Kinematyka i dynamika
punktu materialnego
Poruszające się ciało traktujemy jako punkt
materialny a wtedy możemy opisać jego ruch a
co więcej konstruować równania ruchu
Kinematyka i dynamika
punktu materialnego
Poruszające się ciało traktujemy jako punkt
materialny a wtedy możemy opisać jego ruch a
co więcej konstruować równania ruchu
Kinematyka punktu materialnego
Mając układ współrzędnych i przyjmując, że ciała są
punktami materialnymi (koncepcja środka masy)
możemy opisać ich ruch. Będzie to oznaczało, że w
każdej chwili czasu mamy dane położenie prędkość
i przyspieszenie. Poruszające się ciało będzie
wykonywać obroty (oczywiście wokół środka masy)
ale to już zupełnie inna historia czyli kinematyka i
dynamika ruchu obrotowego
Jeżeli położenie punktu zmienia się w czasie to
w układzie współrzędnych prostokątnych
ruch ten możemy opisać w następujący sposób
)
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
(
t
z
k
t
y
j
t
x
i
t
r
ˆk
ˆi
ˆj
Zakładamy, że układ jest prawoskrętny
ale może nie być : )
tor ruchu
x
y
r(t)
P(x(t),y(t),z(t))
Wersory możemy zapisywać na różne sposoby.
W trakcie ćwiczeń używać będziemy wersji trzeciej.
x, y i z są współrzędnymi kartezjańskimi. Współrzędne
punktu P możemy również zapisać we współrzędnych
sferycznych.
k
k
i
z
j
j
i
y
i
i
i
x
z
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
0
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
W zależności od tego, czy tor jest linią krzywą czy prostą,
mówimy o
ruchu krzywoliniowym
lub
prostoliniowym.
P(x(t),y(t),z(t))
z
tor
x
y
r(t)
.
Prędkość i przyśpieszenie
jako pochodna wektora położenia
i prędkości
Interesuje nas prędkość jakiegoś ciała w konkretnym punkcie P.
W jaki sposób możemy ją obliczyć?
r
1
r
2
r
3
P
1
P
2
P
3
P
x
y
z
r
r
3
r
2
t
1
Zacznijmy skracać odstępy
czasu w których określamy
położenie ciała.
Każdorazowo konstruujemy
wektor prędkości średniej
n
n
n
t
r
v
Gdy skracamy nieograniczenie
odstęp czasu t 0, wartość bezwzględna wektora r / t dąży do
pewnej wartości granicznej.
z
v
1
x
y
tor
P
1
P
2
v
2
v
r
1
Z rysunku widzimy, że w stosunku do punktu P
1
w
punkcie P
2
nastąpiła zmiana prędkości
w czasie t.
Średnie przyśpieszenie definiujemy jako
:
t
a
śr
v
v
Ruch prostoliniowy
Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to zawsze możemy
tak dobrać układ współrzędnych, aby jedna z jego osi
pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś x.
x
r
x
i
t
x
t
x
t
r
ˆ
)
(
)
(
)
(
Ruch jednostajny
Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest
stała, v=const.
.
x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle oznaczaliśmy
przez s. Wykres drogi od czasu ma więc postać:
s
t
t
0
x
0
s
t
t
0
x
0
Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym
przyśpieszeniem a = const. Gdy a > 0 ruch nazywamy
przyśpieszonym, a gdy a < 0 ruch jest opóźniony.
Ruch jednostajnie zmienny
Przykładem ruchu dla którego celowe jest określenie
prędkości średniej jest ruch samochodu w mieście. Nie
zawsze „zielona fala” umożliwia ruch samochodu ze stałą
prędkością.
Powyższa animacja pokazuje taką sytuację.
W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać
równanie:
nie martwcie się to dla Orłów
)
t
(t
a
v
v
dt
a
dv
dt
a
dv
0
0
t
t
v
v
0
0
(
*****
)
t
s=x
x
0
v
0
t
1/2at
2
Narysujmy drogę
którą ciało przebywa w czasie t
przy założeniu, że t
o
= 0.
x
y
g = -g i
y
v
0
h
W polu ciężkości na wysokości h wyrzucamy pod
kątem do poziomu z prędkością
v
0
jakieś ciało.
Możemy tu rozróżnić następujące przypadki:
Rozważmy
następujący ruch.
Rzut poziomy
Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1.
Zajmijmy się następującym problemem. Kula armatnia
została wystrzelona poziomo ze stałą prędkością v
0x
=100 m/s.
Kula spadła na ziemię w odległości 1200 m od miejsca
wystrzelenia . Pytamy się o długość drogi pionowej jaką
przebyła kula przy zaniedbaniu oporu powietrza.
x
y
x = 1200 m
y = ?
Rzut ukośny
Jest to przypadek, dla którego:
h = 0 lub h 0, 0 < < 90
0
, v
0
0.
y
x
v
0
Składowe prędkości
początkowej wynoszą:
sinθ
v
v
cosθ
v
v
0
0y
0
0x
Wysokość rz.:
g
y
2
sin
v
2
2
0
max
Zasięg rz.:
g
x
2
sin
v
2
0
max
Tor ruchu
przedstawia przesunięta
parabola
Rzut ukośny
Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu
ukośnego, a mianowicie
rzutu pod kątem = 90
0
z
prędkością początkową v
0
. Taki przypadek nazywamy
rzutem pionowym
.
v
0
v = g t
Przebywana w czasie t droga
wynosi:
2
0
2
1
gt
t
v
s
Maksymalną wysokość uzyskamy z
warunku
0
v
0
gt
dt
ds
.
Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h wynosi więc:
, a uzyskana maksymalna wysokość .
g
t
0
v
g
h
2
v
2
0
Ruch jednostajny po okręgu
Początek układu współrzędnych wybieramy w środku koła, po
którym odbywa się ruch. Położenie punktu na na kole możemy
podać jednoznacznie przez podanie kąta biegunowego i
odległości r od początku układu.
y
x
r
s
Ruch ciała określony jest przez
funkcję
= (t),
definiująca tzw.
drogę kątową.
Jeśli przez s oznaczymy drogę,
którą ciało przebyło po okręgu w
czasie gdy przebyło ono drogę
kątową , to
r
s
Różniczkując to równanie obustronnie, otrzymujemy;
.