Politechnika Wrocławska



©Roman Pietroń

PROGNOZOWANIE I 

SYMULACJE

(Wybrane zagadnienia i materiały wykładu dla 4 roku ZiM)

Wrocław 2006

SPIS TREŚCI

Nr części/Str. od-do

PODSTAWY METOD PROGNOZOWANIA ................... 1/

3-51

SYMULACJA JAKO METODA PROGNOZOWANIA ............ 2/

1-15

SYMULACJA CIĄGŁA ............................... 3/

1-33

SYMULACJA DYSKRETNA ............................ 4/

1-38

GRY SYMULACYJNE ................................ 4/

39-46

SYMULACJA A SZTUCZNA INTELIGENCJA .............. 4/

47-49

ZASTOSOWANIA SYMULACJI ......................... 4/

50-56

ETYKA SYMULACJI ................................ 4/

52-53

Bibliografia ................................... 4/

54

- 1/

2

 -

PODSTAWY METOD PROGNOZOWANIA

POJĘCIE PROGNOZY

Przewidywanie jest to wnioskowanie o zdarzeniach nieznanych na podstawie zdarzeń 
znanych. Zdarzenia nieznane są to zdarzenia:

•

należące do przeszłości,

•

należące do przyszłości

 

 .

Przewidywanie przyszłości jest to wnioskowanie o zdarzeniach, które zajdą w czasie 
późniejszym niż czynność przewidywania (należących do przyszłości) odbywające się 
również na podstawie informacji o przeszłości. Przewidywanie przyszłości może być:

•

nieracjonalne,

•

racjonalne

 

  (zdroworozsądkowe, naukowe).

Przewidywanie racjonalne  jest logicznym procesem przebiegającym od przesłanek 
(zbioru faktów należących do przeszłości i ich interpretacji) do konkluzji.
W  przewidywaniu   zdroworozsądkowym  przesłanki  i  tok   wnioskowania  są   oparte   na 
doświadczeniu (brak reguł naukowych). W  przewidywaniu naukowym  przesłanki i tok 
wnioskowania są oparte na regułach naukowych.

Prognozowanie  jest   to   racjonalne,   naukowe   przewidywanie   przyszłych   zdarzeń. 
Przewidywanie „naukowe” oznacza, że w całym procesie badawczym, obejmującym 
poznawanie   przeszłości   (w   gromadzeniu   danych,   diagnozowaniu,   przenoszeniu 
danych z przeszłości w przyszłość, formułowaniu założeń, konkluzji,...) korzysta się z 
dorobku nauki (metodologie, teorie, reguły problemów).  

Prognoza jest to sąd posiadający następujące właściwości:

•

jest sformułowany z wykorzystaniem dorobku nauki,

•

odnosi się do określonej przyszłości,

•

jest weryfikowalny empirycznie,

•

jest niepewny, ale akceptowalny.

Obiekt prognozowania 

jest to system (układ), do którego odnosi się prognoza.

Zjawisko prognozowania

 jest to zjawisko zachodzące w obiekcie prognozowania.

Zmienne prognozowania

 są to Ilościowe lub jakościowe zmienne opisujące zjawisko 

prognozowania. Wyróżniamy  zjawiska proste  – opisane za pomocą jednej zmiennej, 
oraz zjawisko złożone – opisane za pomocą wielu zmiennych.

PODSTAWY PROGNOZOWANIA

Podstawa ontologiczna prognozowania

Obejmuje naturę zjawisk i ich wzajemne powiązania.

Podstawa gnoseologiczna prognozowania

Wynika z  wiedzy o naturze zjawisk, ich wzajemnych powiązaniach i mechanizmach 
kształtowania się.

CEL PROGNOZOWANIA

- 1/

3

 -

Głównym   celem   prognozowania   społecznego   jest   wspomaganie   procesów 
decyzyjnych.

FUNKCJE PROGNOZ

(preparacyjna, aktywizująca, informacyjna)

Funkcja preparacyjna

Prognozowanie jest działaniem, które przygotowuje inne działania (np. decyzyjne).

Funkcja aktywizująca

Prognozowanie   jest   pobudzeniem   do   podejmowania   działań   sprzyjających   realizacji 
prognozy (w przypadku zdarzeń korzystnych) albo przeciwdziałających się jej realizacji 
(w   przypadku   zdarzeń   niekorzystnych).  Prognoza   badawcza  –   prognoza,   której 
zadaniem jest wszechstronne rozpoznanie przyszłości i ukazanie możliwych jej wersji. 
Prognoza ostrzegawcza  – prognoza badawcza, której zadaniem  jest przewidywanie 
zdarzeń niekorzystnych.

Funkcja informacyjna 

Prognozowanie jest informowaniem o nadchodzących zmianach w celu zmniejszenia 
lęku przed przyszłością. Prognoza realistyczna – prognoza o wysokim stopniu zaufania 
odbiorcy.

KLASYFIKACJE PROGNOZ

Wg kryterium wyrażania stanu zmiennej prognozy dzielą się na:

•

ilościowe (punktowa, przedziałowa),

•

jakościowe.

Wg kryterium przebiegu zmian zmiennej prognozy dzielą się na:

•

krótkookresowe (tylko ilościowe),

•

średniookresowe (ilościowe i małe  jakościowe),

•

długookresowe (ilościowe i duże jakościowe).

Wg kryterium możliwości sterowania zmienną prognozy dzielą się na:

•

prognozy zmiennych sterowanych,

•

prognozy zmiennych nie sterowanych.

DANE WYKORZYSTYWANE W PROGNOZOWANIU

W   prognozowaniu   wykorzystuje   się:   dane   wewnętrzne,   dane   zewnętrzne   oraz 
teorie naukowe. Dane wewnętrzne  to dane  o obiekcie

, dla którego sporządza   się 

prognozę   (obiekcie   prognozowania).  

Dane   zewnętrzne  to   dane  o   obiektach 

stanowiących   otoczenie   (bliższe,   dalsze)   obiektu   prognozowania.   Z   kolei  

teorie 

naukowe

 to założenia, modele i ich interpretacje przydatne w prognozowaniu.

- 1/

4

 -

Zjawisko prognozowane

Teoria

Doświadczenie

Model

Schemat wykorzystania teorii w prognozowaniu.

Kryteria doboru danych w prognozowaniu

•

Rzetelność

 

 :

Zgodność z przedmiotem, którego dotyczą (występowanie błędów losowych i 
systematycznych);

•

Jednoznaczność

 

 :

Jednoznaczny sposób interpretowania i odbioru danych;

•

Identyfikowalność zjawiska przez zmienną

 

 :

Wiele zjawisk można opisać przy użyciu różnych zmiennych;

•

Kompletność

 

 :

Objęcie wszystkich ważnych wiadomości istotnych dla problemu;

•

Aktualność danych dla przyszłości

 

 :

Określenie siły czynników w przyszłości (fakty niosące przyszłość);

•

Koszt zbierania i opracowywania danych

 

 :

Dążenie do minimalizacji liczby danych;

•

Porównywalność danych

 

 :

Uzyskanie   porównywalności:   czasowej,   terytorialnej,   pojęć   i   kategorii,   metod 
obliczeń.

Rodzaje szeregów czasowych w prognozowaniu

•

Jednowymiarowy szereg czasowy,

•

Wielowymiarowy szereg czasowy,

•

Jednowymiarowy szereg przekrojowy,

•

Wielowymiarowy szereg przekrojowy,

•

Szereg przekrojowo-czasowy. 

PRZEGLĄD METOD PROGNOZOWANIA

Metoda   –   sposób   zastosowany   ze   świadomością   możliwości   jego   zastosowania   w 
przypadkach takiego typu, jakiego egzemplarz w danym przypadku rozpatruje osoba 
działająca [

T.Kotarbiński, Elementy teorii poznania ..., PWN 1986, s.413

].

Metoda prognozowania

Sposób przetworzenia danych o przeszłości oraz  przejścia od danych przetworzonych 
do prognozy.

Reguła prognozy

Sposób przejścia od danych przetworzonych do prognozy.

Reguły prognozy – rodzaje:

•

Reguła podstawowa

 

 :

- 1/

5

 -

Prognozą   jest   stan   zmiennej   prognozowanej   w   należącym   do   przyszłości 
momencie   lub   okresie  t,   otrzymany   z   modelu   tej   zmiennej   przy   przyjęciu 
założenia, że model będzie aktualny w chwili, na którą określa się prognozę 
(ekstrapolacja modelu);

•

Reguła podstawowa z poprawką

 

 :

Występują  uzasadnione   przypuszczenia  co   do   tego,   że  ostatnio 
zaobserwowane odchylenia danych empirycznych od modelu utrzymają się w 
przyszłości;

•

Reguła największego prawdopodobieństwa

 

 :

Prognozą   jest   stan   zmiennej,   któremu   odpowiada

 najwyższe 

prawdopodobieństwo lub maksymalna wartość funkcji gęstości rozkładu;

•

Reguła minimalnej straty

 

 :

Prognozą   jest   taki   stan   zmiennej,   którego  realizacja   spowoduje   minimalne 
straty.

Metody prognozowania – grupy:

•

Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych,

•

Metody prognozowania przyczynowo-skutkowego,

•

Metody analogowe,

•

Metody heurystyczne,

•

Metody mieszane (np. metoda scenariuszy).

Podstawy wyboru metody prognozowania

•

Przesłanki prognostyczne,

•

Własności metod prognozowania.

Przesłanki prognostyczne

Hipotezy   badawcze   określające   wstępnie   mechanizm   rozwojowy   prognozowanego 
zjawiska oraz dostępne o nim informacje jakościowe i ilościowe.

Postawy zajmowane przez prognostę

•

Postawa pasywna:
Widzenie przyszłości zjawiska jako nieuniknionego, pojedynczego następstwa 

przeszłości,   określonego   przez   konieczne,   niezależne   od   woli   ludzi   związki 
pomiędzy zjawiskami;

•

Postawa aktywna:
Uznanie przyszłości za stosunkowo niezależną od przeszłości.

ETAPY PROGNOZOWANIA

Podmioty: odbiorca prognozy, prognosta

1. Sformułowanie zadania prognostycznego

Określenie: obiektu, zjawiska (zjawisk), zmiennych, celu, wymagań dopuszczalności, 
horyzontu prognozy.

2. Podanie przesłanek prognostycznych

Sformułowanie   hipotez  dotyczących   czynników   kształtujących   zjawisko,  deklaracja 
prognosty   co   do   postawy   wobec   przyszłości   zjawiska,  określenie   zbioru   danych 
potrzebnych do sporządzenia prognozy, zebranie danych.

3. Wybór metody prognozowania

- 1/

6

 -

Konsekwencja   przesłanek  prognostycznych:  postawa   pasywna  – prognozowanie  na 
podstawie   szeregów   czasowych,   prognozowanie   ekonometryczne   ze   stałymi 
parametrami;  postawa   aktywna  –   prognozowanie   symulacyjne,   ekonometryczne   ze 
zmiennymi parametrami, analogowe, heurystyczne.

4. Wyznaczenie prognozy

Odpowiada   zadaniu   prognostycznemu:   schemat   obliczeniowy   metody,   decyzje   w 
sytuacjach   trudnych   prognozowania,   założenia,   uzasadnienie,   kryteria,   wartości 
krytyczne.

5. Ocena dopuszczalności prognozy

Zgodność   z  żądaniem   odbiorcy:   błąd   prognozy  ex   ante,   horyzont   dopuszczalności, 
zmiana wymagań jakościowych prognozy.

6. Weryfikacja prognozy (monitoring prognozy)

Określenie   trafności   prognozy:   błąd   prognozy  ex   post,   analiza   słuszności 
postępowania   prognostycznego,   określenie   przyczyn   błędu   w   prognozowaniu, 
systematyczność weryfikacji (monitoring).

JAKOŚĆ MODELU PROGNOSTYCZNEGO

Ocena zgodności z danymi empirycznymi

Ocena wartości prognostycznej metody

Ocena zgodności z danymi empirycznymi

Współczynnik   determinacji  

 

 R

   

2

  :   miara   dopasowania   liniowego   modelu   regresji   do 

danych rzeczywistych, miara dopasowania modeli nieliniowych.
Skorygowany współczynnik determinacji  

 

 R

   

2

  : miara porównawcza jakości kilku modeli, 

w których liczba zmiennych objaśniających jest różna. 
Odchylenie   standardowe   składnika   resztowego  

 

 s  :   miara   przeciętnych   odchyleń 

wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od wartości teoretycznych.
Współczynnik wyrazistości (zmienności)  

 

 w

   : miara udziału odchylenia standardowego 

reszt   w   średniej   wartości   zmiennej   prognozowanej   (charakterystyka   zmienności 
losowej).
Błąd oceny estymatora parametru: miara istotności wpływu zmiennych objaśniających 
na zmienną endogeniczną (średni błąd szacunku parametru). 

Ocena wartości prognostycznej metody

Jakość (błąd) prognoz  

 

 ex post

 

   i  

   ex ante

 

 :    miara trafności prognozy (ex post), miara 

dokładności prognozy (ex ante).
Mierniki szczegółowe:

•

Błąd   prognozy  ex   post  (bezwzględny,   względny,   średni   kwadratowy,   średni 
względny, medianowy, współczynnik Theila),

•

Dopuszczalność   prognozy   (wykazanie   przez   odbiorcę   stopnia   zaufania   do 
prognozy wystarczającego do wykorzystania w ustalonym celu),

•

Maksymalny horyzont prognozy (należący do przyszłości najdalszy moment lub 
okres, w którym prognoza jest dopuszczalna),

•

Żądany   horyzont   prognozy   (podany   przez   odbiorcę   moment   lub   okres 
dopuszczalności prognozy),

•

Błąd  V

2

  prognozy ex ante  – wariancja prognozy (charakterystyka rozproszenia 

możliwych   prognoz   wokół   możliwych   realizacji   zmiennej   prognozowanej   w 
czasie),

- 1/

7

 -

•

Bezwzględny   błąd  v  prognozy  ex   ante  –   pierwiastek   kwadratowy   wariancji 
prognozy (prognoza jest tym dokładniejsza im mniejsza jest jego wartość),

•

Względny  błąd  

η

  prognozy  ex  ante  –  iloraz błędu  bezwzględnego i  wartości 

prognozowanej,

•

Prawdopodobieństwo   realizacji   prognozy   (prawdopodobieństwo,   że   zmienna 
prognozowa-na przyjmie określoną wartość),

•

Wiarygodność prognozy (prawdopodobieństwo, że różnica pomiędzy wartością 
rzeczywistą a prognozowaną nie przekroczy określonej wartości).

WARUNKI WYKORZYSTANIA BŁĘDÓW PROGNOZY

Błędy prognoz ex post

Błędy   prognoz  ex   post  mogą   być   wykorzystane   do   określenia   dopuszczalności 
prognozy zmiennej gdy:

•

nowo formułowane przesłanki potwierdzają zasadność przesłanek przyjętych do 
wyznaczenia poprzedniej prognozy,

•

do ustalenia nowej prognozy wykorzystuje się tę samą metodę co poprzednio,

•

przedział weryfikacji poprzedniej  prognozy  jest taki  sam  jak żądany  horyzont 
nowej prognozy.

Błędy prognoz wygasłych

Prognoza wygasła jest to prognoza wyznaczona na taki czas, dla którego znana jest 
prawdziwa   wartość   zmiennej   prognozowanej.   Błędy   prognoz   wygasłych   mogą   być 
wykorzystane do określenia dopuszczalności prognozy zmiennej, gdy nie jest możliwe 
zastosowanie innych metod oceny dopuszczalności prognozy. Obliczenia podobne jak 
dla błędów prognoz ex post.

Ocena dopuszczalności prognozy przez ekspertów

Może być wykorzystana do określenia dopuszczalności prognozy zmiennej, gdy nie 
jest  możliwe  zastosowanie  innych   metod   oceny dopuszczalności prognozy,   lub  gdy 
przyjmuje się postawę aktywną (brak możliwości zaufania miarom ex ante i ex post).

Ocena dopuszczalności prognozy przez samego prognostę

Może być wykorzystana do określenia dopuszczalności prognozy zmiennej jedynie w 
wyjątkowych   sytuacjach   z   zachowaniem   krytycyzmu   (analiza   krytyczna),   poczucia 
odpowiedzialności   za   wynik   prognozowania,   wykazaniem   maksymalnej   staranności 
(opinia o dopuszczalności i jej uzasadnienie).

Ocena zgodności z danymi empirycznymi

Współczynnik   determinacji  

 

 R

   

2

  :   miara   dopasowania   liniowego   modelu   regresji   do 

danych rzeczywistych, miara dopasowania modeli nieliniowych.

(

)

(

)

2

1

2

1

2

∑

∑

=

=

−

−

=

n

t

t

n

t

t

y

y

y

y

R



Skorygowany współczynnik determinacji  

 

 R

   

2

  : miara porównawcza jakości kilku modeli, 

w których liczba zmiennych objaśniających jest różna.

(

)

2

2

1

1

1

1

R

m

n

n

R

~

−

⋅

−

−

−

−

=

- 1/

8

 -

Odchylenie   standardowe   składnika   resztowego  

 

 s  :   miara   przeciętnych   odchyleń 

wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od wartości teoretycznych.

(

)

2

1

1

1

∑

=

−

⋅

−

−

=

n

t

t

t

y

y

m

n

s



Współczynnik wyrazistości (zmienności)  

 

 w

   : miara udziału odchylenia standardowego 

reszt   w   średniej   wartości   zmiennej   prognozowanej   (charakterystyka   zmienności 
losowej).

%

y

s

w

100

⋅

=

Ocena wartości prognostycznej metody

Jakość (błąd) prognoz  

 

 ex post

 

   i  

   ex ante

 

 :    miara trafności prognozy (ex post), miara 

dokładności prognozy (ex ante).
Mierniki szczegółowe:

•

Błąd   prognozy  ex   post  (bezwzględny,   względny,   średni   kwadratowy,   średni 
względny, medianowy, współczynnik Theila),

*

t

t

t

y

y

q

−

=

, 

%

y

y

y

t

*

t

t

t

100

⋅

−

=

Ψ

(

)

∑

+

=

−

−

=

T

n

t

*

t

t

*

t

y

y

n

T

s

1

2

1

, 

%

y

y

y

n

T

T

n

t

t

*

t

t

100

1

1

⋅

−

−

=

∑

+

=

Ψ

(

)

∑

∑

+

=

+

=

−

=

T

n

t

t

T

n

t

*

t

t

y

y

y

I

1

2

2

1

2

•

Dopuszczalność   prognozy   (wykazanie   przez   odbiorcę   stopnia   zaufania   do 
prognozy wystarczającego do wykorzystania w ustalonym celu),

•

Maksymalny horyzont prognozy (należący do przyszłości najdalszy moment lub 
okres, w którym prognoza jest dopuszczalna),

•

Żądany   horyzont   prognozy   (podany   przez   odbiorcę   moment   lub   okres 
dopuszczalności prognozy),

•

Błąd  V

2

  prognozy ex ante  – wariancja prognozy (charakterystyka rozproszenia 

możliwych   prognoz   wokół   możliwych   realizacji   zmiennej   prognozowanej   w 
czasie)

(

)

2

2

*

t

t

Y

Y

E

V

−

=

•

Bezwzględny   błąd  v  prognozy  ex   ante  –   pierwiastek   kwadratowy   wariancji 
prognozy (prognoza jest tym dokładniejsza im mniejsza jest jego wartość)

2

t

t

v

v

=

•

Względny  błąd  

η

  prognozy  ex  ante  –  iloraz błędu  bezwzględnego i  wartości 

prognozowanej

%

y

v

*

t

t

t

100

⋅

=

η

•

Oszacowanie wariancji prognozy (dla modelu trendu liniowego)

- 1/

9

 -

1

1

1

2

2

+

+











 −

−

⋅

=

∑

=

−

−

n

t

t

)

t

T

(

s

v

n

t

T

,            

2

1

+

=

−

n

t

•

Prawdopodobieństwo   realizacji   prognozy   (prawdopodobieństwo,   że   zmienna 
prognozowa-na przyjmie określoną wartość)

(

)

t

*

t

t

y

Y

P

γ

=

=

•

Wiarygodność prognozy (prawdopodobieństwo, że różnica pomiędzy wartością 
rzeczywistą a prognozowaną nie przekroczy określonej wartości).

(

)

t

*

t

t

y

Y

P

γ

ε =

〈

−

PRZEGLĄD METOD PROGNOZOWANIA

Metoda prognozowania

Sposób przetworzenia danych o przeszłości oraz  przejścia od danych przetworzonych 
do prognozy.

METODY PROGNOZOWANIA – GRUPY I RODZAJE

1. Metody analizy i prognozowania szeregów czasowych
Cecha charakterystyczna: korzystanie w diagnozowaniu zjawiska (w prognozowaniu) z 
danych o dotychczasowym kształtowaniu się zmiennej lub zmiennych prognozowanych.
Przykłady:   metoda   naiwna,   metoda   średniej   ruchomej   (prostej,   ważonej),   metoda 
wygładzania  wykładniczego,   metoda   liniowa   Holta,   metoda   analizy  trendów,   metoda 
wskaźników, metoda analizy harmonicznej, metoda Wintersa, metoda ARMA i ARIMA. 

2. Metody prognozowania przyczynowo-skutkowego (ekonometryczne)
Cecha   charakterystyczna:   określenie   modelu   wyjaśniającego   mechanizm   zmian 
zmiennych prognozowanych przez zmiany zmiennych objaśniających.
Przykłady: metoda prosta, metoda rekurencyjna, metoda ze zmienną zero-jedynkową, 
metoda ze zmienną syntetyczną.

3. Metody analogowe
Cecha charakterystyczna: przewidywanie przyszłości określonej zmiennej na podstawie 
danych   o   zmiennych   podobnych,   co   do   których   istnieją   zbyt   słabe   podstawy,by 
przypuszczać, że są przyczynowo powiązane ze zmienną prognozowaną.
Przykłady:   metoda   analogii   biologicznej,   metoda   analogii   przestrzennej,   metoda 
analogii historycznej, metoda analogii przestrzenno-czasowej.

4. Metody heurystyczne
Cecha   charakterystyczna:   wykorzystują   opinie   ekspertów,oparte   na   ich   intuicji   i 
doświadczeniu.
Przykłady:   metoda   delficka,   metoda   testów   rynkowych,   metoda   testów 
koniunkturalnych.

5. Metoda scenariuszy
Cecha   charakterystyczna:   kombinacja   wielu   metod,   stosowana   do   prognozowania 
zjawisk szczególnie skomplikowanych, których przyszłość jest bardzo niepewna.

- 1/

10

 -

SKŁADOWE SZEREGÓW CZASOWYCH

Stały poziom

Losowość

czas

Trend liniowy

Sezonowość

Cykl

yt

Składowe szeregów czasowych.

W szeregach czasowych występują następujące składowe:
a)  systematyczna,   powstająca   na   skutek   działania   trwałego   układu   przyczyn   i 

prawidłowości, w tym:
- stały (przeciętny) poziom  zmiennej (brak tendencji rozwojowej, oscylacje wokół  

pewnego poziomu),

- tendencja   rozwojowa   (trend) 

jako   długookresowa   skłonność   do

 

jednokierunkowych zmian (wzrost lub spadek),

- składowa   okresowa  (periodyczna)   w   formie   zmian  cyklicznych  (rytmicznych  

wahań   długookresowych   wokół  trendu   lub  stałego   poziomu   zmiennej),   zmian  
sezonowych (rytmicznych wahań o cyklu nie przekraczającym 1 roku),

b) losowa (przypadkowa), powstająca na skutek działania przyczyn przypadkowych z 

różną siłą w różnych kierunkach.

W prognozowaniu wyróżnić można następujące rodzaje modeli szeregów czasowych:
1.   Model   addytywny,   w   którym   przyjmuje   się   założenie,   że   obserwowane   wartości 

zmiennej prognozowanej są sumą  składowych  szeregu czasowego (składowe są 
niezależne) a wartość oczekiwana składnika losowego wynosi 0.

2. Model multiplikatywny, w którym przyjmuje się założenie, że obserwowane wartości 

zmiennej prognozowanej są iloczynem składowych szeregu czasowego (składowe 
są niezależne) a wartość oczekiwana składnika losowego wynosi 1.

ALGORYTMY I CHARAKTERYSTYKA METOD PROGNOZOWANIA

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

Metoda naiwna

Algorytm prognozowania:

1

−

=

t

*

t

y

y

gdzie: 

*

t

y

- prognoza zmiennej Y dla momentu t,  

1

−

t

y

- obserwacja rzeczywistej wartości 

zmiennej Y dla chwili t-1.

Tab. Charakterystyka metody naiwnej prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Stały (przeciętny) poziom i wahania przypadkowe

- 1/

11

 -

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
niewielkie wahania przypadkowe

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa prognozowania

Horyzont prognozy

Jeden okres (moment)

Ocena prognozy

Błędy ex post

Zalety metody

Prosty   algorytm,   łatwość   zrozumienia,   szybkie   i 
tanie prognozowanie

Wady metody

Niska jakość prognozy, ocena jedynie za pomocą 
błędów ex post

Metoda średniej ruchomej prostej 

Algorytm prognozowania:

∑

−

−

=

⋅

=

1

1

t

k

t

i

i

*

t

y

k

y

gdzie: 

*

t

y

- prognoza zmiennej Y dla momentu t,  

i

y

- obserwacja rzeczywistej wartości 

zmiennej Y dla chwili i, k – liczba ruchomych składników szeregu czasowego.

Tab. Charakterystyka metody średniej ruchomej prostej prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Stały (przeciętny) poziom i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
mogą wystąpić duże wahania przypadkowe

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa prognozowania

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
średniego   kwadratowego   błędu  s*  prognozy   lub 
średniego błędu ψ* ex post

Zalety metody

Względnie  prosty  algorytm,  łatwość  zrozumienia, 
względnie szybkie i tanie prognozowanie

Wady metody

Konieczność   doboru   stałej  k  (minimalizacja 
błędów), konieczność przechowywania dużej ilości 
danych dla dużego k

Metoda średniej ruchomej ważonej

Algorytm prognozowania:

∑

−

−

=

+

+

−

⋅

=

1

1

t

k

t

i

k

t

i

i

*

t

w

y

y

,

∑

=

=

k

i

i

w

1

1

gdzie: 

*

t

y

- prognoza zmiennej Y dla momentu t,  

i

y

- obserwacja rzeczywistej wartości 

zmiennej  Y  dla   chwili  i,  k  –   liczba   ruchomych   składników  szeregu  czasowego,  

i

w

- 

współczynniki wagowe z przedziału [0, 1].

Tab. Charakterystyka metody średniej ruchomej ważonej prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Stały (przeciętny) poziom i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
mogą wystąpić duże wahania przypadkowe

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa prognozowania

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 

- 1/

12

 -

średniego   kwadratowego   błędu  s*  prognozy  ex 
post

Zalety metody

Względnie  prosty  algorytm,  łatwość  zrozumienia, 
względnie szybkie i tanie prognozowanie

Wady metody

Konieczność   doboru   stałej  k  i   współczynników 
wagowych w (minimalizacja błędów), konieczność 
przechowywania   dużej   ilości   danych   danych   dla 
dużego k

Metoda prostego uśredniania wykładniczego

Algorytm prognozowania:

(

)

(

)

*

t

t

*

t

*

t

t

*

t

y

y

y

y

y

y

1

1

1

1

1

1

−

−

−

−

−

−

⋅

+

=

⋅

−

+

⋅

=

α

α

α

gdzie: 

*

t

y

- prognoza zmiennej Y dla momentu t,  

1

−

t

y

- obserwacja rzeczywistej wartości 

zmiennej Y dla chwili t-1, α – parametr uśredniania (wygładzania) z przedziału [0, 1].

Tab. Charakterystyka metody prostego uśredniania wykładniczego prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Stały (przeciętny) poziom i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
mogą wystąpić duże wahania przypadkowe

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa prognozowania

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
średniego   kwadratowego   błędu  s*  prognozy  ex 
post

Zalety metody

Względnie  prosty  algorytm,  łatwość  zrozumienia, 
względnie   szybkie   i   tanie   prognozowanie, 
uwzględnienie   w   prognozie   wartości   ostatniego 
błędu ex post

Wady metody

Konieczność   i   trudność   doboru   parametru  α 
wygładzania (minimalizacja błędów)

Metoda   tendencji   rozwojowej   modelu   analitycznego   (trendu 
liniowego)

Algorytm prognozowania:

t

b

a

y

t

⋅

+

=



(

)

(

)

∑

∑

=

=

−

⋅

−

=

n

t

n

t

t

t

t

y

t

t

b

1

2

1

,

t

b

y

a

⋅

−

=

,

2

1

+

=

−

n

t

gdzie:  

t

y



- prognoza zmiennej  Y  dla chwili  t  wyznaczona za pomocą modelu trendu 

liniowego,  b  –   współczynnik,  a  –   współczynnik   wyrazu   wolnego,  

t

y

-   obserwacja 

zmiennej  Y  dla   chwili  t,  

y

-   średnia   obserwacja   zmiennej  Y,  t  –   numer   obserwacji 

zmiennej, n – liczba obserwacji, 

t

 - średni numer obserwacji.

Tab. Charakterystyka metody trendu liniowego prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
niezmienność   trendu,   stałość   modelu,   stabilność 
rozkładu czynnika losowego

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 

- 1/

13

 -

podstawowa   (horyzont   krótkookresowy)   lub 
podstawowa z poprawką prognozowania (horyzont 
średniookresowy)

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa lub średniookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu   prognozy  ex   ante,   ocena   dopasowania 
modelu za pomocą współczynnika determinacji R

2 

i błędu oceny modelu s

Zalety metody

Łatwość prognozowania, określenie trendu zmian, 
dobór   dobrego   modelu,   umożliwia   wyznaczenie 
błędu ex ante

Wady metody

Ryzyko oparcia prognozy na dobrym modelu, ale 
nieaktualnym   dla   ostatnich   obserwacji,   ostre 
założenie   o   niezmienności   mechanizmu 
rozwojowego zjawisk

Metoda tendencji rozwojowej liniowego modelu Holta (wygładzania 
wykładniczego)

Algorytm prognozowania:
Równanie I (uśrednienie szeregu czasowego):

(

) (

)

2

2

1

1

1

−

−

−

−

+

⋅

−

+

⋅

=

t

t

t

t

S

F

y

F

α

α

Równanie II (uśrednienie trendu):

(

) (

)

2

2

1

1

1

−

−

−

−

⋅

−

+

−

⋅

=

t

t

t

t

S

F

F

S

β

β

Równanie III (wyznaczenie prognozy):

(

)

n

n

*

T

S

n

T

F

y

⋅

−

+

=

gdzie:  

1

−

t

F

- uśredniona prognoza zmiennej  Y  dla chwili  t-1,   

1

−

t

S

- uśredniony trend 

zmiany   wartości   zmiennej  Y  dla   chwili  t-1,  

1

−

t

y

-   rzeczywista   wartość   obserwacji 

zmiennej  Y  dla   chwili  t-1,  α,  β  –   parametry   uśredniania   z   przedziału   [0,   1],  

*

T

y

- 

prognoza   zmiennej  Y  dla   chwili  T,  n  –   liczba   elementów   szeregu   czasowego 
(obserwacji).

Tab. Charakterystyka metody Holta liniowego wygładzania wykładniczego prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
niezmienność trendu i regularność zmian

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa prognozowania

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
średniego   kwadratowego   błędu  s*  prognozy  ex 
post

Zalety metody

Elastyczność metody (model adaptacyjny)

Wady metody

Konieczność   i   trudność   doboru   parametrów 
wygładzania  α  i  β  (minimalizacja   błędów), 
konieczność przechowywania dużej ilości danych

Metoda   tendencji   rozwojowej   trendu   pełzającego   z   wagami 
harmonicznymi

Algorytm prognozowania:

Trend   pełzający  jest   modelem   adaptacyjnym   służącym   do   budowy   prognoz 
krótkookresowych.   Procedura   konstrukcji   i   ekstrapolacji   trendu   pełzającego   jest 
następująca:

Krok 1

: Ustalenie wartości stałej wygładzania k < n.

Krok 2

: Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k 

liniowych funkcji trendu.

- 1/

14

 -

Krok 3

: Obliczenie wygładzonych wartości zmiennej ŷ

t(i)

, tzn. wartości teoretycznych 

wynikających z i-tej funkcji trendu.

Krok 4

: Obliczenie średniej wartości wygładzonej 

t

y

dla każdego okresu t jako 

średniej arytmetycznej  wartości wygładzonych obliczonych dla tego okresu w 
kroku  3. Po połączeniu odcinkami liniowymi kolejnych punktów (t, 

t

y

) 

otrzymuje się  wykres wygładzonych wartości szeregu czasowego w postaci 
funkcji  segmentowej,  zwanej trendem pełzającym.

Krok 5

: Ekstrapolacja modelu trendu pełzającego. Obliczenie przyrostów funkcji 

trendu dla wartości wygładzonych:

1

1

1

1

−

=

−

=

+

+

n

,...,

t

,

y

y

w

t

t

t

Krok 6

: Nadanie wag poszczególnym przyrostom. Są to tzw. wagi harmoniczne.

1

1

1

1

1

1

1

−

=

−

⋅

−

=

∑

=

+

n

,...,

t

,

i

n

n

C

t

i

n

t

Krok 7

: Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej (wagami 

harmonicznymi) wszystkich obliczonych w kroku 5. przyrostów.

∑

−

=

+

+

⋅

=

1

1

1

1

n

t

t

n

t

w

C

w

Krok 8

: Wyznaczenie prognozy punktowej na moment/okres T.

w

)

n

T

(

y

y

n

*

T

⋅

−

+

=

Tab. Charakterystyka metody trendu pełzającego prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend i wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
utrzymanie   trendu,  

  zmiany   mechanizmu 

rozwojowego badanego zjawiska

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   addytywny 
(wahania   bezwzględnie   stałe),   model 
multiplikatywny (wahania względnie stałe)

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa i średniookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante

Zalety metody

Pozwala   na   adaptacyjność   do   tendencji   zmian 
trendu, umożliwia wyznaczenie błędu ex ante

Wady metody

Złożoność   obliczeniowa   i   trudność   doboru   stałej 
wygładzania

 k 

(minimalizacja   błędów), 

konieczność posiadania dużej ilości danych i ich 
przechowywania

Metoda wskaźników sezonowych

Algorytm prognozowania:

i

)

w

*(

t

*

ti

c

y

y

⋅

=

(model multiplikatywny)

lub

i

)

w

*(

t

*

ti

c

y

y

+

=

(model addytywny)

gdzie: 

*

ti

y

- prognoza zmiennej Y dla chwili t oraz i-tego cyklu,  

)

w

*(

t

y

- wstępna prognoza 

w oparciu o trend liniowy, 

i

c

- czysty wskaźnik sezonowości dla i-tego cyklu.

W   metodzie   wskaźników   sezonowych   prognozę   wyznaczamy   jako   ekstrapolację 
dotychczasowej tendencji korygowanej wskaźnikiem sezonowości.
Procedura konstrukcji prognozy jest następująca:

Krok 1

: Identyfikacja cykli i faz występujących w cyklach.

Krok 2

: Opracowanie prognozy wstępnej jako ekstrapolacji zaobserwowanej 

tendencji rozwojowej z oszacowaniem parametrów za pomocą KMNK.

- 1/

15

 -

t

b

a

y

)

w

(

t

⋅

+

=



Krok 3

: Wyznaczenie wartości wskaźników sezonowości z

ti

 jako ilorazu lub różnicy 

wartości rzeczywistych i wartości teoretycznych:

t

ti

ti

y

y

z



=

 (model multiplikatywny)

t

ti

ti

y

y

z



−

=

 (model addytywny)

Krok 4

: Wyznaczenie surowych wskaźników sezonowości z

i

 w celu wyeliminowania 

wahań przypadkowych we wskaźnikach z

ti

 przez wyznaczenie średniej 

arytmetycznej tych wartości z

ti

, które odpowiadają jednoimiennym okresom.

Krok 5

: Obliczenie średniej arytmetycznej q surowych wskaźników sezonowości z

i

.

Krok 6

: Wyznaczenie czystych wskaźników sezonowości jako ilorazów lub różnic 

surowych wskaźników sezonowosci z

i

 i wielkości q:

q

z

c

i

i

=

 (model multiplikatywny)

q

z

c

i

i

−

=

 (model addytywny)

Krok 7

: Wyznaczenie prognozy jako korektę prognozy wstępnej za pomocą 

czystego wskaźnika sezonowości dla danej fazy cyklu:

i

)

w

*(

t

*

ti

c

y

y

⋅

=

 (model multiplikatywny)

 

i

)

w

*(

t

*

ti

c

y

y

+

=

 

(model addytywny)

Tab. Charakterystyka metody wskaźników sezonowych prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend lub stały poziom i wahania sezonowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
utrzymanie   trendu,     niezmienność   siły   i   rodzaju 
wahań sezonowych

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   addytywny 
(wahania   bezwzględnie   stałe),   model 
multiplikatywny (wahania względnie stałe)

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa lub średniookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante

Zalety metody

Pozwala   na   obserwację   tendencji   zmian   wahań 
sezonowych,   umożliwia   wyznaczenie   błędu  ex 
ante

Wady metody

Złożoność obliczeń

Metoda Wintersa

Algorytm prognozowania:

Gdy szereg czasowy zmiennej prognozowanej zawiera tendencję rozwojową, wahania 
sezonowe   i   wahania   przypadkowe,   wtedy   stosuje   się   model   Wintersa   należący  do 
klasy   modeli   wygładzania   wykładniczego.   Prognozę   wyznacza   się   w   sposób 
sekwencyjny, korzystając z 3 równań zawierających 3 parametry wygładzania. Model 
prognozy  w   metodzie   Wintersa   może   mieć   postać:   addytywną   lub   multiplikatywną. 
Wygładzona wartość zmiennej po eliminacji wahań sezonowych na moment  t-1 dana 
jest wzorem:

(

)(

)

2

2

1

1

1

1

−

−

−

−

−

−

+

−

+

=

t

t

r

t

t

t

S

F

C

y

F

α

α

Wygładzona wartość przyrostu trendu na moment t-1 dana jest wzorem:

(

) (

)

2

2

1

1

1

−

−

−

−

⋅

−

+

−

=

t

t

t

t

S

F

F

S

β

β

Ocena wskaźników sezonowości na moment t-1 dana jest wzorem:

(

)

r

t

r

t

t

t

C

F

y

C

−

−

−

−

−

−

⋅

−

+

=

1

1

1

1

1

γ

γ

- 1/

16

 -

Gdzie r – długość cyklu sezonowego (liczba faz w cyklu)
Równanie prognozy na moment t>n:

(

)

(

)

r

t

n

n

*

t

C

S

n

t

F

y

−

+

⋅

−

+

=

 (postać addytywna modelu)

(

)

(

)

r

t

n

n

*

t

C

S

n

t

F

y

−

⋅

⋅

−

+

=

(postać multiplikatywna modelu)

Wyboru parametrów wygładzania dokonuje prognosta.
Wartości początkowe:

- dla komponenty F przyjąć wartość rzeczywistą zmiennej z szeregu czasowego 

odpowiadającą 1. fazie drugiego cyklu lub średnią wartość z 1. cyklu,

- dla komponenty S przyjąć różnicę średnich wartości z 2. i 1. cyklu bądź przyjąć 0,
- dla komponenty C (w poszczególnych fazach 1. cyklu) przyjąć ilorazy wartości 

rzeczywistej zmiennej z 1. cyklu w odniesieniu do średniej wartości w 1. cyklu 
bądź przyjąć 1.

Tab. Charakterystyka metody Wintersa prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Tendencja   rozwojowa,   wahania   sezonowe, 
wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
utrzymanie   trendu,     niezmienność   siły   i   rodzaju 
wahań sezonowych

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   addytywny 
(wahania   bezwzględnie   stałe),   model 
multiplikatywny (wahania względnie stałe)

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante

Zalety metody

Pozwala   na   obserwację   tendencji   zmian   wahań 
sezonowych,   umożliwia   wyznaczenie   błędu  ex 
ante

Wady metody

Trudności obliczeniowe (obliczenia sekwencyjne), 
konieczność i trudność doboru parametrów α, β, γ 
(minimalizacja błędów)

Metoda trendów jednoimiennych okresów

Algorytm prognozowania:

Oszacowanie parametrów trendu następuje oddzielnie dla poszczególnych faz cyklu. 
Każdy szereg czasowy określonej fazy cyklu opisany jest modelem:

ji

ji

i

i

ji

t

y

ξ

α

α

+

+

=

1

0

gdzie: 

ji

y

- prognoza zmiennej Y dla chwili t, i-tej fazy oraz j-tego cyklu,   

ji

t

- zmienna 

czasowa taka, że 

(

)

1

−

⋅

+

=

j

r

i

t

ji

, α - parametry strukturalne i-tego modelu, 

ξ

- składnik 

losowy.

Tab. Charakterystyka metody trendów jednoimiennych okresów prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend   lub   stały   poziom,   wahania   sezonowe   i 
wahania przypadkowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
utrzymanie trendu,   zmiany intensywności wahań 
sezonowych, dużo danych

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   liniowy   dla 
każdej fazy cyklu

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa

- 1/

17

 -

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante

Zalety metody

Pozwala   na   obserwację   tendencji   zmian   wahań 
sezonowych,   umożliwia   wyznaczenie   błędu  ex 
ante

Wady metody

Konieczność   i   trudność   doboru   parametrów 
strukturalnych

 α 

(minimalizacja   błędów), 

konieczność posiadania dużej ilości danych i ich 
przechowywania

Metoda analizy harmonicznej

Algorytm prognozowania:

Analiza harmoniczna polega na budowie  modelu w  postaci sumy harmonik, czyli 
funkcji sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danych okresach. Pierwsza harmonika 
ma okres równy długości okresu badanego, druga – połowie tego okresu, trzecia – 
jednej trzeciej, itd. W  przypadku  n  obserwacji liczba wszystkich możliwych harmonik 
jest równa n/2.
Przypadek 1
W  przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje pewien 

stały poziom i wahania 

sezonowe

, szereg czasowy można przedstawić jako sumę harmonik:

∑

=













−

⋅

+

=

2

1

0

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

A

y

ε

π

α

lub korzystając z własności funkcji cosinus:

∑

=

























⋅

+













⋅

+

=

2

1

0

2

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

it

n

sin

y

π

β

π

α

α

Wartości parametrów α

0

, α

i

, β

i

, szacuje się za pomocą KMNK. Stosuje się wzory:

∑

=

⋅

=

n

t

t

y

n

a

1

0

1

, 

∑

=

−

=













⋅

⋅

=

n

t

t

i

n

,...,

i,

it

n

sin

y

n

a

1

1

2

1

2

2

π

∑

=

−

=













⋅

⋅

=

n

t

t

i

n

,...,

i,

it

n

cos

y

n

b

1

1

2

1

2

2

π

Dla ostatniej harmoniki o numerze n/2:

0

2

=

/

n

a

,

( )

∑

=

⋅

⋅

=

n

t

t

/

n

t

cos

y

n

b

1

2

1

π

Amplituda  A

i

  jest   to   największa   (co   do   wartości   bezwzględnej)   różnica   pomiędzy 

wartością harmoniki a poziomem przeciętnym. Wartości amplitud dla poszczególnych 
harmonik oblicza się wg wzoru:

2

2

i

i

b

a

A

i

+

=

Wartości przesunięcia fazowego oblicza się jako:

i

i

i

t

θ

ε

=

, gdzie: 









=

i

i

i

b

a

arctg

ε

 oraz 

i

n

i

⋅

= π

θ

2

Przypadek 2
W  przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje pewna  

tendencja rozwojowa i 

wahania sezonowe

, szereg czasowy można przedstawić jako sumę harmonik:

( )

∑

=

























⋅

+













⋅

+

=

2

1

2

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

it

n

sin

t

f

y

π

β

π

α

- 1/

18

 -

gdzie f(t) – funkcja trendu:

1.

Oszacowujemy parametry funkcji f(t) za pomocą KMNK

2.

Oszacowujemy parametry harmonik, wartości amplitud, procent wyjaśnianej 
zmienności, wielkości faz oraz przesunięcia fazowego.

Tab. Charakterystyka metody analizy harmonicznej w prognozowaniu

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie szeregu czasowego

Składowe szeregu czasowego

Trend lub stały poziom i wahania sezonowe

Przesłanki metody

Nie   nastąpią   zmiany   w   sposobie   oddziaływania 
czynników określających zmienną prognozowaną, 
utrzymanie   trendu,     niezmienność   siły   i   rodzaju 
wahań sezonowych

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   pasywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   addytywny 
(wahania   bezwzględnie   stałe),   model 
multiplikatywny (wahania względnie stałe)

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa lub średniookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante

Zalety metody

Pozwala   na   obserwację   tendencji   zmian   wahań 
sezonowych,   umożliwia   wyznaczenie   błędu  ex 
ante

Wady metody

Bardzo duża złożoność obliczeń

PROGNOZOWANIE EKONOMETRYCZNE 

Ogólny algorytm prognozowania:

Krok 1

: Specyfikacja zmiennych

Krok 2

: Wybór postaci modelu

Krok 3

: Estymacja parametrów modelu

Krok 4

: Weryfikacja modelu

Krok 5

: Wyznaczenie prognozy

Metoda prognozowania ekonometrycznego ze zmienną syntetyczną

Algorytm prognozowania:

Krok 1

: Normalizacja zmiennych cząstkowych (stymulant, nominant, destymulant)

Stymulanta jako zmienna, której wzrost wartości jest pożądany, jest określona 
na zbiorze R+. Normalizacja tej zmiennej przebiega wg algorytmu:   z

it

  = (x

it

  / 

max x

it

). 

Nominanta  jako   zmienna,   której   wartości   powinna   należeć   do   zalecanego 
przedziału wartości [x

i,min

, x

i,max

] (lub jest równa x

i,norm

=x

i,min

=x

i,max

) jest określona 

na zbiorze R+. Normalizacja tej zmiennej przebiega wg algorytmu:

z

it

 = (x

it

 / x

i,min

),

gdy x

it

 ≤ x

i,min

;

z

it

 = 1,

gdy x

i,min

 ≤ x

it

 ≤ x

i,max

;

z

it

 = (x

i,max

 / x

it

),

gdy x

it

 >  x

i,max

Destymulanta jako zmienna, której wzrost spadek wartości jest pożądany, jest 
określona na zbiorze R+. Normalizacja tej zmiennej przebiega wg algorytmu:

z

it

 = (min x

it

 / x

it

).

Krok 2

: Wyznaczenie zmiennej syntetycznej

- 1/

19

 -

Opierając   się   na   znormalizowanych   zmiennych   cząstkowych   konstruuje   się 
zmienną syntetyczną  o charakterze stymulanty. Zmienna syntetyczna może 
być obliczona jako suma lub jako średnia arytmetyczna.

∑

=

⋅

=

m

i

t,

i

t

z

m

Z

1

1

Krok 3

: Wyznaczenie prognozy

Prognozę wyznacza się z zastosowaniem modelu liniowego  

t

t

Z

b

a

y

⋅

+

=



, dla 

którego   parametry  a  i  b  oszacowane   są   metodą   KMNK.   Następnie   po 
podstawieniu wartości dla Z

t

 wyznaczana jest prognoza. 

Tab. Charakterystyka metody ekonometrycznej prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie ekonometryczne

Składowe szeregu czasowego

Dowolne

Przesłanki metody

Stabilność   relacji   strukturalnych   w   czasie,   stały 
rozkład w czasie składnika losowego, znajomość 
wartości zmiennych objaśniających

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   aktywna,   zasada  status   quo,   reguła 
podstawowa   prognozowania,   model   prosty, 
rekurencyjny,   ze   zmienną   zero-jedynkową,   ze 
zmienną syntetyczną

Horyzont prognozy

Prognoza krótkookresowa lub średniookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
błędu prognozy ex ante, ocena modelu za pomocą 
współczynnika   determinacji

 R

2

,   odchylenia 

standardowego  s  reszt oraz macierzy wariancji i 
kowariancji D

2

(a)

Zalety metody

Umożliwia   poznawanie   związków   pomiędzy 
czynnikami zjawisk (cel wyjaśniający), pozwala na 
formalne

 

sprawdzenie

 

przesłanek 

prognostycznych,   umożliwia   ocenę   wpływu 
zmiennych   objaśniających   na   zmienną 
prognozowania, pozwala na wyznaczenie błędu ex 
ante,   znany   jest   „dobry   model”,   możliwość 
ekstrapolacji modelu poza jego dziedzinę

Wady metody

Złożoność   obliczeniowa,   duży   koszt   zbierania 
danych   i   szacowania   parametrów   modelu, 
występowanie autokorelacji składnika losowego

PROGNOZOWANIA PRZEZ ANALOGIE

W   metodzie   prognozowania   za   pomocą   analogii   wykorzystujemy   podobieństwo 
zmiennych   prognozowanych   w   tym   samym   lub   w   różnych   obiektach.   Kryteria 
podobieństwa to:
a) podobieństwo poziomu (dwie zmienne są podobne, jeżeli w pewnym momencie lub 
okresie osiągnęły jednakową wartość),
b)   podobieństwo   kształtu   (dwie   zmienne   są   podobne,   jeżeli   charakteryzują   się 
podobnymi   zmianami   w   czasie,   np.   mają   podobne   tendencje   rozwojowe,   podobne 
wahania).

Prognozowanie za pomocą analogii przestrznno-czasowej

Algorytm prognozowania:

Krok 1

: Wybór obiektów podobnych (k)

Przyjmujemy  graniczną  wartość  miary  podobieństwa  m

*

.  Wybieramy obiekty 

podobne do obiektu, dla którego wyznaczana jest prognoza. Na całej długości 

- 1/

20

 -

szeregów   czasowych   charakteryzujących   obiekty   podobne   szukamy 
przedziałów podobieństwa o tej samej długości, których miara podobieństwa 
m

(o,k)

  przekroczy krytyczną miarę podobieństwa  m

*

  i wybieramy spośród nich 

takie pary, których miara podobieństwa osiąga wartość maksymalną.

Krok 2

: Ustalenie stałej przesunięcia ∆

(o,k)

Przed wyznaczeniem prognozy cząstkowej należy ustalić stałą przesunięcia:

∆

(o,k) 

= y

0

(o)

 – y

0

(k)

gdzie  y

0

(o)

  –   wartość   zmiennej   przypadająca   na   koniec   przedziału 

podobieństwa obiektu prognozowanego, y

0

(k)

 – wartość zmiennej przypadająca 

na koniec przedziału podobieństwa obiektu podobnego k.

Krok 3

: Wyznaczenie prognozy cząstkowej y

t

*

(o,k)

Wartości w szeregach czasowych odpowiadające numerom okresów od  t=1 
dla   obiektów   podobnych   zostaną   wykorzystane   do   wyznaczenia   prognozy 
cząstkowej:

y

t

*

(o,k) 

= y

t

(k)

 + ∆

(o,k) 

, 

t=1, ..., n

(k)

gdzie y

t

*

(o,k) 

– prognoza cząstkowa zmiennej Y dla obiektu (o) w chwili t według 

obiektu (k), y

t

(k)

 - wartość zmiennej Y w k-tym obiekcie w chwili t, ∆

(o,k) 

 - stała 

przesunięcia, n

(k)

 – długość przedziału podobieństwa.

Krok 4

: Wyznaczenie prognozy globalnej y

t

*

Prognoza globalna dla obiektu na podstawie podobieństwa kształtowania się 
zmiennej   prognozowanej   w   innych   obiektach   zostanie   wyznaczona   w 
następujący sposób:

∑

=

⋅

=

q

k

)

k

,

o

(

)

k

,

o

(

*

t

*

t

w

y

y

1

∑

=

=

q

k

)

k

,

o

(

)

k

,

o

(

)

k

,

o

(

m

m

w

1

Prognozowanie za pomocą analogii historycznej

Algorytm prognozowania:

W   metodzie   prognozowania   za   pomocą   analogii   historycznej   informacja   o 
prawidłowościach zmian danego zjawiska (zmienna wiodąca) wykorzystywana jest w 
prognozowaniu   innych   zjawisk   w   danym   obiekcie,   które   są   opóźnione   (zmienna 
naśladująca).

Krok 1

: Podział zmiennych na dwie grupy: zmienne wiodące i zmienne naśladujące.

Zmienne  wiodące  (wyprzedzające)  x

t

  służą  wyznaczeniu prognozy,  zmienne 

naśladujące (opóźnione) y

t

 są zmiennymi prognozowanymi.

Krok 2

: Ustalenie opóźnienia p zmiennej naśladującej.

Opóźnienie   ustalane   jest   z   wykresów   zmiennych,   wykorzystując   kryteria 
podobieństwa: poziomu (wartości) i kształtu

Krok 3

: Budowa modelu ekonometrycznego uwzględniającego opóźnienie p. 

Parametry modelu oszacowywane są za pomocą KMNK. Model ma postać:

p

t

t

x

b

a

y

−

⋅

+

=



Krok 4

: Budowa modelu ekonometrycznego uwzględniającego opóźnienie p.

Prognozowanie za pomocą analogii biologicznej 

Algorytm prognozowania:

W  metodzie prognozowania za pomocą analogii biologicznej informacja o budowie i 
funkcjonowaniu   organizmów  żywych   wykorzystywana   jest   w  opisie   innych   obiektów 
(„przeniesienie na inne obiekty”).

- 1/

21

 -

Prognozowanie za pomocą analogii przestrzennej 

Algorytm prognozowania:

W   metodzie  prognozowania  za pomocą   analogii przestrzennej  informacja  o  zajściu 
danego   zjawiska   w  innej   przestrzeni   (na   innym   terytorium)   wykorzystywana   jest   w 
przewidywaniu   i   prognozowaniu   tego   zjawiska   w   danej   przestrzeni   (na   danym 
terytorium), do której odnosi się prognozowane zjawisko.

Tab. Charakterystyka metod analogowych prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie na podstawie analogii

Składowe szeregu czasowego

Dowolne

Przesłanki metody

Istnienie   obiektów   podobnych   (podobieństwo 
poziomu

 

lub

 

kształtu),

 

niemożność 

ekstrapolowania tendencji z przeszłości 

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa aktywna

Horyzont prognozy

Prognoza średniookresowa lub długookresowa

Ocena prognozy

Ocena   dopuszczalności   prognozy   za   pomocą 
długości   przedziałów   podobieństwa   (liczby 
obserwacji), wartości miar podobieństwa, błędów 
ex ante (analogie historyczne)

Zalety metody

Możliwość prognozowania przy braku dla danego 
obiektu   szeregów   czasowych   z   przeszłości, 
przewidywanie   zajścia   nowych   zdarzeń   w 
obiekcie,   przewidywanie   trendu   i   związków 
pomiędzy zmiennymi w przyszłości, przewidywanie 
punktów   zwrotnych   trendu   i   zmiany   postaci 
związków między zmiennymi

Wady metody

Brak   możliwości   ekstrapolowania   tendencji   z 
przeszłości

PROGNOZOWANIE HEURYSTYCZNE 

Metoda heurystyczna Delphi

Prognozowanie   i   ocena   zgodności   ekspertów   wg   współczynnika  h  dyspersji 
opinii ekspertów 

Algorytm prognozowania:

W   metodzie   delfickiej   prognosta   przyjmuje   postawę   aktywną.   Prognoza   zostaje 
sformułowana   wg   reguły   największego   prawdopodobieństwa.   Jest   nią   wartość 
modalna, czyli ten wariant cechy, któremu odpowiada największa liczba udzielonych 
odpowiedzi przez ekspertów. Zgodność opinii ekspertów oceniana jest na podstawie 
współczynnika dyspersji, którego wartość zawiera się w przedziale [0, 1] i powinna być 
jak najmniejsza. Współczynnik ten obliczany jest jako:















−

⋅

−

=

∑

=

k

j

rj

r

f

k

k

h

1

2

1

1

gdzie: k – liczba kategorii odpowiedzi w r-tym pytaniu, f

rj

 - częstość odpowiedzi dla j-tej 

kategorii w r-tym pytaniu.

Prognozowanie i ocena zgodności ekspertów wg współczynnika W konkordancji 
(zgodności) opinii ekspertów 

Algorytm prognozowania:

W  metodzie delfickiej prognosta przyjmuje postawę aktywną.  Eksperci nadają rangi 
poszczególnym wariantom odpowiedzi, wskazując w ten sposób kolejność wg szans 
realizacji   prognozy.   Prognoza   zostaje   sformułowana   wg   reguły   największego 

- 1/

22

 -

prawdopodobieństwa (szans) realizacji prognozy. Jest nią wartość modalna, czyli ten 
wariant   cechy,   któremu   odpowiada   największe   prawdopodobieństwo   realizacji. 
Zgodność opinii ekspertów oceniana jest na podstawie współczynnika konkordancji, 
którego   wartość   zawiera   się   w   przedziale   [0,   1]   i   powinna   być   jak   największa. 
Współczynnik ten obliczany jest jako:

(

)

k

k

n

S

W

−

⋅

⋅

=

3

2

12

,

∑ ∑

=

=









−

=

k

j

n

i

ij

x

x

S

1

2

1

,

  

∑ ∑

=

=

⋅

=

n

i

k

j

ij

x

k

x

1

1

1

gdzie n – liczba ekspertów, k – liczba wariantów odpowiedzi, S – parametr sumowania 
odchyleń   od   przeciętnej   rangi,  

x

  -   przeciętna   ranga.   Następnie   obliczana   jest 

statystyka 

χ

2

:

(

)

1

12

2

+

⋅

⋅

⋅

=

k

k

n

S

χ

Z tablic rozkładu  

χ

2

   dla przyjętego w prognozowaniu poziomu istotności α oraz  k-1 

stopni swobody odczytywana jest wartość krytyczna  

χ

2

kr

  i następuje jej porównanie z 

wartością obliczonej statystyki. Jeżeli 

χ

2

 > 

χ

2

kr

, to można uznać, że eksperci byli zgodni 

w swych opiniach.

Prognozowanie i ocena zgodności ekspertów wg mediany 

Algorytm prognozowania:

Prognozą   jest   wartość   środkowa   szeregu,   czyli   mediana.   Mediana   dzieli   szereg 
odpowiedzi   na   2   równoliczne   grupy.   Porządkujemy   odpowiedzi   ekspertów   wg 
wzrastających ocen liczbowych. Miejsce mediany wyznacza relacja (N+1)/2, gdzie  N 
jest   liczbą   ocen   (liczbą   ekspertów).   By  ocenić   zgodność   opinii   ekspertów   możemy 
posłużyć się rozstępem międzykwartylowym  

∆

 = Q

3

 – Q

1

, gdzie: Q

3

 – kwartyl górny, 

Q

1

  – kwartyl dolny. Kwartyl dolny  Q

1

  = (N+1)/4, kwartyl górny  Q

3

  = 3(N+1)/4. Jeżeli 

obliczony  rozstęp międzykwartylowy  

∆ 

≤  

∆

*

, 

gdzie  

∆

*  jest pożądanym  rozstępem,  to 

oznacza, że eksperci są zgodni w swoich opiniach.

Metoda testu koniunktury

Algorytm prognozowania:

Test   koniunktury   to   ankietowe   badanie   przedsiębiorstw.   Ankieta   zawiera   pytania 
diagnostyczne   i   pytania   prognostyczne   dotyczące   określonych   aspektów 
przedsiębiorstwa. Wyniki badania prezentowane są w postaci: wykresów, procentowej, 
ważonej oraz w formie  ważonego salda.  Saldo jest różnicą pomiędzy procentem 
odpowiedzi   wskazujących   na   polepszenie   a   procentem   odpowiedzi 
wskazujących na pogorszenie  sytuacji przedsiębiorstwa lub różnicą pomiędzy 
procentem   odpowiedzi   wskazujących   na   sytuację   korzystną   dla 
przedsiębiorstwa   a   procentem   odpowiedzi   wskazujących   na   sytuację 
niekorzystną   dla   przedsiębiorstwa.   Saldo   oblicza   się   w   odniesieniu   do   danego 
pytania w badaniu i pytań tych jest  n. Wskaźnik koniunktury w formie sald przyjmuje 
wartość z przedziału od -100 do +100. Dodatnia wartość wskaźnika oznacza dobrą 
koniunkturę, ujemna zaś złą. Wzrost wskaźnika oznacza poprawę koniunktury, a jego 
spadek   –   pogorszenie   koniunktury   z   punktu   widzenia   badanych   przedsiębiorstw. 
Procedura prognozowania jest następująca:

Krok 1

: Przeprowadzenie ankiety z pytaniami diagnostycznymi i prognostycznymi.

Krok 2

: Obliczenie sald S

i

 (i=1, ..., n) jako wskaźników koniunktury.

Krok 3

: Obliczenie wskaźnika w klimatu koniunktury.

Wskaźnik   klimatu   koniunktury   ten   obliczany   jest   jako   średnia   arytmetyczna 
sald   odpowiedzi   na   pytania   dotyczące   aktualnej   i   przewidywanej   sytuacji 

- 1/

23

 -

przedsiębiorstwa. „Dobry” klimat  koniunktury   mają   przedsiębiorstwa,   dla 
których wartość wskaźnika jest większa od 0. 

n

S

w

n

i

i

∑

=

=

1

Tab. Charakterystyka metody heurystycznej prognozowania

Grupa metod

Prognozowanie heurystyczne

Składowe szeregu czasowego

Brak szeregów czasowych

Przesłanki metody

Brak   danych   z  przeszłości,   istnienie   dostępu   do 
prognoz ekspertów

Postawa, zasada, reguły prognostyczna

Postawa   aktywna,   badanie   opinii   ekspertów   na 
dany   temat,   zastosowanie   reguły   największego 
prawdopodobieństwa   (prognozą   jest   wartość 
modalna opinii ekspertów), niezależność i wielość 
opinii   ekspertów,   wieloetapowość   postępowania, 
ocena statystyczna opinii ekspertów

Horyzont prognozy

Prognoza średniookresowa lub długookresowa

Ocena prognozy

Ocena dopuszczalności prognozy za pomocą miar 
zgodności opinii ekspertów

Zalety metody

Możliwość prognozowania zjawisk nowych

Wady metody

Wieloetapowość   postępowania,   subiektywizm 
opinii ekspertów

PRZYKŁADY ZASTOSOWANIA METOD PROGNOZOWANIA

Przykład 1

Dochody   ze   sprzedaży   (w   tys.   zł   w   cenach   stałych)   rakiet   tenisowych   przedsiębiorstwa 
”Master” w latach 1996-2004 w Polsce kształtowały się następująco: 46,5; 46,4; 46,7; 45,9; 
46,0; 45,9; 46,2; 46,6; 46,5.

a) Określić składowe szeregu czasowego.
b) Wybrać metodę prognozowania dochodów ze sprzedaży rakiet tenisowych na rok 2005. 

Wybór uzasadnić.

c) Wyznaczyć prognozę wybraną metodą.

Rozwiązanie:

a) Składowe szeregu czasowego: stały poziom + wahania przypadkowe

45,5

46,0

46,5

47,0

Seria 1

Ocena   wzrokowa   wykresy   wskazuje,   że   w   badanym   szeregu   czasowym   występują:   składowa 
systematyczna  w  postaci   stałego   (przeciętnego)   poziomu   oraz  wahania  przypadkowe.   Do   oceny  siły 
wahań przypadkowych zastosowano współczynnik zmienności.

(

)

∑

=

−

⋅

−

=

n

t

t

y

y

n

s

1

2

1

1

∑

=

⋅

=

n

t

t

y

n

y

1

1

%

y

s

V

Z

100

⋅

=

%

,

,

/

.

%

y

s

V

Z

66

0

3

46

30822

0

100

=

=

⋅

=

- 1/

24

 -

Niska wartość współczynnika zmienności badanej zmiennej dopuszcza zastosowanie metody naiwnej do 
prognozowania na następny okres.

b) Metoda prognozowania dochodów ze sprzedaży rakiet

Ponieważ w badanym szeregu czasowym występuje składowa systematyczna stałego poziomu oraz 
niewielkie wahania przypadkowe, w prognozowaniu można wykorzystać metody prognozowania na  
podstawie szeregu czasowego (w tym: metodę naiwną, wygładzania wykładniczego, itp.).

c) Wyznaczenie prognozy

- metoda naiwna: y

10

*

= 46,5

- metoda wygładzania wykładniczego: przyjęto, że α=0,2

y

10

*

= α · y

9

 

+ (1 – α) · y

9

* 

 = 0,2· 46,5 + (1 – 0,2) · 46,30271 = 46,34217 

t

y

y*

e

y-ysr

(y-y

sr

)

2

1

46,5

46,5

0

0,2

0,04

2

46,4

46,5

-0,1

0,1

0,01

3

46,7

46,48

0,22

0,4

0,16

4

45,9

46,524

-0,624

-0,4

0,16

5

46

46,3992

-0,3992

-0,3

0,09

6

45,9 46,31936

-0,41936

-0,4

0,16

7

46,2 46,23549

-0,03549

-0,1

0,01

8

46,6 46,22839

0,37161

0,3

0,09

9

46,5 46,30271 0,197288

0,2

0,04

10

46,34217

416,7

0,76

y

sr

46,3

s

0,308221

V

z

 [%]

0,665703

Przykład 2

Ilość sprzedanego masła (w kostkach) w sklepie "Wrocławianka" w kolejnych 10 tygodniach 
kształtowała się następująco: 30, 32, 28, 31, 29, 33, 30, 31, 30, 32.

a) Określić obiekt, zjawisko, zmienną.
b) Sformułować przesłanki do wyznaczenia prognozy na następny tydzień.
c) Wybrać metodę do wyznaczenia prognozy sprzedaży masła na następny tydzień. Wybór 

uzasadnić.

d) Wyznaczyć prognozę wybraną metodą.
e) Ocenić trafność prognozy, wiedząc, że w prognozowanym okresie sprzedano 33 kostki 

masła.

Rozwiązanie:

a)

Obiekt: system „sklep Wrocławianka”

Zjawisko: gospodarcze – sprzedaż masła
Zmienna: ilość sprzedanego masła w kostkach w kolejnych 10 tygodniach (zmienna ilościowa)

b)

Przesłanki: hipotezy badawcze określające wstępnie mechanizm rozwojowy (wskazanie zjawisk i 
kierunki wpływów). Mechanizm: przypadkowy wzrost-spadek wokół wartości sredniej

0

20

40

Seria 1

c)

Wybór metody: na podstawie szeregu czasowego

- metoda naiwna
- metoda średniej ruchomej prostej

- 1/

25

 -

- metoda średniej ruchomej ważonej
- metoda wyrównywania wykładniczego

%

,

,

/

,

%

y

s

V

Z

92

4

6

30

5055

1

100

=

=

⋅

=

Niska wartość współczynnika zmienności badanej zmiennej dopuszcza zastosowanie metody naiwnej 
do prognozowania na następny okres.

t

y

y*

e

y-y

sr

(y-y

sr

)

2

1

30

30

0

-0,6

0,36

2

32

30

2

1,4

1,96

3

28

30,4

-2,4

-2,6

6,76

4

31

29,92

1,08

0,4

0,16

5

29

30,136

-1,136

-1,6

2,56

6

33

29,9088

3,0912

2,4

5,76

7

30 30,52704

-0,52704

-0,6

0,36

8

31 30,42163 0,578368

0,4

0,16

9

30 30,53731

-0,53731

-0,6

0,36

10

32 30,42984 1,570156

1,4

1,96

11

30,74388

Suma

306

20,4

y

sr

30,6

s

1,505545

V

z

 [%]

4,920083

d) Wyznaczenie prognozy:

- metoda naiwna: y

11

*

= 32

- metoda wygładzania wykładniczego: przyjęto α=0,2

y

11

*

= α · y

10

 

+ (1 – α) · y

10

* 

 = 0,2· 32 + (1 – 0,2) · 30,43 = 30,74 

e)

Trafność prognozy;.

- metoda naiwna

   Ψ

*

 = 5%, (graniczny błąd ex post)

Ψ

11

 = (33-32)/33 = 3%  (prognoza trafna)

Przykład 3

Liczba pasażerów przewożonych środkami komunikacji miejskiej w latach 1996-2005 (w mln 
osób) w pewnym mieście była następująca: 12,8; 12,6; 12,9; 13,1; 12,8; 12,7; 13,0; 13,1; 13,2; 
13,0.
a) Sformułować przesłanki do wyznaczenia prognozy na 2006 r.
b) Jaką postawę można przyjąć przy konstrukcji prognozy na 2006 r. i dlaczego?
c) Wybrać metodę prognozowania. Wybór uzasadnić.
d) Wyznaczyć prognozę liczby przewożonych pasażerów w 2006 r.

Rozwiązanie:

a)

Przesłanki: hipotezy badawcze określające wstępnie mechanizm rozwojowy (wskazanie zjawisk i 
kierunki wpływów). Mechanizm: trend liniowy + wahania przypadkowe. 

12,5

13,0

13,5

Seria 1

b)

Postawa: pasywna (widzenie przyszłości zjawiska jako nieuniknionego, pojedynczego następstwa  

przeszłości). Oznacza to, że „prawa ruchu” zjawiska wyrażają przyszłe stany przez stany przeszłe.

c)

Wybór metody: prognozowanie na podstawie szeregu czasowego z trendem liniowym.

- 1/

26

 -

t

y

y*

e

y-y

sr

(y-y

sr

)

2

1

12,8

12,8

0

-0,12

0,0144

2

12,6

12,8

-0,2

-0,32

0,1024

3

12,9

12,76

0,14

-0,02

0,0004

4

13,1

12,788

0,312

0,18

0,0324

5

12,8

12,8504

-0,0504

-0,12

0,0144

6

12,7 12,84032

-0,14032

-0,22

0,0484

7

13 12,81226 0,187744

0,08

0,0064

8

13,1

12,8498 0,250195

0,18

0,0324

9

13,2 12,89984 0,300156

0,28

0,0784

10

13 12,95988 0,040125

0,08

0,0064

11

12,9679

Suma

129,2

0,336

y

sr

12,92

s

0,193218

V

z

 [%]

1,495498

d) Wyznaczenie prognozy

(

)

(

)

=

=

−

−

⋅

=

∑

∑

5

82

3

3

2

,

,

t

t

t

t

y

b

0,04

−

−

⋅

−

=

t

b

y

a

= 

12,7

y

t

*

= 0,04 · t + 12,7

y

11

*

= 0,04 · 11 + 12,7 = 13,14 mln osób.

t

t-t

śr

(t-t

śr

)2

y

y(t-t

sr

)

y*

1

-4,5

20,25

12,8

-57,6

2

-3,5

12,25

12,6

-44,1

3

-2,5

6,25

12,9

-32,25

4

-1,5

2,25

13,1

-19,65

5

-0,5

0,25

12,8

-6,4

6

0,5

0,25

12,7

6,35

7

1,5

2,25

13

19,5

8

2,5

6,25

13,1

32,75

9

3,5

12,25

13,2

46,2

10

4,5

20,25

13

58,5

0

82,5

12,92

3,3

13,14

b

0,04

a

12,7

Przykład 4

Liczba nowo otwartych kont osobistych w banku „AmiBank” w ciągu ostatnich 12 miesięcy była 
następująca: 40, 39, 45, 47, 50, 48, 42, 47, 43, 38, 40, 41.
a) Określić składowe szeregu czasowego.
b) Wybrać   metodę   do   wyznaczania   prognozy   liczby   nowo   otwartych   kont   na   następny  

miesiąc. Wybór uzasadnić.

c) Wyznaczyć prognozę wybraną metodą.
d) Ocenić trafność wyznaczonej prognozy, wiedząc, że rzeczywista liczba nowo otwartych kont 
w trzynastym miesiącu wynosiła 42.

Rozwiązanie:

a) Określenie składowych szeregu czasowego. Ocena wzrokowa i współczynnik V

z

 wskazują na 

następujące składowe: stała wartość + duże wahania przypadkowe.

- 1/

27

 -

0

50

Seria 1

t

y

y-y

sr

(y-y

sr

)

2

1

40

-3,33333 11,11111

2

39

-4,33333 18,77778

3

45 1,666667 2,777778

4

47 3,666667 13,44444

5

50 6,666667 44,44444

6

48 4,666667 21,77778

7

42

-1,33333 1,777778

8

47 3,666667 13,44444

9

43

-0,33333 0,111111

10

38

-5,33333 28,44444

11

40

-3,33333 11,11111

12

41

-2,33333 5,444444

Suma

520

172,6667

y

sr

43,33333

s

3,96194

V

z 

[%]

9,142939

b) Wybór metody.

Metoda prognozowania na podstawie szeregu czasowego:
- metoda uśredniania wykładniczego
- metoda trendu liniowego

c) Wyznaczenie prognozy wybraną metodą.

- metoda uśredniania wykładniczego dla α = 0,25 (dla α = 0,3 y*=41,622)

y* = 42

t

y

y*

e

1

40

40

0

2

39

40

-1

3

45

39,75

5,25

4

47

41,0625

5,9375

5

50 42,54688 7,453125

6

48 44,41016 3,589844

7

42 45,30762

-3,30762

8

47 44,48071 2,519287

9

43 45,11053

-2,11053

10

38

44,5829

-6,5829

11

40 42,93718

-2,93718

12

41 42,20288

-1,20288

13

41,90216

- metoda trendu liniowego: y* = 42

- 1/

28

 -

t

t-t

śr

(t-t

śr

)2

y

y(t-t

sr

)

y*

1

-5,5

30,25

40

-220

2

-4,5

20,25

39

-175,5

3

-3,5

12,25

45

-157,5

4

-2,5

6,25

47

-117,5

5

-1,5

2,25

50

-75

6

-0,5

0,25

48

-24

7

0,5

0,25

42

21

8

1,5

2,25

47

70,5

9

2,5

6,25

43

107,5

10

3,5

12,25

38

133

11

4,5

20,25

40

180

12

5,5

30,25

41

225,5

0

143 43,33333

-32

42,32634

b

-0,22378

a

44,78788

d) Ocena trafności  wyznaczonej prognozy, wiedząc, że rzeczywista liczba nowo otwartych kont w 

trzynastym miesiącu (T=13) wynosiła 42.
- metoda uśredniania wykładniczego dla α = 0,25

Ψ

*

= 5%

Ψ

13

= ((42-42)/42)·100% = 0,00 %

Wniosek: prognoza jest dopuszczalna

- metoda trendu liniowego

Ψ

*

= 5%

Ψ

13

= ((42-42)/42)·100% = 0,00 %

Wniosek: prognoza jest dopuszczalna

Przykład 5

Liczba   produkowanych   i   sprzedawanych   czajników   bezprzewodowych   (w   tys.   sztuk)   przez 
pewną firmę w poszczególnych kwartałach lat 2003-2005 została opisana modelem:

ŷ

t

 = 15 + 0,5·t

s = 0,5 tys. sztuk

R

2

 = 0.90

Przy   sprzedaży   20   tys.   sztuk   czajników   w   IV   kwartale   2005   r.   firma   wykorzystała   swoje 
możliwości   produkcyjne   w   83%.   Przyjmując   postawę   pasywną,   ocenić   z 
prawdopodobieństwem 0,9 słuszność wypowiedzi dyrektora firmy, twierdzącego, iż do końca 
2006 r. zdolności produkcyjne firmy będą wystarczające do zaspokojenia zgłaszanego popytu 
na   czajniki   bezprzewodowe.   Przyjąć,   że   w   danym   kwartale   sprzedawane   są   tylko   czajniki 
produkowane w tym kwartale.

Rozwiązanie:

Zastosowanie: metoda trendu liniowego i konstrukcja prognozy przedziałowej

Obliczenie zdolności produkcyjnych firmy:
0.83 · 20 tys. sztuk / 0.83 = 24,096 tys. sztuk ≈ 24,1 tys. sztuk

Obliczenie prognoz na kolejne kwartały 2006 r.:
y*

13 

= 15 + 0,5·13 = 15 + 6,5 = 21,5 tys. szt.

y*

14 

= 15 + 0,5·14 = 15 + 6,5 = 22,0 tys. szt.

y*

15 

= 15 + 0,5·15 = 15 + 6,5 = 22,5 tys. szt.

y*

16 

= 15 + 0,5·16 = 15 + 6,5 = 23,0 tys. szt.

Błędy ex ante obliczonych prognoz są następujące:

(

)

(

)

1

12

1

5

6

5

6

13

12

1

2

2

13

+

+

−

−

⋅

=

∑

=

=

t

t

,

t

,

s

v

=0,5871 [tys. sztuk]

- 1/

29

 -

t

t-t

sr

(t-tsr)

2

v

13

v

14

v

15

v

16

1

-5,5

30,25 0,587109 0,607596 0,630194 0,654685

2

-4,5

20,25

3

-3,5

12,25

4

-2,5

6,25

5

-1,5

2,25

6

-0,5

0,25

7

0,5

0,25

8

1,5

2,25

9

2,5

6,25

10

3,5

12,25

11

4,5

20,25

12

5,5

30,25

6,5

143

Konstrukcja prognozy przedziałowej
Prognozę przedziałową dla zadanej z góry wiarygodności prognozy (p) konstruuje się w następujący 
sposób:

{

}

p

v

u

y

y

v

u

y

P

T

*

T

T

T

*

T

=

⋅

+

≤

≤

⋅

−

gdzie u – współczynnik związany z wiarygodnością prognozy, rozkładem reszt modelu oraz długością 
szeregu czasowego. Przyjmujemy założenie o rozkładzie reszt.
a) nie weryfikowano hipotezy o normalnym rozkładzie reszt (lub przy odrzuceniu hipotezy)

Wartość współczynnika u znaleziona z nierówności Czebyszewa jest równa sqrt[1/(1-0.9)] = 3.1623

1623

3

9

0

1

1

,

,

u

=

−

=

Prognoza przedziałowa dla T=13 ma postać:
[21,5 - 3,1623 · 0,5871; 21,5 + 3,1623 · 0,5871] = [19,64; 23,36]
Prognoza przedziałowa dla T=14 ma postać:
[22,0 - 3,1623 · 0,6076; 22,0 + 3,1623 · 0,6076] = [20,08; 23,92]
Prognoza przedziałowa dla T=15 ma postać:
[22,5 - 3,1623 · 0,6302; 22,5 + 3,1623 · 0,6302] = [20,51; 

24,49

]

Prognoza przedziałowa dla T=16 ma postać:
[23,0 - 3,1623 · 0,6547; 23,0 + 3,1623 · 0,6547] = [20,93; 

25,07

]

b) rozkład reszt jest normalny

Uznając, że podany przedział jest za szeroki przetestowano hipotezę o normalności rozkładu reszt  
modelu   i   nie   było  podstaw  do   jej   odrzucenia.   Jeżeli  zatem   rozkład   reszt   jest   normalny  wartość  
współczynnika u odczytuje się z tablic rozkładu t-Studenta dla n-2 stopni swobody i 

α

=1-p (przy n>30 

korzystamy z tablic rozkładu normalnego). W naszym przypadku mamy:

n-2 = 12-2 = 10 stopni swobody oraz 

α

=1-0,9=0,1,

a zatem u = 1,812

Prognoza przedziałowa dla T=16 ma postać:
[23 - 1,812 · 0,6547; 23 + 1,812 · 0,6547] = [21,81; 

24,19

]

Wniosek:
Dyrektor firmy nie miał racji – zdolności produkcyjne mogą nie wystarczyć na produkcję w roku 2006. 
Maksymalny zgłaszany popyt może wynosić ok. 25 tys. sztuk (25,07 tys. sztuk)).

Przykład 6

Dane jest ostatnie równanie trendu pełzającego: ŷ

t

  = 7 + 1,2·t, dla t = 4, 5, 6 oraz przyrosty 

wyrównanych   wartości   szeregu   czasowego:   2,5    2,0    3,1    2,3    1,8.   Wyznaczyć   prognozę 
zjawiska na okres T = 8.

Rozwiązanie:

Trend   pełzający  jest   modelem   adaptacyjnym   służącym   do   budowy   prognoz   krótkookresowych. 
Procedura konstrukcji i ekstrapolacji trendu pełzającego jest następująca:
a) Krok 1: Ustalenie wartości stałej wygładzania k < n

b)

Krok 2: Oszacowanie na podstawie kolejnych fragmentów szeregu o długości k liniowych funkcji  

trendu.

- 1/

30

 -

c)

Krok 3: Obliczenie wygładzonych wartości zmiennej ŷ

t(i)

, tzn. wartości teoretycznych wynikających z i-

tej funkcji trendu.

d)

Krok 4: Obliczenie średniej wartości wygładzonej 

t

y

dla każdego okresu t jako średniej arytmetycznej 

wartości wygładzonych obliczonych dla tego okresu w kroku 3. Po połączeniu odcinkami liniowymi 
kolejnych  punktów  (t,  

t

y

)  otrzymuje   się  wykres   wygładzonych  wartości  szeregu  czasowego   w 

postaci  funkcji segmentowej, zwanej trendem pełzającym.

e)

Krok 5: Ekstrapolacja modelu trendu pełzającego. Obliczenie przyrostów funkcji trendu dla wartości 

wygładzonych:

1

1

1

1

−

=

−

=

+

+

n

,...,

t

,

y

y

w

t

t

t

f)

Krok 6: Nadanie wag poszczególnym przyrostom. Są to tzw. wagi harmoniczne.

1

1

1

1

1

1

1

−

=

−

⋅

−

=

∑

=

+

n

,...,

t

,

i

n

n

C

t

i

n

t

g)

Krok   7:   Określenie   średniego   przyrostu   trendu   jako   średniej   ważonej   (wagami   harmonicznymi)  

wszystkich obliczonych w kroku 5 przyrostów.

∑

−

=

+

+

⋅

=

1

1

1

1

n

t

t

n

t

w

C

w

h) Krok 8: Wyznaczenie prognozy punktowej na moment/okres T.

w

)

n

T

(

y

y

n

*

T

⋅

−

+

=

Dane: n=6, k=3
Obliczenie wygładzonych wartości zmiennej y:
ŷ

4

 = 7 + 1,2·4 = 11,8

ŷ

5

 = 7 + 1,2·5 = 13

ŷ

6

 = 7 + 1,2·6 = 14,2

Obliczenie średniej wartości wygładzonej w ostatnim okresie:
 

13

3

2

14

13

8

11

=

+

+

=

/

)

,

,

(

y

t

Nadanie wag poszczególnym przyrostom:
t=1

=

=

+

6

2

6

1

1

C

C

(1/(6-1)) ·(1/(6-1))=0,04

t=2

=

=

+

6

3

6

1

2

C

C

(1/(6-1)) ·((1/(6-1))+(1/(6-2)))=0,09

t=3

=

=

+

6

4

6

1

3

C

C

(1/(6-1)) ·((1/(6-1))+(1/(6-2))+(1/(6-3)))=0,1566

t=4

=

=

+

6

5

6

1

4

C

C

(1/(6-1)) ·((1/(6-1))+(1/(6-2))+(1/(6-3))+(1/(6-4)))=0,2566

t=5

=

=

+

6

6

6

1

5

C

C

(1/(6-1))·((1/(6-1))+(1/(6-2))+(1/(6-3))+(1/(6-4))+(1/(6-5)))=0,4566

Określenie średniego przyrostu trendu jako średniej ważonej:

∑

−

=

+

+

⋅

=

1

1

1

1

n

t

t

n

t

w

C

w

=0,04·2,5+0,090·2,0+0,157·3,1+0,257·2,3+0,456·1,8=2,18

Wyznaczenie prognozy:

w

)

n

T

(

y

y

n

*

T

⋅

−

+

=

56

18

18

2

6

8

2

14

8

,

,

)

(

,

y

*

=

⋅

−

+

=

y

8

*

=18,56

Przykład 7

Na   podstawie   danych   o   kształtowaniu   się   sprzedaży   firmy   „Trefl”   S.A.   (w   mln   zł)   w 
poszczególnych kwartałach lat z lat 2002-2005 wyznaczono następujące funkcje trendu:

ŷ

t

 = 18,54 + 0,75·t

s = 1,04 mln zł

R

2

 = 0.91

ŷ

t

 = 17,35 · 1,104

t

s = 3,55 mln zł

R

2

 = 0.72

Wybierając odpowiedni model (wybór uzasadnić), wyznaczyć prognozę zmiennej na I kwartał 
2006 r. stosując regułę podstawową. Ocenić jej dopuszczalność, wiedząc, że prognoza może 
być obarczona błędem względnym co najwyżej 4%.

Rozwiązanie:

Wybór modelu: funkcja liniowa (większe dopasowanie R

2

, mniejszy błąd s)

- 1/

31

 -

Błąd ex ante prognozy:

 

(

)

(

)

1

n

1

t

t

t

T

s

v

2

2

+

+

−

−

⋅

=

∑

Względny błąd ex ante prognozy:

%

100

y

v

*

T

T

T

⋅

=

η

t

t-t

śr

(t-t

śr

)

2

y

t

*

v

17

n

17

1

-7,5

56,25

19,29 1,1743253 3,753037

2

-6,5

42,25

20,04

3

-5,5

30,25

20,79

4

-4,5

20,25

21,54

5

-3,5

12,25

22,29

6

-2,5

6,25

23,04

7

-1,5

2,25

23,79

8

-0,5

0,25

24,54

9

0,5

0,25

25,29

10

1,5

2,25

26,04

11

2,5

6,25

26,79

12

3,5

12,25

27,54

13

4,5

20,25

28,29

14

5,5

30,25

29,04

15

6,5

42,25

29,79

16

7,5

56,25

30,54

17

31,29

340

ŷ

t

 = 18,54 + 0,75·t

y*

17

 = 18,54 + 0,75·t = 31,29 mln zł.

η

*

= 5%

η

17

= 3,75% < 4%

Wniosek: prognoza jest dopuszczalna

Przykład 8

Liczba   zawartych   umów   leasingowych   w   firmie   finansowo-leasingowej   w   poszczególnych 
kwartałach lat 2002-2005 kształtowała się następująco:

20   10   4   11   33   17   9   18   45   23   14   11   25   60   30   13.

Sporządzić   prognozy  liczby  zawartych   umów  leasingowych   na   kolejny  rok   (2006),   stosując 
model Wintersa.

Rozwiązanie:

Sprawdzenie zmienności szeregu czasowego: 

0

50

100

Seria 1

Gdy   szereg   czasowy   zmiennej   prognozowanej   zawiera   tendencję   rozwojową,   wahania   sezonowe   i 
wahania   przypadkowe,   wtedy   stosuje   się   model   Wintersa   należący   do   klasy   modeli   wygładzania 
wykładniczego. Prognozę wyznacza się w sposób sekwencyjny, korzystając z 3 równań zawierających 3 
parametry wygładzania.

- 1/

32

 -

t

y

y-y

sr

(y-y

sr

)

2

1

20

-1,4375 2,066406

2

10

-11,4375 130,8164

3

4

-17,4375 304,0664

4

11

-10,4375 108,9414

5

33

11,5625 133,6914

6

17

-4,4375 19,69141

7

9

-12,4375 154,6914

8

18

-3,4375 11,81641

9

45

23,5625 555,1914

10

23

1,5625 2,441406

11

14

-7,4375 55,31641

12

11

-10,4375 108,9414

13

25

3,5625 12,69141

14

60

38,5625 1487,066

15

30

8,5625 73,31641

16

13

-8,4375 71,19141

Suma

343

3231,938

y

sr

21,4375

s

14,67864

V

z

 [%]

68,47179

Postawa prognosty: pasywna. Horyzont prognozy: prognoza krótkookresowa. Postaci modelu Wintersa: 
wybieramy postać multiplikatywną. Liczba umów jest najwyższa w 1. kwartałach i 4 kwartałach, najniższa 
w 3. kwartałach. Zauważyć można tendencję wzrostową liczby zawieranych umów.

Postać multiplikatywna:

Wygładzona wartość zmiennej po eliminacji wahań sezonowych na moment t-1 dana jest wzorem:

(

)(

)

2

2

1

1

1

1

−

−

−

−

−

−

+

−

+

=

t

t

r

t

t

t

S

F

C

y

F

α

α

Wygładzona wartość przyrostu trendu na moment t-1 dana jest wzorem:

(

) (

)

2

2

1

1

1

−

−

−

−

⋅

−

+

−

=

t

t

t

t

S

F

F

S

β

β

Ocena wskaźników sezonowości na moment t-1 dana jest wzorem:

(

)

r

t

r

t

t

t

C

F

y

C

−

−

−

−

−

−

⋅

−

+

=

1

1

1

1

1

γ

γ

Gdzie r – długość cyklu sezonowego (liczba faz w cyklu)

Równanie prognozy na moment t>n:

(

)

(

)

r

t

n

n

*

t

C

S

n

t

F

y

−

⋅

⋅

−

+

=

Wyboru parametrów wygładzania dokonuje prognosta.

Wartości początkowe:

- dla komponenty F przyjąć wartość rzeczywistą zmiennej z szeregu czasowego odpowiadającą 1. 

fazie drugiego cyklu lub średnią wartość z 1. cyklu,

- dla komponenty S przyjąć różnicę średnich wartości z 2. i 1. cyklu bądź przyjąć 0,

- dla komponenty C (w poszczególnych fazach 1. cyklu) przyjąć ilorazy wartości rzeczywistej 

zmiennej z 1. cyklu w odniesieniu do średniej wartości w 1. cyklu bądź  przyjąć 1.

W  tabeli podano obliczenia prognoz na dla kolejnych kwartałów 2006 r. (t=17, 18, 19, 20) przyjmując 
założenie, że wartości parametrów są równe: α = 0.5, β = 0.95, γ = 0.2 (obliczenie 1), α = 0.5, β = 0.95, γ 
= 0.5 (obliczenie 2).

- 1/

33

 -

Obliczenie 1.

t

y

t

F

t

S

t

C

t

y

t

*

(y

t

-yt

*

)

2

1

20

1,777778

2

10

0,888889

3

4

0,355556

4

11

0,977778

5

33

33

32 1,622222

6

17

42,0625 10,20938 0,791943

7

9 38,79219

-2,59633 0,330846

8

18 27,30248

-11,045 0,914078

9

45 21,99858

-5,59095 1,706895

10

23 22,72506 0,410606 0,835974

11

14 32,72574

9,52118 0,350236

12

11 27,14045

-4,82997 0,812323

13

25 18,47848

-8,47037 1,636101

14

60 40,89033 20,86773 0,962247

15

30

73,7073 32,21951 0,361592

16

13 60,96515

-10,4941 0,692505

17

82,5758

18

38,46779

19

10,6608

20

13,14991

α

0,5

β

0,95

γ

0,2

Obliczenie 2.

t

y

t

F

t

S

t

C

t

y

t

*

(y

t

-yt

*

)

2

1

20

1,777778

2

10

0,888889

3

4

0,355556

4

11

0,977778

5

33

33

32 1,388889

6

17

42,0625 10,20938 0,646525

7

9 38,79219

-2,59633 0,293781

8

18 27,30248

-11,045 0,818529

9

45 24,32872

-3,37732 1,619277

10

23 28,26311 3,568805 0,730153

11

14 39,74327 11,08459 0,323021

12

11

32,1333

-6,67524 0,580427

13

25 20,44852

-11,4343

1,42093

14

60 45,59438 23,31685 1,023052

15

30 80,89226 34,69883 0,346942

16

13 68,99421

-9,56821 0,384424

17

84,44017

18

51,00713

19

13,97815

20

11,81003

α

0,5

β

0,95

γ

0,5

Przykład 9

- 1/

34

 -

Kwartalna   wielkość   sprzedaży   skuterów   wodnych   w   firmie   „Jacek”   (w   sztukach)   w   latach 
2002-2005 kształtowała się następująco:

20

30

39

60

40

51

62

81

50

64

74

95

55

68

77

96.

Wyznaczyć prognozę sprzedaży na 2006 r. korzystając z:

a)

metody wskaźników,

b)

metody harmonicznej.

Rozwiązanie:

0

50

100

Seria 1

a) Metoda wskaźników
Z  metody   wskaźników  można   korzystać   przy   prognozowaniu   charakteryzującym   się  wahaniami 
sezonowymi   występującymi   wraz   z   tendencją   rozwojową   lub   wraz   ze   stałym   (przeciętnym) 
poziomem zmiennej. Prognozę wyznaczamy jako ekstrapolację dotychczasowej tendencji korygowanej 
wskaźnikiem   sezonowości.  Postawa   prognosty:   pasywna.  Zaobserwowano:   składowa   systematyczna 
(rosnący trend liniowy) oraz wahania sezonowe (względnie stałe). Występuje też składnik losowy. Cykl 
składa się z 3 faz: Faza 1: kwartał 1, 2 – rzeczywista wartość zmiennej znajduje się poniżej linii trendu. 
Faza 2: kwartał 3 – rzeczywista wartość zmiennej znajduje się na linii trendu. Faza 3 – rzeczywista 
wartość zmiennej znajduje się powyżej linii trendu. Zatem t=1,...,12 oraz i =1,..3. Przyjmujemy model 
multiplikatywny:

y

ti

*

 = y

t

*(w)

 · c

i

gdzie y

ti

*

  - prognoza na okres t w i-tej fazie cyklu, y

t

*(w)

  – prognoza wstępna na okres t, c

i

   - czysty 

wskaźnik sezonowości w i-tej fazie cyklu.

y

t

t-tsr

(t-tsr)2

(t-tsr)y

zti

z1

z1

2 0  

1  

- 7 , 5  

5 6 , 2 5  

- 1 5 0  

0 , 6 1 4 4 1 1 6  

0 , 8 2 9 4 8 6 5  

3 0  

2  

- 6 , 5  

4 2 , 2 5  

- 1 9 5  

0 , 8 2 8 0 9 0 1  

z2

z2

3 9  

3  

- 5 , 5  

3 0 , 2 5  

- 2 1 4 , 5  

0 , 9 7 7 3 3 5 5  

1 , 0 2 4 1 6 2 6  

6 0  

4  

- 4 , 5  

2 0 , 2 5  

- 2 7 0  

1 , 3 7 6 7 5 0 5  

z3

z3

4 0  

5  

- 3 , 5  

1 2 , 2 5  

- 1 4 0  

0 , 8 4 6 4 2 9 1  

1 , 2 9 0 6 4 7 9  

5 1  

6  

- 2 , 5  

6 , 2 5  

- 1 2 7 , 5  

1 , 0 0 1 2 9 9 3  

6 2  

7  

- 1 , 5  

2 , 2 5  

- 9 3  

1 , 1 3 5 3 1 7 1  

q

q

8 1  

8  

- 0 , 5  

0 , 2 5  

- 4 0 , 5  

1 , 3 8 9 6 8 0 8  

1 , 0 4 8 0 9 9  

5 0  

9  

0 , 5  

0 , 2 5  

2 5  

0 , 8 0 6 9 3 0 1  

6 4  

1 0  

1 , 5  

2 , 2 5  

9 6  

0 , 9 7 5 0 1 9 6  

0,79142 

7 4  

1 1  

2 , 5  

6 , 2 5  

1 8 5  

1 , 0 6 7 5 7 1 9  

0,9771621 

9 5  

1 2  

3 , 5  

1 2 , 2 5  

3 3 2 , 5  

1 , 3 0 1 5 0 1  

1,2314179 

5 5  

1 3  

4 , 5  

2 0 , 2 5  

2 4 7 , 5  

0 , 7 1 7 3 6 8 4  

6 8  

1 4  

5 , 5  

3 0 , 2 5  

3 7 4  

0 , 8 4 6 3 4 3 9  

7 7  

1 5  

6 , 5  

4 2 , 2 5  

5 0 0 , 5  

0 , 9 1 6 4 2 6  

9 6  

1 6  

7 , 5  

5 6 , 2 5  

7 2 0  

1 , 0 9 4 6 5 9 2  

60,125 

340 

1250 

b=

3,6764706 

a=

28,875 

Prognoza   wstępna:   ekstrapolacja   zaobserwowanej   tendencji   rozwojowej.   Parametry   linii   trendu 
oszacowujemy KMNK.

t

,

,

y

t

⋅

+

=

68

3

88

28



t=1,...12. Wyznaczona postać funkcji trendu posłuży do konstrukcji prognozy wstępnej. By wyznaczyć 
wartości czystych wskaźników sezonowości c

i

 należy:

1)

obliczyć wartości z

ti

 jako ilorazy wartości rzeczywistych i wartości teoretycznych

- 1/

35

 -

t

ti

ti

y

y

z



=

i tak:dla t=1, i=1

z

1,1

 = 20 / (28,68 + 3,68 · t) = 0,6144,

itd. (zob. tabela)

2)

Wartości z

ti

 zawierają efekt oddziaływania wahań sezonowych oraz przypadkowych. W celu 

wyeliminowania wahań przypadkowych obliczamy surowe wskaźniki sezonowości z

i

 (i=1,...,3) 

przez wyznaczenie średniej arytmetycznej tych wartości z

ti

, które odpowiadają jednoimiennym 

okresom, zatem:
Dla 1 i 2 kwartału: z

1

 = 0,8295

Dla 3 kwartału: z

2

 = 1,0242

Dla 4 kwartału: z

3

 = 1,2906

3)

Obliczyć średnią arytmetyczną surowych wskaźników sezonowości q:

q = 1,0481

4)

Czyste wskaźniki sezonowości wyznaczamy jako ilorazy surowych wskaźników sezonowosci z

i

 i 

wielkości q.

q

z

c

i

i

=

Dla 1 i 2 kwartału: c

1

 = 79,1%

Dla 3 kwartału: c

2

 = 97,7%

Dla 4 kwartału: c

3

 = 123,1%.

Suma czystych wskaźników sezonowości w modelu multiplikatywnym powinna być równa liczbie 
wyróżnionych faz. W przykładzie suma (0,791 + 0,977 + 1,231) = 2,999 ≈ 3.

5) Wyznaczenie prognozy:

y

17

* =  (28,88 + 3,68 ·17) ·79,1% = 91,44 · 79,1% = 72,33 ≈ 72 szt. 

y

18

* =  (28,88 + 3,68 ·18) ·79,1% = 95,12 · 79,1% = 75,24 ≈ 75 szt.

y

19

* =  (28,88 + 3,68 ·19) ·97,71% = 98,80 · 97,7% = 96,53 ≈ 97 szt.

y

20

* =  (28,88 + 3,68 ·20) ·123,1% = 102,48 · 123,1% = 126,15 ≈ 126 szt.

b) Metoda analizy harmonicznej

Analiza   harmoniczna   polega   na   budowie  modelu   w   postaci   sumy   harmonik,   czyli   funkcji 
sinusoidalnych lub cosinusoidalnych o danych okresach. Pierwsza harmonika ma okres równy długości 
okresu badanego, druga – połowie tego okresu, trzecia – jednej trzeciej, itd. W przypadku n obserwacji 
liczba wszystkich możliwych harmonik jest równa n/2.

Przypadek 1

W   przypadku,   gdy  w   szeregu   czasowym   występuje   pewien   stały  poziom   (

w   tym   przykładzie   raczej 

obserwujemy tendencję rozwojową

) i wahania sezonowe, szereg czasowy można przedstawić jako sumę 

harmonik:

∑

=













−

⋅

+

=

2

1

0

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

A

y

ε

π

α

lub korzystając z własności funkcji cosinus:

∑

=

























⋅

+













⋅

+

=

2

1

0

2

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

it

n

sin

y

π

β

π

α

α

W podanym przykładzie liczba harmonik jest równa n/2 = 16/2 = 8
Pierwsza harmonika ma okres 16 kwartałów (4 lata)
Druga harmonika ma okres 16/2 = 8 kwartałów (2 lata)
Trzecia harmonika ma okres 16/3 = 5,33 kwartałów (ponad rok)
Czwarta harmonika ma okres 16/4 = 4 kwartałów (1 rok)
Piąta harmonika ma okres 16/5 = 3,2 kwartałów (trzy czwarte roku)
Szósta harmonika ma okres 16/6 = 2,5 kwartałów (trochę ponad pół roku)
Siódma harmonika ma okres 16/7 = 2,28 kwartałów (trochę ponad pół roku)
Ósma harmonika ma okres 16/8 = 2 kwartały (pół roku)

Wartości parametrów 

α

0

, 

α

i

, 

β

i

, szacuje się za pomocą KMNK. Stosuje się wzory:

∑

=

⋅

=

n

t

t

y

n

a

1

0

1

∑

=

−

=













⋅

⋅

=

n

t

t

i

n

,...,

i,

it

n

sin

y

n

a

1

1

2

1

2

2

π

- 1/

36

 -

∑

=

−

=













⋅

⋅

=

n

t

t

i

n

,...,

i,

it

n

cos

y

n

b

1

1

2

1

2

2

π

Dla ostatniej harmoniki o numerze n/2:

0

2

=

/

n

a

( )

∑

=

⋅

⋅

=

n

t

t

/

n

t

cos

y

n

b

1

2

1

π

Amplituda A

i

 jest to największa (co do wartości bezwzględnej) różnica pomiędzy wartością harmoniki a 

poziomem przeciętnym. Wartości amplitud dla poszczególnych harmonik oblicza się wg wzoru:

i

i

i

c

b

a

A

i

=

+

=

2

2

Wartości przesunięcia fazowego oblicza się jako:

i

i

i

t

θ

ε

=

gdzie: 









=

i

i

i

b

a

arctg

ε

 

oraz 

i

n

i

⋅

= π

θ

2

Udział części wariancji zmiennej Y w poszczególnych harmonikach przedstawić można jako:

2

2

2 s

c

i

i

⋅

=

ϖ

, dla i=1,...,(n/2)-1

2

2

s

c

i

i

=

ϖ

, dla i=n/2 

gdzie: s

2

 – ocena wariancji zmiennej Y

Jeżeli   przyjmiemy   założenie   o   istnieniu   w   szeregu   czasowym   stałego   poziomu   zjawiska   i   wahań 
sezonowych, to dalsze obliczenia przebiegają następująco. Wartości parametrów α

0

, α

i

, β

i

 szacuje się za 

pomocą KMNK. Dla przykładu, obliczenia dla pierwszej harmoniki byłyby wtedy następujące:

a

0

 = 962/16 = 60,125

a

1

 = (2/16) · (-134,4772) = -16,8097

b

1

 = (2/16) · (-18,5327) = -2,3166

t

y

t

x=(2π/16)·t

sin x

cos x

y

t

·sin x

y

t

·cos x

1

20

0,3927

0,3827

0,9239

7,6537

18,4776

2

30

0,7854

0,7071

0,7071

21,2132

21,2132

3

39

1,1781

0,9239

0,3827

36,0313

14,9247

4

60

1,5708

1,0000

0,0000

60,0000

0,0000

5

40

1,9635

0,9239

-0,3827

36,9552

-15,3073

6

51

2,3562

0,7071

-0,7071

36,0624

-36,0624

7

62

2,7489

0,3827

-0,9239

23,7264

-57,2805

8

81

3,1416

0,0000

-1,0000

0,0000

-81,0000

9

50

3,5343

-0,3827

-0,9239

-19,1342

-46,1940

10

64

3,9270

-0,7071

-0,7071

-45,2548

-45,2548

11

74

4,3197

-0,9239

-0,3827

-68,3671

-28,3186

12

95

4,7124

-1,0000

0,0000

-95,0000

0,0000

13

55

5,1051

-0,9239

0,3827

-50,8134

21,0476

14

68

5,4978

-0,7071

0,7071

-48,0833

48,0833

15

77

5,8905

-0,3827

0,9239

-29,4666

71,1387

16

96

6,2832

0,0000

1,0000

0,0000

96,0000

Suma

962

-134,4772

-18,5327

W  podobny sposób należy przeprowadzić obliczenia dla następnych harmonik  z obliczeniami dla 2x, 
3x,...,   8x.   Łącznie   otrzymamy   8   tabel.   Następnie   oszacowywane   są   parametry   modelu   zgodnie   z 
podanymi wyżej wzorami. Podstawiając następnie numer prognozowanego kwartału do opracowanego 
modelu   z   8   harmonikami   otrzymamy   prognozy.   Jest   to   zatem   prognozowanie   przez   ekstrapolację 
otrzymanego   modelu   z   zastosowaniem   reguły   podstawowej   i   przyjęciem   postawy   pasywnej   w 
prognozowaniu.  

W  naszym przykładzie występuje jednak przypadek 2

  – obserwowana jest tendencja 

rozwojowa, zatem do rozwiązania użyjemy modelu z funkcją trendu liniowego.

Przypadek 2

W   przypadku,   gdy   w   szeregu   czasowym   występuje   pewna   tendencja   rozwojowa   (

tak   jak   w   tym 

przykładzie

) i wahania sezonowe, szereg czasowy można przedstawić jako sumę harmonik:

( )

∑

=

























⋅

+













⋅

+

=

2

1

2

2

/

n

i

i

i

t

it

n

cos

it

n

sin

t

f

y

π

β

π

α

gdzie f(t) – funkcja trendu. Postępowanie obliczeniowe jest następujące:

1. Oszacowujemy parametry funkcji f(t) za pomocą KMNK

- 1/

37

 -

2.

Oszacowujemy parametry harmonik (8 harmonik), wartości amplitud, procent wyjaśnianej 
zmienności, wielkości faz oraz przesunięcia fazowego.

t

t-t

śr

(t-t

śr

)

2

y

y(t-t

sr

)

y*

1

-7,5

56,25

20

-150

2

-6,5

42,25

30

-195

3

-5,5

30,25

39

-214,5

4

-4,5

20,25

60

-270

5

-3,5

12,25

40

-140

6

-2,5

6,25

51

-127,5

7

-1,5

2,25

62

-93

8

-0,5

0,25

81

-40,5

9

0,5

0,25

50

25

10

1,5

2,25

64

96

11

2,5

6,25

74

185

12

3,5

12,25

95

332,5

13

4,5

20,25

55

247,5

14

5,5

30,25

68

374

15

6,5

42,25

77

500,5

16

7,5

56,25

96

720

Suma

0

340

60,125

1250

17

91,375

18

95,05147

b

3,676471

a

28,875

Oszacowana funkcja trendu ma postać:

t

,

,

t

b

a

y

t

⋅

+

=

⋅

+

=

6765

3

875

28



Szereg   zawiera   16   obserwacji,   zatem   należy   oszacować   parametry   8   harmonik   stosując   wzory   jak 
powyżej w przypadku 1 (założenie o braku tendencji rozwojowej) ale z wykorzystaniem wartości zmiennej 

t

t

t

y

y

y



−

=

′

  zamiast  zmiennej y

t

.  Postępowanie  to  jest  uzasadnione  istnieniem  w szeregu  czasowym 

tendencji rozwojowej. Dalsze obliczenia przedstawiono w tabelach.

t

y

t

y

t

'=y

t

-ŷ

t

x=(2π/16)·t

sin x

cos x

y

t

'·sin x

y

t

'·cos x

1

20 -12,5515

0,3927

0,3827

0,9239

-4,8032

-11,5960

2

30

-6,2279

0,7854

0,7071

0,7071

-4,4038

-4,4038

3

39

-0,9044

1,1781

0,9239

0,3827

-0,8356

-0,3461

4

60

16,4191

1,5708

1,0000

0,0000

16,4191

0,0000

5

40

-7,2574

1,9635

0,9239

-0,3827

-6,7049

2,7773

6

51

0,0662

2,3562

0,7071

-0,7071

0,0468

-0,0468

7

62

7,3897

2,7489

0,3827

-0,9239

2,8279

-6,8272

8

81

22,7132

3,1416

0,0000

-1,0000

0,0000

-22,7132

9

50 -11,9632

3,5343

-0,3827

-0,9239

4,5781

11,0526

10

64

-1,6397

3,9270

-0,7071

-0,7071

1,1595

1,1595

11

74

4,6838

4,3197

-0,9239

-0,3827

-4,3273

-1,7924

12

95

22,0073

4,7124

-1,0000

0,0000

-22,0073

0,0000

13

55 -21,6691

5,1051

-0,9239

0,3827

20,0197

-8,2924

14

68 -12,3456

5,4978

-0,7071

0,7071

8,7297

-8,7297

15

77

-7,0221

5,8905

-0,3827

0,9239

2,6872

-6,4875

16

96

8,3015

6,2832

0,0000

1,0000

0,0000

8,3015

Suma

962

-0,0001

13,3858

-47,9444

- 1/

38

 -

t

y

t

y

t

'=y

t

-ŷ

t

2x=2·(2π/16)·t

sin 2x

cos 2x

y

t

'·sin 2x

y

t

'·cos 2x

1

20 -12,5515

0,7854

0,7071

0,7071

-8,8752

-8,8752

2

30

-6,2279

1,5708

1,0000

0,0000

-6,2279

0,0000

3

39

-0,9044

2,3562

0,7071

-0,7071

-0,6395

0,6395

4

60

16,4191

3,1416

0,0000

-1,0000

0,0000

-16,4191

5

40

-7,2574

3,9270

-0,7071

-0,7071

5,1317

5,1317

6

51

0,0662

4,7124

-1,0000

0,0000

-0,0662

0,0000

7

62

7,3897

5,4978

-0,7071

0,7071

-5,2253

5,2253

8

81

22,7132

6,2832

0,0000

1,0000

0,0000

22,7132

9

50 -11,9632

7,0686

0,7071

0,7071

-8,4593

-8,4593

10

64

-1,6397

7,8540

1,0000

0,0000

-1,6397

0,0000

11

74

4,6838

8,6394

0,7071

-0,7071

3,3120

-3,3120

12

95

22,0073

9,4248

0,0000

-1,0000

0,0000

-22,0073

13

55 -21,6691

10,2102

-0,7071

-0,7071

15,3224

15,3224

14

68 -12,3456

10,9956

-1,0000

0,0000

12,3456

0,0000

15

77

-7,0221

11,7810

-0,7071

0,7071

4,9653

-4,9653

16

96

8,3015

12,5664

0,0000

1,0000

0,0000

8,3015

Suma

962

-0,0001

9,9438

-6,7047

t

y

t

y

t

'=y

t

-ŷ

t

3x=3·(2π/16)·t

sin 3x

cos 3x

y

t

'·sin 3x

y

t

'·cos 3x

1

20 -12,5515

1,1781

0,9239

0,3827

-11,5960

-4,8032

2

30

-6,2279

2,3562

0,7071

-0,7071

-4,4038

4,4038

3

39

-0,9044

3,5343

-0,3827

-0,9239

0,3461

0,8356

4

60

16,4191

4,7124

-1,0000

0,0000

-16,4191

0,0000

5

40

-7,2574

5,8905

-0,3827

0,9239

2,7773

-6,7049

6

51

0,0662

7,0686

0,7071

0,7071

0,0468

0,0468

7

62

7,3897

8,2467

0,9239

-0,3827

6,8272

-2,8279

8

81

22,7132

9,4248

0,0000

-1,0000

0,0000

-22,7132

9

50 -11,9632

10,6029

-0,9239

-0,3827

11,0526

4,5781

10

64

-1,6397

11,7810

-0,7071

0,7071

1,1595

-1,1595

11

74

4,6838

12,9591

0,3827

0,9239

1,7924

4,3273

12

95

22,0073

14,1372

1,0000

0,0000

22,0073

0,0000

13

55 -21,6691

15,3153

0,3827

-0,9239

-8,2924

20,0197

14

68 -12,3456

16,4934

-0,7071

-0,7071

8,7297

8,7297

15

77

-7,0221

17,6715

-0,9239

0,3827

6,4875

-2,6872

16

96

8,3015

18,8496

0,0000

1,0000

0,0000

8,3015

Suma

962

-0,0001

20,5150

10,3464

t

y

t

y

t

'=y

t

-ŷ

t

4x=4·(2π/16)·t

sin 4x

cos 4x

y

t

'·sin 4x

y

t

'·cos 4x

1

20 -12,5515

1,5708

1,0000

0,0000

-12,5515

0,0000

2

30

-6,2279

3,1416

0,0000

-1,0000

0,0000

6,2279

3

39

-0,9044

4,7124

-1,0000

0,0000

0,9044

0,0000

4

60

16,4191

6,2832

0,0000

1,0000

0,0000

16,4191

5

40

-7,2574

7,8540

1,0000

0,0000

-7,2574

0,0000

6

51

0,0662

9,4248

0,0000

-1,0000

0,0000

-0,0662

7

62

7,3897

10,9956

-1,0000

0,0000

-7,3897

0,0000

8

81

22,7132

12,5664

0,0000

1,0000

0,0000

22,7132

9

50 -11,9632

14,1372

1,0000

0,0000

-11,9632

0,0000

10

64

-1,6397

15,7080

0,0000

-1,0000

0,0000

1,6397

11

74

4,6838

17,2788

-1,0000

0,0000

-4,6838

0,0000

12

95

22,0073

18,8496

0,0000

1,0000

0,0000

22,0073

13

55 -21,6691

20,4204

1,0000

0,0000

-21,6691

0,0000

14

68 -12,3456

21,9911

0,0000

-1,0000

0,0000

12,3456

15

77

-7,0221

23,5619

-1,0000

0,0000

7,0221

0,0000

16

96

8,3015

25,1327

0,0000

1,0000

0,0000

8,3015

Suma

962

-0,0001

-57,5882

89,5882

- 1/

39

 -