MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

1

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

Z1/3.1. Rama płaska numer 1

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.1 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.1. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.2.

2

4

1

3

A

I

II

Rys. Z1/3.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.2 liczba tarcz wynosi 2, liczba prętów podporowych wynosi 4 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   1.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/3.1)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

2

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.3.

4

A

II

Rys. Z1/3.3. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.2. Rama płaska numer 2

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.4 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.4. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.5.

Jak widać na rysunku Z1/3.5 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

3

2

4

1

3

A

B

5

I

II

III

C

Rys. Z1/3.5. Zastępczy układ tarcz sztywnych

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.2)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.6.

4

A

B

5

II

III

C

Rys. Z1/3.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem 

fikcyjnym C utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. 
Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec 
tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.3. Rama płaska numer 3

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.7 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

4

Rys. Z1/3.7. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.8.

2

5

1

3

D

I

III

II

B

4

A

C

Rys. Z1/3.8. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.8 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.3)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów 

podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów 
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek 
dostateczny   geometrycznej   niezmienności   dla   tych   tarcz   sztywnych.  Wobec   tego  są   one   geometrycznie 
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.9.

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   D   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   D   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

5

5

D

III

Rys. Z1/3.9. Zastępcza tarcza sztywna

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.4. Rama płaska numer 4

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.10 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.10. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.11.

2

1

3

I

IV

II

A

4

5

B

C

6

III

D

E

F

Rys. Z1/3.11. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

6

Jak widać na rysunku Z1/3.11 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   3.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.4)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów 

podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów 
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek 
dostateczny   geometrycznej   niezmienności   dla   tych   tarcz   sztywnych.  Wobec   tego  są   one   geometrycznie 
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.12.

IV

5

6

III

D

E

F

Rys. Z1/3.12. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze   numer   III   i   IV   tworzą   układ   trójprzegubowy   z   przegubami   rzeczywistymi   D   i   E   oraz 

przegubem fikcyjnym F utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na 
jednaj   prostej.   Został   więc   spełniony  warunek  dostateczny  geometrycznej   niezmienności   dla   tych   tarcz 
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.5. Rama płaska numer 5

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.13 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.14.

Jak widać na rysunku Z1/3.14 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

7

Rys. Z1/3.13. Rama płaska

1

5

B

I

III

II

A

4

2

3

Rys. Z1/3.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.15.

5

B

III

II

A

4

Rys. Z1/3.15. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

8

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.16.

5

B

III

Rys. Z1/3.16. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   B   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   B   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.6. Rama płaska numer 6

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.17 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.17. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.18.

Jak widać na rysunku Z1/3.18 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   3.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

9

I

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

1

2

3

Rys. Z1/3.18. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.19.

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.19. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.20.

Tarcze   numer   III   i   IV   tworzą   układ   trójprzegubowy   z   przegubami   rzeczywistymi   B   i   C   oraz 

przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na 
jednaj   prostej.   Został   więc   spełniony  warunek  dostateczny  geometrycznej   niezmienności   dla   tych   tarcz 
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

10

IV

5

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Z1/3.7. Rama płaska numer 7

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.21 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.21. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.22.

Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.7)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.23.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

11

1

5

B

I

III

II

4

2

3

A

Rys. Z1/3.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych

5

B

III

II

4

A

Rys. Z1/3.23. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.24.

5

B

III

Rys. Z1/3.24. Zastępcza tarcza sztywna

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

12

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   B   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   B   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.8. Rama płaska numer 8

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.25 jest układem geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/3.25. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ 

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.26.

I

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

1

2

3

Rys. Z1/3.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

13

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.8)

Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   został   spełniony.   Rama   płaska   może   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić 
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.27.

IV

II

4

5

6

III

B

C

D

A

Rys. Z1/3.27. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.28.

IV

5

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.28. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze   numer   III   i   IV   tworzą   układ   trójprzegubowy   z   przegubami   rzeczywistymi   B   i   C   oraz 

przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na 
jednaj   prostej.   Został   więc   spełniony  warunek  dostateczny  geometrycznej   niezmienności   dla   tych   tarcz 
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni