Środki mas i środki

ciężkości części ciała

Pod pojęciem ciężaru części ciała

rozumiemy siłę z jaka oddziaływuje na dana

cześć grawitacyjne pole przyciągania

ziemskiego. Zatem mówiąc o ciężarze np.

Ramienia mamy na myśli siłę wypadkowa

reprezentującą sumaryczny ciężar

wszystkich elementów tego ramienia. Ta

wypadkowa siła jak wielkość wektorowa ma

swa wartość, kierunek, zwrot, oraz punkt

przyłożenia. Ponieważ skutki wywołane

przez siłę działająca na bryłę sztywna

zalezą od każdej z wymienionych cech sił –

wektora, zatem chcąc w sposób rzetelny i

ścisły skutki owe przewidywać i analizować,

należy oprócz wartości (ciężaru) znać

równierz jej kierunek, zwrot i punkt

przyłożenia . Wyznaczanie zwrotu i kierunku

działania siły ciężkości nie stanowi problemu:

działa ona pionowo i jest skierowana ku

środkowi ziemi. Pozostaje wiec problem

wyznaczenia jej punktu przyłożenia. Punkt w

którym przyłożona jest siła reprezentującą

ciężar ciała nazywamy środkiem ciężkości.

Ponieważ na ciężar całego ciała składa się

suma ciężarów jego wszystkich elementów.

Zatem przez środek ciężkości ciała

rozumiemy punkt w którym przyłożona jest

wypadkowa sił ciężkości wszystkich

elementów ciała.

Środkiem ciężkości nazywamy

punkt, w którym jest

przyłożona wypadkowa sił

ciężkości (ciężarów)

wszystkich elementów ciała

Objaśnienie definicji środka

ciężkości

Aby w myśl owej definicji wyznaczyć

położenie środka ciężkości ciała, należy
najpierw podzielić je na elementy o
niewielkich rozmiarach, następnie
wyznaczyć ciężary owych elementów, a
następnie dodać je do siebie zgodnie z
zasadami sumowania wektorów. Punkt
przyłożenia wektora wypadkowego
wyznaczy nam położenie środka
ciężkości. Wektor wypadkowy będący
sumą ciężarów

q

1

i q

2

ma wartość q

1

+ q

2

a jego punkt przyłożenia leży na

prostej łączącej punkty przyłożenia

wektorów składowych dzieląc

odległość między nimi w stosunku

odwrotnie proporcjonalnym do

wartości wektorów zaczepionych na

jego końcach.

2

1

q

a
b q

=

1

2

a q b q

� = �

lub

postępując w podobny sposób

wyznaczamy sumę wektorów

q

1

+ q

2

oraz

wektora q

3

. Którego wartość wyniesie

q

1

+ q

2

+ q

3

, punkt przyłożenia

wyznaczamy zaś z zależności

3

1

2

q

c

d q q

=

+

Itd.

po dodaniu ostatniego (q

n

)

wyznaczamy położenie środka bryły.
Przytoczona definicja ma znaczenie
głownie poznawcze, lecz nie tylko,
wykorzystamy ja bowiem również
praktycznie do wyznaczania środków
ciężkości układów ciał.

Własności Środka Ciężkości:
1. Środek ciężkości figur płaskich i

regularnych leży w ich środku
geometrycznym.

2. Środek ciężkości jednorodnych brył

mających środek symetrii, leży w
środku ich symetrii.

3. Środek ciężkości brył jednorodnych

mających oś symetrii leży na tej osi.

4. Bryła zawieszona w punkcie

będącym jej środkiem ciężkości
znajdzie się w równowadze obojętnej.

5. Środek ciężkości i środek masy nie

są pojęciami tożsamymi i mogą leżeć
w różnych punktach.

Metody wyznaczania

środków ciężkości części

ciała człowieka

Proste praktyczne metody

wyznaczania środki ciężkości ciał w
odniesieniu do części ciał człowieka
zawodzą przede wszystkim z powodu
niemożności dowolnego oddzielenia ich
od siebie. Z kolei metody analityczne
wymagające informacji o rozkładzie
masy w ich wnętrzu, dokładniej
znajomości wymiarów geometrycznych
itp, należy uznać za zbyt
skomplikowane, aby mogły być
powszechnie używane.

Dlatego opracowano stosunkowo

proste w użyciu i nie wymagające
przeprowadzania skomplikowanych
pomiarów metody wyznaczania
środków ciężkości części ciała
człowieka. Powstały one
równocześnie z metodami
wyznaczania ciężarów części ciał i
opracowano je na tym samym
materiale badawczym.

Konstrukcja tych metod wymagała

przyjęcia pewnych założeń

upraszczających z których jako

najważniejsze należy wymienić:

1.Wymiarem dominującym każdej

części ciała jest jej długość.

2.Pod względem kształtu części ciała

przypominają bryły obrotowe, zatem

mają oś symetrii.

3.Rozkład materii wewnątrz każdej z

nich jest symetryczny względem

geometrycznej osi symetrii

4. Wobec powyższego środki ciężkości

takich brył będą leżeć na ich osi
symetrii.

5. Środek ciężkości dzieli zatem długość

danej części ciała na dwa odcinki, czyli
jego lokalizacja wymaga określenia
tylko jednej współrzędnej: odległości
środka ciężkości od któregoś z końców
odcinka będącego jej długością .

Aby wyznaczyć położenie środka ciężkości

danej części ciała, należy określić dzieli on
długość części ciała na dwa odcinki.

Źródło

Harles
(1860)

Braune i
Fischer

(1889)

Clauser i
wsp. (1969)

Zatziorsky i
wsp. (1981)

Odległość

Liczba

próbek

2

3

13

100

jednostka

r[%]

r[%]

r[%]

r[%]

Części ciała:

Głowa

36,2

-

46,6

50

Vertex-SC

Tułów

44,8

44

38

44,5

Suprastern-

ale – S.C.

Ramię

-

47

51,3

45

Oś stawu -SC

Przedramię

42

42,1

39

42,7

Oś stawu -SC

Ręka

39,7

-

48

37

Oś stawu -SC

Udo

48,9

44

37,2

45,5

Oś stawu -SC

Podudzie

43,3

42

37,1

40,5

Oś stawu -SC

Stopa

44,4

44,4

44,9

44,1

Pternion - SC

OSC

41,4

-

41,2

-

Vertex-SC

Tabela. Promienie wodzące (r) środków ciężkości części ciała w % ich długości

Przybliżone położenie środków

ciężkości ciał przedstawia rysunek.
(wartości liczbowe podają odległość
środka ciężkości wyrażoną w %
długości części ciała)

42,7%

100%

p

p

r

l x

=

'

O O

-

Wyznaczanie środka ciężkości przedramienia na podstawie danych V.N

Zatziorsky’ego

-

Oś symetrii przedramienia

p

r

- Promien wodzący środka ciężkości przedramienia

p

l

- długość przedramienia

Tabela regresji do obliczania promieni wodzących środków ciężkości

ciała r [cm] uzyskane w badaniach na osobnikach żywych

1

x

2

x

- Ciężar ciała w Kg

- Długość ciała w cm

Część ciała

równanie

Głowa
Górna część
tułowia

Środka część
tułowia

Dolna część
tułowia

Ramię
Przedramię
Ręka
Udo
Podudzie
Stopa

1

2

8,257 0,0025

0,023

r

x

x

=

-

+

1

2

3,32 0,0076

0,047

r

x

x

=

+

+

1

2

1,398 0,0058

0,045

r

x

x

=

+

+

1

2

1,182 0,0018

0,0434

r

x

x

=

+

+

1

2

1,67 0,03

0,054

r

x

x

=

+

+

1

2

0,192 0,028

0,093

r

x

x

=

-

+

1

2

4,11 0,026

0,033

r

x

x

=

+

+

1

2

2,42 0,038

0,135

r

x

x

=-

+

+

1

2

6,05 0,039

0,142

r

x

x

=-

-

+

1

2

3,767 0,065

0,033

r

x

x

=

+

+

Wyznaczania środków ciężkości

układów ciał

Z definicji środka ciężkości

wynika że do

wyznaczenia jego położenia dla pewnego układu
ciał konieczna jest znajomość ciężarów i położeń
środków ciężkości elementów układów. Ponieważ
środek ciężkości stanowi punkt przyłożenia
wypadkowej siły ciężkości całego układu,
poszukiwanie środka ciężkości sprowadza się do
wyznaczenia jego położenia np. metodą
sumowania wektorów – ciężarów kolejnych
elementów. Postępując w ten sposób wyznaczymy
wektor będący sumą wypadkową ciężarów
elementów układów. Jego wartość równa się
ciężarowi całego układu, a punkt przyłożenia jest
jednocześnie śrdokiem ciężkości

Przykład:

Rozważamy układ trzyelementowy przedstawiony na rysunku

2

2

1

1

1

2

A

D

A

D

D

B

D

B

q

x

x

q

y

y

q

AD

oraz

oraz

DB q

x

x

q

y

y

q

-

-

=

=

=

-

-

rozpoczniemy od wyznaczenia środka ciężkości

wspólnego dla ciał A i B. Aby znaleść jego

położenie należy dodać do siebie dwa (równoległe)

wektory q1 i q2 . Wektor wypadkowy będący suma

dwoch równoległych wektorów (q1 i q2 ) ma

wartość równa wartości wektorów składowych i jest

do nich równoległy a jego punkt przyłożenia leży

na prostej łaczącej punkty przyłożenia wektorów

składowych, dzieląc odległośc miedzy nimi na 2

części o długościach odwrotnie proporcjonalnych

do wartości wektorów zawieszonych na ich

końcach. W rozważanym przykładzie środek

ciężkości wspólny dla ciał A i B leży na odcinku AB

dzieląc go na dwie części AD i DB tak że:

2

1

q

AD

DB q

=

Ta proporcja podziału odległości AB jest zachowana również

dla jego rzutów na osi 0-x i 0-y, tzn

2

1

A

D

A

D

D

B

D

B

X

X

Y Y

q

X

X

Y

Y

q

-

-

=

=

-

-

Z proporcji możemy też wyznaczyć położenie punktu D:

2

1

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

(

)

(

)

(

)

A

D

D

B

A

D

D

B

A

D

D

B

D

D

A

B

D

A

B

A

B

D

X

X

q

X

X

q

q X

X

q X

X

q X

q X

q X

q X

q X

q X

q X

q X

X q q

q X

q X

q X

q X

X

q q

-

=

-

-

=

-

-

=

-

+

=

+

+

=

+

+

=

+

Oraz podobnie dla współrzędnej pionowej

1

2

1

2

A

B

D

qY

q Y

Y

q q

+

=

+

Następnie postępując podobnie do wyznaczonego wektora q1

i q2

przyłożonego w punkcie D należy dodać ciężar q3 ciała C,

wyznaczaja w ten sposób położenie punktu E który jest

środkiem ciężkości całego układu. Współżedne tego punktu

wykazują zależnośc:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

A

B

C

E

A

B

C

E

q X

q X

q X

X

q q q

qY

q Y

qY

Y

q q q

+

+

=

+ +

+

+

=

+ +

Wyznaczanie ogólnego środka

ciężkości ciała człowieka

metoda dźwigni jednostronnej

Dźwignią nazywamy sztywną belkę podpartą w

jednym punkcie, tak że może ona względem
niego wykonywać ruchy obrotowe. W ruch
obrotowy wprawiają dźwignię działające na nią
momenty sił. Jeśli momenty te się równoważą to
dźwignia znajduje się w równowadze. Tę własność
dźwigni można wykorzystać do wyznaczenia
położenia środka ciężkości ciał na niej ułożonych.
wyobraźmy sobie poziomo ustawioną dźwignię,
jednostronną na której ułożono człowieka.

Dźwignia jednostronna na którą działa moment

siły Q: M

Q

= Q x r

Ciężar ciała Q przyłożony do dźwigni w odległości r

od punktu podparcia wytwarza względem niego

moment siły M

Q

= Q x r . Moment ten będzie

wprawiał dźwignię w ruch obrotowy zgodny z

ruchem wskazówek zegara.

Aby jednak utrzymać dźwignię w równowadze, należy

skompensować działanie M

Q

przykładając do niej

dodatkowy moment np. M

R

taki sam co do wartości lecz

przeciwnie skierowany.

0

Q

R

Q

R

M

M

M

M

Qr Rl

-

=

=

=

gdzie:
r – ramię siły Q
R – siła reakcji
l – długość dźwigni, ramię siły R
Q – ciężar ciała

Z powyższych rysuków wynika że ramię r siły Q jest

odległością OSC człowieka umieszczonego na dźwigni,

mierzoną wzdłuż dźwigni od jej punktu podparcia.

Odległośc ta jest więc współrzędną OSC, mierzoną od

punktu podparcia dźwigni wzdłuż osi długiej ciała

leżącego na niej człowieka.

Ilustracja warunków równowagi dźwigni

Wartość tej współrzędnej można wyznaczyć z warunków

równowagi dźwigni.

Rl

r

Q

=

Aby więc wyznaczyć tę współrzędną należy zmierzyć moment

siły M

R

= Rl . Oraz ciężar ciała Q badanej osoby. Wartość

momentu siły M

R

można łatwo wyznaczyć w ten sposób że

koniec dźwigni zostanie opsrty na wadze która wskażę

wartość siły reakcji R, ramię zaś tej siły l, równe będzie

długości dźwigni.

Na przedstawionej sytuacji osobę badaną ułożono na

dźwigni w ten sposób że powierzchnia podeszwowa jej

stóp znajduje się nad punktem podparcia dźwigni, zatem

wyznaczana współrzędna r (mierzona od osi obrotu

dźwigni) określa jednocześnie odległość środka ciężkości

mierzonej wzdłuż osi długiej ciała od powierzchni stóp.

Opisaną metodę wyznaczania OSC jako pierwszy stosował E.

du Bois-Reymond (1818-1896) głowna zaletą tej metody jest
jej prostota a także możliwość zastosowania w odniesieniu do
kakretnego żywego człowieka. Niestety ma ona również wady
ograniczające możliwość jej zastosowania. Najbardziej istotna
wynika z konieczności utrzymania przez osobę badaną
nieruchomej pozycji ciała w trakcie pomiarów co w stosunku
do niektórych pozycji może być trudne do spełnienia.

OSC człowieka w postawie stojącej znajduje się na wysokości

od 53 do 60 % wysokości ciała. Średnie wartości dla populacji
młodszych meżczyzn wynoszą 56,5% a dla młodszych kobiet
55,5%. Często podaje się ze róznice te są uzasadnione
budową ciała np. bardziej rozwiniętą i umięśnioną obręczą
barkową u mężczyzn i bardziej rozwiniętym pasem biodrowym
u kobiet. Wyżej cytowane różnice w procentowym położeniu
OSC nie okazały się statystycznie istotne. U małego dziecka
OSC jest położone relatywnie wyżej niż u dorosłego osobnika z
uwagi na stosunkowo duża masę głowy i mniejszą masę nóg.

Uprawianie sportu pociągającego za sobą znaczny rozwój

masy mięśniowej równierz może mieć swoje odbicie w
położeniu OSC. Na przykład gimnastyk o dobrze rozwiniętej
obręczy barkowej i kończynach górnych może mieć
położone wyżej OSC niż piłkarz o silnie umięśnionych
nogach. :D