Środki mas i środki
ciężkości części ciała
Środki mas i środki
ciężkości części ciała
Pod pojęciem ciężaru części ciała
rozumiemy siłę z jaka oddziaływuje na dana
cześć grawitacyjne pole przyciągania
ziemskiego. Zatem mówiąc o ciężarze np.
Ramienia mamy na myśli siłę wypadkowa
reprezentującą sumaryczny ciężar
wszystkich elementów tego ramienia. Ta
wypadkowa siła jak wielkość wektorowa ma
swa wartość, kierunek, zwrot, oraz punkt
przyłożenia. Ponieważ skutki wywołane
przez siłę działająca na bryłę sztywna
zalezą od każdej z wymienionych cech sił –
wektora, zatem chcąc w sposób rzetelny i
ścisły skutki owe przewidywać i analizować,
należy oprócz wartości (ciężaru) znać
równierz jej kierunek, zwrot i punkt
przyłożenia . Wyznaczanie zwrotu i kierunku
działania siły ciężkości nie stanowi problemu:
działa ona pionowo i jest skierowana ku
środkowi ziemi. Pozostaje wiec problem
wyznaczenia jej punktu przyłożenia. Punkt w
którym przyłożona jest siła reprezentującą
ciężar ciała nazywamy środkiem ciężkości.
Ponieważ na ciężar całego ciała składa się
suma ciężarów jego wszystkich elementów.
Zatem przez środek ciężkości ciała
rozumiemy punkt w którym przyłożona jest
wypadkowa sił ciężkości wszystkich
elementów ciała.
Środkiem ciężkości nazywamy
punkt, w którym jest
przyłożona wypadkowa sił
ciężkości (ciężarów)
wszystkich elementów ciała
Objaśnienie definicji środka
ciężkości
Aby w myśl owej definicji wyznaczyć
położenie środka ciężkości ciała, należy
najpierw podzielić je na elementy o
niewielkich rozmiarach, następnie
wyznaczyć ciężary owych elementów, a
następnie dodać je do siebie zgodnie z
zasadami sumowania wektorów. Punkt
przyłożenia wektora wypadkowego
wyznaczy nam położenie środka
ciężkości. Wektor wypadkowy będący
sumą ciężarów
q
1
i q
2
ma wartość q
1
+ q
2
a jego punkt przyłożenia leży na
prostej łączącej punkty przyłożenia
wektorów składowych dzieląc
odległość między nimi w stosunku
odwrotnie proporcjonalnym do
wartości wektorów zaczepionych na
jego końcach.
2
1
q
a
b q
=
1
2
a q b q
� = �
lub
postępując w podobny sposób
wyznaczamy sumę wektorów
q
1
+ q
2
oraz
wektora q
3
. Którego wartość wyniesie
q
1
+ q
2
+ q
3
, punkt przyłożenia
wyznaczamy zaś z zależności
3
1
2
q
c
d q q
=
+
Itd.
po dodaniu ostatniego (q
n
)
wyznaczamy położenie środka bryły.
Przytoczona definicja ma znaczenie
głownie poznawcze, lecz nie tylko,
wykorzystamy ja bowiem również
praktycznie do wyznaczania środków
ciężkości układów ciał.
Własności Środka Ciężkości:
1. Środek ciężkości figur płaskich i
regularnych leży w ich środku
geometrycznym.
2. Środek ciężkości jednorodnych brył
mających środek symetrii, leży w
środku ich symetrii.
3. Środek ciężkości brył jednorodnych
mających oś symetrii leży na tej osi.
4. Bryła zawieszona w punkcie
będącym jej środkiem ciężkości
znajdzie się w równowadze obojętnej.
5. Środek ciężkości i środek masy nie
są pojęciami tożsamymi i mogą leżeć
w różnych punktach.
Metody wyznaczania
środków ciężkości części
ciała człowieka
Proste praktyczne metody
wyznaczania środki ciężkości ciał w
odniesieniu do części ciał człowieka
zawodzą przede wszystkim z powodu
niemożności dowolnego oddzielenia ich
od siebie. Z kolei metody analityczne
wymagające informacji o rozkładzie
masy w ich wnętrzu, dokładniej
znajomości wymiarów geometrycznych
itp, należy uznać za zbyt
skomplikowane, aby mogły być
powszechnie używane.
Dlatego opracowano stosunkowo
proste w użyciu i nie wymagające
przeprowadzania skomplikowanych
pomiarów metody wyznaczania
środków ciężkości części ciała
człowieka. Powstały one
równocześnie z metodami
wyznaczania ciężarów części ciał i
opracowano je na tym samym
materiale badawczym.
Konstrukcja tych metod wymagała
przyjęcia pewnych założeń
upraszczających z których jako
najważniejsze należy wymienić:
1.Wymiarem dominującym każdej
części ciała jest jej długość.
2.Pod względem kształtu części ciała
przypominają bryły obrotowe, zatem
mają oś symetrii.
3.Rozkład materii wewnątrz każdej z
nich jest symetryczny względem
geometrycznej osi symetrii
4. Wobec powyższego środki ciężkości
takich brył będą leżeć na ich osi
symetrii.
5. Środek ciężkości dzieli zatem długość
danej części ciała na dwa odcinki, czyli
jego lokalizacja wymaga określenia
tylko jednej współrzędnej: odległości
środka ciężkości od któregoś z końców
odcinka będącego jej długością .
Aby wyznaczyć położenie środka ciężkości
danej części ciała, należy określić dzieli on
długość części ciała na dwa odcinki.
Źródło
Harles
(1860)
Braune i
Fischer
(1889)
Clauser i
wsp. (1969)
Zatziorsky i
wsp. (1981)
Odległość
Liczba
próbek
2
3
13
100
jednostka
r[%]
r[%]
r[%]
r[%]
Części ciała:
Głowa
36,2
-
46,6
50
Vertex-SC
Tułów
44,8
44
38
44,5
Suprastern-
ale – S.C.
Ramię
-
47
51,3
45
Oś stawu -SC
Przedramię
42
42,1
39
42,7
Oś stawu -SC
Ręka
39,7
-
48
37
Oś stawu -SC
Udo
48,9
44
37,2
45,5
Oś stawu -SC
Podudzie
43,3
42
37,1
40,5
Oś stawu -SC
Stopa
44,4
44,4
44,9
44,1
Pternion - SC
OSC
41,4
-
41,2
-
Vertex-SC
Tabela. Promienie wodzące (r) środków ciężkości części ciała w % ich długości
Przybliżone położenie środków
ciężkości ciał przedstawia rysunek.
(wartości liczbowe podają odległość
środka ciężkości wyrażoną w %
długości części ciała)
42,7%
100%
p
p
r
l x
=
'
O O
-
Wyznaczanie środka ciężkości przedramienia na podstawie danych V.N
Zatziorsky’ego
-
Oś symetrii przedramienia
p
r
- Promien wodzący środka ciężkości przedramienia
p
l
- długość przedramienia
Tabela regresji do obliczania promieni wodzących środków ciężkości
ciała r [cm] uzyskane w badaniach na osobnikach żywych
1
x
2
x
- Ciężar ciała w Kg
- Długość ciała w cm
Część ciała
równanie
Głowa
Górna część
tułowia
Środka część
tułowia
Dolna część
tułowia
Ramię
Przedramię
Ręka
Udo
Podudzie
Stopa
1
2
8,257 0,0025
0,023
r
x
x
=
-
+
1
2
3,32 0,0076
0,047
r
x
x
=
+
+
1
2
1,398 0,0058
0,045
r
x
x
=
+
+
1
2
1,182 0,0018
0,0434
r
x
x
=
+
+
1
2
1,67 0,03
0,054
r
x
x
=
+
+
1
2
0,192 0,028
0,093
r
x
x
=
-
+
1
2
4,11 0,026
0,033
r
x
x
=
+
+
1
2
2,42 0,038
0,135
r
x
x
=-
+
+
1
2
6,05 0,039
0,142
r
x
x
=-
-
+
1
2
3,767 0,065
0,033
r
x
x
=
+
+
Wyznaczania środków ciężkości
układów ciał
Z definicji środka ciężkości
wynika że do
wyznaczenia jego położenia dla pewnego układu
ciał konieczna jest znajomość ciężarów i położeń
środków ciężkości elementów układów. Ponieważ
środek ciężkości stanowi punkt przyłożenia
wypadkowej siły ciężkości całego układu,
poszukiwanie środka ciężkości sprowadza się do
wyznaczenia jego położenia np. metodą
sumowania wektorów – ciężarów kolejnych
elementów. Postępując w ten sposób wyznaczymy
wektor będący sumą wypadkową ciężarów
elementów układów. Jego wartość równa się
ciężarowi całego układu, a punkt przyłożenia jest
jednocześnie śrdokiem ciężkości
Przykład:
Rozważamy układ trzyelementowy przedstawiony na rysunku
2
2
1
1
1
2
A
D
A
D
D
B
D
B
q
x
x
q
y
y
q
AD
oraz
oraz
DB q
x
x
q
y
y
q
-
-
=
=
=
-
-
rozpoczniemy od wyznaczenia środka ciężkości
wspólnego dla ciał A i B. Aby znaleść jego
położenie należy dodać do siebie dwa (równoległe)
wektory q1 i q2 . Wektor wypadkowy będący suma
dwoch równoległych wektorów (q1 i q2 ) ma
wartość równa wartości wektorów składowych i jest
do nich równoległy a jego punkt przyłożenia leży
na prostej łaczącej punkty przyłożenia wektorów
składowych, dzieląc odległośc miedzy nimi na 2
części o długościach odwrotnie proporcjonalnych
do wartości wektorów zawieszonych na ich
końcach. W rozważanym przykładzie środek
ciężkości wspólny dla ciał A i B leży na odcinku AB
dzieląc go na dwie części AD i DB tak że:
2
1
q
AD
DB q
=
Ta proporcja podziału odległości AB jest zachowana również
dla jego rzutów na osi 0-x i 0-y, tzn
2
1
A
D
A
D
D
B
D
B
X
X
Y Y
q
X
X
Y
Y
q
-
-
=
=
-
-
Z proporcji możemy też wyznaczyć położenie punktu D:
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
A
D
D
B
A
D
D
B
A
D
D
B
D
D
A
B
D
A
B
A
B
D
X
X
q
X
X
q
q X
X
q X
X
q X
q X
q X
q X
q X
q X
q X
q X
X q q
q X
q X
q X
q X
X
q q
-
=
-
-
=
-
-
=
-
+
=
+
+
=
+
+
=
+
Oraz podobnie dla współrzędnej pionowej
1
2
1
2
A
B
D
qY
q Y
Y
q q
+
=
+
Następnie postępując podobnie do wyznaczonego wektora q1
i q2
przyłożonego w punkcie D należy dodać ciężar q3 ciała C,
wyznaczaja w ten sposób położenie punktu E który jest
środkiem ciężkości całego układu. Współżedne tego punktu
wykazują zależnośc:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
A
B
C
E
A
B
C
E
q X
q X
q X
X
q q q
qY
q Y
qY
Y
q q q
+
+
=
+ +
+
+
=
+ +
Wyznaczanie ogólnego środka
ciężkości ciała człowieka
metoda dźwigni jednostronnej
Dźwignią nazywamy sztywną belkę podpartą w
jednym punkcie, tak że może ona względem
niego wykonywać ruchy obrotowe. W ruch
obrotowy wprawiają dźwignię działające na nią
momenty sił. Jeśli momenty te się równoważą to
dźwignia znajduje się w równowadze. Tę własność
dźwigni można wykorzystać do wyznaczenia
położenia środka ciężkości ciał na niej ułożonych.
wyobraźmy sobie poziomo ustawioną dźwignię,
jednostronną na której ułożono człowieka.
Dźwignia jednostronna na którą działa moment
siły Q: M
Q
= Q x r
Ciężar ciała Q przyłożony do dźwigni w odległości r
od punktu podparcia wytwarza względem niego
moment siły M
Q
= Q x r . Moment ten będzie
wprawiał dźwignię w ruch obrotowy zgodny z
ruchem wskazówek zegara.
Aby jednak utrzymać dźwignię w równowadze, należy
skompensować działanie M
Q
przykładając do niej
dodatkowy moment np. M
R
taki sam co do wartości lecz
przeciwnie skierowany.
0
Q
R
Q
R
M
M
M
M
Qr Rl
-
=
=
=
gdzie:
r – ramię siły Q
R – siła reakcji
l – długość dźwigni, ramię siły R
Q – ciężar ciała
Z powyższych rysuków wynika że ramię r siły Q jest
odległością OSC człowieka umieszczonego na dźwigni,
mierzoną wzdłuż dźwigni od jej punktu podparcia.
Odległośc ta jest więc współrzędną OSC, mierzoną od
punktu podparcia dźwigni wzdłuż osi długiej ciała
leżącego na niej człowieka.
Ilustracja warunków równowagi dźwigni
Wartość tej współrzędnej można wyznaczyć z warunków
równowagi dźwigni.
Rl
r
Q
=
Aby więc wyznaczyć tę współrzędną należy zmierzyć moment
siły M
R
= Rl . Oraz ciężar ciała Q badanej osoby. Wartość
momentu siły M
R
można łatwo wyznaczyć w ten sposób że
koniec dźwigni zostanie opsrty na wadze która wskażę
wartość siły reakcji R, ramię zaś tej siły l, równe będzie
długości dźwigni.
Na przedstawionej sytuacji osobę badaną ułożono na
dźwigni w ten sposób że powierzchnia podeszwowa jej
stóp znajduje się nad punktem podparcia dźwigni, zatem
wyznaczana współrzędna r (mierzona od osi obrotu
dźwigni) określa jednocześnie odległość środka ciężkości
mierzonej wzdłuż osi długiej ciała od powierzchni stóp.
Opisaną metodę wyznaczania OSC jako pierwszy stosował E.
du Bois-Reymond (1818-1896) głowna zaletą tej metody jest
jej prostota a także możliwość zastosowania w odniesieniu do
kakretnego żywego człowieka. Niestety ma ona również wady
ograniczające możliwość jej zastosowania. Najbardziej istotna
wynika z konieczności utrzymania przez osobę badaną
nieruchomej pozycji ciała w trakcie pomiarów co w stosunku
do niektórych pozycji może być trudne do spełnienia.
OSC człowieka w postawie stojącej znajduje się na wysokości
od 53 do 60 % wysokości ciała. Średnie wartości dla populacji
młodszych meżczyzn wynoszą 56,5% a dla młodszych kobiet
55,5%. Często podaje się ze róznice te są uzasadnione
budową ciała np. bardziej rozwiniętą i umięśnioną obręczą
barkową u mężczyzn i bardziej rozwiniętym pasem biodrowym
u kobiet. Wyżej cytowane różnice w procentowym położeniu
OSC nie okazały się statystycznie istotne. U małego dziecka
OSC jest położone relatywnie wyżej niż u dorosłego osobnika z
uwagi na stosunkowo duża masę głowy i mniejszą masę nóg.
Uprawianie sportu pociągającego za sobą znaczny rozwój
masy mięśniowej równierz może mieć swoje odbicie w
położeniu OSC. Na przykład gimnastyk o dobrze rozwiniętej
obręczy barkowej i kończynach górnych może mieć
położone wyżej OSC niż piłkarz o silnie umięśnionych
nogach. :D