1
1
Fale
elektromagnetyc
zne i anteny
ZI - elektronika i
telekomunikacjia
semestr VII
1
1
Fale
elektromagnetyc
zne i anteny
ZI - elektronika i
telekomunikacjia
semestr VII
2
2
Prowadzenie fal
Prowadzenie fal
elektromagnetyczn
elektromagnetyczn
ych
ych
3
3
Prowadzenie fal
Prowadzenie fal
elektromagnetycznych
elektromagnetycznych
:
:
- linie transmisyjne TEM
- linie transmisyjne TEM
- falowody (światłowody)
- falowody (światłowody)
4
4
4
Linia transmisyjna
Linia transmisyjna
Linia symetryczna płaska
Linia współosiowa (koncentryczna)
s
d
d - średnica przewodu
wewnętrznego
D - średnica przewodu
zewnętrznego
5
5
5
Model linii transmisyjnej
Model linii transmisyjnej
elementarny odcinek linii
z = 0
Z
L
Z
G
U
G
V
we
V
wy
I
we
I
wy
z = L
z
6
6
6
Model elementarnego odcinka linii
Model elementarnego odcinka linii
L, R, C, G - parametry linii na jednostkę
długości
L z
R z
C z
G z
v(z,t)
v(z+z,t)
i(z,t)
i(z +z,t)
t
t)
i(z,
L
t)
i(z,
R
t
t)
v(z,
t)
z,
v(z
t
t)
i(z,
z
L
t)
i(z,
z
R
t)
v(z,
0
jeżeli z 0, to:
II prawo Kirchhoffa
:
7
7
7
v(z+z,
t)
L z
R z
C z
G z
v(z,t)
i(z,t)
i(z +z,t)
t
t)
v(z,
C
t)
v(z,
G
t
t)
i(z,
t)
z,
i(z
t
t)
v(z,
z
C
t)
v(z,
z
G
t)
i(z,
0
jeżeli z 0, to:
I prawo
Kirchhoffa :
8
8
8
Równania telegrafistów dla linii
Równania telegrafistów dla linii
transmisyjnej
transmisyjnej
t
t)
i(z,
L
t)
i(z,
R
z
t)
v(z,
-
t
t)
v(z,
C
t)
v(z,
G
z
t)
i(z,
-
9
9
9
Time-Harmonic Transmission Line
Time-Harmonic Transmission Line
Equation
Equation
V(z)
C)
j
(G
dz
dI(z)
-
I(z)
L)
j
(R
dz
dV(z)
-
only,
coordinate
space
of
functions
are
I(z)
and
V(z)
where
ωt)
exp(j
I(z)
[
Re
t)
i(z,
ωt)
exp(j
V(z)
[
Re
t)
v(z,
:
functions
harmonic
-
time
a
for
phasors
Using
]
]
10
10
10
General Transmission Line Equation
General Transmission Line Equation
The coupled time-harmonic transmission line equation:
C)
j
L)(G
j
R
j
:
where
I(z)
dz
I(z)
d
V(z)
dz
V(z)
d
2
2
2
2
2
2
(
współczynnik propagacji
przy czym: 0 i 0.
11
11
11
Rozwiązanie ogólne
C
j
G
L
j
R
Z
e
I
e
I
(z)
I
(z)
I
I(z)
e
V
e
V
(z)
V
(z)
V
V(z)
0
z
m
z
-
m
-
z
m
z
-
m
-
Iloraz napięcia i prądu fali padającej i/lub ze
znakiem ujemnym napięcia i prądu fali odbitej
nazywamy impedancją falową linii:
12
12
12
Linia bezstratna
Linia bezstratna
C
L
Z
:
impedance
stic
characteri
LC
1
u
:
velocity
phase
LC
j
:
constant
n
propagatio
0
G
and
0
R
0
p
13
13
13
Linia o małych stratach
Linia o małych stratach
]
)
C
G
L
R
(
2j
1
1
[
C
L
Z
:
impedance
stic
characteri
LC
1
u
:
velocity
phase
LC
,
)
C
L
G
L
C
R
(
j
:
constant
n
propagatio
C
G
,
L
R
0
p
5
0.
14
14
14
Linia niezniekształcająca
Linia niezniekształcająca
C
L
Z
:
impedance
stic
characteri
LC
1
u
:
velocity
phase
j
R
(
L
C
:
constant
n
propagatio
C
G
L
R
0
p
)
L
15
15
15
Impedancje charakterystyczne linii
Impedancje charakterystyczne linii
,
d
D
ln
60
Z
,
d
2s
ln
120
Z
r
0
r
0
s
d
Linia symetryczna płaska:
Linia współosiowa:
16
16
16
Linia o skończonej długości zakończona
Linia o skończonej długości zakończona
impedancją Z
impedancją Z
L
L
Napięcie i prąd na końcu
z=l
linii są
równe:
Rozwiązując ze względu na amplitudy
napięcia fali padającej i powrotnej:
l
l
l
l
e
Z
V
e
Z
V
I
e
V
e
V
V
m
m
L
m
m
L
0
0
l
l
e
)
Z
I
(V
.
V
e
)
Z
I
(V
.
V
L
L
m
L
L
m
0
0
5
0
5
0
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
Z
I
I(z)
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
I
V(z)
)
(
L
)
(
L
L
)
(
L
)
(
L
L
z
l
z
l
z
l
z
l
0
0
0
0
0
2
2
z
z
z
z
e
I
e
I
I(z)
e
V
e
V
V(z)
m
m
m
m
17
17
17
Współrzędne l i z występują w kombinacji (l
- z), zatem wprowadzając nową zmienną z’
= l - z otrzymamy:
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
Z
I
)
I(z'
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
I
)
V(z'
'
L
'
L
L
'
L
'
L
L
z
z
z
z
0
0
0
0
0
2
2
Przy czym odległość z’ jest mierzona jako
dodatnia od obciążenia do źródła.
Wykorzystując definicje funkcji
hiperbolicznych:
otrzymujemy napięcie i prąd w dowolnym
punkcie z’:
)
'
sinh(
e
e
),
'
cosh(
e
e
z'
z'
z'
z'
z
z
2
2
]
)
z'
cosh(
Z
)
z'
sinh(
Z
[
Z
I
)
I(z'
]
)
z'
sinh(
Z
)
z'
cosh(
Z
[
I
)
V(z'
L
L
L
L
0
0
0
18
18
18
Iloraz V(z’)/I(z’) jest impedancją linii
widzianą w punkcie z’ od obciążenia i w
kierunku obciążenia:
z’ = l
Z
L
Z
G
U
G
V
we
V
wy
I
we
I
wy
z’ =
0
z’
V(z’)
I(z’)
)
z'
tanh(
Z
Z
)
z'
tanh(
Z
Z
Z
)
Z(z'
L
L
0
0
0
)
tanh(
Z
Z
)
tanh(
Z
Z
Z
Z
L
L
we
l
l
0
0
0
oraz impedancja wejściowa linii:
19
19
19
Przypadek dopasowania obciążenia do
Przypadek dopasowania obciążenia do
linii
linii
Z
Z
L
L
= Z
= Z
0
0
Impedancja linii w dowolnym punkcie:
oraz napięcie i prąd:
0
0
0
0
0
0
Z
)
z'
tanh(
Z
Z
)
z'
tanh(
Z
Z
Z
)
Z(z'
z
z
l
z
l
z
l
z
z
l
z
l
z
l
e
I
e
)
e
(I
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
Z
I
I(z)
e
V
e
)
e
Z
(I
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
I
V(z)
we
L
)
(
L
)
(
L
L
we
L
)
(
L
)
(
L
L
0
0
0
0
0
0
2
2
zatem w linii występują tylko składowe fal
pradu i napięcia transmitowane od źródła
do obciążenia - brak jest fal powrotnych.
Cała energia dostarczona ze źródła jest
wydzielana w obciążeniu.
20
20
20
Linia transmisyjna bezstratna jako
Linia transmisyjna bezstratna jako
element obwodowy
element obwodowy
z’ =
l
Z
L
Z
G
U
G
V
we
V
wy
I
we
I
wy
z’=
0
z’
V(z’
)
I(z’)
)
tg(
Z
j
R
)
tg(
R
j
Z
R
Z
L
L
we
l
l
0
0
0
Impedancja wejściowa jest równa:
przy czym wykorzystano tu znaną
zależność:
tanh(jx) = j tg(x)
21
21
21
Przypadek szczególny 1
Przypadek szczególny 1
z’ =
l
Z
G
U
G
V
we
I
we
z’=
0
)
cot(
jR
jX
Z
o
we
o
we
l
0
Impedancja
wejściowa jest
równa:
1. Linia rozwarta
na końcu, Z
L
=:
pojemnościow
y
/4
3/
4
/2
l
X
we o
indukcyjny
Dla linii bardzo krótkiej:
l << 1, 2l << , l <<
0.16 ,
z
o
we
o
we
C
j
C
j
R
j
jX
Z
1
1
0
l
l
22
22
22
Przypadek szczególny 2
Przypadek szczególny 2
)
tg(
jR
jX
Z
z
we
z
we
l
0
Impedancja
wejściowa jest
równa:
2. Linia zwarta na
końcu, Z
L
=0:
Dla linii bardzo krótkiej:
l << 1, 2l << , l <<
0.16 ,
z
z
we
z
we
L
j
L
j
jR
jX
Z
l
l
0
z’ =
l
Z
G
U
G
V
we
I
we
z’=
0
pojemnościow
y
/4
3/
4
/2
l
X
we o
indukcyjny
23
23
23
Przypadek szczególny 3
Przypadek szczególny 3
L
t
we
Z
R
Z
2
0
Impedancja wejściowa jest
równa:
tzn. na wejściu linii jest widziana
impedancja proporcjonalna do
odwrotności impedancji
obciążenia Z
L
.
3. Transformator
ćwierćfalowy,
l = /4:
Dla linii o długości l = /4 lub nieparzystej
wielokrotności /4 mamy:
l = ( 2/ ).( 2n - 1)./4 = ( 2n -
1 )./2,
tg ( l ) = tg [ ( 2n - 1) /2 ]
z’ =
l
Z
G
U
G
V
we
I
we
z’=
0
Z
L
24
24
24
Przypadek szczególny 4
Przypadek szczególny 4
L
.
we
Z
Z
5
0
Impedancja wejściowa jest równa:
tzn. na wejściu linii jest widziana impedancja
obciążenia Z
L
.
4. Sekcja półfalowa,
l = /2:
Dla linii o długości l = /2 lub
wielokrotności /2 mamy:
l = ( 2/ ).n/2 = n ,
tg ( l ) = 0
z’ =
l
Z
G
U
G
V
we
I
we
z’=
0
Z
L
25
25
25
Doświadczalne wyznaczanie
Doświadczalne wyznaczanie
parametrów linii
parametrów linii
)
Z
Z
arctanh
Z
Z
Z
o
we
z
we
z
we
o
we
1
-
(m
)
(
l
1
0
Dla linii o długości l doświadczalnie
wyznacza się impedancje wejściowe dla
dwóch przypadków:
1. Rozwarcia na wyjściu:
2. Zwarcia na wyjściu:
wtedy:
)
tanh(
Z
Z
)
coth(
Z
Z
z
we
o
we
l
l
0
0
26
26
26
Linia o skończonej długości zakończona
Linia o skończonej długości zakończona
impedancją Z
impedancją Z
L
L
Napięcie w dowolnym punkcie z’ można
zapisać następująco:
Przy czym
jest tzw.
napięciowym
współczynnikiem odbicia od impedancji
obciążenia
linii:
]
e
[
e
)
Z
(Z
I
]
e
Z
Z
Z
Z
[
e
)
Z
(Z
I
]
e
)
Z
(Z
e
)
Z
(Z
[
I
)
V(z'
'
'
L
L
'
L
L
'
L
L
'
L
'
L
L
z
z
z
z
z
z
2
0
2
0
0
0
0
0
1
2
1
2
2
j
e
Z
Z
Z
Z
I
I
V
V
L
L
m
m
m
m
0
0
27
27
27
Linia o skończonej długości zakończona
Linia o skończonej długości zakończona
impedancją Z
impedancją Z
L
L
Dla linii bezstratnej = j :
Wskazy napięcia i prądu wzdłuż linii
można przedstawić również w postaci:
]
[
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
)
'
(
'
L
L
)
'
(
'
L
L
e
e
R
Z
R
I
z'
I
e
e
R
Z
I
z'
V
z
j
z
j
z
j
z
j
2
0
0
2
0
1
2
1
2
)
z'
sin(
R
V
)
z'
cos(
I
)
I(z'
)
z'
sin(
R
I
)
z'
cos(
V
)
V(z'
L
L
L
L
0
0
j
j
28
28
28
Moduły napięcia i prądu w linii wykazują w
stałych punktach minima i maksima,
tworząc tzw. falę stojącą, np. dla obciążenia
rzeczywistego Z
L
= R
L
:
Moduł wartości maksymalnej napięcia
występuje dla współrzędnej z’= z’
max
spełniającej warunek:
)
z'
(
sin
R
R
)
z'
(
cos
I
)
I(z'
)
z'
(
sin
R
R
)
z'
(
cos
V
)
V(z'
L
L
L
L
2
2
0
2
2
2
0
2
1
2
)
'
j(
max
e
z
natomiast moduł wartości minimalnej
występuje dla współrzędnej z’= z’
min
spełniającej warunek:
1
2
)
'
j(
max
e
z
29
29
29
Wartości te wynoszą:
Iloraz modułów maksymalnej i
minimalnej wartości napięcia
w linii nazywamy
współczynnikiem fali stojącej
S
(SWR - Standing Wave Ratio):
]
[
)
(
]
[
)
(
1
2
1
2
0
0
'
L
L
min
'
L
L
max
e
R
Z
I
V
e
R
Z
I
V
z
j
z
j
1
1
min
max
V
V
S
Moduł współczynnika odbicia jako
funkcja współczynnika S:
Przypadki szczególne:
= 0 , S = 1 : Z
L
= Z
0
(dopasowanie)
= -1, S : Z
L
= 0 (zwarcie
linii)
= +1, S : Z
L
(rozwarcie
linii)
1
1
S
S
30
30
30
Moduły napięcia i prądu (obwiednie)
fali częściowo stojącej w linii
/4
3/
4
/2
z’
|
V(z’)
|
|
I(z’)|
0
31
31
31
Obwód równoważny linii w punkcie
Obwód równoważny linii w punkcie
zasilania z generatora z = 0
zasilania z generatora z = 0
Średnia moc dostarczona z generatora:
G
we
G
we
G
G
we
we
we
Z
Z
U
I
U
Z
Z
Z
V
Z
G
U
G
Z
w
e
V
we
I
we
l
z
z
'
,
*
we
we
śr
]
I
Re[V
P
0
2
1
Średnia moc dostarczona do obciążenia:
L
L
'
,
*
L
L
śr
R
I
]
I
Re[V
P
2
0
2
1
2
1
z
l
z
32
32
32
Zadanie 10
Zadanie 10
Generator sinusoidalny o rezystancji
wewnętrznej 1 i napięciu U
G
(t)=0.3 cos(2
10
8
t) V zasila linię transmisyjną bezstratną o
impedancji charakterystycznej 50 . Linia
ma długość 4 m a prędkość propagacji fali w
linii wynosi 2.5E8 m/s. Dla przypadku
dopasowania obciążenia do linii należy
obliczyć:
A) wartości chwilowe napięcia i prądu w linii w
jej dowolnym punkcie,
B) wartości chwilowe prądu i napięcia w
obciążeniu,
C) średnią moc dostarczoną do obciążenia.
33
33
Elementy techniki
Elementy techniki
mikrofalowej
mikrofalowej
34
34
34
Pole elektromagnetyczne w
przestrzeni zamkniętej
Kondensator przy wielkich
częstotliwościach
Przesłanki:
Pole E wewnątrz
kondensatora jest
sinusoidalnie
zmienne w czasie
E = E
0
e
j
, i
równomiernie
rozłożone w
przestrzeni
pomiędzy płytami.
Zgodnie z prawem
Maxwella powstaje
całka
krzywoliniowa
pola B:
ds
)
dt
dE
(J
dl
B
C
A
B
E
h
a
CC
C
1
CC
S
1
CC
r
35
35
35
Ponieważ prąd przewodzenia jest równy 0, zatem
równanie to upraszcza się do postaci:
ds
dt
dE
dl
B
1
1
C
S
2
c
1
Przy czym C
1
jest obwodem okręgu pola B o
promieniu
r
a S
1
jest powierzchnią tego okręgu. Z
powyższego równania otrzymujemy:
t
j
0
2
e
2
E
c
r
j
B
Pole B wynikające ze zmiennego w czasie pola E jest
również sinusoidalną funkcją czasu i zależy od
promienia r. Zatem również pole E zależy od promienia
r, a to jest sprzeczne z pierwotnym założeniem. Pole E
można przedstawić w postaci:
E = E
1
+ E
2
przy czym E
1
jest polem równomiernym E
1
= E
0
e
j t
f®, natmiast jest poprawką wynikającą z
nierównomiernego pola B.
36
36
36
Poprawka E
2
zależy od promienia r i jest równa
E
2
(r=0) = 0. Można ją wyznaczyć z prawa Faraday’a:
ds
B
t
dl
E
2
2
S
C
przy czym C
2
jest obwodem prostokąta a S
2
jest jego
powierzchnią , zgodnie z poniższym rysunkiem:
Całka po lewej stronie:
h
r
2
C
2
C
C
2
1
C
2
2
2
2
)
(
E
dl
E
dl
E
dl
E
dl
E
C
C
2
C
S
2
r
h
=
0
37
37
37
Po przekształceniach otrzymujemy:
przy czym C
2
jest obwodem prostokąta a S
2
jest jego
powierzchnią , zgodnie z poniższym rysunkiem:
Nasze poprawione pole E nie jest już równomierne,
zatem również pole B jest sumą dwóch składników: B
= B
1
+ B
2
, przy czym składnik B
2
jest poprawką
wytworzoną przez pole E
2
. Kontynując to
rozumowanie otrzymujemy ostatecznie:
t
j
0
2
2
2
2
1
e
c
r
4
1
1
E
)
(
E
E
E
- a
a
E
38
38
38
Po przekształceniach otrzymujemy:
przy czym wyraz w nawiasie jest funkcją specjalną
Bessela zerowego rzędu:
...]
c
2
r
!)
3
(
1
c
2
r
!)
2
(
1
c
2
r
!)
1
(
1
1
[
e
6
2
4
2
2
2
t
j
0
E
E
...
2
x
!)
3
(
1
2
x
!)
2
(
1
2
x
!)
1
(
1
1
(x)
6
2
4
2
2
2
0
J
c
r
e
0
t
j
0
J
E
E
J
0
(x)
1
2.405
x=r/c
39
39
39
Pole elektryczne w kondensatorze przy bardzo dużych
częstotliwościach zależy od położenia względem środka
kondensatora, czyli od promienia r.
Jeżeli = 0, to J
0
(0) = 1 i pole E jest równomierne,
natomiast jeżeli promień r’ i częstotliwość ’ spełniają
warunek (’ r’)/c = 2.405
to pole E = 0. Zatem rozkład pola nie zmieni się, jeżeli
kondensator zamkniemy ściankami metalowymi dla r’.
r’=2.405c/’
wnęka
mikrofalowa
40
40
40
Wnęka mikrofalowa jest obwodem rezonansowym:
Zwiększenie częstotliwości
rezonansowej uzyskuje się np.
przez zmniejszenie L, tzn.
zmniejszenie liczby zwojów do
jednego, lub połączenie
równoległe L.
W ten sposób otrzymujemy
wnękę mikrofalową w roli
obwodu rezonansowego.
Dobroć takiego obwodu dla
częstotliwości mikrofalowych
jest rzędu 100 000 -
nieosiągalna przy użyciu
kondensatorów i cewek
skupionych.
L
C
LC
1
0
41
41
41
Obwód równoważny linii w punkcie
Obwód równoważny linii w punkcie
zasilania z generatora z = 0
zasilania z generatora z = 0
Średnia moc dostarczona z generatora:
G
we
G
we
G
G
we
we
we
Z
Z
U
I
U
Z
Z
Z
V
Z
G
U
G
Z
w
e
V
we
I
we
l
z
z
'
,
*
we
we
śr
]
I
Re[V
P
0
2
1
Średnia moc dostarczona do obciążenia:
L
L
'
,
*
L
L
śr
R
I
]
I
Re[V
P
2
0
2
1
2
1
z
l
z
42
42
42
Podstawy teorii falowodów
Podstawy teorii falowodów
Aby pole E
y
spełniło warunki brzegowe musi
zachodzić:
)
(
z
k
t
j
x
0
y
z
x)e
sin(k
E
E
y
z
x
a
b
a
b
E
E
y
i
,
a
x
0
x
0
x)
sin(k
x
zatem:
...
,
,
,
3
2
1
n
n
x
k
x
43
43
43
Ponieważ wewnątrz falowodu nie ma ładunków, to
dywergencja wektora E musi być równa 0:
sprawdzam
y:
0
0
y
E
0
z
E
y
E
x
E
y
z
y
x
E
Pole E musi spełniać równanie falowe:
0
t
E
c
1
z
E
y
E
x
E
2
y
2
2
2
y
2
2
y
2
2
y
2
y
2
2
y
2
y
2
z
2
y
2
2
y
2
y
2
x
2
y
2
E
t
E
E
k
z
E
0
y
E
E
k
x
E
,
,
,
(*
)
podstawiając do
(*):
0
E
c
E
k
E
k
y
2
2
y
2
z
y
2
x
-
(**
)
44
44
44
Zakładamy oczywiście, że E 0 dla x [0,a], zatem
Fala E przemieszcza się w falowodzie w kierunku osi
z tylko wtedy, gdy liczba falowa spełnia warunek (x).
Z tego warunku wynika wzór na dolną częstotliwość
graniczną fali, jaka może być przenoszona przez
falowód:
Ale k
x
jest już ustalone wcześniej k
x
= / a , zatem:
0
c
k
k
2
2
2
z
2
x
-
2
2
z
a
c
k
(x
)
a
2
c
f
a
c
f
2
g
g
g