Część 2

8. METODA CROSSA

1

8.



8. METODA CROSSA

8.1. Wprowadzenie

Metoda Crossa pozwala w łatwy sposób określić wartości sił wewnętrznych w układach

niewyznaczalnych, jednak dokładność obliczeń zależy od liczby przeprowadzonych iteracji. W odróżnieniu od
metody sił oraz metody przemieszczeń nie wymaga ona rozwiązania układu równań, ale pozwala na
bezpośrednie obliczenie szukanych wielkości. Stosowanie metody iteracyjnej jest szczególnie korzystne przy
rozwiązywaniu belek ciągłych i ram nieprzesuwnych, lub ram o niewielkiej liczbie niezależnych przesuwów.

Podstawowe założenia tej metody są identyczne z założeniami klasycznej metody przemieszczeń.

Poszukiwanymi wielkościami są przęsłowe momenty przywęzłowe, a schemat podstawowy przyjmuje się
identyczny jak w metodzie przemieszczeń. Układ prętowy po zastąpieniu go układem podstawowym będzie
składał się z pojedynczych elementów, które można przedstawić jako oddzielne belki.

Rozpatrzmy najpierw zadanie, które pomoże zrozumieć istotę tej metody (rys. 8.1). W węźle

i zbiega

się kilka prętów. Na węzeł środkowy “

i” działa moment zewnętrzny M

i

, jest to jedyne obciążenie w układzie.

M

i

i

Rys. 8.1. Schemat ramy

Moment zewnętrzny będzie przenoszony przez wszystkie pręty. Rozkład obciążenia na poszczególne pręty
będzie proporcjonalny do wielkości charakteryzujących sztywności tych prętów. Sztywność pręta w metodzie
Crossa określamy jako wartość momentu

M

ik

(przęsłowego momentu przywęzłowego), jaki powstanie przy

obrocie przekroju

i o kąt jednostkowy. Umowna sztywność pręta s

ik

, zależy od sposobu podparcia węzła, co

obrazują rysunki 8.2, 8.3 i 8.4.

i

φ

i

=1

l

EJ

k

M

ik

M

ki

Rys. 8.2. Belka obustronnie utwierdzona

Dla belki obustronnie utwierdzonej sztywność

s

ik

pręta wyznaczamy ze wzoru transformacyjnego:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

2

M

ik

=

2 EJ

l

⋅2

i



k

−3

ik



dla

φ

i

=1 (

φ

k

= ψ

ik

= 0)

s

ik

=M

ik

=

4 EJ

l

=4 i

(8.1)

gdzie

i, to sztywność bieżąca pręta i

=

EJ

l

. Belka jest symetryczna, wobec tego:

s

ki

=M

ki



k

=1=4 i

(8.1)

Natomiast dla belki utwierdzonej jednostronnie (rys. 8.3):

i

φ

i

=1

l

EJ

k

M

ik

Rys. 8.3. Belka utwierdzona jednostronnie

wzór transformacyjny

M

ik

=

3 EJ

l

⋅

i

−

ik



pozwala określić sztywność

s

ik

=M

ik



i

=1=

3 EJ

l

=3i

(8.2)

W przegubie moment jest zerowy

s

ki

= 0

W belce z podporą ślizgową

i

k

φ

i

=1

l

EJ

Rys. 8.4. Belka utwierdzona obustronnie z przesuwem

ze wzorów transformacyjnych:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

3

M

ik

=

EJ

l

⋅

i

−

k



M

ki

=

EJ

l

⋅

k

−

i



wyznaczamy sztywności

s

ik

=M

ik



i

=1=

EJ

l

=i

s

ki

=M

ki



ki

=1=

EJ

l

=i

(8.3)

Sztywność węzła

S

i

, w którym zbiega się kilka prętów jest sumą sztywności poszczególnych prętów.

S

i

=

∑

k

s

ik

(8.4)

Moment obciążający węzeł rozkłada się na poszczególne pręty proporcjonalnie do współczynnika rozdziału

r

ik

,

który dla każdego pręta liczymy ze wzoru:

r

ik

=

s

ik

S

i

(8.5)

Suma współczynników rozdziału dla węzła wynosi

1:

∑

k

r

ik

=1

(8.6)

Współczynnik rozdziału wyraża procentowy udział pręta w przeniesieniu momentu przyłożonego do węzła, do
którego ten pręt dochodzi.

Stosunek momentu powstającego w przeciwległym węźle do momentu w przekroju przy węźle doznającym
obrotu o kąt jednostkowy nazywamy współczynnikiem przeniesienia

p

ik

..

p

ik

=

M

ki

M

ik

(8.7)

Na podstawie wzorów transformacyjnych można określić momenty przy obu węzłach belki, gdy jeden z
przekrojów dozna jednostkowego obrotu.

Współczynniki przeniesienia (przekaźniki) zależą od sposobu podparcia belki:

•

belka obustronnie utwierdzona

p

ik

= 0,5, bo

M

ik



i

=1=

4 EJ

l

M

ki



i

=1=

2 EJ

l

p

ik

=

M

ki

M

ik

=

1
2

•

belka jednostronnie utwierdzona z przegubem

p

ik

=

0

•

belka obustronnie utwierdzona z przesuwem

p

ik

= 1,0

•

wspornik

p

ik

= 0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

4

Wyznaczmy omówione powyżej parametry dla poszczególnych prętów w ramie z węzłami oznaczonymi jak na
rys. 8.5.

M

3

3

4

4

0

1

4

3

2

[m]

Rys. 8.5. Schemat ramy

Dla prętów obustronnie utwierdzonych mamy:

s

10



1

=1=

2 EJ

l

2 ⋅1=

4 EJ

4

=EJ

s

14

=

4 EJ

4

=EJ

Dla prętów utwierdzonych jednostronnie:

s

12



1

=1=

3 EJ

l

⋅1=

3 EJ

3

=EJ

s

13

=

3 EJ

3

=EJ

Wobec tego sztywność węzła

1 wynosi:

S

1

=s

12

s

13

s

14

s

10

S

1

=EJ EJ EJ EJ =4 EJ

współczynniki rozdziału dla poszczególnych prętów są takie same

r

10

=r

14

=r

12

=r

13

=

EJ

4 EJ

=0,25

(8.4)

Teraz na podstawie wyznaczonych współczynników rozdzielamy moment

M obciążający węzeł 1 na każdy

pręt. Wartości momentów

M

41

i

M

01

wyznaczamy korzystając ze współczynników przeniesienia, które dla

prętów obustronnie utwierdzonych wynoszą 0,5. Ponieważ tylko jeden węzeł jest obciążony wystarczy
wykonać jeden krok iteracyjny

M

1 k

=r

1 k

⋅M

M

k1

= p

k1

⋅M

1 k

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

5

Wyniki zestawiono w tabeli 8.1.

Tabela 8.1. Obliczanie momentów zginających

pręt

10

12

13

14

41

01

r

1k

0,25

0,25

0,25

0,25

M

ik

0,25M

0,25M

0,25M

0,25M

0,125M

0,125M

Jeżeli dane obciążenie jest obciążeniem węzłowym, to przy rozdzielaniu go nie zmieniamy znaku (patrz
tabela 8.1). Natomiast gdy działające obciążenie, to obciążenie przęsłowe, wtedy w celu zrównoważenia węzła
trzeba zmienić znak (rys. 8.8).

M

4

M

4

M

4

M

4

M

Rys. 8.6. Znakowanie momentów

0

1

4

3

2

M

8

M

4

M

4

M

4

M

4

M

8

Rys. 8.7. Wykres momentów

Dodatnie znaki momentów przywęzłowych na prętach podano na rys 8.6. Ostateczne rozwiązanie
analizowanej ramy przedstawiono na rys. 8.7. Powyższe zadania miało na celu pokazanie jedynie sposobu
obliczania poszczególnych współczynników w metodzie Crossa.

8.2. Algorytm postępowania w metodzie kolejnych przybliżeń

W metodzie Crossa możemy stosować różne rodzaje zapisu. Jednak niezależnie od sposobu notowania

obliczeń należy przejść następujące etapy:

•

obliczenie sztywności prętów

s

ik

,

•

obliczenie sztywności węzłów

S

i

=

∑

k

s

ik

,

•

obliczenie współczynników rozdziału

r

ik

=

s

ik

S

i

,

•

obliczenie współczynników przeniesienia

p

ik

,

•

obliczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych, zewnętrznych w układzie podstawowym
takim jak w klasycznej metodzie przemieszczeń. Do ich wyznaczenia można skorzystać z tabeli 1.2.

Po wymienionych wstępnych obliczeniach możemy przystąpić do iteracji, czyli do kolejnego

wyrównywania momentów w węzłach konstrukcji.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

6

8.3. Zapis bezpośredni – belka ciągła

W celu zobrazowania prostoty i automatyzmu postępowania w przypadku obliczeń dowolnie

skomplikowanych ram metodą Crossa posłużymy się przykładem nieprzesuwnej belki ciągłej jednokrotnie
kinematycznie niewyznaczalnej. Będziemy stosować zapis bezpośredni.

4kN/m

16kN

2

2

6

1

2

3

EJ

EJ

[m]

Rys. 8.8. Schemat belki

Obliczenia wstępne:

•

wyznaczenie sztywności prętów

s

12

=s

21

=

4 EJ

4

=EJ

s

23

=

3 EJ

6

=

EJ

2

•

wyznaczenie sztywności węzłów

S

1

=EJ

S

2

=EJ 

EJ

2

=

3 EJ

2

S

3

=0

•

wyznaczenie współczynników rozdziału

r

12

=

s

12

S

2

=

2
3

r

23

=

s

23

S

2

=

1
3

•

wyznaczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

Pl

8

ql

2

8

1

2

3

Pl

8

M

12

=−

16

⋅4

8

=−8 kNm

M

21

=

16

⋅4

8

=8 kNm

M

23

=−

4

⋅6

2

8

=−18 kNm

M

32

=0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

7

Otrzymane wartości porządkujemy w tabeli:

[m]

4kN/m

16kN

2

2

6

1

2

3

l

4m

6m

i

s

EJ

S=Σs EJ

EJ

EJ

r

1

1

p

0

0,5

0

0,5

-8

8 -18

M

o

0

-ΔM

2

=10

10

· 2

3

1
3

10

·

10

· 1

3

0

-

14
3

Σ=

-

44
3

-

44
3

0

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

EJ

4

EJ

6

EJ

2

EJ

2

3EJ

2

2

3

1

3

Tabela 8.2. Zapis bezpośredni metody Crossa

Po zsumowaniu okazuje się, że w węźle

2 występuje różnica momentów ΔM

2

=

-10 (wiersz 7). Aby węzeł był

w równowadze trzeba dodać moment o wartości -

ΔM

2

.

Rozdzielamy niezrównoważony moment zginający w węźle

2 o wartości 10 kNm na pręty 1-2 i 2-3 (wiersz 8).

Współczynniki przeniesienia pozwalają nam obliczyć wartości momentów w punktach

1 i 3 wywołane

momentem -

ΔM

2

. Na koniec obliczamy momenty na prętach (wiersz 9) przez sumowanie wartości wyjściowej

(wiersz 7) i rozdzielonej wartości

ΔM

2

(wiersz 8). Został wykonany jeden krok iteracyjny. W bardziej

skomplikowanych zadaniach iterację należy przeprowadzić więcej razy. Końcowy wykres momentów został
przedstawiony na rys. 8.9.

14
3

44
3

1

2

3

M [kNm]

Rys. 8.9. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

8

8.4. Zapis tabelaryczny – rama nieprzesuwna

Zapis tabelaryczny jest wygodniejszy dla ram, w których w jednym węźle zbiega się więcej niż dwa

pręty, gdyż nie jest bezpośrednio związany ze schematem konstrukcji.

[m]

4kN/m

6kN

2

2

6

A

B

C

EJ

1,5EJ

D

E

2EJ

2EJ

16kN

3

3

Rys. 8.10. Schemat ramy

Określenie potrzebnych parametrów:

•

obliczenie sztywności prętów

s

AB

=s

BA

=

4 EJ

4

=EJ

s

BC

=s

CB

=

4

⋅1,5 EJ

6

=EJ

s

BE

=

3

⋅2 EJ

6

=EJ

s

CD

=

3

⋅2 EJ

6

=EJ

•

obliczenie sztywności węzłów

S

A

=s

AB

=EJ

S

B

=s

BA

s

BC

s

BE

=3 EJ

S

C

=s

CB

s

CD

=2 EJ

•

obliczenie współczynników rozdziału

r

AB

=1

r

BA

=r

BC

=r

BE

=

1
3

r

CB

=r

CD

=

1
2

•

obliczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

9

18

12

12

3

3

A

B

C

D

E

M

AB

=−

6

⋅4

8

=−3 kNm

M

BA

=

6

⋅4

8

=3 kNm

M

BC

=−

4

⋅6

2

12

=−12 kNm

M

CB

=−

4

⋅6

2

12

=12 kNm

M

CD

=−

3

⋅16 ⋅6

16

=−18 kNm

Układamy tablicę, w której dla każdego węzła wydzielamy dodatkową kolumnę oznaczoną symbolem

sumy. Oprócz tej kolumny dla każdego węzła tworzymy jeszcze tyle kolumn, ile zbiega się w nim prętów.
Tytułami kolumn są oznaczenia prętów. Ważna jest kolejność liter, gdyż pierwsza wskazuje punkt, w którym
znajduje się analizowany przekrój. Mówiąc o przekroju np.

BA mamy na myśli przekrój przy węźle B na

pręcie

AB.

Następnie zapisujemy w kolumnach odpowiadających poszczególnym przekrojom przywęzłowym obliczone
sztywności prętów

s, współczynniki rozdziału r i przekaźniki p. Wszystkie te wielkości stanowią nagłówek

tablicy. Następnie we właściwej części tablicy wpiszemy momenty zginające przywęzłowe i przeprowadzimy
iterację. Sposób prowadzenia iteracji w tablicy omówimy na przykładzie analizowanej ramy.

Tabela 8.3. Wyznaczenie momentów zginających metodą Crossa

Węzeł

A

B

C

Pręt

AB

∑

BA

BC

BE

∑

CB

CD

s

EJ

3EJ

EJ

EJ

EJ

2EJ

EJ

EJ

r

1

1

⅓

⅓

⅓

1

½

½

p

0

0,5

0,5

0

0,5

0

M

o

-3

-9

3

-12

0

12

-18

I równoważenie

1,5

9

3

3

3

-4,5

1,5

II równoważenie

1,125

1,125

4,5

2,25

2,25

III równoważenie -0,1875

-1,125

-0,375

-0,375

-0,375

-0,1875

-0,1875

IV równoważenie

0,046875

0,046875

0,1875

0,09375

0,09375

V równoważenie

-0,0078

-0,046875 -0,015625 -0,015625 -0,015625 -0,007813 -0,007813

VI równoważenie

0,001953

0,001953

0,007813 0,003906

0,003906

VII równoważenie -0,0003

-0,001953 -0,000651 -0,000651 -0,000651

wynik końcowy

-1,70

0

5,61

-8,22

2,61

0

15,65

-15,65

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

10

W pierwszym wierszu wpisujemy momenty wyjściowe

M

o

(wyznaczone w układzie kinematycznie

wyznaczalnym), które obliczyliśmy już wcześniej. Następnie w każdym węźle sprawdzamy sumę momentów.
Okazuje się, że największy co do wartości bezwzględnej niezrównoważony moment występuje w węźle

B.

Wynosi on

ΔM

B

=

-9 kNm. Zapisujemy go w rubryce sum węzła B. Zwalniamy teraz fikcyjne utwierdzenie

węzła

B i dokonujemy obrotu równoznacznego z przyłożeniem do tego węzła momentu -ΔM

B

= 9 kNm, aby

uzyskać równowagę węzła

B. Moment równoważący 9 kNm rozdzielamy na przekroje przywęzłowe schodzące

się w punkcie

B według współczynników rozdziału, czyli:

M

BA

=M

BC

=M

BE

=

1
3

⋅9 =3 kNm

Obliczone momenty przekazujemy według przekaźników

p odpowiednio na węzły A i C (na przekroje AB i

CB):

M

CB

=0,5 ⋅3 =1,5 kNm

M

AB

=0,5 ⋅3 =1,5 kNm

Po zrównoważeniu węzła, rozdzieleniu i przekazaniu momentów podkreślamy kolumny danego węzła i
przechodzimy do węzła następnego, w tym przypadku węzła

C (węzeł B jest w równowadze). Suma

momentów w tym węźle wynosi

ΔM

C

= -4,5 kNm. Dla zrównoważenia przykładamy moment -

ΔM

C

= 4,5 kNm

i rozdzielamy go na przekroje przywęzłowe według współczynników rozdziału tego węzła:

M

CB

=

1
2

⋅4,5 =2,25 kNm

M

CD

=

1
2

⋅4,5 =2,25 kNm

Z przekroju

CB połowa momentu przekazywana jest na przekrój BC zgodnie ze współczynnikiem przekazu:

M

BC

=0,5 ⋅2,25 =1,125 kNm

Po przekazaniu tego momentu podkreślamy węzeł

C, który już jest zrównoważony w tym kroku iteracyjnym.

Teraz ponownie mamy brak równowagi w węźle

B, ΔM

B

= 1,125 kNm. Równoważmy węzeł przyłożeniem

momentu -1,125 kNm i dalej przeprowadzamy iterację, aż do otrzymania niezrównoważonych momentów

ΔM

o wartościach równych założonej dokładności obliczeń.

Sumy momentów w poszczególnych rubrykach są już gotowymi wartościami momentów przywęzłowych w
ramie niewyznaczalnej. Suma momentów, w każdym węźle musi być równa zeru:

M

i

= 0, co jest warunkiem

koniecznym (ale niewystarczającym) poprawności rozwiązania zadania.

1,70

15,65

15,65

8,22

2,61

5,61

M

P

(n)

[kNm]

Rys. 8.11. Wykres momentów w ramie niewyznaczalnej

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

11

8.5. Ramy o węzłach przesuwnych

Rozwiązywanie ram o węzłach przesuwnych jest bardziej pracochłonne niż ram o węzłach

nieprzesuwnych. Zajmiemy się sposobem dwuetapowego rozwiązywania takich ram, opartym na umiejętności
rozwiązywania ram o węzłach nieprzesuwnych. W I etapie uwzględniamy wpływ obciążenia zewnętrznego
działającego na ramę o węzłach pozbawionych swobody przesuwu, natomiast w etapie drugim uwzględniamy
wpływ przesuwów. Etap II dzielimy na tyle podetapów, ile jest niezależnych przesuwów. Ostateczne
rozwiązanie danego układu jest sumą rozwiązań poszczególnych etapów.

Dla zobrazowania zagadnienia rozwiążemy przykład podobny do poprzedniego (rys. 8.11). Różnica

polega na tym, że podporę

D zamienimy na przesuwną (rys. 8.12). Dzięki temu będziemy mogli wykorzystać

wyniki z poprzedniego zadania.

Etap I. Wprowadzamy zamocowania uniemożliwiające obroty węzłów

B i C oraz podporę w punkcie D

pozbawiającą ramę możliwości przesuwu. Otrzymaliśmy w ten sposób układ podstawowy (rys. 8.13).

[m]

4kN/m

6kN

2

2

6

A

B

C

EJ

1,5EJ

D

E

2EJ

2EJ

16kN

3

3

Rys. 8.12. Schemat ramy z podporą przesuwną

[m]

4kN/m

6kN

2

2

6

A

B

C

EJ

1,5EJ

D

E

2EJ

2EJ

16kN

3

3

R

D

Rys. 8.13. Układ podstawowy (podpora nieprzesuwna w punkcie D)

Po wyznaczeniu momentów wyjściowych dla tego układu (w układzie podstawowym) przeprowadzamy
obliczenia iteracyjne umożliwiając kolejno węzłom obroty aż do uzyskania równowagi węzłów. Całą iterację
przeprowadzamy dla układu nie mającego możliwości przesuwu. Jest to zatem takie zadanie jak
rozwiązaliśmy poprzednio. Wynikiem tych obliczeń jest uzyskanie wartości momentów w układzie
niewyznaczalnym, które w tym zadaniu są momentami z pierwszego etapu

M

I

(rys. 8.11).

Biorąc pod uwagę pręt

CD obciążony siłą zewnętrzną i momentem przywęzłowym z I etapu wyznaczamy

reakcję w fikcyjnej podporze poziomej w punkcie

D (rys. 8.14)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

12

∑

M

C

=0

15,65

R

D

I

⋅6 =16 ⋅3

R

D

I

=5,39 kN

Można stwierdzić, że jest to reakcja w układzie kinematycznie wyznaczalnym.

15,65

16kN

C

D

R

D

I

Rys. 8.14. Wyznaczenie reakcji R

D

I

Etap II. Ponieważ w rzeczywistości węzeł

D może się przesunąć, usuwamy fikcyjną podporę w tym węźle

umożliwiając w ten sposób przemieszczenie. Nie wiemy, jaka będzie prawdziwa wartość tego
przemieszczenia, dlatego dokonujemy przesunięcia o wartość dowolną. Na skutek przesuwu o wartość

Δ

podpory

D w węźle C powstaje moment, którego wartości też nie znamy. Dla ułatwienia rachunków

przyjmujemy taką wartość przesunięcia, aby wyjściowe momenty drugiego etapu

M

II

o

przybierały wartości

wygodne liczbowo na przykład powyżej 100. Ponieważ wartość ta nie ma wpływu na ostateczny wynik, jest
dowolna, przyjmujemy:

M

II

o

=180

[m]

4

6

A

B

C

EJ

1,5EJ

D

E

2EJ

2EJ

6

Δ

Rys. 8.15. Dowolne przesunięcie podpory D

Innymi słowy trzeba obliczyć wartość momentu, który przyłożony w węźle

C zrównoważy reakcję poziomą w

węźle

D. Jeżeli znajdziemy wartość tego momentu, przyłożymy go do konstrukcji i wyznaczymy rozkład sił

wewnętrznych od tego obciążenia. Będą to siły wewnętrzne II etapu po zsumowaniu ich z siłami etapu I
otrzymamy ostateczny wynik.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

13

[m]

4

6

A

B

C

EJ

1,5EJ

D

E

2EJ

2EJ

6

180

Rys. 8.16. Momenty wyjściowe M

II

o

(w układzie podstawowym)

Tabela 8.4. Obliczenia dla ramy z przesuwem

Węzeł

A

B

C

Pręt

AB

∑

BA

BC

BE

∑

CB

CD

s

EJ

3EJ

EJ

EJ

EJ

2EJ

EJ

EJ

r

1

1

⅓

⅓

⅓

1

½

½

p

0

0,5

0,5

0

0,5

0

M

I

-1,70

0

5,61

-8,22

2,61

0

15,65

-15,65

M

II

o

180

180

I równoważenie

-45

-45

-180

-90

-90

II

7,5

45

15

15

15

7,5

7,5

III

-1,875

-1,875

-7,5

-3,75

-3,75

IV

0,3125

1,875

0,625

0,625

0,625

0,3125

0,3125

V

-0,078125

-0,078125

-0,3125

-0,15625

-0,15625

VI

0,0130

0,078125

0,026042

0,026042

0,026042

M

II

7,83

0

15,65

-31,30

15,65

0

-86,09

86,09

m·M

II

-2,94

0

-5,88

11,76

-5,88

0

32,33

-32,33

M

-4,64

0

-0,27

3,54

-3,27

0

47,98

-47,98

Po przeprowadzeniu sześciu kroków iteracyjnych uzyskaliśmy rozkład momentów

M

II

w ramie

niewyznaczalnej obciążonej momentem 180 w węźle

C (od przesuwu).

Następnie obliczamy wartość reakcji

R

D

II

fikcyjnej (rys. 8.17), która powstaje w ramie niewyznaczalnej

obciążonej momentem 180.

∑

M

C

=0

86,09

=R

D

II

⋅6

R

D

II

=14,35 kN

W podporze

D w rzeczywistości nie ma reakcji poziomej. Wobec tego przesuw musi mieć taką wartość, aby

reakcja od niego powstająca zrównoważyła reakcje od obciążenia zewnętrznego. Suma reakcji

R

D

od

obciążenia i od przesuwu musi być równa zeru. W związku z tym należy skorygować dowolne, dokonane w II
etapie przesunięcie, mnożąc je przez wielkość

m. Wtedy reakcja powstająca od przesuwu też będzie

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

8. METODA CROSSA

14

skorygowana współczynnikiem

m:

R

D

I

m⋅R

D

II

=0

86,09

C

D

R

D

II

8.17. Wyznaczenie reakcji R

D

II

Z zależności tej wyznaczamy wartość mnożnika

m, który wyraża stosunek rzeczywistego przesunięcia węzłów

do przesunięcia dowolnego, dokonanego w drugim etapie, czyli także stosunek momentów powodowanych
przesunięciem rzeczywistym do momentów wywołanych dowolnym przesuwem

Δ:

m

=−

R

D

I

R

D

II

=

M

rz

II

M

II

Podstawiając obliczone w etapie I i II reakcje otrzymujemy:

m

=−

5,39

14,35

=−0,3756

Ostatecznie rzeczywiste momenty przywęzłowe zgodnie z zasadą superpozycji będą sumą momentów z ramy
nieprzesuwnej

M

I

i momentów od przesuwu

M

II

(

Δ) skorygowanych współczynnikiem m:

M

ik

=M

ik

I

m⋅M

ik

II

Wyniki przedstawiono w tabeli 8.4 i na rys. 8.18.

4,64

47,98

47,98

3,54

3,27

0,27

M

(n)

[kNm]

Rys. 8.18. Wykres momentów rzeczywistych w ramie z przesuwem

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater