Wykłady – Prognozowanie i symulacje

Literatura podstawowa:

1.

„Prognozowanie gospodarcze” M. Cieślak

2.

„Prognozowanie ekonomiczne” A. Ze

3.

„Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z

Przedmiot prognozowania

Przewidywanie przyszłości – wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy

się w przyszłości.

Racjonalne przewidywanie przyszłości

rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje)

a kończącego się na konkluzjach.

Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy

o zdroworozsądkowym przewidywaniu przyszłości.

Naukowe przewidywanie przyszłości

Dorobek nauki – teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania

zagadnień (metody statystyczno-

świadomością; że jej nie eliminujemy.

Prognozowanie jest to racjonalne i naukowe wnioskowanie o przyszłości.

Zdroworozsądkowe

Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

26 II 2008 r.

„Prognozowanie gospodarcze” M. Cieślak

„Prognozowanie ekonomiczne” A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat

„Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL” T. Kufel

wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy

Racjonalne przewidywanie przyszłości – takie wnioskowanie, które ma postać logicznego procesu;

rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje)

a kończącego się na konkluzjach.

Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy

przewidywaniu przyszłości.

Naukowe przewidywanie przyszłości – wnioskowanie na dorobku nauki.

teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania

-matematyczne). Bazując na dorobku redukujemy niepewność, ale ze

świadomością; że jej nie eliminujemy.

Prognozowanie jest to racjonalne i naukowe wnioskowanie o przyszłości.

Przewidywanie

przyszłości

Racjonalne

Zdroworozsądkowe

Naukowe

Nieracjonalne

prof. M. Piłatowska

1

wykorzystaniem programu GRETL” T. Kufel

wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy

ać logicznego procesu;

rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje),

Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy

teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania

redukujemy niepewność, ale ze

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

2

Nieracjonalne przewidywanie przyszłości – dotyczy takiego procesu wnioskowania o przyszłości,

w którym albo brak przesłanek albo brak związku między przesłankami a konkluzją, np. proroctwa

i wróżby.

Prognoza – rezultat prognozowania. Jest to pewien sąd dotyczący przyszłości posiadający

następujące właściwości:

•

Jest to sąd oparty na dorobku nauki

•

Odnoszący się do konkretnej przyszłości

•

Empirycznie weryfikowalny

•

Niepewny, ale akceptowalny

Obiektami badania mogą być:

•

Przedsiębiorstwa

•

Kraje, gminy, powiaty, województwa

•

Gospodarstwa domowe

•

Pracownicy, studenci, uczniowie

Zjawiska:

•

Społeczno-ekonomiczne:

o

Ekonomiczne

o

Socjologiczne

o

Psychologiczne

Zjawiska proste – opisane za pomocą jednej zmiennej, np. sprzedaż w przedsiębiorstwie.

Zjawiska złożone – opisywane przez wiele zmiennych, np. poziom życia ludności, kondycja finansowa

firmy.

Formułując prognozę określamy jednocześnie czas do którego ta prognoza się odnosi. Może być

podany:

•

Explicite (jawnie, wprost) – np. prognoza stanu bezrobocia w roku 2009 wyniesie 7,5%.

•

Implicite (niejawnie albo nie wprost) – np. Jan Kowalski będzie dobrym studentem.

Obiekt badania

Zjawiska

Zmienne

Proste

Złożone

Ilościowe

Jakościowe

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

3

Przez to, że prognoza jest precyzyjne formułowana oraz odnosi się do konkretnej przyszłości explicite

lub implicite to możliwa jest weryfikacja prognozy w przyszłości.

Precyzyjne sformułowana – tzn. podany jest obiekt, zmienna, czas.

Nieprecyzyjne – np. sprzedaż produktu wzrośnie

Sąd, którym jest prognoza jest sądem niestanowczym, czyli niepewnym. W jakimś stopniu prognoza

może się różnić od rzeczywistości.

Jak trudno prognozować zjawiska społeczno ekonomiczne:

Własności

Trwałość

powiązań w

czasie

Liczba zmiennych

występująca w

powiązaniu

Uniwersalność

przestrzeni

Możliwość

eksperymentowania

Zjawiska fizyczne

Tak, „mocne”

prawa

Niewielka

Tak

Tak

Zjawiska

społeczno-

ekonomiczne

Nie, „słabe”

prawa

Duża

Nie

Nie

Dane generowane umożliwiają sztuczne stworzenie eksperymentu.

Prognoza jest stanem niepewnym, gdyż poprzez jej upublicznienie sama staje się zjawiskiem

społecznym, które wpływa na prognozowane zjawisko:

•

Prognozy samospełniające się (np. wzrost cen cukru)

•

Prognozy samounicestwiające się (np. rekordowa liczba turystów w Zakopanem)

Funkcje prognoz:

•

Preparacyjna – jest działaniem, które przygotowuje inne działanie (podejmowanie decyzji)

•

Aktywizująca – polega na skłanianiu do podejmowania działań sprzyjających realizacji

prognozy jeśli prognoza jest zjawiskiem korzystnym lub działań przeciwstawiających się

realizacji prognozy jeśli prognoza jest zjawiskiem niekorzystnym. (Prognozy ostrzegawcze –

dotyczą zjawisk niekorzystnych dla społeczeństwa)

•

Informacyjna – prognoza ma za zadanie przygotować społeczeństwo na zmiany, unikanie

elementu zaskoczenia

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

4

04 III 2008 r.

Rodzaje prognoz

1.

Kryterium według horyzontu czasowego

a.

Krótkookresowe – gdy spodziewamy się w danym zjawisku tylko zmiany

o charakterze ilościowym

b.

Średniookresowe – dodatkowo z pewnymi zmianami o charakterze jakościowym

c.

Długookresowo – dodatkowo są wyraźne zmiany o charakterze jakościowym –

przerwanie jednorodności przyczynowej, tzn. jedne przyczyny kształtujące dane

zjawisko przestają działać, inne działają tak jak wcześniej, a w miejsce nieistniejących

zaczynają działać nowe czynniki

Zestawienie horyzontu w kontekście wielkości zjawiska

Okres

Przedsiębiorstwo

Gospodarka

Krótki

Do 3 miesięcy

1 rok

Średni

Do roku

Do 2-3 lat

Długi

Powyżej roku

Powyżej 3 lat

W przypadku gospodarki mamy do czynienia z dużo większą iteracją, co sprowadza się do tego, że

zmiany są widoczne po dłuższym okresie.

Zestawienie horyzontu ze względu na zmienność zjawiska

Okres

Zjawiska demograficzne

Warunki pogodowe

Krótki

Do 5 lat

1 dzień

Średni

Do 10 lat

1 tydzień

Długi

Powyżej 10 lat

Do 2 tygodni

2.

Kryterium ze względu na stan zmiennej

a.

Ilościowa

•

Punktowa

•

Przedziałowa

b.

Jakościowa

3.

Kryterium według celu i funkcji

a.

Badawcze (w tym ostrzegawcze)

b.

Realistyczne – obdarzone wysokim poziomem zaufania

c.

Normatywne – dotyczące tego co powinno być; co jest pożądane

4.

Kryterium według zakresu ujęcia

a.

Częściowe – np. model dla rynku pracy

b.

Globalne – np. model gospodarki narodowej

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

5

5.

Kryterium według zasięgu terytorialnego

a.

Światowe

b.

Krajowe

c.

Regionalne

Metody prognozowania

Wyróżniamy metody:

•

Niema tematyczne

•

Matematyczno-statystyczne

Metody matematyczno-statystyczne:

1.

Bazujące na modelach deterministycznych

2.

Bazujące na modelach ekonometrycznych



 



 - model deterministyczny



 



 



- model ekonometryczny



– jest odzwierciedleniem stochastycznego typu zależności między zjawiskami ekonomicznymi

Modele ekonometryczne:

1.

Jednorównaniowe

a.

Modele trendu

b.

Modele sezonowości

c.

Modele AR, MA, ARMA, ARIMA

d.

Przyczynowo-skutkowe

2.

Wielorównaniowe

a.

Podział ze względu na powiązania między zmiennymi endogenicznymi

•

Proste

•

Rekurencyjne

•

Współzależne

b.

Podział ze względu na rolę czynnika czasu

•

Stałe

•

Dynamiczne

Metody niematematyczne:

1.

Analogowe

2.

Heurystyczne – dla badania zachowywania się nowych zjawisk

a.

Delficka

b.

Burza mózgów

c.

Ekspertów

3.

Intuicyjne – dodawane jako element do innych metod

4.

Ankietowe

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

6

Podstawowe pojęcia teorii procesów stochastycznych

- zmienna losowa



- realizacja zmiennej losowej



- proces stochastyczny



- realizacja procesu stochastycznego

Proces stochastyczny – uogólnienie zmiennej losowej. Ciąg zmiennych losowych z kolejnymi

momentami czasu; np. produkcja przemysłowa w kolejnych latach. Stopa bezrobocia w kolejnych

miesiącach.



- szereg czasowy

 ,





Przykłady szeregów czasowych ekonomicznych:

1.

Regularne wahania – np. produkcja przemysłowa w Polsce 1995q1-2007q4

2.

Tendencja malejąca – np. zaobserwowana inflacja w Polsce w latach 1993m1-2005m12

3.

Tendencja rozwojowa z nieregularnymi wahaniami – np. plony pszenicy w Polsce w kolejnych

latach 1960-2005







Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

7

4.

Przebieg losowy – np. obroty na giełdzie papierów wartościowych na kolejnych sesjach 2000-

2008 do lutego

Proces stochastyczny:

•

Stacjonarny

•

Niestacjonarny

Charakterystyki procesu stochastycznego

1.

Wartość oczekiwana




  



2.

Wariancja








  



 







 





3.

Funkcja kowariancyjna
      



 







 



  

4.

Funkcja autokorelacji

 











 



0  !1; 1$

Określa jak co do kierunku i siły są zautokorelowane wyrazy tego samego szeregu dla różnego

odstępu.

5.

Funkcja gęstości spektralnej (funkcja widmowa)

Warunki stacjonarności procesu

1.

Wartość oczekiwana procesu jest stała





  

2.

Wariancja jest stała i skończona









  



3.

Funkcja kowariancji zależy tylko od różnicy chwile, a nie od czasu

    

Jeśli warunki są spełnione to mówimy o procesie stacjonarnym.

Jeśli przynajmniej jeden z wymienionych warunków nie jest spełniony to proces jest niestacjonarny.

Biały szum – specyficzny proces stochastyczny, proces czysto losowy. Proces biało szumowy

charakteryzujący się brakiem prawidłowości, w związku z czym jest procesem nieprognozowanym.



Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

8

Własności procesu biało szumowego

%

&

1.

'



  0

2.

  (



' )*+   0

0 )*+   0

,

Dla tych samych momentów wariancja jest stała i skończona. Proces biało szumowy jest

niezautokorelowany. Występuje brak autokorelacji składnika losowego.

Składnikowa struktura procesu stochastycznego



 -



 .



 /



 0



 1



 2







-



- składnik trendu deterministycznego (tendencja rozwojowa)

.



- wahania sezonowe o cyklu rocznym

/



- wahania cykliczne o innym okresie niż rok (może być to okres dłuższy lub krótszy)

-



, .



, /



- pojawienie się któregoś z tych elementów odpowiedzialne jest za niestacjonarność

w średniej

0



- trend stochastyczny

1



– sezonowość stochastyczna

2



- cykliczność stochastyczna

0



, 1



, 2



- pojawienie się któregoś z tych elementów odpowiedzialne jest na niestacjonarność wariacji



- stacjonarny proces stochastyczny, ale nie od razu biały szum

Proces predykcji

Założenia:

1.

Dysponujemy oszacowanym i weryfikowalnym modelem ekonometrycznych o walorach

prognostycznych

2.

Struktura modelu jest stabilna (stałość parametrów strukturalnych w czasie; stabilność

postaci analitycznej modelu; stabilność struktury przyczynowej modelu – koniunkcja

przyczyn)

3.

Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

4.

Rozkład składnika losowego modelu jest stabilny

5.

Dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza obszar zmienności zmiennych objaśniających

11 III 2008 r.

Zasady predykcji – pewna reguła pozwalająca uzyskać najlepsze w danych warunkach przybliżenie

przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej w okresie

3 3  4  1; 4  2; … ; 4  7.

7 - horyzont prognozowania

 1,2, … , 4 - wartości zmiennej czasowej odnoszące się do próby

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

9

Zasada predykcji nieobciążonej

Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa

Zasada predykcji minimalnej straty

Estymacja

Predykcja

Populacja generalna

8 - wektor parametrów
strukturalnych modelu

8  9

8

:

8



;

8

<

=

>

- zmienna prognozowana

w okresie T. Jej wartość nie
jest znana

Próba

Estymator (wzór, funkcja) –
jest zmienną losową, np.

+  ?

@:

?

Oceny parametrów –
konkretne wartości jakie
przyjął estymator w danej
próbie, np.

+  A

1,2

0,8

0,45

E

Predyktor (wzór, funkcja) –
jest zmienną losową, np.

>F

 G +



H

>

<

I:

Prognoza – konkretna
wartość, np.

>F

 7,8%

Predyktor jest to każdy funkcjonał o postaci

L

>

MHN mający te własności, że jego wartość możemy

traktować jako prognozę zmiennej prognozowanej

w okresie 3.

L

>

- pewna operacja, którą trzeba wykonać aby obliczyć prognozę. O tym jak jest zdefiniowana

decyduje przyjęta zasada predykcji.
H - model ekonometryczny stanowiący bazę do prognozowania

Zasada predykcji nieobciążonej

Polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej w

okresie

3. Stosuje się ją gdy proces predykcji jest powtarzalny.

Zaleta: wartości przyszłej zmiennej prognozowanej nie są ani zawyżone ani zaniżone.

L

>

MHN



 G 8



H







<

I:

Zakładamy, że model można zapisać w analogicznej postaci dla

3:

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

10

>

 G 8



H

>



>

<

I:

Co spełnia założenia predykcji

>F

 

>

   OG 8



H

>



>

<

I:

P  G 8



H

>

  

>

  G 8



H

>



<

I:

<

I:

To co otrzymujemy na podstawie wyników próby jest jedną z możliwych wartości w rozkładzie

zmiennej prognozowanej.

W praktyce mając wyniki jednej próby, nasz Predyktor, który jest zmienną losową przyjmuje

następującą postać:

8



Q +



H

>

 R H

>

>F

 G +



H

>

<

I:

Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa

Stosuje się gdy proces predykcji jest jednorazowy. Wyznaczenie prognozy polega na obliczeniu

dominanty (mody) w rozkładzie zmiennej prognozowanej

w okresie 3. Wyznacza się prognozę:

>F

 S

>




Należy znać rozkład zmiennej

w okresie prognozowanym lub dokonać pewnych założeń na temat

tego rozkładu.

Jeżeli zmienna jest skokowa to prognozą będzie wielkości zmiennej, której odpowiada maksimum

funkcji prawdopodobieństwa.

Jeżeli zmienna jest ciągła to prognozą jest taka wartość z którą związane jest maksimum funkcji

gęstości prawdopodobieństwa.

Dla rozkładu symetrycznego (lub zbliżonego do symetrycznego) zasada predykcji nieobciążonej

i zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa prowadzą do tej samej wielkości

prognozy.

Zasada predykcji minimalnej straty

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

11

Wyznaczenie prognozy wiąże się z podjęciem pewnej decyzji, a za tą decyzją idą pewne koszty. Strata

liczona jest wielkością błędu predykcji. Minimalizujemy stratę, gdy błąd predykcji jest jak najmniejszy.

Predykcja (obliczanie prognozy)

Prognoza punktowa

>F

 G +



H

>

<

I:

Z predyktora punktowego dostaniemy prognozę punktową, np.

>F

 7,8%.

Prognoza przedziałowa
-T

>F

 U

V

W

>

X

>

X

>F

 U

V

W

>

Y  1  8 - Predyktor przedziałowy

W

>

- błąd predykcji

U

V

- wartość krytyczna w rozkładzie normalnym standaryzowanym, co oznacza, że przyjęliśmy

założenie o normalności rozkładu zmiennej losowej

w okresie 3.

1  8 - współczynnik ufności, wysokie prawdopodobieństwo z jakim będziemy sądzić, że przedział
ten obejmie nieznaną wartość w okresie

3.

Np. przedział o krańcach 6,5%-8,3% z prawdopodobieństwem 95% obejmie nieznaną wartość stopy

bezrobocia w Polsce w roku 2009.

Cechą charakterystyczną prognozowania jest to, że oprócz prognozy podaje się błąd oczekiwany

predykcji.

Miary dokładności predykcji

Ex ante – błędy liczono przed trzymaniem realizacji zmiennej prognozowanej

Ex post – informują o spodziewanej (oczekiwanej, antycypowanej) wielkości odchyleń realizacji

zmiennej prognozowanej od prognoz

Błędy ex ante
W

>

– bezwzględny błąd predykcji ex ante

W

>

[

– względny błąd predykcji ex ante

Ponieważ predykatorem jest zmienna losowa to możemy mówić o błędzie predyktora, który też jest

zmienną losową; zatem można mówić o rozkładzie tej zmiennej i parametrach rozkładu.
 

>



>F

1.

  0 - nieobciążona predykcja; wartość predyktora oscyluje wokół rzeczywistej wartości
zmiennej prognozowanej

2.

\+]  M

>



>F

N



wariancja błędy predyktora

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

12

Wzór Hottelinga

W

>



 G H

>







+



  2 G G H

>

H

^>

_`\M+



, +

^

N  .



U

<

^Ia:

<@:

I:

<

I:

H

>

; H

^>

- wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym





+



 - wariancja estymatora parametrów strukturalnych

_`\M+



, +

^

N - kowariancja estymatora parametrów strukturalnych

.



U – wariancja resztowa modelu – jest minimalną granicą dla wariancji predykcji

W

>



b .



U

W

>

 cdW

>



- średni błąd predykcji ex ante

W

>



 .



U1  

>

?

@:

?

>





>

– wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

W

>

- informuje o tym, że wartości zmiennej prognozowanej będą się różnić od prognoz tej

zmiennej przeciętnie o

cW

>

przy założeniu powtarzalności procesu predykcji. Jest to błąd

mianowany – bezwzględny.

W

>

[

- błąd względny – określa jaki procent prognozy stanowi średni błąd predykcji

W

>

[



W

>

>F

· 100

W

f

[

- wartość graniczna błędy

W

>

[

g W

f

[

- prognoza jest dopuszczalna, tzn.; że spodziewane odchylenia wartości zmiennej

prognozowanej od prognozy będą niewielkie.
W

>

[

h W

f

[

- prognoza jest niedopuszczalna; spodziewane odchylenia są znaczne

Błędy ex post

i

>

– bezwzględny błąd prognozy ex post

i

>

[

- względny błąd prognozy ex post

i

j

- średni błąd prognozy

k - współczynnik Janusowy

l - współczynnik Theila

i

>



>



>F

- różnica realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy

i

>

h 0

>

h

>F

– prognoza niedoszacowana

i

>

X 0

>

X

>F

- prognoza przeszacowana

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

13

i

>

[



i

>

>

· 100

Określa jaki procent realizacji prognozy stanowi błąd prognozy.

i

>

[

g i

f

[

- prognoza była trafna

i

>

[

h i

f

[

- prognoza była nietrafna

i

j

 m

1

4 G M

>



>F

N



naj

>Ina:

Informuje o przeciętnej wielkości odchyleń realizacji zmiennej prognozowanej od prognoz w całym

prognozowanym okresie. Jest błędem niemianowanym.

l





∑

M

>



>F

N



naj

Ina:

∑

>



naj

Ina:

l  √l



- względny przeciętny błąd prognozy; informuje o przeciętnej wielkości względnego błędu

prognozy ex post.

Janusowy – mający dwie strony, dwa oblicza

k 

1

4 ∑

M

>



>F

N



naj

>Ina:

1

4 ∑ 







q 



n

I:

k 

]rą) )`tł+)4`ś_w x]y) t_zw

]rą) )`tł+)4`ś_w `)y*U { x]ó}wy

k Q 1 - model jest aktualny, nadal zachowuje walory prognostyczne

k h 1 - model uległ dezaktualizacji i stracił walory prognostyczne i należałoby oszacować model dla
nowych informacji statystycznych lub dokonać respecyfikacji modelu

18 III 2008 r.

Etapy prognozowania

1.

Sformułowanie zadania prognostycznego

2.

Podanie przesłanek prognostycznych

3.

Wybór metody prognozowania

4.

Wyznaczenie prognozy

5.

Ocena dopuszczalności prognozy

6.

Weryfikacja prognozy (trafność prognozy)

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

14

Ad. 1.

Zadanie prognostyczne formułowane jest przez odbiorcę prognozy, to on ustala:

•

Obiekt

•

Zjawisko

•

Zmienne

•

Cel

•

Wymagania – granica dopuszczalności prognozy

•

Horyzont

Ad.2.

Na tym etapie formułuje się:

•

Hipotezy o prawidłowościach dotyczących interesujących nas zjawisk

•

Dane statystyczne (określa się ich dostępność)

Ad.3.

Współpraca prognosty i odbiorcy, dominującą rolę zaczyna pełnić prognosta – dokonuje się wyboru

metody prognozowania w zależności od rodzaju postawy jaką ma odbiorca prognozy to

prognozowania.

Postawa bierna – odbiorca zakłada, że przyszłość zjawisk jest w pełni zdeterminowana przeszłością;

będą zachowane te same kierunki zmian jak w przeszłości. W odpowiedzi na to prognosta wybiera:

•

Modele szeregów czasowych

•

Modele przyczynowo-skutkowe o stałych parametrach

Postawa aktywna – odbiorca zakłada wystąpienie pewnych nowych tendencji w przebiegu badanego

zjawiska. Załamania strukturalne, tym samym przyszłość nie jest w pełni zdeterminowana

przeszłością. Prognosta wybiera:

•

Modele przyczynowo-skutkowe z uwzględnieniem zmian parametrów w czasie

•

Metody heurystyczne

Ad.4.

Predyktor, zasada predykcji, predykcja. Aktywną i dominującą rolę pełni tu prognosta.

Ad. 5.

Mierniki ex ante

Ad. 6.

Mierniki ex post – monitoring prognoz

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

15

Prognozowanie na podstawie modeli szeregów czasowych



 -



 .







-



- składnik trendu deterministycznego (tendencja rozwojowa)

.



- wahania sezonowe o cyklu rocznym



- stacjonarny proces stochastyczny

Modele struktury (modele szeregów czasowych, modele opisowe):

•

Tendencji rozwojowej

•

Modele sezonowości

•

Modele autokorelacyjne

Modele tendencji rozwojowej



 -







Trend – jest to pewna krzywa o gładkim i spokojnym przebiegu wyznaczająca zasadniczy kierunek

rozwoju zjawiska w czasie (długi okres).

Wyróżniamy:

•

Wielomianowy trend zmiennej czasowej t

•

Trend potęgowy

•

Trend wykładniczy

•

Trend logistyczny

•

Wielomian trygonometryczny

•

Inne

Wielomian zmiennej czasowej t

-



 G 8

^

^

~

^I

] - stopień wielomianu trendu

- zmienna czasowa  1,2, € , 4. Jest zmienną nielosową, co oznacza, że wartości tej zmiennej od
próby do próby nie zmieniają się.

Dla

]  0



 8







Dla

]  1



 8



 8

:





Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

16

Dla

]  2



 8



 8

:

 8









Dla

]  3



 8



 8

:

 8





 8

‚

‚





Im stopień wielomianu trendu jest wyższy tym krzywa trendu jest bardziej „pofalowana”

i niespokojna w przebiegu.



]  0



]  1



]  2



]  3

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

17

Przy przyjętej definicji trendu należy szukać niewysokiego

].

Parametry tego modelu są szacowane za pomocą KMNK.



 8



 8

:

 8





 €  8

~

~





ƒ

„

„

„

…

+



+

:

+



;

+

~

†

‡

‡

‡

ˆ

 +  ?

@:

?

 – macierz obserwacji zmiennych objaśniających

- zmienne quasi-objaśniające, dokładnie zmienne opisowe; umożliwiają opis badanego zjawiska
w czasie

  9

1 1 1



€ 1

~

1 2 2



€ 2

~

; ;

;

;

;

1 4 4



€ 4

~

=

Ustalanie stopnia trendu

Do ustalenia stopnia trendu wykorzystuje się test F na jednorodność wariancji (homoscedastyczność

wariancji).

‰



: 

~@:



 

~



- model wyższego rzędu nie ma przewagi nad modelem niższego rzędu

‰

:

: 

~@:



h 

~



- model wyższego rzędu ma przewagę nad modelem niższego rzędu w sensie wariancji

resztowej

‹ 

.

~@:



U

.

~



U h 1

Ma rozkład Fischera-Snedecora dla poziomu istotności

8 i liczbę stopni swobody 

:

, 



.



:

 4

:

 t

:





 4



 t



4 - obserwacje

t



- liczby szacowanych parametrów

Decyzja weryfikacyjna:
‹ b ‹

V,

Œ

,



- odrzucamy

‰



przy poziomie istotności

8 możemy wnioskować, że wariancja resztowa

w modelu trendu stopnia

]  1 jest istotnie statystycznie większa niż w modelu trendu stopnia ].

Nastąpił istotny spadek wariancji resztowej przy przejściu od modelu trendu stopnia

]  1 do modelu

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

18

trendu stopnia

]. Stopień trendu jest równy co najmniej ]. Procedurę tę kontynuuje się dla wyższych

stopni wielomianu trendu, tak długo, aż po raz pierwszy nie odrzucimy

‰



.

‹ X ‹

V,

Œ

,



- nie ma podstaw do odrzucenia

‰



o tym, że wariancja resztowa w modelu trendu

stopnia

]  1 jest taka sama jak w modelu stopnia ].

Nie nastąpił istotny spadek wariancji resztowej przy przejściu od modelu trendu stopnia

]  1 do

modelu trendu stopnia

]. W związku z tym stopień trendu jest równy ]  1; ponieważ z dwóch

modeli, które mają jednakowe wariancje resztowe wybieramy model prostszy, czyli taki, który ma

mniej parametrów do szacowania. Procedura kończy się.

Dla ustalonego stopnia wielomianu trendu parametry muszą być istotne statystycznie.

08 IV 2008 r.

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych według wartości poznawczej:

•

Modele opisowe

•

Modele przyczynowo-skutkowe

Podział ten jest zasadny tylko dla danych w formie modeli czasowych. Dla danych przekrojowych

wyróżniamy tylko modele przyczynowo-skutkowe.

Model opisowy – za pomocą różnych funkcji opisuje przebieg zjawiska w czasie. Mogą być to funkcje

losowe lub nielosowe.

Modele opisowe:

•

Modele trendu

•

Modele sezonowości (cykliczności)

•

Modele autoregresyjne



 -



 .



 /







-



- składnik trendowy

.



– składnik sezonowy

/



– składnik cykliczności koniunkturalnej (okres dłuższy niż rok)



- stacjonarny proces stochastyczny, ale nie od razu biały szum

Modele trendu:

•

Trend liniowy



 8



 8

:





•

Trend potęgowy



 8



·

V

Œ

· y

Ž



*4



 *48



 8

:

ln  



•

Trend wykładniczy



 8



· 8

:



· y

Ž



Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

19

*4



 *48



 *48

:







 102,211  ’, ’“”  y



Średniomiesięczny spadek inflacji o -0,017%.

*4



 6,53  ’, ”’*4

Interpretowany jako współczynnik elastyczności. Model potęgowy nie ma interpretacji ekonomicznej.

Reszty modelu powinny posiadać własności białego szumu.

Modele wielomianowe



 8



 8

:

 8





 €  8

~

~







 G 8

^

^

~

^I

 y



Dla

]  1



 8



 –

“





Dla

]  2



 8



 8

:

 –

—







Dla

]  3



 8



 8

:

 8





 –

˜

‚





Dla

]  4



 8



 8

:

 8





 8

‚

‚

 –

™

š





Zaznaczone parametry decydują o głównym kształcie danego modelu. Badamy istotność tylko tych

parametrów. Jedynie model liniowy posiada interpretację ekonomiczną.



]  1, +

:

h 0



]  1, +

:

X 0

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

20

Wartość p – empiryczny błąd (empiryczne prawdopodobieństwo testowe)

Wartość krytyczna – wartość dystrybuanty

‹U  ›

1

√2œ

y

@:

ž





ž

@Ÿ

‰



: 8

~

 0   x h 8 – zły model

‰

:

: 8

~

 0   x g 8 - dobry model

15 IV 2008 r.

Model sezonowy

Periodyczne zmienne zero-jedynkowe

i-ta zmienna zero-jedynkowa sezonowa przyjmuje wartość 1 w i-tym miesiącu, w pozostałych

miesiącach przyjmuje wartość 0.

Możemy opisać średnie wychylenia dla każdego miesiąca i wtedy model będzie miał następującą

postać:



]  2, +



X 0



]  2, +



h 0



]  3, +

‚

h 0



]  3, +

‚

X 0



]  4, +

š

X 0



]  4, +

š

h 0

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

21



 G +

^

^

~

^I

 G )



¡



¢

I:





 – liczba okresów na który składa się cały cykl

¡ – macierz zmiennych zero-jedynkowych

¡  9

1 0 € 0

0 1 € 0

; ; ; ;

0 0 0 1

=

  9

1 1 € 1

~

| 1 0 € 0

1 2 € 2

~

| 0 1 € 0

1 ;

;

;

| ; ; ; ;

1  € 

~

| 0 0 € 1

=

+  

>



@:



>

)y 

>

  0

Model w wyżej wymienionej postaci nie jest możliwy do estymacji z powodu ścisłej kombinacji

wyrazu wolnego i

¡.

Aby rozwiązać ten problem przyjmuje się trzy warianty modelu:

Model typu A – bez wyrazu wolnego



 G +

^

^

~

^I

:

 G )



¡



¢

I:





Model typu B



 G +

^

^

~

^I

 G )



¡



¢

@:

I:





Model typu C – bazujący na zestawie zmiennych skorygowanych
¡



[

 ¡



 ¡

¢

w  1, … ,   1



 G +

^

^

~

^I

 G )



[

¡



[

¢

I:





Modele opisują sezonowość z identyczną dokładnością. Miary dobroci modeli są identyczne. Dla

celów interpretacyjnych chcemy, aby parametry sezonowości interpretować jako amplitudy od

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

22

trendu (wahania od trendu). Tylko model C daje od razu taką możliwość interpretacji. W modelach

A i B konieczne są dodatkowe przekształcenia.

G )



[

 0

¢

I:

G )



[

 )

¢

[

 0

¢@:

I:

)

¢

[

  G )



[

¢

I:

Model A nie służy do stwierdzenia czy zjawisko sezonowe jest istotne. W modelu B wszystkie

parametry są nieistotne, nie można zatem bezpośrednio mówić o istotności zjawiska sezonowości.

W modelu C – gdy chociaż jedna zmienna jest istotna to występuje zjawisko sezonowości.

Test pominiętych zmiennych

Oceny istotności można dokonywać za pomocą testu F

‰



: )

:

[

 )



[

 €  )

¢@:

[

 0 (brak sezonowości) x h 8

‰

:

: )

:

[

 0 ¤ )



[

 0 ¤ … ¤ )

¢@:

[

 0 (sezonowość występuje) x g 8

‹ 







 

:



  1







4    1

‹

V



Œ

I¢@:





In@¢@:

8 - poziom istotności

x – prawdopodobieństwo empiryczne popełnienia błędu odrzucenia hipotezy zerowej

Proces resztowy musi posiadać własności białego szumu; co oznacza, że reszty muszą być losowe.

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

23

Test serii

]

¥



,¥

¦Œ

 0

Autokorelacja rzędu I składnika losowego

Test Durbina – Watsona

‰



: §

:

 0 (losowość)

‰

:

: §

:

h 0 (brak losowości)

) 

∑ y



 y

@:





¢

I:

∑ y





¢

I:

Test Quinouille’a

‰



: §

:

 0 (losowość)

‰

:

: §

:

 0 (brak losowości)

|§

:

¨| 

∑ y



 y

@:

n

I

∑ y





n

I

‰



: |§

:

¨| X

U

V

√4

Q

2

√4

‰

:

: |§

:

¨| b

U

V

√4

Q

2

√4

Biały szum

‰



: §



 0

‰

:

: §



 0

  1,2,3, … , x

x X

4

5

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

24

29 IV 2008 r.

Model autoregresyjny



 ©



 ©

:

@:

 ©



@

 ©

‚

@‚

 €  ©

F

@F

 '



Założenie

©



 0

 0

U - operator przesunięcia

@

 U



·



@:

 U

:

·



@

 U



·





 ©

:

U

:



 ©



U





 ©

‚

U

‚



 €  ©

F

U

F



 '







 ©

:

U  ©



U



 ©

‚

U

‚

 €  ©

F

U

F

 ·



 '



Wielomian autoregresyjny

©U



 '



- najprostszy zapis modelu autoregresyjnego

ªx - model autoregresyjny rzędu p

Badanie stacjonarności procesu y

ª1  1  ©

:

U



 '



Dla jakiego

© mamy proces stacjonarny

|©

:

| X 1 - proces stacjonarny

ª2  1  ©

:

U  ©



U







 '



ªx  M1  ©

:

r  ©



r



 ©

‚

r

‚

 €  ©

F

r

F

N  0

|r| X 1 - proces opisany stacjonarnie

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

25

Jak znaleźć rząd p?

Funkcja autokorelacji cząstkowej PACF

ACF



 §

:

@:

 '





 §



@

 '



««



 §

‚

@‚

 '



«««



 §

š

@š

 '



«¬

|§



| b

U

V

√4

‰



: §



 0

‰

:

: §



 0 istotność

PACF





§

::

@:

 '



«



 §

:

@:



§



@

 '



««



 §

‚:

@:

 §

‚

@



§

‚‚

@‚

 '



«««



 §

š:

@:

 §

š

@

 §

š‚

@‚



§

šš

@š

 '



«¬

‰



: §



 0

‰

:

: §



 0 istotność

|§



| b

U

V

√4

8  0,10 U

V

 1,64 [

8  0,05 U

V

 1,96 [[

8  0,01 U

V

 2,58 [[[

Korelogram mówi nam z jakim mamy stopniem do czynienia.

Reszty muszą mieć własności białego szumu

ªx

x X

4





 +



 +

:

 §

:

@:

 y



- ma cechy modelu prognostycznego

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

26

Modele przyczynowo-skutkowe

Koncepcja modelowania zgodnego



 +

®

 +

:®



®



®



 ©

:

®

¦Œ

ε

®



ε

®



 §

:

'

°

 '



«

M1  ©

:®

UN

®



 §

:

1  ©

:°

U  ©

°

U





°

 '



«

M1  ©

:®

UNM



 +

®

 +

:®

N  y

:

1  ©

:°

U  ©

°

U



H



 +

°

 +

:°

 +

°



  '





 ©

:

@:

 +

®

 ©

:®

+

®

 +

:®

 ©

:®

+

:®

·   1  y

:

H



 y

:

©

:

@:

 y

:

©

°



@

 €



 +



 +

:

 +





 y

:

H



 +

‚

H

@:

 +

š

H

@

 +

±

@:

 '



06 V 2008 r.

Modelowanie zgodne



 8



 8

:



:

 8







 '



- składnik powinien mieć własności białego szumu

Procesy

Stopień trendu

Sezonowość

Autoregresja



1

+

1



:

2

-

2





0

+

3

;

€

€

€

Model pełny:

²U



 -



 .



 G ª

^

U

^

 '



<

^I:

-



 G +

^

^

~

^I

.



 G )



¡



¢@:

I:

²U ª

^

U - wielomiany autoregresyjne

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

27

W modelowaniu zgodnym inny jest tylko pierwszy etap – specyfikacja modelu.

Weryfikacja modelu

•

Eliminacja nieistotnych zmiennych

•

Badanie losowości procesu resztowego

Test liniowych restrykcji

‰



: ©

:

 ©



 0 x h 8

‰

:

: ©

:

 ©



 0 x g 8

Test nieliniowości (kwadraty)

‰



: ©

:

 ©



 €  ©

³

 0 x h 8

‰

:

: ©

:

 0 ¤ ©



 0 ¤ € ¤ ©

³

 0 x g 8

Równanie pomocnicze:
y



 +



 +

:



:

 +







 +

‚



‚

 }

:



:



 }









 }

‚



‚



 y



´

µS  3



 4



3 - liczba obserwacji





- z równania pomocniczego

¶

V,I³



Test nieliniowości (logarytmy)

‰



: ©

:

 ©



 €  ©

³

 0 x h 8

‰

:

: ©

:

 0 ¤ ©



 0 ¤ € ¤ ©

³

 0 x g 8

Równanie pomocnicze:
y



 +



 +

:



:

 +







 +

‚



‚

 }

:

*4

:

 }



*4



 }

‚

*4

‚

 y



´

µS  3



 4



¶

V,I³



Model pomocniczy budowany jest dla reszt

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

28

Test specyfikacji Ramsey’s (RESET)

‰



: ©

:

 ©



 0 x h 8

‰

:

: ©

:

 0 ¤ ©



 0 x g 8

Równanie pomocnicze:



 +



 +

:



:

 +







 +

‚



‚

 }

:

·





 }



·



‚

 y



‹

¸¹º





»



 

¼



2



»



4  t  3

‹

V; 

Œ

I; 



In@<@‚

Test heteroscedastyczności – test na zmienność wariancji resztowej (Test White’a)

‰



: ©

:

 ©



 €  ©

³

 0 x h 8

‰

:

: ©

:

 0 ¤ ©



 0 ¤ € ¤ ©

³

 0 x g 8

Równanie pomocnicze:
y



 +



 +

:



:

 +







 +

‚



‚

 }

:



:



 }









 }

‚



‚



 }

š



:





 }

±



:



‚

 }

½







‚

 y



´

µS  3



 4



W wersji uproszczonej równania pomocniczego nie występują iloczyny zmiennych

Test normalności rozkładu reszt

‰



: ‹H  ‹



 - dystrybuanta empiryczna posiada rozkład normalny

‰

:

: ‹  ‹





Lub

‰



: '



~¿0, 





‰

:

: '



À ¿0, 





k² 

1

4 · Á

0

‚



6 

0

š



 3

24 Â

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

29

Momenty standaryzowane:

0

‚



∑ y



‚

4

̷ y





4 Ä

‚ Å

0

š



∑ y



š

4

̷ y





4 Ä



¶

V,I



Ocena wpływowych obserwacji

Obserwacja dźwigniowa – gdyby nie występowała ta obserwacja to parametry regresji ulegałyby

zmianie.

Ocena współliniowości VIF

Wl‹z 

1

1  



z





z – współczynnik korelacji wielorakiej pomiędzy zmienną z a pozostałymi zmiennymi

niezależnymi modelu

Wl‹ h 10 może wskazywać na problem współliniowości – rozdęcia wariancji

13 V 2008 r.

Koncepcja LSE (GTS) wskazuje, że należy w modelowaniu wykorzystać wspólny człon trendowy, ale

powinien on wynosić

]  1 . Autoregresja dla danych rocznych x  1 , kwartalnych x  4 ,

miesięcznych

x  12.

Koncepcja Zielińskiego różni się tym, że szukamy indywidualnych parametrów (specyfikacja

oszczędna w parametry).

W obu modelach proces resztowy jest białym szumem.

Test efektu ARCH (warunkowa heteroscedastyczność autoregresyjna)

Równanie pomocnicze:

y





 +



 +

:

y

@:



 +



y

@



Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

30

Test autokorelacji

Równanie pomocnicze:

y



 G +







 }

:

<

I:

y

@:

 }



y

@

 €

µS  3



 4



Test stabilności – Test Chowa



 8



 8

:



:

 8







 2



ÆÇ – wektor wyrażający punkt zwrotny, dzielący próbę na podokresy

‰



: ©

:

 ©



 €  ©

<

 0

‰

:

: ©

:

 0 ¤ ©



 0 ¤ € ¤ ©

<

 0



 +



 }



Æ



  +

:

 }

:

Æ





:

 +



 }



Æ







 y





 +



 +

:



:

 +







 }



Æ



 }

:

Æ





:

 }



Æ







 y



‹ 

..

¼

 ..

:

 ..



t

..

:

 ..



3  2t

..

¼

- suma kwadratów reszt regresji dla całej badanej próby

..

:

, ..



- suma kwadratów reszt regresji dla podokresów

t - liczba szacowanych parametrów

Test stabilności Quandta

Służy do określenia momentu czasowego

 dla którego wartości statystyki ‹

¸¹º

jest maksymalna.



 G 8

^

<

^I



^

 y



Gdzie





È 0, a parametr 8

^

jest zmienny w czasie według formuły:

8

:

 (

8

^

; g 

8

^

 i

^

; h 

,

‰



: i

^

 0

‰

:

: i

^

 0

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

31



 G 8

^



^

 G i

^



^

Æ



  y



<

^I

<

^I

Æ



 - zmienna zero-jedynkowa postaci:

Æ



  É0; g 

1; h 

,

Jest to test ogólniejszy dla testu Chowa

Test CUSUM

Test rekurencyjny, test Harveya-Colliera

{





y



d1  



´



@:

´



@:



@:





{



- przeskalowana reszta



{Ê

 · d3  t  1

‰



: brak zmian w parametrach

‰

:

: występują zmiany w parametrach

Test CUSUMSQ

Sprawdza kwadraty reszt. Jeśli pojawi się * przy parametrze, to dany rok jest rokiem zmiany.

Prognoza

-T

>F



V,

· W

>

X

>

X

>F



V,

· W

>

Y  1  8

W

>

 Ë.

¥



1  

>

´



´







>



W

>

b .

¥

W

¥



.

¥

Ì X 10%

W

>

[



W

>

W

>F

X 5%

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

32

Błędy prognoz

S. 

1

7 GM

>a



>a,F

N



j

I:

S. – błąd średniokwadratowy prognozy

7 - horyzont prognozy

Sª- 

1

7 ·

∑ Í

>a



>a,F

Í

j

I:

>a:

20 V 2008 r.

Modele struktury:

•

Modele trendu

•

Modele sezonowości

•

Modele autoregresyjne

•

Inne

o

ARIMA

o

MA

o

ARMA

o

GARCH

Znać zalety i wady prognozowania z wyżej wymienionych modeli!

Kryteria oceny przydatności modelu do prognozowania (Czy model ma walory prognostyczne?)

1.

Dopasowanie – model jest dość dobrze dopasowany do danych empirycznych





b 

f



; W



g W

f

[

. Wielkości odchyleń wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od

wartości teoretycznych są niewielkie

2.

Parametry – są istotnie statystycznie (test t-Studenta, test F), są stabilne (test Chowa), mają

sensową interpretację ekonomiczną

3.

Rozkład składnika losowego – rozkład normalny (test Jarque-Bera’y), homoscedastyczność

(test White’a), brak autokorelacji (test Durbina-Watsona)

4.

Postać zależności (liniowość, nieliniowość) – zależność ma charakter liniowy – mając dwa

modele o podobnym dopasowaniu wybieramy model prostszy. Zasada oszczędności – odnosi

się do liczby zmiennych oraz do postaci analitycznej

Sposób weryfikacji
Decyzja

Sposób I

Sposób II

Odrzucenie H0

k² b ¶

V,I



x  {+] `ść g 8

Brak podstaw do odrzucenia H0

k² X ¶

V,I



x  {+] `ść h 8

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

33

Gdyby określić ważność parametrów poszczególnych kryteriów to kolejność byłaby następująca:

1.

Stabilność parametrów i sensowna interpretacja ekonomiczna

2.

Homoscedastyczność wariancji resztowej (jest to warunek dla stosowania testu F i testu

t-Studenta, stabilności)

3.

Normalność rozkładu reszt (warunek dla stosowania testu istotności t i F)

4.

Liniowość zależności

5.

Istotność parametrów

6.

Brak autokorelacji składnika losowego (występowanie autokorelacji pogarsza jedynie

efektywność estymatora)

7.

Dopasowanie modelu do danych empirycznych (dobre dopasowanie modelu w próbie nie

zapewnia dobrego zachowania modelu poza próbą, czyli niekoniecznie daje małe błędy

prognozy)

Schemat prognozowania na podstawie modelu przyczynowo-skutkowego

Hipoteza modelowa:



 8



 8

:

@:

 8





:,

 8

‚



,@:

 8

š

 '



Model ekonometryczny:



 8·



 8·

:

@:

 8·



H

:,

 8·

‚

H

,@:

 8·

š

 U



  1,2, … , 4

Zakładamy, że ten model nadaje się do prognozowania, czyli ma walory prognostyczne.

Predyktor:

>F

 8·



 8·

:

>@:

 8·



H

:,>

 8·

‚

H

,>@:

 8·

š

3 3  4  1, 4  2, … , 4  7

Naszym celem jest zrobienie prognozy dla

. Tego celu nie możemy zrealizować bezpośrednio

ponieważ w modelu występują zmienne objaśniające

MH

:,>

, H

,>@:

N, których wartości nie znamy

w okresie prognozowanym. Dlatego zanim przystąpimy do prognozowania

konieczny jest etap

pośredni, tzn. wyznaczenie prognoz dla zmiennych objaśniających. Dlatego nazywamy to

prognozowaniem pośrednim.

Wyznaczenie prognoz dla zmiennych objaśniających:

Zakładamy, że struktura procesów objaśniających była następująca

Parametry

]

ªÏ



:,

0

2



,

1

1

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

34

Model autoregresji dla



:,

Hipoteza modelowa:



:,

 ©



 ©

:



:,@:

 ©





:,@

 '

Ð

Œ,

Model ekonometryczny:

H

:,

 ©Ñ



 ©Ñ

:

H

:,@:

 ©Ñ



H

:,@

 U

°

Œ,

Zakładamy, że ten model ma walory prognostyczne.

Predyktor:

H

:,>F

 ©Ñ



 ©Ñ

:

H

:,>@:

 ©Ñ



H

:,>@

Prognozy na

7 okresów naprzód:

H

:,>Ina:,F

 ©Ñ



 ©Ñ

:

H

:,n

 ©Ñ



H

:,n@:

H

:,>Ina,F

 ©Ñ



 ©Ñ

:

H

:,na:,F

 ©Ñ



H

:,n

;

H

:,>Inaj,F

 ©Ñ



 ©Ñ

:

H

:,naj@:,F

 ©Ñ



H

:,naj@,F

Model autoregresji dla



,

Hipoteza modelowa:



,

 1



 1

:



,@:

 1



 '

Ð

,

Model ekonometryczny:

H

,

 1·



 1·

:

H

,@:

 1·



 U

°

,

Zakładamy, że ten model ma walory prognostyczne.

Predyktor:

H

,>F

 1·



 1·

:

H

,>@:

 1·



3

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

35

Prognozy na

7 okresów naprzód:

H

,>Ina:,F

 1·



 1·

:

H

,n

 1·



4  1

H

,>Ina,F

 1·



 1·

:

H

,na:,F

 1·



4  2

;

H

,>Inaj,F

 1·



 1·

:

H

,naj@:,F

 1·



4  7

Wszystkie prognozy powinny być sprawdzane pod względem zachowania się w przyszłości.

Należy kierować się zasadą:

Prognozy dla zmiennych objaśniających też powinny być sprawdzane poza próbą. Jest to taka

praktyczna zasada, że jeżeli

S. dla danej zmiennej objaśniającej jest większy niż wariancja tej

zmiennej w próbie

S. h .



H, to takiej zmiennej nie należy włączać do modelu nawet jeśli jest

ekonomiczne uzasadnienie dla tej zmiennej. Przyniesie to więcej korzyści (mniejsze błędy ex post dl

zmiennej

) niż strat.

S. 

1

7 GMH

>

 H

>F

N



naj

>I:

.



H 

1

4 GH



 HÇ



n

I:

Wracamy do prognozowania zmiennej

>F

 8·



 8·

:

>@:

 8·



H

:,>

 8·

‚

H

,>@:

 8·

š

3

Prognozy na

7 okresów naprzód:

>Ina:,F

 8·



 8·

:

n

 8·



H

:,na:,F

 8·

‚

H

,n

 8·

š

4  1

>Ina,F

 8·



 8·

:

na:,F

 8·



H

:,na,F

 8·

‚

H

,na:,F

 8·

š

4  2

;

>Inaj,F

 8·



 8·

:

naj@::,F

 8·



H

:,naj,F

 8·

‚

H

,naj@:,F

 8·

š

4  7

S.  O

1

7 GM

>



>F

N



naj

>I:

P

,±

Sª- 

1

7 G Ò

>



>F

>

Ò · 100

naj

>I:

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

36

Sª- - średni absolutny błąd procentowy, jest odporny na zmianę skali (rzędu wielkości)
zmiennych. Oznacza on, że prognozując zmienną

na podstawie danego równania mylimy się co

roku (lub inny zadany okres) średnio o

Sª-%.

Sª- może być wyliczony w wersji dla próby i jest wtedy konkurencyjny dla W



.

Sª- 

1

4 G Ò



 ·



·



Ò · 100

n

I:

27 V 2008 r.

Wady i zalety prognozowanie na podstawie modelu przyczynowo-skutkowego

Wady:

•

Duża złożoność prognozowania, pracochłonność i trudność – Złożoność i pracochłonność są

konsekwencją prognozowania pośredniego. Trudność wynika z wymogu posiadania większej

wiedzy niż przy prognozowaniu z modeli struktury na temat zależności przyczynowo-

skutkowej

•

Niebezpieczeństwo kumulacji błędów prognozy dla zmiennej objaśnianej

– jest efektem

zastosowania prognozowania pośredniego („cena”, którą płaci się za wykorzystanie prognoz
H)

Zalety:

•

Wartość poznawcza modeli przyczynowo-skutkowych jest większa niż modeli struktury ze

względu na wykorzystanie mechanizmu przyczynowo-skutkowego – model może służyć do

wyjaśnienia takich zależności i oczekuje się w związku z tym, że prognozy z takiego modelu

będą na ogół lepsze (w sensie błędu) niż z modeli opisowych. Spełnione jest to wtedy, gdy

zależność jest stabilna w czasie. Zależy od ilości obserwacji i ilości zmiennych, charakteru

zmian badanych zmiennych.

•

Model przyczynowo-skutkowy można wykorzystać do prognozowania na długie okresy, przy

założeniu stabilności zależności.

Prognozowanie na podstawie modeli wielorównaniowych

1.

Prognozowanie klasyczne (tradycyjne)

2.

Prognozowanie z wykorzystaniem symulacji

Prognozowanie w sposób tradycyjny

•

Model prosty – brak powiązań między zmiennymi

•

Model rekurencyjny – łańcuch powiązań pomiędzy zmiennymi

•

Model o równaniach współzależnych – sprzężenie zwrotne

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

37

Model prosty – prognozowanie sprowadza się do G-krotnego powtórzenia prognozowania z modelu

przyczynowo-skutkowego jednorównaniowego.

Model rekurencyjny – prognozy wyznacza się w określonej kolejności wynikającej z rekurencji.

Model o równaniach współzależnych – ponieważ występuje sprzężenie zwrotne to do wyznaczenia

prognoz dla

wykorzystuje się postać zredukowaną modelu

ª
 ² 

:

 8

::



 1

::



:

 1

:



:



 8

:

:

 1

:





 1







Zapis macierzowy:

Ó 1

8

::

8

:

1 Ô · Ó

:



Ô  Ó1

::

0

1

:

0

1

:

1



Ô · A



:





1

E  Õ

:



Ö

Postać zredukowana modelu

ª

@:

·/ª
 ² 

 ª

@:

²  ª

@:

 œ 

[

:

 œ

::



:

 œ

:





 œ

:



:

[



 œ

:



:

 œ







 œ







[

Ó

:



Ô  Õ

œ

::

œ

:

œ

:

œ

:

œ



œ



Ö · A



:





1

E  Ó

:

[



[

Ô

Prognozowanie z wykorzystaniem symulacji

Symulacje to badanie interesującej nas rzeczywistości ekonomicznej (lub jej fragmentów) za pomocą

eksperymentowania na modelach.

Eksperymentowanie na modelu to wyznaczanie wartości zmiennych endogenicznych przy różnych

możliwych wartościach zmiennych egzogenicznych oraz różnych wartościach parametrów

strukturalnych.

Typy symulacji:

•

Symulacje

deterministyczne

–

operują

wartościami

oczekiwanymi

zmiennych

endogenicznych, pomijają składnik losowy

•

Symulacje stochastyczne – uwzględniają składnik losowy i własności rozkładu tego składnika

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

38

Cztery zagadnienia symulacyjne

•

Symulacje ex post

•

Warianty działań (porównanie wariantów działania)

•

Analiza wrażliwości

•

Optymalne sterowanie

Symulacje ex post

Polegają na obliczaniu prawdopodobnego ruchu zmiennych endogenicznych przy założeniu

odmiennego od rzeczywistego kształtowania się niektórych zmiennych. Odpowiadają na pytanie jakie

byłyby wartości teoretyczne

, gdyby H



miały inne wartości. Ocenia się sprawność modelu przy

zmianie wartości zmiennych. Otrzymujemy wachlarz możliwych ścieżek.

Warianty działania

Szuka się odpowiedzi na pytanie jakie skutki mogą wywołać różne warianty działania (optymistyczny,

pesymistyczny, umiarkowany). Przeprowadza się w odniesieniu do okresu przyszłego (symulacje ex

ante).

Analiza wrażliwości

Wariantowanie modelu ze względu na zmiany parametrów strukturalnych. Można dokonywać i dla

przeszłości i dla przyszłości.

Optymalne sterowanie

Jakie wartości zmiennych endogenicznych należy wybrać, aby opisywane przez model zmienne

endogeniczne

przebiegały według pożądanej trajektorii.

Symulacje z modelu jednorównaniowego – porównanie wariantów działania

Załóżmy, że pewne przedsiębiorstwo wytwarza dobro A jako jedyny producent w kraju. Wysokie cło

chroni tego producenta przed konkurencją towarów importowanych. Na podstawie danych z lat

1977-1994 oszacowano funkcję popytu na to dobro A i przyjęła ona następująco postać:

·



 10 · H

:

,Ø

· H



@:,Ø



- wielkość popytu na dobro A w tys. sztuk

H

:

- przeciętne dochody realne na jednego mieszkańca w zł

H



- cena dobra A

Jak wielka powinna być produkcja dobra A w 1996 roku aby nie powstały jego zapasy?

Z wcześniejszych badań dotyczących kształtowania się dochodów i cen wiadomo, że w 1996 roku

wartości tych zmiennych będą się mieścić w następujących przedziałach:

H

:

 2500; 2700

H



 5; 6

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

39

Wariant

Ù

“

Ù

—

Úq

&

I

2500

5

288,5

II

2500

6

207,8

III

2700

5

306,9

IV

2700

6

221,0

Przedsiębiorstwu nie opłaca się podnieść ceny do 6 zł.

Symulacje z modelu wielorównaniowego



 ª



 ª

Û

@:

 /







Model wielorównaniowy dynamiczny pierwszego stopnia

Ó

:



Ô

Ü°:

 Ó 0 8

::

8

:

0 Ô

Ü°Ü

· Ó

:



Ô

Ü°:

 Õ

Ö

Ü°Ü

· Ó

:@:

@:

Ô

Ü°:

 Õ

Ö

Ü°<

· A



:









E

<°:

 Õ

:



Ö

Ü°:

03 VI 2008 r.

-



  Æ+ ]



, -

@:

, l4{

@:

Æ+ ]



  -



, l4{

:

, l4{

@:

,

Postać strukturalna przedstawia schemat powiązań przyczynowo-skutkowych.

Postać zredukowana modelu wielorównaniowego – eliminacja sprzężeń zwrotnych





 ª



 ª

:

@:

 /







k

n

 ª

@:

·/



 ª



 ª

:

@:

 /









 k

n

 ª

@:

· ª

:

@:

 k

n

 ª

@:

· /



 k

n

 ª

@:

·





 -



@:

 -

:





 -





- postać zredukowana

Elementy macierzy

-

:

zawierają mnożniki zmiennych endogenicznych względem zmiennych

egzogenicznych. Mnożnik informuje o sile reakcji zmiennych endogenicznych na jednostkowe zmianą

zmienny egzogenicznych.

Nie interpretuje się mnożników przy stałej, zmiennej czasowych, zmiennych sezonowych.



Ý Þßfºęᥢ «nÞ

 0,129



âã~ Þßfºęᥢ «nÞ

 1,416

Wzrost inwestycji o jednostkę, czyli o 1 mln zł powoduje przeciętnie wzrost produkcji o 0,129 mln zł.

Wzrost inwestycji o jednostkę, czyli o 1 mln zł powoduje przeciętnie wzrost zatrudnienia o 1,416 tys.

osób.

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

40

Postać końcowa modelu

Otrzymamy ją jeśli z postaci zredukowanej wyeliminujemy wektor

@:

reprezentujący dynamiczne

sprzężenia (bezwładność systemu, inercja).



 -



@:

 -

:





 -





@:

 -



@

 -

:



@:

 -



@:



 -



-



@

 -

:



@:

 -



@:

  -

:





 -





 -



-



-



@‚

 -

:



@

 -



@

 

-

:



@:

 -



@:

  -

:





 -





 €

Podstawianie za

@ä

kontynuujemy, aż do obserwacji

 0



 -







 -





-

:





 -



:

-

:



@:

 -





-

:



@

 €  -



@:

-

:



:



 -





-





 -



:

-



@:

 -





-



@

 €  -



@:

-



:





 -







 G -



å

-

:



@å

 G -



å

-



@å

@:

åI

@:

åI

Postać końcowa modelu:



 -







 G S

å



@å

 G ¿

å

@å

@:

åI

@:

åI



- wektor wartości startowych zmiennych endogenicznych

∑

¿

å

@å

@:

åI

- zbiorcze zakłócenia całego systemu

S

å

- elementy tej macierzy zawierają mnożniki dynamiczne zmiennych endogenicznych względem

wybranych zmiennych egzogenicznych. Charakteryzują siłę z jaką zmiany w wartościach zmiennych

egzogenicznych, które zaszły

 okresów wstecz wpływają na bieżące wartości zmiennych

endogenicznych.

Mnożniki postaci końcowej liczone są analitycznie.

S



 -





-

:

 -

:

 Ó68,106 0,129 0,1035 0,606

30,318 1,416 1,292 6,656Ô · 9

1

l4{



l4{

@:

=

S



 -



:

-

:

 Ó 40,064 0,0759 0,061 0,356

105,359 0,1996 0,160 0,938Ô · 9

1

l4{



l4{

@:

=

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

41

S



 -





-

:

 Ó23,568 0,0447 0,035 0,209

60,978 0,117 0,094 0,551Ô · 9

1

l4{



l4{

@:

=

Wzrost inwestycji w pewnym okresie o 1 jednostkę czyli 1 mln zł, spowoduje wzrost produkcji w tym

samym okresie przeciętnie o 0,129 mln zł. Rok po wzroście inwestycji o jednostkę czyli o 1 mln zł

produkcja wzrośnie przeciętnie o 0,0759 mln zł. 2 lata po wzroście inwestycji o jednostkę czyli

o 1 mln zł produkcja wzrośnie przeciętnie o 0.0447 mln zł, w stosunku do poziomu bazowego, który

byłby osiągnięty bez tego wzrostu inwestycji. 3 lata po wzroście inwestycji o 1 jednostkę powoduje

wzrost produkcji przeciętnie o 0,026 mln zł w stosunku do poziomu bazowego, który byłby osiągnięty

bez tego wzrostu inwestycji.

Efekty wzrostu inwestycji maleją.

Symulacje warto stosować gdy:

1.

Postać modelu jest nieliniowa, ponieważ wtedy często nie istnieje postać zredukowana

i końcowa modelu, a zatem nie można wyliczyć mnożników

2.

Postać modelu jest liniowa, ale liczba równań jest bardzo duża oraz liczba zmiennych jest

bardzo duża

Symulacja według algorytmu Gaussa-Seidela



 



,

@:

, H



  U



 – funkcja wektorowa, może być liniowa lub nieliniowa

Algorytm polega na wyznaczeniu rozwiązania modelu, tzn. trajektorii po których biegną wartości

zmiennych endogenicznych warunkowo względem wybranych zmiennych egzogenicznych.

Wyznaczanie mnożników przez symulacje

Mnożnik, czyli parametr postaci końcowej jest w istocie pochodną systemu względem zmiennej

egzogenicznej.



®

æ

,°

ç

,å

 lim

∆°

ç

ë

,aå

H

<

 ∆H

<

 

,aå

H

<



∆H

<

,aå

H

<

 ∆H

<

 – zaburzone rozwiązanie modelu, tzn. oparte na H

<

, której wartość

 okresów

wcześniej zmieniono o pewną wielkość, czyli

∆H

<

.

,aå

H

<

 - rozwiązanie niezaburzone, rozwiązanie w sytuacji, w której nie nastąpiły zmiany zmiennej

H

<

Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska

Utworzony przez Martucha

42



®

æ

,°

ç

,å



r+}U]r`4y  4wyr+}U]r`4y

{wy*t`ść r+}U]ry4w+

Pokrywają się, bo są to zmiany symulacyjne deterministyczne, nie było innych zmian.