DRGANIA

WYKONALI:
Antonkiewicz Karolina
Kudłacz Karolina
Rydzyński Daniel

 

 

KLASYFIKACJA I PODZIAŁ 
DRGAŃ



Ze względu na ilość stopni 
swobody:



O jednym stopniu swobody;



O 2, 3, … n i wielu stopniach swobody;



O nieskończonej ilości stopni swobody.

 

 



Ze względu na charakter odkształceń 
sprężystych drgającego układu



podłużne;



poprzeczne (giętkie);



skrętne;



złożone;



dowolne.

 

 



Ze względu na przyczyny wywołujące 
drgania:



własne (swobodne)- wywołane 
jednorazowym wytrąceniem układu z 
położenia równowagi sprężystej;



wymuszone- wzbudzone siłami 
zewnętrznymi zmieniającymi się w czasie t;



parametryczne- wywołane okresową zmianą 
parametru układu np. jego sztywności;



samowzbudne- wzbudzone przez siły 
spowodowane samym ruchem (siła tarcia).

 

 



Ze względu na możliwość 
występowania oporów:



Tłumione (bez oporów);



Nietłumione (występuje opór).

 

 



Ze względu na opis matematyczny 
ruchu:



liniowe- opisane równaniem 
różniczkowym liniowym (występuje 
prawo Hooke’a);



nieliniowe- opisane równaniem 
różniczkowym nieliniowym (występują 
duże odstępstwa od prawa Hooke’a).

 

 

DRGANIA WYMUSZONE 
NIETŁUMIONE

Drgania wymuszone nietłumione 

zachodzą wtedy, gdy na punkt 

materialny podwieszony na 

sprężynie o stałej c działa siła 

zmienna w czasie F(t)

 

 

WYMUSZENIA

 

 

F t

F

F

F

t f t

zd

los

o









sin



 

F

f t

t

T

o





 , 

0,

 

 

WYMUSZENIA



zdeterminowane (opisane funkcją analityczną)



harmonicznie zmienne



poliharmoniczne 



impulsowe



ciąg impulsów 



trapezowe (rozruchowe)



dowolne



losowe stochastyczne

 



stacjonarne (ergodyczny - powtarzalny)



wąskopasmowe



szerokopasmowe



niestacjonarne

 

 

Wymuszenie 
poliharmoniczne 

 





F t

F

t

i

i

i

i

n











0

1

sin

 

 

 

Wymuszenie impulsowe

impuls Diraca                           

0  0

t



 



t

t

t



 









  

  

0

0

0

 

 

jednostkowe



o

1

t

 

 

2

'

)

(

dt

x

d

m

x

m

A

x

l

S

l

Q





















t

P

P



sin

0



 

 

RÓWNANIE RÓWNOWAGI 
DYNAMICZNEJ

Równanie wektorowe

Q-S-A-P=0

Równanie skalarne

Q-A-S=-P

 

 

t

m

P

x

x

t

P

x

x

m

t

P

x

l

x

m

l









sin

sin

)

1

/(

sin

)

(

0

2

0

0









































 

 

m

P

q

m

0









 

 

ROZWIĄZANIE

0

0

2

2

2

2

2

2

2



















r

Ae

e

Ar

e

Ar

dt

x

d

Are

dt

dx

Ae

x

rt

rt

rt

rt

rt

r = ±iω

 

 

warunki 
początkowe

t=0
x=x

o

=0

t

B

t

A

Be

Ae

x

t

i

t

i









cos

sin 









0

0

V

x

x















2

sin

)

(

0

0









T

t

A

t

x

B

x

 

 

DRGANIA SWOBODNE BEZ 
TŁUMIENIA

Drganiami swobodnymi nazywamy 

drgania układu powstające na skutek 

naruszenia położenia równowagi 

układu mechanicznego, który 

następnie porusza się pod działaniem 

sił sprężystych, ciężkości lub tarcia.

 

 

L

Q

x

m

ΔL

Q S

A

L

H

Q

x

L

H

S

dt

x

d

m

A













)

(

2

2

 

 

RÓWNANIE RÓWNOWAGI 
DYNAMICZNEJ

Równanie wektorowe

Q + S + A = 0

Równanie skalarne

Q – S – A = 0

 

 

Równanie różniczkowe liniowe II rzędu 
jednorodne:

0

2

2



 Hx

dt

d

m

0

2

..





x

x



0

2

2

2





x

dt

x

d















sen

m

k

1



k -  sprężystość

m - bezwładność

Częstość drgań własnych:

 

 

i mamy:

t

q

x

x





sin

2

..





gdzie:
 - częstość drgań wymuszonych

 - częstość drgań swobodnych

 

 

Rozwiązanie ogólne równania x+

2

x=0 ma 

postać:

..

x (t) = x

1

 (t) + x

2

 (t)

x 

1

 (t) = A sin  t + B cos  t

x 

2

 (t) = a sin  t

  
A, B, a - 
stałe

































2

2

1







q

a

 

 

Z

a 

Z - czynnik 
zwiększający

2

1

1





















Z