Wykłady – Prognozowanie i symulacje
Literatura podstawowa:
1.
„Prognozowanie gospodarcze” M. Cieślak
2.
„Prognozowanie ekonomiczne” A. Ze
3.
„Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z
Przedmiot prognozowania
Przewidywanie przyszłości – wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy
się w przyszłości.
Racjonalne przewidywanie przyszłości
rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje)
a kończącego się na konkluzjach.
Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy
o zdroworozsądkowym przewidywaniu przyszłości.
Naukowe przewidywanie przyszłości
Dorobek nauki – teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania
zagadnień (metody statystyczno-
świadomością; że jej nie eliminujemy.
Prognozowanie jest to racjonalne i naukowe wnioskowanie o przyszłości.
Zdroworozsądkowe
Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
26 II 2008 r.
„Prognozowanie gospodarcze” M. Cieślak
„Prognozowanie ekonomiczne” A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat
„Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu GRETL” T. Kufel
wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy
Racjonalne przewidywanie przyszłości – takie wnioskowanie, które ma postać logicznego procesu;
rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje)
a kończącego się na konkluzjach.
Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy
przewidywaniu przyszłości.
Naukowe przewidywanie przyszłości – wnioskowanie na dorobku nauki.
teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania
-matematyczne). Bazując na dorobku redukujemy niepewność, ale ze
świadomością; że jej nie eliminujemy.
Prognozowanie jest to racjonalne i naukowe wnioskowanie o przyszłości.
Przewidywanie
przyszłości
Racjonalne
Zdroworozsądkowe
Naukowe
Nieracjonalne
prof. M. Piłatowska
1
wykorzystaniem programu GRETL” T. Kufel
wnioskowanie o nieznanych faktach, których wystąpienia spodziewamy
ać logicznego procesu;
rozpoczynającego się od przesłanek (pewne założenia, dane statystyczne, diagnozy, interpretacje),
Jeżeli w procesie prognozowania głównym elementem jest doświadczenie to mówimy
teoria ekonomii, wiedza o zjawiskach, metodologia nauk, metody rozwiązywania
redukujemy niepewność, ale ze
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
2
Nieracjonalne przewidywanie przyszłości – dotyczy takiego procesu wnioskowania o przyszłości,
w którym albo brak przesłanek albo brak związku między przesłankami a konkluzją, np. proroctwa
i wróżby.
Prognoza – rezultat prognozowania. Jest to pewien sąd dotyczący przyszłości posiadający
następujące właściwości:
•
Jest to sąd oparty na dorobku nauki
•
Odnoszący się do konkretnej przyszłości
•
Empirycznie weryfikowalny
•
Niepewny, ale akceptowalny
Obiektami badania mogą być:
•
Przedsiębiorstwa
•
Kraje, gminy, powiaty, województwa
•
Gospodarstwa domowe
•
Pracownicy, studenci, uczniowie
Zjawiska:
•
Społeczno-ekonomiczne:
o
Ekonomiczne
o
Socjologiczne
o
Psychologiczne
Zjawiska proste – opisane za pomocą jednej zmiennej, np. sprzedaż w przedsiębiorstwie.
Zjawiska złożone – opisywane przez wiele zmiennych, np. poziom życia ludności, kondycja finansowa
firmy.
Formułując prognozę określamy jednocześnie czas do którego ta prognoza się odnosi. Może być
podany:
•
Explicite (jawnie, wprost) – np. prognoza stanu bezrobocia w roku 2009 wyniesie 7,5%.
•
Implicite (niejawnie albo nie wprost) – np. Jan Kowalski będzie dobrym studentem.
Obiekt badania
Zjawiska
Zmienne
Proste
Złożone
Ilościowe
Jakościowe
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
3
Przez to, że prognoza jest precyzyjne formułowana oraz odnosi się do konkretnej przyszłości explicite
lub implicite to możliwa jest weryfikacja prognozy w przyszłości.
Precyzyjne sformułowana – tzn. podany jest obiekt, zmienna, czas.
Nieprecyzyjne – np. sprzedaż produktu wzrośnie
Sąd, którym jest prognoza jest sądem niestanowczym, czyli niepewnym. W jakimś stopniu prognoza
może się różnić od rzeczywistości.
Jak trudno prognozować zjawiska społeczno ekonomiczne:
Własności
Trwałość
powiązań w
czasie
Liczba zmiennych
występująca w
powiązaniu
Uniwersalność
przestrzeni
Możliwość
eksperymentowania
Zjawiska fizyczne
Tak, „mocne”
prawa
Niewielka
Tak
Tak
Zjawiska
społeczno-
ekonomiczne
Nie, „słabe”
prawa
Duża
Nie
Nie
Dane generowane umożliwiają sztuczne stworzenie eksperymentu.
Prognoza jest stanem niepewnym, gdyż poprzez jej upublicznienie sama staje się zjawiskiem
społecznym, które wpływa na prognozowane zjawisko:
•
Prognozy samospełniające się (np. wzrost cen cukru)
•
Prognozy samounicestwiające się (np. rekordowa liczba turystów w Zakopanem)
Funkcje prognoz:
•
Preparacyjna – jest działaniem, które przygotowuje inne działanie (podejmowanie decyzji)
•
Aktywizująca – polega na skłanianiu do podejmowania działań sprzyjających realizacji
prognozy jeśli prognoza jest zjawiskiem korzystnym lub działań przeciwstawiających się
realizacji prognozy jeśli prognoza jest zjawiskiem niekorzystnym. (Prognozy ostrzegawcze –
dotyczą zjawisk niekorzystnych dla społeczeństwa)
•
Informacyjna – prognoza ma za zadanie przygotować społeczeństwo na zmiany, unikanie
elementu zaskoczenia
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
4
04 III 2008 r.
Rodzaje prognoz
1.
Kryterium według horyzontu czasowego
a.
Krótkookresowe – gdy spodziewamy się w danym zjawisku tylko zmiany
o charakterze ilościowym
b.
Średniookresowe – dodatkowo z pewnymi zmianami o charakterze jakościowym
c.
Długookresowo – dodatkowo są wyraźne zmiany o charakterze jakościowym –
przerwanie jednorodności przyczynowej, tzn. jedne przyczyny kształtujące dane
zjawisko przestają działać, inne działają tak jak wcześniej, a w miejsce nieistniejących
zaczynają działać nowe czynniki
Zestawienie horyzontu w kontekście wielkości zjawiska
Okres
Przedsiębiorstwo
Gospodarka
Krótki
Do 3 miesięcy
1 rok
Średni
Do roku
Do 2-3 lat
Długi
Powyżej roku
Powyżej 3 lat
W przypadku gospodarki mamy do czynienia z dużo większą iteracją, co sprowadza się do tego, że
zmiany są widoczne po dłuższym okresie.
Zestawienie horyzontu ze względu na zmienność zjawiska
Okres
Zjawiska demograficzne
Warunki pogodowe
Krótki
Do 5 lat
1 dzień
Średni
Do 10 lat
1 tydzień
Długi
Powyżej 10 lat
Do 2 tygodni
2.
Kryterium ze względu na stan zmiennej
a.
Ilościowa
•
Punktowa
•
Przedziałowa
b.
Jakościowa
3.
Kryterium według celu i funkcji
a.
Badawcze (w tym ostrzegawcze)
b.
Realistyczne – obdarzone wysokim poziomem zaufania
c.
Normatywne – dotyczące tego co powinno być; co jest pożądane
4.
Kryterium według zakresu ujęcia
a.
Częściowe – np. model dla rynku pracy
b.
Globalne – np. model gospodarki narodowej
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
5
5.
Kryterium według zasięgu terytorialnego
a.
Światowe
b.
Krajowe
c.
Regionalne
Metody prognozowania
Wyróżniamy metody:
•
Niema tematyczne
•
Matematyczno-statystyczne
Metody matematyczno-statystyczne:
1.
Bazujące na modelach deterministycznych
2.
Bazujące na modelach ekonometrycznych
- model deterministyczny
- model ekonometryczny
– jest odzwierciedleniem stochastycznego typu zależności między zjawiskami ekonomicznymi
Modele ekonometryczne:
1.
Jednorównaniowe
a.
Modele trendu
b.
Modele sezonowości
c.
Modele AR, MA, ARMA, ARIMA
d.
Przyczynowo-skutkowe
2.
Wielorównaniowe
a.
Podział ze względu na powiązania między zmiennymi endogenicznymi
•
Proste
•
Rekurencyjne
•
Współzależne
b.
Podział ze względu na rolę czynnika czasu
•
Stałe
•
Dynamiczne
Metody niematematyczne:
1.
Analogowe
2.
Heurystyczne – dla badania zachowywania się nowych zjawisk
a.
Delficka
b.
Burza mózgów
c.
Ekspertów
3.
Intuicyjne – dodawane jako element do innych metod
4.
Ankietowe
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
6
Podstawowe pojęcia teorii procesów stochastycznych
- zmienna losowa
- realizacja zmiennej losowej
- proces stochastyczny
- realizacja procesu stochastycznego
Proces stochastyczny – uogólnienie zmiennej losowej. Ciąg zmiennych losowych z kolejnymi
momentami czasu; np. produkcja przemysłowa w kolejnych latach. Stopa bezrobocia w kolejnych
miesiącach.
- szereg czasowy
,
Przykłady szeregów czasowych ekonomicznych:
1.
Regularne wahania – np. produkcja przemysłowa w Polsce 1995q1-2007q4
2.
Tendencja malejąca – np. zaobserwowana inflacja w Polsce w latach 1993m1-2005m12
3.
Tendencja rozwojowa z nieregularnymi wahaniami – np. plony pszenicy w Polsce w kolejnych
latach 1960-2005
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
7
4.
Przebieg losowy – np. obroty na giełdzie papierów wartościowych na kolejnych sesjach 2000-
2008 do lutego
Proces stochastyczny:
•
Stacjonarny
•
Niestacjonarny
Charakterystyki procesu stochastycznego
1.
Wartość oczekiwana
2.
Wariancja
3.
Funkcja kowariancyjna
4.
Funkcja autokorelacji
0 !1; 1$
Określa jak co do kierunku i siły są zautokorelowane wyrazy tego samego szeregu dla różnego
odstępu.
5.
Funkcja gęstości spektralnej (funkcja widmowa)
Warunki stacjonarności procesu
1.
Wartość oczekiwana procesu jest stała
2.
Wariancja jest stała i skończona
3.
Funkcja kowariancji zależy tylko od różnicy chwile, a nie od czasu
Jeśli warunki są spełnione to mówimy o procesie stacjonarnym.
Jeśli przynajmniej jeden z wymienionych warunków nie jest spełniony to proces jest niestacjonarny.
Biały szum – specyficzny proces stochastyczny, proces czysto losowy. Proces biało szumowy
charakteryzujący się brakiem prawidłowości, w związku z czym jest procesem nieprognozowanym.
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
8
Własności procesu biało szumowego
%
&
1.
'
0
2.
(
' )*+ 0
0 )*+ 0
,
Dla tych samych momentów wariancja jest stała i skończona. Proces biało szumowy jest
niezautokorelowany. Występuje brak autokorelacji składnika losowego.
Składnikowa struktura procesu stochastycznego
-
.
/
0
1
2
-
- składnik trendu deterministycznego (tendencja rozwojowa)
.
- wahania sezonowe o cyklu rocznym
/
- wahania cykliczne o innym okresie niż rok (może być to okres dłuższy lub krótszy)
-
, .
, /
- pojawienie się któregoś z tych elementów odpowiedzialne jest za niestacjonarność
w średniej
0
- trend stochastyczny
1
– sezonowość stochastyczna
2
- cykliczność stochastyczna
0
, 1
, 2
- pojawienie się któregoś z tych elementów odpowiedzialne jest na niestacjonarność wariacji
- stacjonarny proces stochastyczny, ale nie od razu biały szum
Proces predykcji
Założenia:
1.
Dysponujemy oszacowanym i weryfikowalnym modelem ekonometrycznych o walorach
prognostycznych
2.
Struktura modelu jest stabilna (stałość parametrów strukturalnych w czasie; stabilność
postaci analitycznej modelu; stabilność struktury przyczynowej modelu – koniunkcja
przyczyn)
3.
Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
4.
Rozkład składnika losowego modelu jest stabilny
5.
Dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza obszar zmienności zmiennych objaśniających
11 III 2008 r.
Zasady predykcji – pewna reguła pozwalająca uzyskać najlepsze w danych warunkach przybliżenie
przyszłej realizacji zmiennej prognozowanej w okresie
3 3 4 1; 4 2; … ; 4 7.
7 - horyzont prognozowania
1,2, … , 4 - wartości zmiennej czasowej odnoszące się do próby
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
9
Zasada predykcji nieobciążonej
Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa
Zasada predykcji minimalnej straty
Estymacja
Predykcja
Populacja generalna
8 - wektor parametrów
strukturalnych modelu
8 9
8
:
8
;
8
<
=
>
- zmienna prognozowana
w okresie T. Jej wartość nie
jest znana
Próba
Estymator (wzór, funkcja) –
jest zmienną losową, np.
+ ?
@:
?
Oceny parametrów –
konkretne wartości jakie
przyjął estymator w danej
próbie, np.
+ A
1,2
0,8
0,45
E
Predyktor (wzór, funkcja) –
jest zmienną losową, np.
>F
G +
H
>
<
I:
Prognoza – konkretna
wartość, np.
>F
7,8%
Predyktor jest to każdy funkcjonał o postaci
L
>
MHN mający te własności, że jego wartość możemy
traktować jako prognozę zmiennej prognozowanej
w okresie 3.
L
>
- pewna operacja, którą trzeba wykonać aby obliczyć prognozę. O tym jak jest zdefiniowana
decyduje przyjęta zasada predykcji.
H - model ekonometryczny stanowiący bazę do prognozowania
Zasada predykcji nieobciążonej
Polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej w
okresie
3. Stosuje się ją gdy proces predykcji jest powtarzalny.
Zaleta: wartości przyszłej zmiennej prognozowanej nie są ani zawyżone ani zaniżone.
L
>
MHN
G 8
H
<
I:
Zakładamy, że model można zapisać w analogicznej postaci dla
3:
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
10
>
G 8
H
>
>
<
I:
Co spełnia założenia predykcji
>F
>
OG 8
H
>
>
<
I:
P G 8
H
>
>
G 8
H
>
<
I:
<
I:
To co otrzymujemy na podstawie wyników próby jest jedną z możliwych wartości w rozkładzie
zmiennej prognozowanej.
W praktyce mając wyniki jednej próby, nasz Predyktor, który jest zmienną losową przyjmuje
następującą postać:
8
Q +
H
>
R H
>
>F
G +
H
>
<
I:
Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa
Stosuje się gdy proces predykcji jest jednorazowy. Wyznaczenie prognozy polega na obliczeniu
dominanty (mody) w rozkładzie zmiennej prognozowanej
w okresie 3. Wyznacza się prognozę:
>F
S
>
Należy znać rozkład zmiennej
w okresie prognozowanym lub dokonać pewnych założeń na temat
tego rozkładu.
Jeżeli zmienna jest skokowa to prognozą będzie wielkości zmiennej, której odpowiada maksimum
funkcji prawdopodobieństwa.
Jeżeli zmienna jest ciągła to prognozą jest taka wartość z którą związane jest maksimum funkcji
gęstości prawdopodobieństwa.
Dla rozkładu symetrycznego (lub zbliżonego do symetrycznego) zasada predykcji nieobciążonej
i zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa prowadzą do tej samej wielkości
prognozy.
Zasada predykcji minimalnej straty
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
11
Wyznaczenie prognozy wiąże się z podjęciem pewnej decyzji, a za tą decyzją idą pewne koszty. Strata
liczona jest wielkością błędu predykcji. Minimalizujemy stratę, gdy błąd predykcji jest jak najmniejszy.
Predykcja (obliczanie prognozy)
Prognoza punktowa
>F
G +
H
>
<
I:
Z predyktora punktowego dostaniemy prognozę punktową, np.
>F
7,8%.
Prognoza przedziałowa
-T
>F
U
V
W
>
X
>
X
>F
U
V
W
>
Y 1 8 - Predyktor przedziałowy
W
>
- błąd predykcji
U
V
- wartość krytyczna w rozkładzie normalnym standaryzowanym, co oznacza, że przyjęliśmy
założenie o normalności rozkładu zmiennej losowej
w okresie 3.
1 8 - współczynnik ufności, wysokie prawdopodobieństwo z jakim będziemy sądzić, że przedział
ten obejmie nieznaną wartość w okresie
3.
Np. przedział o krańcach 6,5%-8,3% z prawdopodobieństwem 95% obejmie nieznaną wartość stopy
bezrobocia w Polsce w roku 2009.
Cechą charakterystyczną prognozowania jest to, że oprócz prognozy podaje się błąd oczekiwany
predykcji.
Miary dokładności predykcji
Ex ante – błędy liczono przed trzymaniem realizacji zmiennej prognozowanej
Ex post – informują o spodziewanej (oczekiwanej, antycypowanej) wielkości odchyleń realizacji
zmiennej prognozowanej od prognoz
Błędy ex ante
W
>
– bezwzględny błąd predykcji ex ante
W
>
[
– względny błąd predykcji ex ante
Ponieważ predykatorem jest zmienna losowa to możemy mówić o błędzie predyktora, który też jest
zmienną losową; zatem można mówić o rozkładzie tej zmiennej i parametrach rozkładu.
>
>F
1.
0 - nieobciążona predykcja; wartość predyktora oscyluje wokół rzeczywistej wartości
zmiennej prognozowanej
2.
\+] M
>
>F
N
wariancja błędy predyktora
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
12
Wzór Hottelinga
W
>
G H
>
+
2 G G H
>
H
^>
_`\M+
, +
^
N .
U
<
^I a:
<@:
I:
<
I:
H
>
; H
^>
- wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
+
- wariancja estymatora parametrów strukturalnych
_`\M+
, +
^
N - kowariancja estymatora parametrów strukturalnych
.
U – wariancja resztowa modelu – jest minimalną granicą dla wariancji predykcji
W
>
b .
U
W
>
cdW
>
- średni błąd predykcji ex ante
W
>
.
U1
>
?
@:
?
>
>
– wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
W
>
- informuje o tym, że wartości zmiennej prognozowanej będą się różnić od prognoz tej
zmiennej przeciętnie o
cW
>
przy założeniu powtarzalności procesu predykcji. Jest to błąd
mianowany – bezwzględny.
W
>
[
- błąd względny – określa jaki procent prognozy stanowi średni błąd predykcji
W
>
[
W
>
>F
· 100
W
f
[
- wartość graniczna błędy
W
>
[
g W
f
[
- prognoza jest dopuszczalna, tzn.; że spodziewane odchylenia wartości zmiennej
prognozowanej od prognozy będą niewielkie.
W
>
[
h W
f
[
- prognoza jest niedopuszczalna; spodziewane odchylenia są znaczne
Błędy ex post
i
>
– bezwzględny błąd prognozy ex post
i
>
[
- względny błąd prognozy ex post
i
j
- średni błąd prognozy
k - współczynnik Janusowy
l - współczynnik Theila
i
>
>
>F
- różnica realizacji zmiennej prognozowanej od prognozy
i
>
h 0
>
h
>F
– prognoza niedoszacowana
i
>
X 0
>
X
>F
- prognoza przeszacowana
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
13
i
>
[
i
>
>
· 100
Określa jaki procent realizacji prognozy stanowi błąd prognozy.
i
>
[
g i
f
[
- prognoza była trafna
i
>
[
h i
f
[
- prognoza była nietrafna
i
j
m
1
4 G M
>
>F
N
naj
>Ina:
Informuje o przeciętnej wielkości odchyleń realizacji zmiennej prognozowanej od prognoz w całym
prognozowanym okresie. Jest błędem niemianowanym.
l
∑
M
>
>F
N
naj
Ina:
∑
>
naj
Ina:
l √l
- względny przeciętny błąd prognozy; informuje o przeciętnej wielkości względnego błędu
prognozy ex post.
Janusowy – mający dwie strony, dwa oblicza
k
1
4 ∑
M
>
>F
N
naj
>Ina:
1
4 ∑
q
n
I:
k
]rą) )`tł+)4`ś_w x]y)
t_zw
]rą) )`tł+)4`ś_w `)y*U { x]ó}wy
k Q 1 - model jest aktualny, nadal zachowuje walory prognostyczne
k h 1 - model uległ dezaktualizacji i stracił walory prognostyczne i należałoby oszacować model dla
nowych informacji statystycznych lub dokonać respecyfikacji modelu
18 III 2008 r.
Etapy prognozowania
1.
Sformułowanie zadania prognostycznego
2.
Podanie przesłanek prognostycznych
3.
Wybór metody prognozowania
4.
Wyznaczenie prognozy
5.
Ocena dopuszczalności prognozy
6.
Weryfikacja prognozy (trafność prognozy)
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
14
Ad. 1.
Zadanie prognostyczne formułowane jest przez odbiorcę prognozy, to on ustala:
•
Obiekt
•
Zjawisko
•
Zmienne
•
Cel
•
Wymagania – granica dopuszczalności prognozy
•
Horyzont
Ad.2.
Na tym etapie formułuje się:
•
Hipotezy o prawidłowościach dotyczących interesujących nas zjawisk
•
Dane statystyczne (określa się ich dostępność)
Ad.3.
Współpraca prognosty i odbiorcy, dominującą rolę zaczyna pełnić prognosta – dokonuje się wyboru
metody prognozowania w zależności od rodzaju postawy jaką ma odbiorca prognozy to
prognozowania.
Postawa bierna – odbiorca zakłada, że przyszłość zjawisk jest w pełni zdeterminowana przeszłością;
będą zachowane te same kierunki zmian jak w przeszłości. W odpowiedzi na to prognosta wybiera:
•
Modele szeregów czasowych
•
Modele przyczynowo-skutkowe o stałych parametrach
Postawa aktywna – odbiorca zakłada wystąpienie pewnych nowych tendencji w przebiegu badanego
zjawiska. Załamania strukturalne, tym samym przyszłość nie jest w pełni zdeterminowana
przeszłością. Prognosta wybiera:
•
Modele przyczynowo-skutkowe z uwzględnieniem zmian parametrów w czasie
•
Metody heurystyczne
Ad.4.
Predyktor, zasada predykcji, predykcja. Aktywną i dominującą rolę pełni tu prognosta.
Ad. 5.
Mierniki ex ante
Ad. 6.
Mierniki ex post – monitoring prognoz
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
15
Prognozowanie na podstawie modeli szeregów czasowych
-
.
-
- składnik trendu deterministycznego (tendencja rozwojowa)
.
- wahania sezonowe o cyklu rocznym
- stacjonarny proces stochastyczny
Modele struktury (modele szeregów czasowych, modele opisowe):
•
Tendencji rozwojowej
•
Modele sezonowości
•
Modele autokorelacyjne
Modele tendencji rozwojowej
-
Trend – jest to pewna krzywa o gładkim i spokojnym przebiegu wyznaczająca zasadniczy kierunek
rozwoju zjawiska w czasie (długi okres).
Wyróżniamy:
•
Wielomianowy trend zmiennej czasowej t
•
Trend potęgowy
•
Trend wykładniczy
•
Trend logistyczny
•
Wielomian trygonometryczny
•
Inne
Wielomian zmiennej czasowej t
-
G 8
^
^
~
^I
] - stopień wielomianu trendu
- zmienna czasowa
1,2, , 4. Jest zmienną nielosową, co oznacza, że wartości tej zmiennej od
próby do próby nie zmieniają się.
Dla
] 0
8
Dla
] 1
8
8
:
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
16
Dla
] 2
8
8
:
8
Dla
] 3
8
8
:
8
8
Im stopień wielomianu trendu jest wyższy tym krzywa trendu jest bardziej „pofalowana”
i niespokojna w przebiegu.
] 0
] 1
] 2
] 3
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
17
Przy przyjętej definicji trendu należy szukać niewysokiego
].
Parametry tego modelu są szacowane za pomocą KMNK.
8
8
:
8
8
~
~
+
+
:
+
;
+
~
+ ?
@:
?
– macierz obserwacji zmiennych objaśniających
- zmienne quasi-objaśniające, dokładnie zmienne opisowe; umożliwiają opis badanego zjawiska
w czasie
9
1 1 1
1
~
1 2 2
2
~
; ;
;
;
;
1 4 4
4
~
=
Ustalanie stopnia trendu
Do ustalenia stopnia trendu wykorzystuje się test F na jednorodność wariancji (homoscedastyczność
wariancji).
:
~@:
~
- model wyższego rzędu nie ma przewagi nad modelem niższego rzędu
:
:
~@:
h
~
- model wyższego rzędu ma przewagę nad modelem niższego rzędu w sensie wariancji
resztowej
.
~@:
U
.
~
U h 1
Ma rozkład Fischera-Snedecora dla poziomu istotności
8 i liczbę stopni swobody
:
,
.
:
4
:
t
:
4
t
4 - obserwacje
t
- liczby szacowanych parametrów
Decyzja weryfikacyjna:
b
V,
,
- odrzucamy
przy poziomie istotności
8 możemy wnioskować, że wariancja resztowa
w modelu trendu stopnia
] 1 jest istotnie statystycznie większa niż w modelu trendu stopnia ].
Nastąpił istotny spadek wariancji resztowej przy przejściu od modelu trendu stopnia
] 1 do modelu
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
18
trendu stopnia
]. Stopień trendu jest równy co najmniej ]. Procedurę tę kontynuuje się dla wyższych
stopni wielomianu trendu, tak długo, aż po raz pierwszy nie odrzucimy
.
X
V,
,
- nie ma podstaw do odrzucenia
o tym, że wariancja resztowa w modelu trendu
stopnia
] 1 jest taka sama jak w modelu stopnia ].
Nie nastąpił istotny spadek wariancji resztowej przy przejściu od modelu trendu stopnia
] 1 do
modelu trendu stopnia
]. W związku z tym stopień trendu jest równy ] 1; ponieważ z dwóch
modeli, które mają jednakowe wariancje resztowe wybieramy model prostszy, czyli taki, który ma
mniej parametrów do szacowania. Procedura kończy się.
Dla ustalonego stopnia wielomianu trendu parametry muszą być istotne statystycznie.
08 IV 2008 r.
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych według wartości poznawczej:
•
Modele opisowe
•
Modele przyczynowo-skutkowe
Podział ten jest zasadny tylko dla danych w formie modeli czasowych. Dla danych przekrojowych
wyróżniamy tylko modele przyczynowo-skutkowe.
Model opisowy – za pomocą różnych funkcji opisuje przebieg zjawiska w czasie. Mogą być to funkcje
losowe lub nielosowe.
Modele opisowe:
•
Modele trendu
•
Modele sezonowości (cykliczności)
•
Modele autoregresyjne
-
.
/
-
- składnik trendowy
.
– składnik sezonowy
/
– składnik cykliczności koniunkturalnej (okres dłuższy niż rok)
- stacjonarny proces stochastyczny, ale nie od razu biały szum
Modele trendu:
•
Trend liniowy
8
8
:
•
Trend potęgowy
8
·
V
· y
*4
*48
8
:
ln
•
Trend wykładniczy
8
· 8
:
· y
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
19
*4
*48
*48
:
102,211 ,
y
Średniomiesięczny spadek inflacji o -0,017%.
*4
6,53 , *4
Interpretowany jako współczynnik elastyczności. Model potęgowy nie ma interpretacji ekonomicznej.
Reszty modelu powinny posiadać własności białego szumu.
Modele wielomianowe
8
8
:
8
8
~
~
G 8
^
^
~
^I
y
Dla
] 1
8
Dla
] 2
8
8
:
Dla
] 3
8
8
:
8
Dla
] 4
8
8
:
8
8
Zaznaczone parametry decydują o głównym kształcie danego modelu. Badamy istotność tylko tych
parametrów. Jedynie model liniowy posiada interpretację ekonomiczną.
] 1, +
:
h 0
] 1, +
:
X 0
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
20
Wartość p – empiryczny błąd (empiryczne prawdopodobieństwo testowe)
Wartość krytyczna – wartość dystrybuanty
U
1
√2
y
@:
@
: 8
~
0 x h 8 – zły model
:
: 8
~
0 x g 8 - dobry model
15 IV 2008 r.
Model sezonowy
Periodyczne zmienne zero-jedynkowe
i-ta zmienna zero-jedynkowa sezonowa przyjmuje wartość 1 w i-tym miesiącu, w pozostałych
miesiącach przyjmuje wartość 0.
Możemy opisać średnie wychylenia dla każdego miesiąca i wtedy model będzie miał następującą
postać:
] 2, +
X 0
] 2, +
h 0
] 3, +
h 0
] 3, +
X 0
] 4, +
X 0
] 4, +
h 0
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
21
G +
^
^
~
^I
G )
¡
¢
I:
– liczba okresów na który składa się cały cykl
¡ – macierz zmiennych zero-jedynkowych
¡ 9
1 0 0
0 1 0
; ; ; ;
0 0 0 1
=
9
1 1 1
~
| 1 0 0
1 2 2
~
| 0 1 0
1 ;
;
;
| ; ; ; ;
1
~
| 0 0 1
=
+
>
@:
>
)y
>
0
Model w wyżej wymienionej postaci nie jest możliwy do estymacji z powodu ścisłej kombinacji
wyrazu wolnego i
¡.
Aby rozwiązać ten problem przyjmuje się trzy warianty modelu:
Model typu A – bez wyrazu wolnego
G +
^
^
~
^I
:
G )
¡
¢
I:
Model typu B
G +
^
^
~
^I
G )
¡
¢
@:
I:
Model typu C – bazujący na zestawie zmiennych skorygowanych
¡
[
¡
¡
¢
w 1, … , 1
G +
^
^
~
^I
G )
[
¡
[
¢
I:
Modele opisują sezonowość z identyczną dokładnością. Miary dobroci modeli są identyczne. Dla
celów interpretacyjnych chcemy, aby parametry sezonowości interpretować jako amplitudy od
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
22
trendu (wahania od trendu). Tylko model C daje od razu taką możliwość interpretacji. W modelach
A i B konieczne są dodatkowe przekształcenia.
G )
[
0
¢
I:
G )
[
)
¢
[
0
¢@:
I:
)
¢
[
G )
[
¢
I:
Model A nie służy do stwierdzenia czy zjawisko sezonowe jest istotne. W modelu B wszystkie
parametry są nieistotne, nie można zatem bezpośrednio mówić o istotności zjawiska sezonowości.
W modelu C – gdy chociaż jedna zmienna jest istotna to występuje zjawisko sezonowości.
Test pominiętych zmiennych
Oceny istotności można dokonywać za pomocą testu F
: )
:
[
)
[
)
¢@:
[
0 (brak sezonowości) x h 8
:
: )
:
[
0 ¤ )
[
0 ¤ … ¤ )
¢@:
[
0 (sezonowość występuje) x g 8
:
1
4 1
V
I¢@:
In@¢@:
8 - poziom istotności
x – prawdopodobieństwo empiryczne popełnienia błędu odrzucenia hipotezy zerowej
Proces resztowy musi posiadać własności białego szumu; co oznacza, że reszty muszą być losowe.
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
23
Test serii
]
¥
,¥
¦
0
Autokorelacja rzędu I składnika losowego
Test Durbina – Watsona
: §
:
0 (losowość)
:
: §
:
h 0 (brak losowości)
)
∑ y
y
@:
¢
I:
∑ y
¢
I:
Test Quinouille’a
: §
:
0 (losowość)
:
: §
:
0 (brak losowości)
|§
:
¨|
∑ y
y
@:
n
I
∑ y
n
I
: |§
:
¨| X
U
V
√4
Q
2
√4
:
: |§
:
¨| b
U
V
√4
Q
2
√4
Biały szum
: §
0
:
: §
0
1,2,3, … , x
x X
4
5
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
24
29 IV 2008 r.
Model autoregresyjny
©
©
:
@:
©
@
©
@
©
F
@F
'
Założenie
©
0
0
U - operator przesunięcia
@
U
·
@:
U
:
·
@
U
·
©
:
U
:
©
U
©
U
©
F
U
F
'
©
:
U ©
U
©
U
©
F
U
F
·
'
Wielomian autoregresyjny
©U
'
- najprostszy zapis modelu autoregresyjnego
ª x - model autoregresyjny rzędu p
Badanie stacjonarności procesu y
ª 1 1 ©
:
U
'
Dla jakiego
© mamy proces stacjonarny
|©
:
| X 1 - proces stacjonarny
ª 2 1 ©
:
U ©
U
'
ª x M1 ©
:
r ©
r
©
r
©
F
r
F
N 0
|r| X 1 - proces opisany stacjonarnie
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
25
Jak znaleźć rząd p?
Funkcja autokorelacji cząstkowej PACF
ACF
§
:
@:
'
§
@
'
««
§
@
'
«««
§
@
'
«¬
|§
| b
U
V
√4
: §
0
:
: §
0 istotność
PACF
§
::
@:
'
«
§
:
@:
§
@
'
««
§
:
@:
§
@
§
@
'
«««
§
:
@:
§
@
§
@
§
@
'
«¬
: §
0
:
: §
0 istotność
|§
| b
U
V
√4
8 0,10 U
V
1,64 [
8 0,05 U
V
1,96 [[
8 0,01 U
V
2,58 [[[
Korelogram mówi nam z jakim mamy stopniem do czynienia.
Reszty muszą mieć własności białego szumu
ª x
x X
4
+
+
:
§
:
@:
y
- ma cechy modelu prognostycznego
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
26
Modele przyczynowo-skutkowe
Koncepcja modelowania zgodnego
+
®
+
:®
®
®
©
:
®
¦
ε
®
ε
®
§
:
'
°
'
«
M1 ©
:®
UN
®
§
:
1 ©
:°
U ©
°
U
°
'
«
M1 ©
:®
UNM
+
®
+
:®
N y
:
1 ©
:°
U ©
°
U
H
+
°
+
:°
+
°
'
©
:
@:
+
®
©
:®
+
®
+
:®
©
:®
+
:®
·
1 y
:
H
y
:
©
:
@:
y
:
©
°
@
+
+
:
+
y
:
H
+
H
@:
+
H
@
+
±
@:
'
06 V 2008 r.
Modelowanie zgodne
8
8
:
:
8
'
- składnik powinien mieć własności białego szumu
Procesy
Stopień trendu
Sezonowość
Autoregresja
1
+
1
:
2
-
2
0
+
3
;
Model pełny:
²U
-
.
G ª
^
U
^
'
<
^I:
-
G +
^
^
~
^I
.
G )
¡
¢@:
I:
²U ª
^
U - wielomiany autoregresyjne
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
27
W modelowaniu zgodnym inny jest tylko pierwszy etap – specyfikacja modelu.
Weryfikacja modelu
•
Eliminacja nieistotnych zmiennych
•
Badanie losowości procesu resztowego
Test liniowych restrykcji
: ©
:
©
0 x h 8
:
: ©
:
©
0 x g 8
Test nieliniowości (kwadraty)
: ©
:
©
©
³
0 x h 8
:
: ©
:
0 ¤ ©
0 ¤ ¤ ©
³
0 x g 8
Równanie pomocnicze:
y
+
+
:
:
+
+
}
:
:
}
}
y
´
µS 3
4
3 - liczba obserwacji
- z równania pomocniczego
¶
V,I³
Test nieliniowości (logarytmy)
: ©
:
©
©
³
0 x h 8
:
: ©
:
0 ¤ ©
0 ¤ ¤ ©
³
0 x g 8
Równanie pomocnicze:
y
+
+
:
:
+
+
}
:
*4
:
}
*4
}
*4
y
´
µS 3
4
¶
V,I³
Model pomocniczy budowany jest dla reszt
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
28
Test specyfikacji Ramsey’s (RESET)
: ©
:
©
0 x h 8
:
: ©
:
0 ¤ ©
0 x g 8
Równanie pomocnicze:
+
+
:
:
+
+
}
:
·
}
·
y
¸¹º
»
¼
2
»
4 t 3
V;
I;
In@<@
Test heteroscedastyczności – test na zmienność wariancji resztowej (Test White’a)
: ©
:
©
©
³
0 x h 8
:
: ©
:
0 ¤ ©
0 ¤ ¤ ©
³
0 x g 8
Równanie pomocnicze:
y
+
+
:
:
+
+
}
:
:
}
}
}
:
}
±
:
}
½
y
´
µS 3
4
W wersji uproszczonej równania pomocniczego nie występują iloczyny zmiennych
Test normalności rozkładu reszt
: H
- dystrybuanta empiryczna posiada rozkład normalny
:
:
Lub
: '
~¿0,
:
: '
À ¿0,
k²
1
4 · Á
0
6
0
3
24 Â
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
29
Momenty standaryzowane:
0
∑ y
4
̷ y
4 Ä
Å
0
∑ y
4
̷ y
4 Ä
¶
V,I
Ocena wpływowych obserwacji
Obserwacja dźwigniowa – gdyby nie występowała ta obserwacja to parametry regresji ulegałyby
zmianie.
Ocena współliniowości VIF
Wlz
1
1
z
z – współczynnik korelacji wielorakiej pomiędzy zmienną z a pozostałymi zmiennymi
niezależnymi modelu
Wl h 10 może wskazywać na problem współliniowości – rozdęcia wariancji
13 V 2008 r.
Koncepcja LSE (GTS) wskazuje, że należy w modelowaniu wykorzystać wspólny człon trendowy, ale
powinien on wynosić
] 1 . Autoregresja dla danych rocznych x 1 , kwartalnych x 4 ,
miesięcznych
x 12.
Koncepcja Zielińskiego różni się tym, że szukamy indywidualnych parametrów (specyfikacja
oszczędna w parametry).
W obu modelach proces resztowy jest białym szumem.
Test efektu ARCH (warunkowa heteroscedastyczność autoregresyjna)
Równanie pomocnicze:
y
+
+
:
y
@:
+
y
@
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
30
Test autokorelacji
Równanie pomocnicze:
y
G +
}
:
<
I:
y
@:
}
y
@
µS 3
4
Test stabilności – Test Chowa
8
8
:
:
8
2
ÆÇ – wektor wyrażający punkt zwrotny, dzielący próbę na podokresy
: ©
:
©
©
<
0
:
: ©
:
0 ¤ ©
0 ¤ ¤ ©
<
0
+
}
Æ
+
:
}
:
Æ
:
+
}
Æ
y
+
+
:
:
+
}
Æ
}
:
Æ
:
}
Æ
y
..
¼
..
:
..
t
..
:
..
3 2t
..
¼
- suma kwadratów reszt regresji dla całej badanej próby
..
:
, ..
- suma kwadratów reszt regresji dla podokresów
t - liczba szacowanych parametrów
Test stabilności Quandta
Służy do określenia momentu czasowego
dla którego wartości statystyki
¸¹º
jest maksymalna.
G 8
^
<
^I
^
y
Gdzie
È 0, a parametr 8
^
jest zmienny w czasie według formuły:
8
:
(
8
^
;
g
8
^
i
^
;
h
,
: i
^
0
:
: i
^
0
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
31
G 8
^
^
G i
^
^
Æ
y
<
^I
<
^I
Æ
- zmienna zero-jedynkowa postaci:
Æ
É0;
g
1;
h
,
Jest to test ogólniejszy dla testu Chowa
Test CUSUM
Test rekurencyjny, test Harveya-Colliera
{
y
d1
´
@:
´
@:
@:
{
- przeskalowana reszta
{Ê
· d3 t 1
: brak zmian w parametrach
:
: występują zmiany w parametrach
Test CUSUMSQ
Sprawdza kwadraty reszt. Jeśli pojawi się * przy parametrze, to dany rok jest rokiem zmiany.
Prognoza
-T
>F
V,
· W
>
X
>
X
>F
V,
· W
>
Y 1 8
W
>
Ë.
¥
1
>
´
´
>
W
>
b .
¥
W
¥
.
¥
Ì X 10%
W
>
[
W
>
W
>F
X 5%
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
32
Błędy prognoz
S.
1
7 GM
>a
>a ,F
N
j
I:
S. – błąd średniokwadratowy prognozy
7 - horyzont prognozy
Sª-
1
7 ·
∑ Í
>a
>a ,F
Í
j
I:
>a:
20 V 2008 r.
Modele struktury:
•
Modele trendu
•
Modele sezonowości
•
Modele autoregresyjne
•
Inne
o
ARIMA
o
MA
o
ARMA
o
GARCH
Znać zalety i wady prognozowania z wyżej wymienionych modeli!
Kryteria oceny przydatności modelu do prognozowania (Czy model ma walory prognostyczne?)
1.
Dopasowanie – model jest dość dobrze dopasowany do danych empirycznych
b
f
; W
g W
f
[
. Wielkości odchyleń wartości empirycznych zmiennej objaśnianej od
wartości teoretycznych są niewielkie
2.
Parametry – są istotnie statystycznie (test t-Studenta, test F), są stabilne (test Chowa), mają
sensową interpretację ekonomiczną
3.
Rozkład składnika losowego – rozkład normalny (test Jarque-Bera’y), homoscedastyczność
(test White’a), brak autokorelacji (test Durbina-Watsona)
4.
Postać zależności (liniowość, nieliniowość) – zależność ma charakter liniowy – mając dwa
modele o podobnym dopasowaniu wybieramy model prostszy. Zasada oszczędności – odnosi
się do liczby zmiennych oraz do postaci analitycznej
Sposób weryfikacji
Decyzja
Sposób I
Sposób II
Odrzucenie H0
k² b ¶
V,I
x {+]
`ść g 8
Brak podstaw do odrzucenia H0
k² X ¶
V,I
x {+]
`ść h 8
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
33
Gdyby określić ważność parametrów poszczególnych kryteriów to kolejność byłaby następująca:
1.
Stabilność parametrów i sensowna interpretacja ekonomiczna
2.
Homoscedastyczność wariancji resztowej (jest to warunek dla stosowania testu F i testu
t-Studenta, stabilności)
3.
Normalność rozkładu reszt (warunek dla stosowania testu istotności t i F)
4.
Liniowość zależności
5.
Istotność parametrów
6.
Brak autokorelacji składnika losowego (występowanie autokorelacji pogarsza jedynie
efektywność estymatora)
7.
Dopasowanie modelu do danych empirycznych (dobre dopasowanie modelu w próbie nie
zapewnia dobrego zachowania modelu poza próbą, czyli niekoniecznie daje małe błędy
prognozy)
Schemat prognozowania na podstawie modelu przyczynowo-skutkowego
Hipoteza modelowa:
8
8
:
@:
8
:,
8
,@:
8
'
Model ekonometryczny:
8·
8·
:
@:
8·
H
:,
8·
H
,@:
8·
U
1,2, … , 4
Zakładamy, że ten model nadaje się do prognozowania, czyli ma walory prognostyczne.
Predyktor:
>F
8·
8·
:
>@:
8·
H
:,>
8·
H
,>@:
8·
3 3 4 1, 4 2, … , 4 7
Naszym celem jest zrobienie prognozy dla
. Tego celu nie możemy zrealizować bezpośrednio
ponieważ w modelu występują zmienne objaśniające
MH
:,>
, H
,>@:
N, których wartości nie znamy
w okresie prognozowanym. Dlatego zanim przystąpimy do prognozowania
konieczny jest etap
pośredni, tzn. wyznaczenie prognoz dla zmiennych objaśniających. Dlatego nazywamy to
prognozowaniem pośrednim.
Wyznaczenie prognoz dla zmiennych objaśniających:
Zakładamy, że struktura procesów objaśniających była następująca
Parametry
]
ª Ï
:,
0
2
,
1
1
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
34
Model autoregresji dla
:,
Hipoteza modelowa:
:,
©
©
:
:,@:
©
:,@
'
Ð
,
Model ekonometryczny:
H
:,
©Ñ
©Ñ
:
H
:,@:
©Ñ
H
:,@
U
°
,
Zakładamy, że ten model ma walory prognostyczne.
Predyktor:
H
:,>F
©Ñ
©Ñ
:
H
:,>@:
©Ñ
H
:,>@
Prognozy na
7 okresów naprzód:
H
:,>Ina:,F
©Ñ
©Ñ
:
H
:,n
©Ñ
H
:,n@:
H
:,>Ina,F
©Ñ
©Ñ
:
H
:,na:,F
©Ñ
H
:,n
;
H
:,>Inaj,F
©Ñ
©Ñ
:
H
:,naj@:,F
©Ñ
H
:,naj@,F
Model autoregresji dla
,
Hipoteza modelowa:
,
1
1
:
,@:
1
'
Ð
,
Model ekonometryczny:
H
,
1·
1·
:
H
,@:
1·
U
°
,
Zakładamy, że ten model ma walory prognostyczne.
Predyktor:
H
,>F
1·
1·
:
H
,>@:
1·
3
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
35
Prognozy na
7 okresów naprzód:
H
,>Ina:,F
1·
1·
:
H
,n
1·
4 1
H
,>Ina,F
1·
1·
:
H
,na:,F
1·
4 2
;
H
,>Inaj,F
1·
1·
:
H
,naj@:,F
1·
4 7
Wszystkie prognozy powinny być sprawdzane pod względem zachowania się w przyszłości.
Należy kierować się zasadą:
Prognozy dla zmiennych objaśniających też powinny być sprawdzane poza próbą. Jest to taka
praktyczna zasada, że jeżeli
S. dla danej zmiennej objaśniającej jest większy niż wariancja tej
zmiennej w próbie
S. h .
H, to takiej zmiennej nie należy włączać do modelu nawet jeśli jest
ekonomiczne uzasadnienie dla tej zmiennej. Przyniesie to więcej korzyści (mniejsze błędy ex post dl
zmiennej
) niż strat.
S.
1
7 GMH
>
H
>F
N
naj
>I:
.
H
1
4 GH
HÇ
n
I:
Wracamy do prognozowania zmiennej
>F
8·
8·
:
>@:
8·
H
:,>
8·
H
,>@:
8·
3
Prognozy na
7 okresów naprzód:
>Ina:,F
8·
8·
:
n
8·
H
:,na:,F
8·
H
,n
8·
4 1
>Ina,F
8·
8·
:
na:,F
8·
H
:,na,F
8·
H
,na:,F
8·
4 2
;
>Inaj,F
8·
8·
:
naj@::,F
8·
H
:,naj,F
8·
H
,naj@:,F
8·
4 7
S. O
1
7 GM
>
>F
N
naj
>I:
P
,±
Sª-
1
7 G Ò
>
>F
>
Ò · 100
naj
>I:
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
36
Sª- - średni absolutny błąd procentowy, jest odporny na zmianę skali (rzędu wielkości)
zmiennych. Oznacza on, że prognozując zmienną
na podstawie danego równania mylimy się co
roku (lub inny zadany okres) średnio o
Sª-%.
Sª- może być wyliczony w wersji dla próby i jest wtedy konkurencyjny dla W
.
Sª-
1
4 G Ò
·
·
Ò · 100
n
I:
27 V 2008 r.
Wady i zalety prognozowanie na podstawie modelu przyczynowo-skutkowego
Wady:
•
Duża złożoność prognozowania, pracochłonność i trudność – Złożoność i pracochłonność są
konsekwencją prognozowania pośredniego. Trudność wynika z wymogu posiadania większej
wiedzy niż przy prognozowaniu z modeli struktury na temat zależności przyczynowo-
skutkowej
•
Niebezpieczeństwo kumulacji błędów prognozy dla zmiennej objaśnianej
– jest efektem
zastosowania prognozowania pośredniego („cena”, którą płaci się za wykorzystanie prognoz
H)
Zalety:
•
Wartość poznawcza modeli przyczynowo-skutkowych jest większa niż modeli struktury ze
względu na wykorzystanie mechanizmu przyczynowo-skutkowego – model może służyć do
wyjaśnienia takich zależności i oczekuje się w związku z tym, że prognozy z takiego modelu
będą na ogół lepsze (w sensie błędu) niż z modeli opisowych. Spełnione jest to wtedy, gdy
zależność jest stabilna w czasie. Zależy od ilości obserwacji i ilości zmiennych, charakteru
zmian badanych zmiennych.
•
Model przyczynowo-skutkowy można wykorzystać do prognozowania na długie okresy, przy
założeniu stabilności zależności.
Prognozowanie na podstawie modeli wielorównaniowych
1.
Prognozowanie klasyczne (tradycyjne)
2.
Prognozowanie z wykorzystaniem symulacji
Prognozowanie w sposób tradycyjny
•
Model prosty – brak powiązań między zmiennymi
•
Model rekurencyjny – łańcuch powiązań pomiędzy zmiennymi
•
Model o równaniach współzależnych – sprzężenie zwrotne
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
37
Model prosty – prognozowanie sprowadza się do G-krotnego powtórzenia prognozowania z modelu
przyczynowo-skutkowego jednorównaniowego.
Model rekurencyjny – prognozy wyznacza się w określonej kolejności wynikającej z rekurencji.
Model o równaniach współzależnych – ponieważ występuje sprzężenie zwrotne to do wyznaczenia
prognoz dla
wykorzystuje się postać zredukowaną modelu
ª ²
:
8
::
1
::
:
1
:
:
8
:
:
1
:
1
Zapis macierzowy:
Ó 1
8
::
8
:
1 Ô · Ó
:
Ô Ó1
::
0
1
:
0
1
:
1
Ô · A
:
1
E Õ
:
Ö
Postać zredukowana modelu
ª
@:
·/ª ²
ª
@:
² ª
@:
[
:
::
:
:
:
:
[
:
:
[
Ó
:
Ô Õ
::
:
:
:
Ö · A
:
1
E Ó
:
[
[
Ô
Prognozowanie z wykorzystaniem symulacji
Symulacje to badanie interesującej nas rzeczywistości ekonomicznej (lub jej fragmentów) za pomocą
eksperymentowania na modelach.
Eksperymentowanie na modelu to wyznaczanie wartości zmiennych endogenicznych przy różnych
możliwych wartościach zmiennych egzogenicznych oraz różnych wartościach parametrów
strukturalnych.
Typy symulacji:
•
Symulacje
deterministyczne
–
operują
wartościami
oczekiwanymi
zmiennych
endogenicznych, pomijają składnik losowy
•
Symulacje stochastyczne – uwzględniają składnik losowy i własności rozkładu tego składnika
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
38
Cztery zagadnienia symulacyjne
•
Symulacje ex post
•
Warianty działań (porównanie wariantów działania)
•
Analiza wrażliwości
•
Optymalne sterowanie
Symulacje ex post
Polegają na obliczaniu prawdopodobnego ruchu zmiennych endogenicznych przy założeniu
odmiennego od rzeczywistego kształtowania się niektórych zmiennych. Odpowiadają na pytanie jakie
byłyby wartości teoretyczne
, gdyby H
miały inne wartości. Ocenia się sprawność modelu przy
zmianie wartości zmiennych. Otrzymujemy wachlarz możliwych ścieżek.
Warianty działania
Szuka się odpowiedzi na pytanie jakie skutki mogą wywołać różne warianty działania (optymistyczny,
pesymistyczny, umiarkowany). Przeprowadza się w odniesieniu do okresu przyszłego (symulacje ex
ante).
Analiza wrażliwości
Wariantowanie modelu ze względu na zmiany parametrów strukturalnych. Można dokonywać i dla
przeszłości i dla przyszłości.
Optymalne sterowanie
Jakie wartości zmiennych endogenicznych należy wybrać, aby opisywane przez model zmienne
endogeniczne
przebiegały według pożądanej trajektorii.
Symulacje z modelu jednorównaniowego – porównanie wariantów działania
Załóżmy, że pewne przedsiębiorstwo wytwarza dobro A jako jedyny producent w kraju. Wysokie cło
chroni tego producenta przed konkurencją towarów importowanych. Na podstawie danych z lat
1977-1994 oszacowano funkcję popytu na to dobro A i przyjęła ona następująco postać:
·
10 · H
:
,Ø
· H
@:,Ø
- wielkość popytu na dobro A w tys. sztuk
H
:
- przeciętne dochody realne na jednego mieszkańca w zł
H
- cena dobra A
Jak wielka powinna być produkcja dobra A w 1996 roku aby nie powstały jego zapasy?
Z wcześniejszych badań dotyczących kształtowania się dochodów i cen wiadomo, że w 1996 roku
wartości tych zmiennych będą się mieścić w następujących przedziałach:
H
:
2500; 2700
H
5; 6
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
39
Wariant
Ù
Ù
Úq
&
I
2500
5
288,5
II
2500
6
207,8
III
2700
5
306,9
IV
2700
6
221,0
Przedsiębiorstwu nie opłaca się podnieść ceny do 6 zł.
Symulacje z modelu wielorównaniowego
ª
ª
Û
@:
/
Model wielorównaniowy dynamiczny pierwszego stopnia
Ó
:
Ô
Ü°:
Ó 0 8
::
8
:
0 Ô
Ü°Ü
· Ó
:
Ô
Ü°:
Õ
Ö
Ü°Ü
· Ó
:@:
@:
Ô
Ü°:
Õ
Ö
Ü°<
· A
:
E
<°:
Õ
:
Ö
Ü°:
03 VI 2008 r.
-
Æ+
]
, -
@:
, l4{
@:
Æ+
]
-
, l4{
:
, l4{
@:
,
Postać strukturalna przedstawia schemat powiązań przyczynowo-skutkowych.
Postać zredukowana modelu wielorównaniowego – eliminacja sprzężeń zwrotnych
ª
ª
:
@:
/
k
n
ª
@:
·/
ª
ª
:
@:
/
k
n
ª
@:
· ª
:
@:
k
n
ª
@:
· /
k
n
ª
@:
·
-
@:
-
:
-
- postać zredukowana
Elementy macierzy
-
:
zawierają mnożniki zmiennych endogenicznych względem zmiennych
egzogenicznych. Mnożnik informuje o sile reakcji zmiennych endogenicznych na jednostkowe zmianą
zmienny egzogenicznych.
Nie interpretuje się mnożników przy stałej, zmiennej czasowych, zmiennych sezonowych.
Ý Þßfºęᥢ «nÞ
0,129
âã~ Þßfºęᥢ «nÞ
1,416
Wzrost inwestycji o jednostkę, czyli o 1 mln zł powoduje przeciętnie wzrost produkcji o 0,129 mln zł.
Wzrost inwestycji o jednostkę, czyli o 1 mln zł powoduje przeciętnie wzrost zatrudnienia o 1,416 tys.
osób.
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
40
Postać końcowa modelu
Otrzymamy ją jeśli z postaci zredukowanej wyeliminujemy wektor
@:
reprezentujący dynamiczne
sprzężenia (bezwładność systemu, inercja).
-
@:
-
:
-
@:
-
@
-
:
@:
-
@:
-
-
@
-
:
@:
-
@:
-
:
-
-
-
-
@
-
:
@
-
@
-
:
@:
-
@:
-
:
-
Podstawianie za
@ä
kontynuujemy, aż do obserwacji
0
-
-
-
:
-
:
-
:
@:
-
-
:
@
-
@:
-
:
:
-
-
-
:
-
@:
-
-
@
-
@:
-
:
-
G -
å
-
:
@å
G -
å
-
@å
@:
åI
@:
åI
Postać końcowa modelu:
-
G S
å
@å
G ¿
å
@å
@:
åI
@:
åI
- wektor wartości startowych zmiennych endogenicznych
∑
¿
å
@å
@:
åI
- zbiorcze zakłócenia całego systemu
S
å
- elementy tej macierzy zawierają mnożniki dynamiczne zmiennych endogenicznych względem
wybranych zmiennych egzogenicznych. Charakteryzują siłę z jaką zmiany w wartościach zmiennych
egzogenicznych, które zaszły
okresów wstecz wpływają na bieżące wartości zmiennych
endogenicznych.
Mnożniki postaci końcowej liczone są analitycznie.
S
-
-
:
-
:
Ó68,106 0,129 0,1035 0,606
30,318 1,416 1,292 6,656Ô · 9
1
l4{
l4{
@:
=
S
-
:
-
:
Ó 40,064 0,0759 0,061 0,356
105,359 0,1996 0,160 0,938Ô · 9
1
l4{
l4{
@:
=
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
41
S
-
-
:
Ó23,568 0,0447 0,035 0,209
60,978 0,117 0,094 0,551Ô · 9
1
l4{
l4{
@:
=
Wzrost inwestycji w pewnym okresie o 1 jednostkę czyli 1 mln zł, spowoduje wzrost produkcji w tym
samym okresie przeciętnie o 0,129 mln zł. Rok po wzroście inwestycji o jednostkę czyli o 1 mln zł
produkcja wzrośnie przeciętnie o 0,0759 mln zł. 2 lata po wzroście inwestycji o jednostkę czyli
o 1 mln zł produkcja wzrośnie przeciętnie o 0.0447 mln zł, w stosunku do poziomu bazowego, który
byłby osiągnięty bez tego wzrostu inwestycji. 3 lata po wzroście inwestycji o 1 jednostkę powoduje
wzrost produkcji przeciętnie o 0,026 mln zł w stosunku do poziomu bazowego, który byłby osiągnięty
bez tego wzrostu inwestycji.
Efekty wzrostu inwestycji maleją.
Symulacje warto stosować gdy:
1.
Postać modelu jest nieliniowa, ponieważ wtedy często nie istnieje postać zredukowana
i końcowa modelu, a zatem nie można wyliczyć mnożników
2.
Postać modelu jest liniowa, ale liczba równań jest bardzo duża oraz liczba zmiennych jest
bardzo duża
Symulacja według algorytmu Gaussa-Seidela
,
@:
, H
U
– funkcja wektorowa, może być liniowa lub nieliniowa
Algorytm polega na wyznaczeniu rozwiązania modelu, tzn. trajektorii po których biegną wartości
zmiennych endogenicznych warunkowo względem wybranych zmiennych egzogenicznych.
Wyznaczanie mnożników przez symulacje
Mnożnik, czyli parametr postaci końcowej jest w istocie pochodną systemu względem zmiennej
egzogenicznej.
®
æ
,°
ç
,å
lim
∆°
ç
ë
,aå
H
<
∆H
<
,aå
H
<
∆H
<
,aå
H
<
∆H
<
– zaburzone rozwiązanie modelu, tzn. oparte na H
<
, której wartość
okresów
wcześniej zmieniono o pewną wielkość, czyli
∆H
<
.
,aå
H
<
- rozwiązanie niezaburzone, rozwiązanie w sytuacji, w której nie nastąpiły zmiany zmiennej
H
<
Wykłady – Prognozowanie i symulacje – prof. M. Piłatowska
Utworzony przez Martucha
42
®
æ
,°
ç
,å
r+}U]r`4y
4wyr+}U]r`4y
{wy*t`ść r+}U]ry4w+
Pokrywają się, bo są to zmiany symulacyjne deterministyczne, nie było innych zmian.