa kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
tg
a = / ¡ I
1
1
8
.
2
apisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od różnicy ciągu
arytmetycznego:
a, a + 3, a +
6
.
1
Wykorzystanie sumy długości krawędzi do wyznaczenia ich długości: 5,
8
, 11.
1
9.
Zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu w zależności od ilorazu ciągu
geometrycznego: 3.
3q. 3q".
1
Wykorzystanie sumy długości krawędzi do wyznaczenia ich długości: 3,
6
, 12.
1
10
,
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
~
\ ^ ~
ostrosłupa.
1
Rozwiązanie równania:
h = 4.
1
1 1
.
Wyznaczenie zależności między promieniem podstawy
r stożka i tworzącą l tego stożka: / - 2r.
1
Wykazanie tezy zadania: cos a - 4 ^
a - 60*.
1
12
.
Wyznaczenie zależności między promieniem podstawy r walca i wysokości
h tego walca: h = r.
1
Wykazanie tezy zadania: tg
(X ~ -y.
1
13.
/ I
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
6
o —
= 12 /3 ,
a - długość krawędzi
graniastoslupa.
1
Rozwiązanie równania:
a - 2.
1
14.
Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:
h = 3 /
6
.
1
i
Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
Pr = 1 8 / 2
/6
+ l).
1
[
1S-
[
i
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania: 2 •
+ 3
a = 12,5 ■ ( / 3 +
6
j,
a - długość krawędzi graniastoslupa.
1
i
i.,
Rozwiązanie równania:
a = 5.
1
124
VIII. STEJtEOMETRlA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ
»
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
h - wysokość graniastosfupa,
Pp - poie podstawy graniastosrupa,
P - pole jednej z przystających ścian bocznych,
P = 2 P .
p
*
1
Zapisanie równania: ^
b ' sin Cf - 2bh.
1
| Wyznaczenie wysokości graniastosfupa:
h - \ b sincc.
I
1
Wykazanie te
2
y zadania: sin
ct< ] = * k < ^ b .
1
2
.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
r - promień podstawy walca.
4
r - wysokość walca,
Pp - poie podstawy walca,
Ph - pole powierzchni bocznej walca,
d ~ przekątna przekroju osiowego walca,
a - kąt nachylenia przekątne] przekroju osiowego walca do płaszczyzny jego podstawy.
1
P.
Obliczenie stosunku poia powierzchni bocznej do pola podstawy:
-rf- =
8
.
p
1
Wyznaczenie długości przekątnej walca w zależności od promienia podstawy:
d = 2 r/5 .
1
2 f5
Obliczenie szukanego sinusa kąta
<X\ s in a = ^ .
1
3.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
a - promień podstawy stożka,
hy - wysokość stożka,
h(t - wysokość ostrosłupa.
1
a
,''33
1
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa:
kn = —^ — .
|
«3
'11
Wyznaczenie objętości ostrosłupa:
Vu = — ^ — .
1
Wyznaczenie wysokości stożka:
hf -2 a .
1
wyznaczenie objętości stożka:
Vt~
.
1
v„
A i
Wyznaczenie stosunku objętości:
yr =
1
i
125
E
T
A
P
Ó
W
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
4.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
SS' - wysokość ostrosłupa, \ SS' = H,
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
V - objętość ostrosłupa,
Ph - pole powierzchni bocznej ostrosłupa,
ABC - podstawa ostrosłupa.
1
Wyznaczenie długości odcinka ASF: | AS” -
6 Jś.
1
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:
H - 18.
1
Wyznaczenie objętości ostrosłupa:
V = 486 /3 .
1
Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa:
h - 3 v/39.
1
Wyznaczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa:
= 81 y 39.
1
5.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
SS' - wysokość ostrosłupa, |55"j = H.
h - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,
b - krawędź boczna ostrosłupa,
V - objętość ostrosłupa.
Pb - pole powierzchni bocznej ostrosłupa,
ABC - podstawa ostrosłupa.
1
Wyznaczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa:
b =
6
J 2.
1
Wyznaczenie długości wysokości ostrosłupa:
H - 2 y 10.
1
128/10
Wyznaczenie objętości ostrosłupa:
V =
i
■
1
Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej ostrosłupa:
h - 2 /1 4 ,
1
Wyznaczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa:
Ph- 32 /1 4 .
1
6
.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
i - tworząca stożka,
r - promień podstawy stożka.
/ ~ r +
2
,
1
zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
Tir! = 1207L
1
wykorzystanie danych do zapisania równania z jedną niewiadomą: jc r ( r +
2
) =
120
n.
1
Rozwiązanie równania:
r = 10.
1
Wyznaczenie wysokości stożka:
h =
2
A
1
.
1
Wyznaczenie objętości stożka:
V =
71 / \ 1.
1
7.
Wykonanie rysunku
z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
r - promień podstawy walca,
h - wysokość walca,
d - przekątna przekroju osiowego walca,
h - 2 r + 2, d - 2r + 4, 2r + h + d - 2-4.
1
VIII. STEBEOMETRIA - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ *
!
........
wyznaczenie długości promienia podstawy i wysokości walca:
r - 3, h =
8
.
2
ipo
1 p kt
za każde
ooiiczenie)
i
!
wyznaczenie objętości walca:
V = 12%,
1
i
i
Wyznaczenie sinusa kąta
a: sin a =
1
j
B.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeni
x,
2x - krawędzie podstawy prostopadłościanu,
h - wysokość prostopadłościanu,
d - przekątna podstawy prostopadłościanu.
1
|
Wyznaczenie długości krawędzi podstawy prostopadłościanu: 4,8.
i
I
Wyznaczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu:
d = 4 /5 .
i
!
Wyznaczenie tangensa kąta
a: ig ct=
2
(w tym
1
akt
ża wyzna
czenie COSI'
nusa kąta)
Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:
h = - y / 5 .
1
9.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:
SS' - wysokość ostrosłupa, SS" - R,
/? - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa,
C D - wysokość podstawy ostrosłupa.
1
wyznaczenie długości odcinków
AD, OB: \AD\ = 3, |D # | = 4 /3 .
1
Obliczenie pola podstawy ostrosłupa:
P ~ 24.
1
3 + 4 /3
Obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie:
R = -— j ±—..
1
Wyznaczenie objętości ostrosłupa:
V= 4 (3 + 4 / 3
1
10
.
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń;
h - wysokość graniastostupa,
P - poie podstawy graniastosłupa,
r - promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa, r - h .
1
Wyznaczenie pola podstawy graniastosłupa:
P = 1 4/3 .
1
Wyznaczenie promienia okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa: r - v/3.
1
Wyznaczenie objętości graniastosłupa:
V = 42.
1
127
rt
u
Ü MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
I
I
IX. Rachunek p ra w d o p o d o b ie ń s tw a i e le m e n ty s ta ty s ty k i
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów
1.
B.
A - orzeł wypadł co najmniej jeden raz,
A = { { o, Oi ©)»(©» r,
r)t(r,
o, r), (r-, r, o ),(*>, o, r ), ( o, >\o),{r, o, o )}. £2 =
8
,
: 4 = 7 ^ p w ) = | .
1
2.
B.
.4 - dwa razy wypadła parzysta liczba oczek, £ 2 -6
6
, 4 = 3 3 =*
P(A) -
1
3.
c.
X
2 ' 2
+ 2 '4 +
5
+
2 ' 3
=.5T-3,29
1
4.
A.
A
- wylosowanie liczby podzieinej przez 5,
B
- wylosowanie liczby podzielnej
przez
11
,
4 H 5 - wylosowanie liczby podzielnej przez 55, stąd
p (A )_ 402 . 182
36
„ , , , 5 4 8
r{A )
2010
2010
2010
~
2010
’
1
5.
B.
(2
■
2 + 2 • 4) ■
0,1 + (5 + 2 • 3.) 0,2
„
4 -0 ,1 + 3 -0 ,2
3A
1
6.
D.
l - ponieważ, „jedynek" jest najwięcej.
1
7.
B.
A
- wyrzucono res
2
kę i co najwyżej 5 oczek. £2=6 ■
-2,
A = { ( r , l ) . ( r , 2 ) , ( r , 3 ) , ( / - , 4 ) . ( r , 5 j } ^ f ( A ) = T| .
1
8
.
D.
Największa liczba danych (2 5 ) to dwie wartości: 2, 3, zaś wartość środkowa
—
H
1 -
1
9.
B.
A - wylosowanie kiera,
B - wyłosowanie asa,
A n B - wylosowanie asa kier,
P(A U B) = ^ + 4
ą
~ ¿ i =*
u
B) = %■
1
10
.
A.
x - pensja nowego pracownika, —
+
x = 3660.
1
11.
C.
A
- reszka wypadła co najmniej jeden raz. £2=2 ■ 2 • 2 • 2,
A'
- reszka nie
wypadła ani razu,
1
12
.
B.
A
- dwa razy wypadło 5 lub
6
oczek, £2 =
6
-
6
, A = 2 2 => f(<4) = -g.
1
13.
B.
S = 4 . l + 7 - 2 + 5 - 3 + l - 4 ^ = 2 iJ7 6 4 ^
^
z
1
128
w w w . o p e r o n , p i
I*. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I ELEMENTY STATYSTYKI - WYNIKI ETAPÓW ROZWIĄZAŃ S
14.
D.
A
-
wybrana ficzba jest podzielna przez 4, £2=21r
A
= 6,
P{A) =
1
15.
A.
x w
=
4,8
•
0,4
+
5 - 0,5
+
5,2 • 0,1 =*
3tw-
4.94
1
16.
B.
m ~ 4 - wartość środkowa.
1
17.
D.
A
- wyrzucono dokładnie jednego orfa i sześć oczek,
Q = 6
4,
2
=
2
^ Z ’ (A ) =
1
L .
1
18.
A.
5
•
6
=
30.
1
19.
C.
A
- wylosowanie pika,
B
-
wylosowanie króla,
A n B -
wylosowanie króla pik, ^ W U £ )
=
^
+
- ^ - ^
2
=* P(A U 5.)
=
1
20
.
C.
A c £ = > A U £ = S=>/>(AU£) = |
1
Zadania otw arte krótkiej odpowiedzi
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
1
.
Zapisanie równania: 2 + 7 + Q + 0 + a:
_
3
1
Rozwiązanie równania:
x
=
6
.
1
2
.
_ .
.
.
3 . 4 - 2
+ 3 ,8 + 3 ,5 -2
Zapisanie równania:
x =
—---------- ^------
1
----- .
1
ObSiczenie średniej ocen:
x=
3,52.
1
3.
Zapisanie liczby danych: 12.
1
Wyznaczenie mediany:
m
= 6,5.
1
4.
Zapisanie liczby danych: 15.
1
Wyznaczenie mediany:
m
=
1
,
1
5.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: ¿1 = 36.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A
- suma wyrzuconych oczek wynosi 7:
A
=
6
i obliczenie
prawdopodobieństwa zdarzenia
A:P(A)
=
1
6
.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
0.-36-
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A
- iloczyn wyrzuconych oczek wynosi 25: A = 1
i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A: P(A) -
1
W MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
!
7-
Wyznaczenie sumy prawdopodobieństw zdarzeń:
P ( A) + P (B) - 1,2.
1
i
zapisanie wniosku: zdarzenia me moga się wytaczać, gdyż wtedy
P(A U B) > 1.
co jest
niemożliwe.
1
8.
1 2
7
' 1
Zapisanie równania:
^
- P(A nB).
¡
K
Wyznaczenie prawdopodobieństwa iloczynu zdarzeń:
P(A fi B) -
1
I
9'
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
¿1 = 4.
1
Í
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A -
wyrzucimy co najwyżej jednego orta:
A = 3
i odiicze-
nie prawdopodobieństwa zdarzenia
A:P(A) =
1
j
10.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
£2=8.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A -
wyrzucimy co najmniej jednego orła:
A = 7 i
oblicze
nie prawdopodobieństwa zdarzenia
A: P(A) = J
1
1 1 .
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0
=900,
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A -
wybierzemy liczbę podzielną przez
120: A = 8
i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A:P(A.) = ^qq.
1
12.
Zapisanie warunku:
S c A = ? A u £ f = A.
1
Wyznaczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:
P(A U B) = 0,8.
1
13.
Zapisanie warunku:
(A \ B ) u B - A
oraz
( A \ B )
i
B
są zdarzeniami wyłączającymi się,
zatem
P(A\B) + P(B) = P(A).
1
Wyznaczenie prawdopodobieństwa różnicy zdarzeń:
P(A\B) = 0.3,
1
1 4 .
wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
£2=90.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A -
wybierzemy liczbę podzieiną przez
11: A = 9
i obli
czenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A: P(A) = y|j.
1
1 5 .
„ ......................... 7 6 + 4 -5 + 6 -4 + 8 -2 + 5 1
1
Zapisanie równania:
x = —“ —■
—..... ---------------- —-.
Obliczenie średniej liczby wyrzuconych oczek:
x = 3,5 (6).
Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
Numer J"
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania
Liczba
punktów
1.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: £2 = 14 ■ 13.
1
130
IX. RACHUNEK P R A W D O P O D O B IE Ń S T W A 1 ELEMENTY STATYSTYKI - W Y N IK I ETAPÓW ROZWIĄZAŃ ■
i
i
1
i
.
1
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A'
- wybierzemy dwie kule czarne: A' - 8 - 7 .
1
l
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A 1:
6
( A ') =
" i ~ j
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A
- wylosujemy co najmniej jeden ra
2
kulę
białą:
P(A) -
.
1
¡
2
.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
17 • 17.
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A
- wybierzemy dwie liczby parzyste: A - 9 -9.
1
i
Wyznaczenie prawdopodobieństwa
2
darzenia A:
P(A) =
1
Í
3.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: £2=36.
1
|
Wyznaczenie liczebności zdarzenia A - suma wyrzuconych oczek jest równa
8
: A - 5.
1
l
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
B
~ iloczyn wyrzuconych oczek jest równy 12:
B
= 4.
1
|
t
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A n
B:
A
f\B
= 2.
1
Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń
A.B.A
n
B:
P(A
) =
P(B)
=
A .i P(ADB)
= ^ .
1
Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:
P{Au B) =
1
4 .
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń eiementamych: 0 = 6 • 6 6.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia A ' - suma wyrzuconych oczek jest równa 17 lub 18:
A
1
- 4.
1
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A ’: P ( A ’ ) = ^
1
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A - suma wyrzuconych oczek jest równa co
najwyżej 16:
P{A)
=
1
5.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 =
8
.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A
- wyrzucimy za pierwszym razem orta; A = 4.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
B
~ wyrzucimy dokładnie dwie reszki:
6
= 3.
1
Wyznaczenie liczebności zdarzenia A n
B: A
n £ = 1.
1
Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń
A, B, A
n
B: P
(A)
= A,
P
(fi) = 3-
X
o'
W
n i )
= i
1
!
I
W
Y
N
I
K
f
,
t
T
A
P
O
W
S
O
Z
.W-
El MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
m
1
w
Obliczenie prawdopodobieństwa sumv zdarzeń:
P(A U 5 ) = j .
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: Q - 16.
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A - wyrzucimy Jedną reszką: A - 4.
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
B - wyrzucimy co najmniej jednego orfa: B = 15.
wyznaczenie liczebności zdarzenia
A f i B: A n B = 4.
Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń
A, B, A n B\ P(A) = -^r, P(B) = yj|,
P(AnB) = ^ .
15
Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:
P(AU B) =
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
Cl =9 ■
8
.
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A - złożona liczba jest większa od 40: A =
6
8
.
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A: P(A) -
8
-
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych: 0 - 1 2 .
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A - reszkę i co najwyżej 2 oczka; Á - 2.
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia ,4:
P{A) - ^
wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych:
Cl = 4 • 3 ■ 2 ■ 1.
Wyznaczenie liczebności zdarzenia
A - Natalka i Ewa usiadfy w kinie obok siebie: A - 12.
Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
A: P(A) = -y.
Obliczenie średniej arytmetycznej danych:
x = 5,65.
Obiiczenie wariancji danych: cr"= 71,3775.
Obliczenie odchylenia standardowego z podaną dokładnością:
(J ~ 8,45.
2
n pktza
metodę
11 pkt za
oDiiaentó)
132
viww.oj>e?oft,p!
MODELE ODPOWIEDZI ■
Modele odpowiedzi i schematy punktowania arkuszy egzaminacyjnych
Arkusz 1
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów
1
.
D.
vĆ3(,/3 + / 7 )
3 + ,''21
- 3 - , / 2 ‘i
0
= { ^ - /
7
) ( /
3
+ '
7
) ^
=
- 4
i " "
1
2
.
C.
- 2 x
+
2 ~Q
=*.%-
1
£ ( -
00
, -
1
),
3x +
1
=
0
= » jc = -^ e ( - l
A).
- x - 2 ~ 0 =*x = - 2
£ (l,+ o o ),
zatem jedynym miejscem zerowym funkcji jest liczba - y.
1
3.
D.
Jedynie funkcja z przykładu D spełnia warunki zadania, gdyż / ( 1 ) = 9
i
f(x )
>
0
x
e ( -
2
, +oo).
1
4.
D.
8
1
Najkrótszy bok trójkąta leży naprzeciwko kąta 30°, zatem
^
= y =»
c
- 16.
1
5.
C.
n1-
9
=
0 i
n
e
A/+=>
n =
3 lub
n
=
-3 , ale tylko liczba
n -
3 jest liczbą
naturalną dodatnią.
6.
A.
a
2 sin 30° = 12,5 =>
a2= 25 => a = 5
1
7.
C.
3 x - 7 y +
1
=
0
=> -
7y
= -
3x
- 1 =>
y
= y
x
+ y =>
a -
y
1
8.
D.
r, i -
odpowiednio promień podstawy i tworząca stożka,
2 /
+
2 r = 3 0 i /
=
r + 5 ~ 4 r + 1 0
=
3 0 ~ r = 5 . / = 1 0 .
cos
a
=
=
5
-
a
=
60p.
1
9.
B.
A ' -
wypadty same reszki,
p
(A ')
=
^ A A '
1 =*P( A )~
1
" T k = , p (
= 15'
1
10.
D.
x -
szukana liczba, 0,014x
=
0,756
= * # =
54
1
11.
D.
_ A
.
-,
_1
_
4
t
1
64
-
= (.4 ) i = 4 ^
12.
D.
Zasada przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi
OY.
1
13.
C.
x"
+
1
£
0
=>
x*
£ -
1
-
warunek sperniony dla każdej liczby rzeczywistej
x.
1
I
14.
A.
>^.=-10
=* W=
( ” 1
0, +oo
)
(ponieważ ramiona paraboti są skierowane do góry).
1
133
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
|
15-
B.
W{x) = * * ( * - 5 ) - 9 ( x - 5 ) =* W[x) = ( x - 5 ) ( V - 9 ) =>
W(x) = ( x - 5 ) ( * - 3 ) ( x + 3)
1
|
16.
C.
| y j + c o s 'a =
1
^
coscr= ^ y ^
1
17,
A.
lo g 36 = io g ó 2- 2 log
6
= 2 lo g (2 • 3) = 2 ( lo g 2 + lo g 3)
= 2 log 2 + 2 Jpg 3,
1
18.
C.
c
2
M
„ | -
an =
8
(n + 1 ) + 3 - (Sn + 3) => aa t , -
ąu
=
8
r -
8
i
19.
A.
0
2
a /S
a
~
6
¿2
„
T ’
j
T “ “*
=
2 / 2
^ a -■
=»o = 2 ,76
1
20.
D.
|
AB| = J s 76 +
1.00
=> |
AB| = 26 " » * = | f = » * = -§
1
21.
D.
i: y =
2
* + y =?
a = 2 =>a =
2
1
22.
C.
Równanie okręgu o środku
S = (a ,b ) i promieniu r to („y - a ) “ + { y - b f = r \
1
zatem dla danego okręgu
S ~ (
6
, -3 ),
r = 2.
23.
A.
x =
1 + 2
+ 4 + 4 + 5 + 3 + 3 =>g =
3;|42857=>. a 3 ' l4
1
24.
c.
[S jc -
2
| <
0
=> t o -
2
| =
0
to -
2
=
0
«
x = \
1
25.
_ .
a_
- 2
m -
8
< 0 =* - 2
tn <
8
=>
m
> - 4 =*
m e (—4,
+<x>
)
1
Zadania otwarte
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
26.
Wyznaczenie wyrazu
an + ,
:
ari +1
=
2
■ 51' '
1
. .
wyznaczenie ilorazu ciągu:
q~5 , zatem ciąg jest geometryczny.
1
27.
wprowadzenie oznaczeń i zapisanie długości boków po zmianach:
a, b - boki prostokąta, P = ab.
1
.la, J ,2b - boki po zwiększeniu o 20%.
1
Obliczenie, o ile zwiększy się pole prostokąta: P,
-
]A4ab. zatem pole zwiększy się o 44%.
1
28.
Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynowej i wyznaczenie jednego pierwiastka:
5x
“ +
6x
+
1
j,
X\
=
0.
1
Wyznaczenie pozostałych pierwiastków:
x2= - \,
* , =
- y .
1
29.
Obliczenie długości odcinka
AE: \ AE |
= y p
a.
1
134
ww.operon.pl
MODELE ODPOWIEDZI
®
\
30.
a ( l + / 5 )
Obliczenie obwodu trójkąta
EFG:----- «----- c
Zapisanie nierówności:
a + b<2b.
Przekształcenie nierówności do postaci wykazującej tez? zadania:
a t ^
<
b.
Wprowadzenie oznaczeń:
h - wysokość prostopadłościanu.
h - 2 , h Jc 2 - krawędzie podstawy.
Zapisanie równania:
h ( h - 2)(h + 2 ) = h - 24.
Rozwiązanie równania:
h =
6
.
Zapisanie odpowiedzi: krawędzie podstawy mają długość 4.8.
Zapisanie uktadu równań:
tf] + 6 r - ( i z | + r ) = 20
a, + 3 r - L 7
r
— 4
Rozwiązanie układu równań:
\ a _
5
.
5 + 5 + ( r t - 1) • 4
Zapisanie równania:------------
^
n ~ 860.
Rozwiązanie równania:
n
lub
n = 20.
Zapisanie odpowiedzi: 20 początkowych wyrazów daje w sumie 860.
Wyznaczenie liczebności zbioru wszystkich
2
darzeń elementarnych: Q = 36.
Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu
A
- suma
wyrzuconych oczek większa od
8
:
~A =
10
.
Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu
8 - na każdej
kostce wypadnie ta sama liczba oczek:
8 =
6
.
Wyznaczenie mocy zbioru zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu
A fi B: A n B = 2.
Obliczenie, prawdopodobieństw zdarzeń:
A.
B, A
fł
B:P(A) "
P(B) =
n
Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń:
P(A U B) =
w w w . o p - r r r a j i . p l
135
m
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
Modele odpowiedzi i schematy punktowania arkuszy egzaminacyjnych
Arkusz 2
Zadania zamknięte
Numer
zadania
adpowtedź
Wskazówki do rozwiązania
Liczba
punktów
1
.
A.
( 3 v/2 + 5
)2
= ( 3 / 2
)2
+ '2 • 3 / 2 • 5 + 5 2- 18 + 3 0 / 2 + 2 5 = 43 + 3 0 / 2
1
2
.
B.
Odejmujemy przedział otwarty, więc różnicą będzie przedział domknięty.
1
3.
C.
|^ +
2
| <
0
= > |.k+
2
| =
0
=>Jt
:+ 2
=
0
= ^^ =
- 2
1
4.
C.
według zasady przesuwania wykresu funkcji wzdłuż osi
OX.
1
5.
A.
-4 x - 8 < 0 = » - 4 x < 8 s * x > - 2
1
6.
0
.
5 6 (0 ,5 ) =»/<5) = 7
1
7.
C.
f 3 - 2 — 5 - ( - 2 ) - 16
^ ( 2 ) - 4
. zatem para ( 2 , - 2 ) speinia układ C.
1
8
.
B.
—8
= — ( —3 ) * — 12 + c => c = 13
1
9.
C.
Jedynie w przykładzie C
W ( - 4 ) = 0 i W (4 ) = 0 i W ( — l ) = 0 i M ^(l) — 0.
1
10.
B,
c
o
0
sin cc = -
7
==-. cos
a -
=*> sin er + coscr = -
7
=
v'3 4
v/34
/3 4
4 /3 4
=*• sincr + cosof= -■ p -
1
11.
C.
s i n a - 3 cosec*» 9cosi Cf + cos2a = 1 => 10cos2c? -1 =?-cos''a = - ^
„ / i o .
3 / 10
=5
cos Cc =
sin
CL =
1
12.
D.
d - krótsza przekątna rombu.
\ d
_
yt
1
I
T = sin W* ^ 2 4 ~ 2 ^ ć* = 12‘
1
13.
C.
a-" - 36
x = 6 lub x = - 6
1
14.
A.
Liczba, która z dzieienia przez 5 daje resztę 3, ma postać 5« + 3.
1
15.
D.
m"
+ 9 > 0 =>
m2> -9
m
1
136
M O D E L E O D P O W I E D Z I W
16.
C.
r< ¿2, zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych.
1
17.
C.
Ct = 90" - 38° =}£t= 52ę
1
18.
A .
4 = 2 x + 5 = > x = ~ ±
1
19.
D.
l : y - 3 j
3 =>»,= 3 ^ a s- 3
1
20.
B.
|
AB\ = J ( 2 + 4 )2 + ( - 4 + 6 )J =» | AB\ = / 4 0 => | Afl| = 2 /lO
1
21.
D.
lg « = A
- tg « = 7 r =» tg « =
¿ v 2
y 2
*■
1
22.
A.
i
iJirh = 4871
[ r = 4
.
-
1
23.
C.
2 IV ( x ) - G ( x ) = 2 ( 7 + 5.r; -
- (3a:j +
I x 1- x - ? J =+
2 W (;t) - ( .( jc ) =
2x'' + 1 0 7 - 6 x - 3X'1- 2x~ + x + 7 **>
l W { x ) - G { x ) = - x i + 'ix 2- 5 x + l
1
24.
B.
P M ) = ^
i = P (A ) = i = . P ( . 4 ) < i
1
25.
D.
_
5 - 0 + 1 0 - 1 + 3 0 - 2 + 3 0 - 3 + 1 0 - 4 + 5 - 5
, ,
...
2 +
3
^
X
90
J | tr i
“
^
”
4.. J .
1
Zadania otwarte
Mu mer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
26.
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu:
x { = -\. x2 =
•£.
1
Rozwiązanie nierówności:
x
e
^ -o o .
j U
+ac
j.
1
27.
Zapisanie prawej strony równania w postaci iloczynowej:
9 \(x+
1) = 0.
1
1
1
Wyznaczenie pierwiastków równania: .X j= -3 ,
x1-
3,
x . = - l .
28.
Obliczenie przedwprostokątnej trójkąta
ABC: c
-
26.
Obliczenie obwodu trójkąta
KLM:
0
=
30.
1
29.
Zapisanie równań wynikających z definicji logarytmu: 2
a=
3,
4 *=
1
3
Wykazanie tezy zadania:
x
= - -j
d-
1
137
M
MATEMATYKA - POZIOM PODSTAWOWY
50.
Wyznaczenie różnicy ciągu:
r= 3.
1
Wyznaczenie ósmego wyrazu:
= 40.
1
31.
wprowadzenie oznaczeń:
x, y, z
-
szukane liczby,
jc +
y
+
z
~ 49.
1
\x
+ y +
z
- 49
1
Zapisanie układu równań:
-j
yA - xz
y + l - j c - 4 = ?
- 9 - y - l
Doprowadzenie do postaci równania kwadratowego:
- x * + 35* - 196 - 0.
1
(x = 28
Wyznaczenie rozwiązań układu:
1 >■ = 14
lub
1 - 7
X~1
>■= 14.
z
= 28
1
32.
Wyznaczenie równania prostej
AC:y = -
- ^ x +
1
Wyznaczenie środka odcinka
AC: ,S' = (4 ,2 ).
1
Wyznaczenie równania prostej
BD:y = 3 x -
10.
1
Wyznaczenie długości przekątnej kwadratu:
|AC|
=
2/10.
1
Zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi
B = (x,y):
1
fy = 3 .x- 10
j / ( * ' 4 ) 2+ ( > ' - 2 ) W l O '
Rozwiązanie
układu
równań
i
podanie odpowiedzi:
B
= (3, “ 1),
D
= (5,5).
1
33.
Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania:
1
3? lr2fc= 100031
1
h
/ 3
[
r ~
3
73
-j
Przekształcenie do równania z jedną niewiadomą:
-ę-flr'
= 1000%.
1
Wyznaczenie r,
h:r=
10 / 3 ,
h
=
10.
1
Obliczenie długości tworzącej stożka:
l
=
20.
1
Obliczenie pola powierzchni bocznej stożka:
Pb
=
2001C/3.
1
138
w w w , o p e r o « , p l
narwK
n^rai
Wśrtó$ć bgtwzgiędną liczby rzeczywiste]
x
definiujemy wzorem:
Í2t día.
x > 0
j - * 4ia * < Q'
liczba
\x | jest to. odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0.
w szczegOtoośę.iijal
> 0r|—jc| = \x\.
Dla dówołnYch Hezb
x,-y mamy:
t i + y ]« |x l + |y|,
(
jc
—jf|< |
jc
| + (>|,
(* - j | = 1*1 - l.vl-
Ponaaá». ieSii
y ? l i to j y j = j^j.
Potęgi i pierwiastki
Nfech
n
będzie liczbą całkowita dodątnią. Ola dowolnej liczby
á
definiuje*
myfcfíi-tapotee?:
a - a - ... - a..
n razy
Plen/yfastkfém arytmetycznym
H
Ja stopnia fi ? liczby « > 0 nazywamy licz
bę;/? ^Otąką, że
b*~ ą.
Jeżeli
a. < O oraa
liczba
« jest
nieparzysta,
to
!>
/a
oznacza liczbę,
b <0.ta
ką,
ze¿n= c.
Pierwiastki stopni parzystych z itézd ujemnych nie istnieją.
Niech/a
n będą liczbami pátkowitymí dodatnimi. Definiujemy:
<3&á¿Q', a "= 4 ro ra z V “ 1,
á
i”
r:%
dia t3 >
Q-a n
= # « ,
_a
i
cHaa>0i.a
v>a
Węch*-,
s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jesli#> 01 b > 0, tó
zachodzą równości:
■ a - a = a 's,
^d j - a \
-
a \
[ a b ) ’ - a b ' .
{ § ) ' - £
JeteM wykładniki r,
$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowlą-
zujądfą wszystkich itcżb
a £ (),b £0.
Wzory skróconego mnożenia
(a
+ />)*=
u + 2ab
+• /?“,
.(« +
bf'^v-b'Sa2 b + Sd^+i?3,
(a - b f = ( f - Z&b + b",
(« -¿ » )3= a 3- 3a2¿ +
3ab~ -.ił.
&l- b 7-(a -b ){a + b).
(a - b){a~
+w& + £*}.
ą +b' ~ { a + a
“
+
b~
j.
P raw ą d ilatan a a logarytm acłi
tog^fr, &2) = l egMi?,+
gdy /?,,
b$& RĄ.
i
a-
e
1}
bg.-r1 =
gdyĄ.j^e R jp S R ,\{1 }
" »2
55 *8' log^/>. 0dyé.e
£/?+\ { ł } i i ;e f i
lo g //£ =
ty gdy b e R+, a e R+\ . { j} i f l £ rV \{Ż), 1}
i« á „ # =
gay ft e R , i A c s
1 }
h>S.
b ‘
W a.
b e R ,\{1 }
mugoié- (5dc3nkg:»kpfic^w;putóąit
danaiest;w zorem :
| A*| =
Wspófrzęora środka bdtíni^á A&
Í Í A Í Í » . í l í ¿ ¿ \
l~~s
^
;
i Równanie ogólne prostej:
|
■áx + 5}»;+,t l =Ú
I gdzie A* + £T#Q'(tj. współczynniki A B nie są równocześnie równe 0).
Y
/ y - :ax. + b
ty
x < £ \
/
o
X
I Jeżeli prosta nfe je s t równoległa d o osi O K , to m a o n a rów nanie kierunkowe
i
y- =
] L íc z b a ^ 'to wspóiezynnlk iüe.riimkovyy prostej:
a - tg (x .
] Prosta p ^ c h o d łą ę a ^ n z a z .dwa-’dSane^unkty
A
”
s s
I je s t wyrażona tó w nahiem :
J - O s .- j ü & ' - O -
°-
P rosta i pu nkt
i Odległość punktu
P.= ( jćfl; jy0.) od prostej o równaniu
M + ' By .+€ ~
0
jdamiastw^m:
/ i ! ł S *
Warunek prostopadłości (i ) pary prostych
! RóvyńantókierunkOwę.prostych:
]fc¿:v
~ut S'+bz
j Równania ogólne prostych:
l k1rA1x+É¿y'+:Cl-Íl
!
: Aj jc
>' + .Cj - 0
i ( l ) : A r ^ J+ ą % = 0
Warunek rownołeproścl |||) pary prostych
Równania kieruńktóye. prostych:
kL;y = a} X+ b\ ■
k.^.y -'■&£&
( l l ) : f l , = s 3
Równania, ogólne prostych; -
k2: Az x + B2 y-+ <S,=0
íñ lV iA . a . - A ^ , ^ ^
r u n f i e
monotonlcznośC -funkcji
Funkcja rosnącą: * ,-< jcw = >./(.v,j
< f ( x 2)
Funkcja malejąca:
x }< x 7= * f { x i ) > f [ x 2)
Funkcja nlerosnąca: a'!<a% = > / ( # , ) ^ / ( ż z)
Funkcja nlemalejąca: ą <
x 2= > f { x
t ) <
f ( x
2 )
Przekształcanie w ykresu funkcji y ~ f ( x }
Symetrta osiowa względem osi
OX: y = - f( x )
symetria osiowa względem osi OK:
y = f (-x )
Symetria środkowa względem początku ukł. wsp.:
y
= ' - / { -
x)
Funkcja kwadratowa
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
/
( x ) = ax* + bx + c, a f 0
Wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:
/ ( * ) =
a ■ (.* +
-
-X, g&iie A = b'~ iac.
pomocnej przy sporządzaniu wykresu.
Wykresem funkcji kwadratowej iest parabola o wierzchołku w punkcie
o współrzędnych
^ j. Ramiona paraboli skierowane są do góry,
gdy
a > 0, do dołu, gdy u < 0.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków
równania a
*'2+ bx + c = () zależy od wyróżnika A = b‘ - 4ac.
-jeżeli A < 0, to funkcją kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie
kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych),
-jeżeli A = 0, tQ. funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie
kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek):
x , = x, = -
- jeżeli A > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa.miejsca.zerowe (równanie
kwadratowe ma dwa pierwiastki):
~b ~ /A
-¿> +
yó,
JeśH A S5 0, tg wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci I
iloczynowej:
¡
Ą x ) = a ( x - x t)( x - x 2)
Funkcja wykładnicza
Funkcję/At)
= u ' , gd zie a e / ? ^ \ { 1},
nazywamy funkcją wykładniczą,
wykres funkcji wykładniczej nazywamy krzywą wykładniczą.
Jeżeli a > 1; to funkcja wykładnicza v =
d jest rosnąca.
Jeżeli
a £ (0:1.}, to funkcja wykładnicza jest malejąca.
Funkcja wykładnicza jest równowartościowa.
jedynym rozwiązaniem równania
a = b, gdzie a e /? (\ { l } , b EL Rt, jest
liczba
x - \ó%ah.
Jeżeli
ci £ R \{1 }.to :a ’ - a' &> b = c,
I Jeżeli
a <= (0:1), to:
i
1
)
a" > a ' <* X-¡< xv
Równanie liniowe
ax + b = 0
]
ax- =~b
|
dla
a d 0:
dla« - 0:0
=~b
b
x ~ a
| - jedno rozwiązanie
j
(pierwiastek)
i
dla 6 = 0
I. = P
nieskończenie wiele
rozwiązań
dla 6A 0
L # P
brak rozwiązań
Ciągi
Ciąg arytmetyczny
Wzór na fi-ty wyraz Ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie
a., i różnicy r: an = «, + (t? - L) r.
wzór na sumę fi początkowych wyrazów:
.;„ = -l t ^--,i=
1
— — u
Miedzy sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
_
i
+ A +
,
c ią g geometryczny
Wzór na
n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie
a, i ilorazie
q:
r t „
=«,-</ "'
wzór na sumę
Srr ~ a} + ą, +... + ati początkowych n wyrazów ciągu
geometrycznego:
8 =
I - c i
dla
q ^ I
n ■«,
dla
q = I
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
u\~o_ ,A
u , dla n > 2
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy
K złożymy na n lat w banku, w którym opro
centowanie lokat wynosi
p % w skali rocznej, to kapitał kortcowy K
o f ( x ) > g ( x ) .
wyraża się wzorem:
K = K
a ,b ,c-
długóścj b oków łeżąęyeh odpowiednio naprzeciwko wierze hol
A,B,C
2 p - a + b + c -
obw ód trójkąta
{ 7 / 3 , / - m iary k ą tó w przy wierzchołkach
A.B,C
K * K > K ~
WYSókośęi opuszczone.2 wierzchołków
A,BjC
/ ? , r - prom ienie okręgów opisanego i wpisanego
Wzory na
pohb
trójkąta
■bh.
■
ć ■
h
2 v
h~ 2
l r
.
1
2
sin fi ■ sin
y
r,M c =
2
v h - ™ r =
2
“
sin«
-
-2R2 sina ■
sińjS ■
siny
PAM*r 3f l t = rP = j p ( p - a){p- ~
b){ p -c )
Twierdzenie Pitagorasa
i w ra z z tw ie rd z e n ie m o d w ro tn y m o o niego)
W trójkącie
ABC
kąt y je s t prosty w te d y i ty lk o wtedy, gdy
a ■
= £.
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
Załóżmy, że ką t y je s t prosty. Wówczas:
h;=\AD\‘\D&\
h = f
a = c ' sina = c ■ eosyS
a - b \go. = b ctg/3
/? = ic -
Twierdzenie Taiesa
(w raz t twierdzeniem
odwrotnym do niego)
Proste A A '.
BB \ CCr
są parami rów nolegle w te d y i ty lk o w tedy, gdy
Chodzi równość:
M
_ M
M
|OAj
j a f l j " |OC'|
oznaczenia
P -
pole powierzchni całkowitej
Pp
- pole powierzchni podstawy
Ph -
poie powierzchni bocznej
V - objętość
Pb= 2nrh
P=2ltr(r + h
)
/ =
p h .
gdzie
r
Jest prom ieniem podstawy,
h
- wysokością waica.
Stożek
Pb=itrl
P = 'Kr(r + l )
v
= | V
ą
gdzie r Jest promieniem podstawy,
h ~
wysokością,
l
- długością tworzącej stożka.
Tapez
Czworokąt, który ma co najmniej je dną
mę
boków rów noległych. ,
Wzór na pole trapezu:
a
- f
b
. ł
- 2
n
iównołegtobok
Czworokąt, który ma d w ie pary boków
ównołegłych.
wzory na pole rów nołegtoboku:
P = ah = a b
s i n a =
\
|A C | | £ D | sin fD
Koma
Czworokąt, który ma dw ie pary boków
równoległych jednakowej długości.
Wzory na poie ro m bu:
P=«ft + a2’ sina = 4 1 |AC| ■
\BD\
Dełtołd
Czworokąt, któ ry ma oś symetrii
zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na póle deltoidu:
P = f | 4 C | - | i O |
Koto I okrąg
Wzór na pole koła o prom ieniu
i':
P - n r 2
Obwód kola o prom ieniu
r.
Ob = l%r
Wycinek koła
Wzór na pole wycinka kota o promieniu
r i kącie środkowym o mierze
cP:
a9
P=nr
3 60°
Długość tuku wycinka kota o promieniu
r
i kącie środkowym o mierze tt°:
1 = 2 n r-
3 6 0 ”
Kąty w okręgu
Miara kąta wpisanego w okrąg je s t ró w na poło w ie m iary kąta środkowego
dpartego na ty m samym tuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na ty c h samych tukach, są
równe.
a) Kąt w ypukły
b) Kąt wklęsły
c) Kąt zerowy (składa się tylko z ramion,
ramiona
OA
i
ÓB
pokrywają się,
a =
0 3
d) Kąt p ełny (składa się z całej płaszczyzny, ramiona
GA
i
OB
pokrywają się, a = 360°)
(f~n
a
b
e) Kąt poipełny (ramiona
OA i.OB
uzupełniają się do prostej
AB,
a
= 1 8 0 ° )
A
O
B
f) k ą t o s try (0° <
a <
90°)
g) Kąt prosty (a = 90°)
h) Kąt ro zw a rty (90° <
CC
<
180°)
A
i) Kąty utw orzone przez dw ie przecinające się proste
j) Kąty u tw orzone przez przecinające się proste
(a, h
} przecięte trzecią
pro stą
(c)
7i -
5,=$j