Kinematyka i dynamika

punktu materialnego

Poruszające się ciało traktujemy jako punkt

materialny a wtedy możemy opisać jego ruch a
co więcej konstruować równania ruchu

Kinematyka punktu materialnego

Mając układ współrzędnych i przyjmując, że ciała są

punktami materialnymi (koncepcja środka masy)
możemy opisać ich ruch. Będzie to oznaczało, że w
każdej chwili czasu mamy dane położenie prędkość
i przyspieszenie. Poruszające się ciało będzie
wykonywać obroty (oczywiście wokół środka masy)
ale to już zupełnie inna historia czyli kinematyka i
dynamika ruchu obrotowego

Jeżeli położenie punktu zmienia się w czasie to

w układzie współrzędnych prostokątnych
ruch ten możemy opisać w następujący sposób

)

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

ˆ

)

(

t

z

k

t

y

j

t

x

i

t

r



ˆk

ˆi

ˆj

Zakładamy, że układ jest prawoskrętny
ale może nie być : )

tor ruchu

x

y

r(t)

P(x(t),y(t),z(t))

Wersory możemy zapisywać na różne sposoby.
W trakcie ćwiczeń używać będziemy wersji trzeciej.

x, y i z są współrzędnymi kartezjańskimi. Współrzędne
punktu P możemy również zapisać we współrzędnych
sferycznych.

k

k

i

z

j

j

i

y

i

i

i

x

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

0

0

0













cos

sin

sin

cos

sin

r

z

r

y

r

x

W zależności od tego, czy tor jest linią krzywą czy prostą,
mówimy o

ruchu krzywoliniowym

lub

prostoliniowym.

P(x(t),y(t),z(t))

z

tor

x

y

r(t)

.

Prędkość i przyśpieszenie

jako pochodna wektora położenia

i prędkości

Interesuje nas prędkość jakiegoś ciała w konkretnym punkcie P.
W jaki sposób możemy ją obliczyć?

r

1

r

2

r

3

P

1

P

2

P

3

P

x

y

z

r

r

3

r

2

t

1

Zacznijmy skracać odstępy
czasu w których określamy
położenie ciała.
Każdorazowo konstruujemy
wektor prędkości średniej

n

n

n

t

r





v

Gdy skracamy nieograniczenie

odstęp czasu t 0, wartość bezwzględna wektora r / t dąży do
pewnej wartości granicznej.

z

v

1

x

y

tor

P

1

P

2

v

2

v

r

1

Z rysunku widzimy, że w stosunku do punktu P

1

w

punkcie P

2

nastąpiła zmiana prędkości

w czasie t.

Średnie przyśpieszenie definiujemy jako

:

t

a

śr

v





v



Ruch prostoliniowy

Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to zawsze możemy
tak dobrać układ współrzędnych, aby jedna z jego osi
pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś x.

x

r

x

i

t

x

t

x

t

r

ˆ

)

(

)

(

)

(





Ruch jednostajny

Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest
stała, v=const.

.

x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle oznaczaliśmy
przez s. Wykres drogi od czasu ma więc postać:

s

t

t

0

x

0

s

t

t

0

x

0

Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym
przyśpieszeniem a = const. Gdy a > 0 ruch nazywamy
przyśpieszonym, a gdy a < 0 ruch jest opóźniony.

Ruch jednostajnie zmienny

Przykładem ruchu dla którego celowe jest określenie
prędkości średniej jest ruch samochodu w mieście. Nie
zawsze „zielona fala” umożliwia ruch samochodu ze stałą
prędkością.
Powyższa animacja pokazuje taką sytuację.

W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać
równanie:

nie martwcie się to dla Orłów

)

t

(t

a

v

v

dt

a

dv

dt

a

dv

0

0

t

t

v

v

0

0

(

*****

)

t

s=x

x

0

v

0

t

1/2at

2

Narysujmy drogę
którą ciało przebywa w czasie t
przy założeniu, że t

o

= 0.

x

y

g = -g i

y

v

0

h

W polu ciężkości na wysokości h wyrzucamy pod
kątem do poziomu z prędkością

v

0

jakieś ciało.

Możemy tu rozróżnić następujące przypadki:

Rozważmy
następujący ruch.

Rzut poziomy

Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1.

Zajmijmy się następującym problemem. Kula armatnia
została wystrzelona poziomo ze stałą prędkością v

0x

=100 m/s.

Kula spadła na ziemię w odległości 1200 m od miejsca
wystrzelenia . Pytamy się o długość drogi pionowej jaką
przebyła kula przy zaniedbaniu oporu powietrza.

x

y

x = 1200 m

y = ?

Rzut ukośny

Jest to przypadek, dla którego:

h = 0 lub h 0, 0 < < 90

0

, v

0

0.

y

x

v

0

Składowe prędkości
początkowej wynoszą:

sinθ

v

v

cosθ

v

v

0

0y

0

0x

Wysokość rz.:

g

y

2

sin

v

2

2

0

max

Zasięg rz.:

g

x

2

sin

v

2

0

max

Tor ruchu

przedstawia przesunięta

parabola

Rzut ukośny

Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu
ukośnego, a mianowicie

rzutu pod kątem = 90

0

z

prędkością początkową v

0

. Taki przypadek nazywamy

rzutem pionowym

.

v

0

v = g t

Przebywana w czasie t droga
wynosi:

2

0

2

1

gt

t

v

s

Maksymalną wysokość uzyskamy z
warunku

0

v

0

gt

dt

ds

.

Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h wynosi więc:
, a uzyskana maksymalna wysokość .

g

t

0

v

g

h

2

v

2

0

Ruch jednostajny po okręgu

Początek układu współrzędnych wybieramy w środku koła, po
którym odbywa się ruch. Położenie punktu na na kole możemy
podać jednoznacznie przez podanie kąta biegunowego i
odległości r od początku układu.

y

x

r

s

Ruch ciała określony jest przez
funkcję

= (t),

definiująca tzw.

drogę kątową.

Jeśli przez s oznaczymy drogę,
którą ciało przebyło po okręgu w
czasie gdy przebyło ono drogę
kątową , to

r

s

Różniczkując to równanie obustronnie, otrzymujemy;

.