Projektowanie URA
Projektowanie URA
Synteza sterowania
Wtedy gdy układ dynamiczny nie zachowuje się w
sposób pożądany musimy zaprojektować regulator
Pierwszym krokiem w projekcie regulatora jest
ustalenie jego struktury. Trzy najprostsze
struktury dla to:
wzmocnienie
pojedyncze zero
pojedynczy biegun
Wzmocnienie i pojedynczy biegun występowały już
wcześniej przy okazji rozważań na temat uchybu
ustalonego:
Integrator
w pętli jednostkowego sprzężenia
zwrotnego jest szczególnym przypadkiem
pojedynczego bieguna; implikuje zerowy uchyb
ustalony na wymuszenie skokowe
)
(s
G
_
r
y
)
(s
K
)
(s
K
Synteza sterowania
Występuje również ważna struktura
sterowania, która jest szczególnym
przypadkiem pojedynczego zera, gdy jest
ono w początku układu współrzędnych:
sterowanie różniczkujące
Waga elementów
p
roporcjonalnego
(wzmocnienie), różniczkującego (ang.
d
erivative) i całkującego (ang.
i
ntegral)
jest od dawna uznana w sterowaniu.
Regulator, który uwzględnia te trzy
efekty nazywany jest regulatorem
proporcjonalno-całkująco-różniczkującym,
czyli
PID
)
1
1
(
)
(
d
i
p
sT
sT
K
s
K
Synteza sterowania
Jednakże, okazuje się, że przypadek pojedynczego
zera chociaż teoretycznie akceptowalny to w
praktyce nie jest realizowalny fizycznie.
Rozwiązaniem jest dodanie zarówno zera jak i
bieguna i utworzenie struktury o ogólnej postaci
jak poniżej
Gdy zero ma mniejszą wartość (co do modułu) niż
biegun wówczas taki regulator nazywamy
wyprzedzającym fazę (ang.
lead
controller). W
przeciwnym przypadku nazywamy go regulatorem
opóźniającym fazę (ang.
lag
controller).
p
s
z
s
K
s
K
)
(
Synteza sterowania – własności
regulatorów
Regulator
Odpowiedź
przejściowa
Uchyb statyczny
Proporcjonalny
(P)
Może poprawić
zazwyczaj nie
zero
Różniczkujący
(D)
zwiększa
tłumienie i
poprawia
stabilność
zazwyczaj nie
zero
Całkujący (I)
może pogorszyć
stabilność
Jeśli wzm. DC
obiektu jest
różne od zera,
sterowanie (I)
sprowadza
uchyb do zera
PI
kombinacja P , I
kombinacja P, I
PD
kombinacja P, D
kombinacja P, D
PID
kombinacja P, I,
D
kombinacja P, I,
D
Wyprzedzający
fazę
Zmniejsza czas
narastania
zwiększa
tłumienie
zazwyczaj nie
zero
Opóźniający fazę
pogarsza
stabilność
zmniejsza uchyb
Projekt regulatora P
Załóżmy, że chcemy zaprojektować regulator P,
który zagwarantuje zapas fazy 60º i pasmo
przenoszenia co najmniej 0.5 rad/sec dla obiektu
(silnik DC)
Krok1:
Narysujmy charakterystyki obiektu
nie spełniają
założeń
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
s
s
G
a
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20
40
Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Projekt regulatora P
Czy zwykłe wzmocnienie wystarczy?
Krok 2:
Znajdź częstotliwość dla której faza jest równa –
180º+PM=-120º. Odpowiedź: około
Krok 3:
Czy częstotliwość dla której faza=-120º jest
większa niż wymagane pasmo przenoszenia ? Tak, gdyż
Krok 4:
Jeżeli odpowiedź w Kroku 3 jest nie, to samo
wzmocnienie nie wystarczy. Jeżeli jest tak, to
przyjmujemy jako częstotliwość
odcięcia układu otwartego (aproksymacja pasma
przenoszenia układu zamkniętego) ustalając
wzmocnienie regulatora jako odwrotność wzmocnienia
układu dla tej częstotliwości. W naszym przypadku
Krok 5:
Rysujemy charakterystyki skompensowanego
układu
sec
/
57
.
0
rad
5
.
0
57
.
0
sec
/
57
.
0
rad
3
/
2
5
.
1
/
1
5
.
1
)
57
.
0
(
K
j
G
K
s
K
)
(
Projekt regulatora P
Rysunek pokazuje, że wymaganie zapasu fazy jest spełnione
Krok 6:
Narysuj wykres Bode’go
układu zamkniętego i zmierz
pasmo przenoszenia. Wymagania są spełnione
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20
40
Gm = Inf, Pm=60 deg. (at 0.57735 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20
From: U(1)
10
-1
10
0
10
1
-200
-150
-100
-50
0
To
: Y
(1
)
5
.
0
92
.
0
B
3
3
/
2
)
(
s
K
nieskompensowany
Regulator PD
Regulator PD ma następującą
transmitancję (patrz powyżej)
A oto jego charakterystyki
częstotliwościowe dla
1
)
(
)
(
s
T
K
s
KD
s
K
d
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
20
40
60
80
100
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
2
1
e
T
d
2
1
e
T
d
1
,
1
d
T
K
1
d
T
Projekt regulatora PD
Z charakterystyk częstotliwościowych widać, że
regulator PD ma stabilizujący wpływ na obiekt,
zwiększając przesunięcie fazowe powyżej
Zwiększając fazę w układzie nieskompensowanym
zwiększamy zapas fazy, który poprawia stabilność
(zwiększa tłumienie, rośnie)
Stosujemy ten regulator tak, aby punkt załamania
jego charakterystyki był w pobliżu częstotliwości
odcięcia, => większy zapas fazy.
Przykład:
Dla silnika DC, załóżmy, że chcemy
oraz . Projektując regulator P
dla częstotliwości odcięcia 1.51 rad/sec otrzymamy
tylko To nie wystarcza. Musimy więc
zaprojektować regulator PD, który zwiększy fazę.
2
1
e
T
d
100
/
PM
1
d
T
s
rad
B
/
5
.
1
º
34
PM
º
60
PM
Projekt regulatora PD
Krok 1:
chcemy aby pasmo przenoszenia było
większe niż 1.5, czyli np. . Wiemy, że pasmo
przenoszenia układu zamkniętego można
przybliżyć częstotliwością odcięcia układu
otwartego. A więc chcemy .
Krok 2:
Dla , faza nieskompensowanego
układu jest o 26º powyżej –180º. Czyli
potrzebujemy co najmniej 34º fazy aby otrzymać
PM=60º. Dla bezpieczeństwa przyjmijmy
dodatkowo 45º dla . Można to osiągnąć
ustalając gdyż regulator PD ma fazę 45º w
.
Krok 3:
narysujmy wykres Bode’go układu
skompensowanego i dostosujmy wzmocnienie
tak aby częstotliwość odcięcia była
2
B
2
c
2
c
2
c
2
1
d
T
1
d
T
2
c
10
2
2
1
2
1
1
)
(
)
(
1
2
c
c
c
c
c
j
j
j
j
G
j
D
K
K
Projekt regulatora PD
Step 4:
Draw Bode plots of open-loop
and closed-loop systems to show that
the specifications are met
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-20
0
20
40
60
Gm = Inf, Pm=71.565 deg. (at 2 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0
5
From: U(1)
10
-1
10
0
10
1
-100
-80
-60
-40
-20
0
To
: Y
(1
)
B
=2.5
1
5
.
0
10
)
(
s
s
K
(otwarty)
(zamknięty)
Kompensator wyprzedzający fazę
Zaprojektowany został regulator PD w celu
stabilizacji systemu oraz zapewnienia
pożądanego pasma przenoszenia (bandwidth).
Rzut oka na charakterystykę Bode’go
regulatora PD pokazuje, że wzmocnienie
logarytmiczne rośnie ze wzrostem
częstotliwości
Jest to niepożądane ponieważ powoduje to
wzmocnienie szumów
wysokoczęstotliwościowych N zazwyczaj
występujących w rzeczywistych systemach
oraz dlatego że idealne różniczkowanie nie jest
realizowalne fizycznie
Dla wysokich częstotliwości wymagamy
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
j
K
j
G
j
K
j
G
j
K
j
G
j
N
j
Y
1
)
(
)
(
j
K
j
G
)
(
)
(
j
K
j
G
10
log
20
Kompensator wyprzedzający fazę
Aby osłabić efekt wzmacniania wysokich
częstotliwości regulatora PD dodajemy jeden
biegun odpowiadający częstotliwości
załamania charakterystyki regulatora PD w
mianowniku jego transmitancji
Wzrost fazy (lub wyprzedzenie) nadal
występuje ale wzmocnienie dla wysokich
częstotliwości jest ograniczone
Transmitancja kompensatora
wyprzedzającego fazę
Charakterytstyki częstotliwościowe
p
z
p
s
z
s
K
s
KD
s
K
,
)
(
)
(
p
arctg
z
arctg
j
K
p
z
K
j
K
)
(
arg
)
(
,
)
(
2
2
2
2
Kompensator wyprzedzający fazę
The name lead compensation comes from the phase-lead
characteristic caused by the zero occuring first
10
,
1
,
10
p
z
K
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
5
10
15
20
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
20
40
60
80
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
Kompensator wyprzedzający fazę
Częstotliwość dla której faza osiąga
maksimum i wartość fazy dla tej
częstotliwości można otrzymać następująco
1
/
1
/
)
sin(
2
)
(
1
1
)
(
0
)
(
1
/
1
1
/
1
)
(
max
max
max
max
2
max
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
max
z
p
z
p
zp
z
p
tg
zp
zp
p
zp
z
zp
p
zp
arctg
tg
z
zp
arctg
tg
p
zp
arctg
tg
z
zp
arctg
tg
tg
zp
p
z
zp
p
z
d
d
p
z
z
p
pz
z
zp
p
p
z
z
p
p
z
z
d
d
z
p
pz
2
z
p
max
Kompensator wyprzedzający fazę
Jak widać z wykresu Bode’go, częstotliwość
odpowiadająca maksimum fazy jest w połowie między
zerem, a biegunem, tzn. jest
średnią geometryczną
częstotliwości odpowiadających zeru i biegunowi
Moduł dla częstotliwości o maksimum fazy wynosi
Wykres maksymalnego
przesunięcia fazowego jako
funkcji p/z pokazuje, że powyżej
85º p/z staje się b. duże
90º tylko dla
(tylko zero, nie ma bieguna)
p
z
K
j
K
z
p
p
p
z
z
K
zp
p
zp
z
K
j
K
)
(
)
(
)
(
)
(
max
2
2
max
0
50
100
150
200
250
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
p/z
m
ax
)
/
(
z
p
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
W projekcie tego typu kompensatora mamy do
czynienia z trzema parametrami projektowymi
1.
Pasmo przenoszenia , które określa częstotliwość
odcięcia , czas narastania i czas ustalania
2.
Zapas fazy PM, który określa współczynnik tłumienia
i przeregulowanie
3.
Wzmocnienie dla małych częstotliwości, które określa
uchyb ustalony
kompensator można projektować ze względu na
PM i zwiększone pasmo przenoszenia lub PM i
zachowanie w stanie ustalonym.
Oba te sposoby różnią się tylko w części
początkowej
B
c
r
t
s
t
p
M
Projet kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 1 (stan ustalony):
Wybierz wzmocnienie układu
otwartego K aby spełnić wymagania uchybowe
Krok 1 (pasmo przenoszenia):
Wybierz częstotliwość
odcięcia układu otwartego do dwóch razy mniej
niż żądane pasmo przenoszenia układu zamkniętego
Krok 2:
Oszacuj zapas fazy systemu przed kompensacją
Krok 3:
Przyjmij dodatkowy zapas fazy (5% do 10%
wiecej) i wyznacz potrzebne wyprzedzenie fazy
Krok 4:
Wyznacz
Krok 5:
Oblicz wzmocnienie kompensatora
i przyjmij (przyjmij dla
pasma przenoszenia)
max
)
sin(
1
)
sin(
1
max
max
p
z
p
z
K
j
K
max
)
(
c
max
)
(
/
c
j
G
z
p
K
c
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 5 daje wartość którą możemy użyć w
co razem z
daje parametry kompensatora
Krok 6:
Narysuj charakterystyki układu po
kompensacji i sprawdź z założeniami. Jeśli
spełnione - zakończ, jeśli nie wróć do Kroku 2 i
rozpocznij kolejną iterację.
Przykład 1 (pasmo przenoszenia):
Ten sam przykład
co dla PD
Krok 1:
Wybierz .
Krok 2:
Dla , zapas fazy wynosi26º .
Krok 3:
Potrzeba co najmniej 34º dodatkowo aby
PM=60º. Na wszelki wypadek dodajmy 45º w
max
zp
max
)
sin(
1
)
sin(
1
max
max
p
z
s
rad
B
/
5
.
1
º
60
PM
s
rad
c
/
2
2
c
2
c
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Real Axis
Im
ag
A
xi
s
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 4:
Krok 5:
1716
.
0
2
2
2
2
)
4
/
sin(
1
)
4
/
sin(
1
p
z
8
.
10
1716
.
0
1
5
2
)
(
/
5
2
1
)
(
K
j
G
z
p
K
j
G
c
c
829
.
0
1716
.
0
,
828
.
4
4
1716
.
0
1716
.
0
4
2
2
2
max
p
z
p
p
p
z
Niech
zp
zp
c
828
.
4
829
.
0
8
.
10
)
(
s
s
s
K
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50
Gm = Inf, Pm=71.539 deg. (at 2.0009 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-160
-140
-120
-100
-80
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 6:
Wszystkie założenia spełnione
Bode plots of open-loop uncompensated and compensated
systems show the effect of phase lead
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-50
0
50
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Uncompensated
Compensated
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
-100
-80
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-60
-40
-20
0
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Plot for Closed-Loop System
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-150
-100
-50
0
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
B
=3
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Przykład 2 (stan ustalony):
dla obiektu
zaprojektuj kompensator spełniający następujące
założenia:
1.
Uchyb ustalony na wymuszenie skokowe = 0
2.
Uchyb ustalony na wymuszenie liniowe <= 0.1
3.
Zapas fazy = 45º
Krok 1:
W obiekcie występuje integrator więc zał. 1 jest OK.
Dla zał. 2 wymagamy
Ponieważ , wystarczy
)
1
6
/
)(
1
5
.
2
/
(
10
)
(
s
s
s
s
G
10
)
(
)
(
lim
10
1
.
0
1
1
.
0
0
s
G
s
sK
K
K
e
s
v
v
ramp
ss
10
)
(
lim
0
s
sG
s
1
)
0
(
K
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 2:
z wykresu Bode’go widać, że PM=-4º dla
układu przed kompensacją
Krok 3:
Przyjmując
5º extra fazy, potrzeba
45+5+4=54º
wyprzedzenia fazy
przez kompensator
Krok 4:
Wzm. i nowa
ponieważ
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50
100
From: U(1)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-300
-250
-200
-150
-100
-50
To
: Y
(1
)
1056
.
0
)
º
54
sin(
1
)
º
54
sin(
1
p
z
dB
z
p
76
.
9
/
log
20
10
sec
/
9
.
6
76
.
9
)
(
rad
dB
j
G
sec
/
9
.
6 rad
c
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Krok 5:
Transmitancja kompensatora
Krok 6:
Założenie
zapasu fazy
nie spełnione
Potrzeba 20º więcej
24
.
2
1056
.
0
23
.
21
61
.
47
1056
.
0
1056
.
0
61
.
47
9
.
6
9
.
6
2
max
z
p
z
p
p
p
z
Weź
zp
zp
c
1
23
.
21
/
1
24
.
2
/
)
(
s
s
s
K
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50
100
Gm=8.2389 dB (at 11.583 rad/sec), Pm=24.999 deg. (at 6.8907 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-300
-250
-200
-150
-100
-50
Projekt kompensatora
wyprzedzającego fazę
Jeżeli powtórzymy kroki projektowe
dla nowego wyprzedzenia fazowego
otrzymamy kompensator
23
.
21
24
.
2
40
4
0106
.
0
1
)
(
s
s
s
s
s
K
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-150
-100
-50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Uncompensated
Compensated
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-300
-250
-200
-150
-100
-50
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-100
-50
0
50
100
Gm=12.702 dB (at 31.379 rad/sec), Pm=49.913 deg. (at 12.837 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-300
-250
-200
-150
-100
-50
Bode plot (open-loop)
Plan
Projekt regulatora PI za pomocą wykresów
Bode’go
Przykład
Projekt kompensatora opóźniającego fazę
za pomocą wykresów Bode’go
Przykłady
Projekt regulatora PID za pomocą
wykresów Bode’go
Przykład
)
(s
G
_
r
y
)
(s
K
Regulator PI
Regulator PI ma następującą
transmitancję
Regulatora PI używamy gdy chcemy
zredukować uchyb ustalony. Duże
wzmocnienie dla niskich
częstotliwości. Zmniejsza przesunięcie
fazowe dla dużych częstotl.
1
)
(
)
(
s
s
K
s
KD
s
K
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-80
-60
-40
-20
0
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
=
-1
e
-/2
-1
e
/2
-1
Projekt regulatora PI
Przykład:
dla silnika DC chcemy uzyskać
zerowy uchyb ustalony na wymuszenia
skokowe i liniowe i zapas fazy co najmniej
50º.
Krok 1:
Narysuj wykres Bode’go dla układu
przed kompensacją i sprawdź czy zapas
fazy spełnia założenia.
Jeśli nie, zaprojektuj
kompensator wyprzedzający.
Krok 2:
Czy stan ust. OK. Nie!
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
s
s
s
V
s
s
G
a
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-60
-40
-20
0
20
40
Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
-100
-80
1
1
1
)
(
lim
0
1
1
)
(
lim
0
0
v
ramp
ss
s
v
p
step
ss
s
p
K
e
s
sG
K
K
e
s
G
K
Projekt regulatora PI
Krok 3:
Ponieważ założenia co do stanu
ustalonego nie są spełnione
zastosujemy regulator PI. Umieścimy
zero regulatora PI w częstotliwości co
najmniej 10 razy mniejszej niż
częstotliwość odcięcia aby opóźnienie
fazowe nie zmniejszało zapasu fazy
Krok 4:
Ustal wzmocnienie regulatora
tak aby częstotliwość odcięcia nie
uległa zmianie
72
.
12
10
786
.
0
1
6149
.
0
786
.
0
1
10
786
.
0
786
.
0
786
.
0
1
1
1
1
1
)
(
)
(
2
2
2
2
2
1
K
K
j
j
j
j
K
j
G
j
K
c
c
c
c
c
c
sec
/
786
.
0
rad
c
Projekt regulatora PI
0786
.
0
6149
.
0
)
(
s
s
s
K
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-50
0
50
100
Gm=-286.76 dB (at 0 rad/sec), Pm=53.191 deg. (at 0.54541 rad/sec)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-180
-160
-140
-120
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Uncompensated
Compensated
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-180
-160
-140
-120
-100
-80
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
Krok 5:
Sprawdź czy zapas fazy jest wystarczający
Bode plot for open-loop shows gain and phase effects
Kompensator opóźniający fazę
Kompensator opóźniający fazę jest
uogólnieniem regulatora PI.
Wykres Bode’go dla
Głównym celem
jest ograniczenie wzm.
dla niskich częst.
(20dB dla tego przykł.)
,
)
(
)
(
p
s
z
s
K
s
KD
s
K
10
,
1
,
1
z
p
K
p
z
K
K
)
0
(
10
-1
10
0
10
1
10
2
0
5
10
15
20
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-1
10
0
10
1
10
2
-80
-60
-40
-20
0
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
z
p
dla
p
z
K
10
10
log
)
0
(
log
20
Tłumienie:
Projekt regulatora PID
Inna postać transmitancji regulatora PID
Regulator PID jest bardzo popularny w
praktyce gdyż zapewnia zarówno
odpowiedni zapas fazy jak i poprawnia
zachowanie układu w stanie ustalonym.
Jego uogólnieniem jest kompensator
wyprzedzająco-opóźniający fazę.
i
d
s
s
s
K
s
KD
s
K
1
1
)
(
)
(
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
0
20
40
60
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-100
-50
0
50
100
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
=1/
i
1/
d
Projekt regulatora PID
Przykład (regulacja PID wysokości satelity)
Model:
T.F:
Dane:
d
T
T
I
2
)
(
Is
T
T
s
d
d
T
T
9
10
I
_
r
)
(s
K
Regulator
Satelita
Pomiar
2
9
.
0
s
2
2
s
d
T
T
Projekt regulatora PID
Zaprojektuj regulator spełniający
następujące założenia:
1.
Zerowy uchyb ustalony na stały moment
zakłócający
2.
Zapas fazy co najmniej 64º
3.
Pasmo przenoszenia – jak największe
4.
Użyj sensora wysokości o wzm. 2 i stałej
czasowej 0,5 s.
Krok 1:
Sprawdź założenia dotyczące
uchybów ustalonych
)
(
lim
0
)
(
lim
8
.
1
8
.
1
)
(
8
.
1
)
2
(
)
2
(
9
.
0
lim
)
(
)
(
8
.
1
)
2
(
)
2
(
9
.
0
)
2
(
8
.
1
)
(
1
/
9
.
0
)
(
)
(
0
0
2
0
2
2
2
s
K
s
K
s
A
s
K
s
s
s
s
s
A
s
T
s
K
s
s
s
s
s
s
K
s
s
T
s
s
s
s
ss
d
d
Projekt regulatora PID
Krok 2:
Z Kroku 1 wiemy, że potrzebny jest
biegun w zerze.
Niestabilny !
Potrzeba PID. 2 zera
aby uzyskać fazę powyżej –180º
Krok 3:
Zwykle .
Najpierw
umieść zero
w
.
Przebieg fazy PID wskazuje, że należy przyjąć
aby zwiększyć fazę ponad 180º i
osiągnąć zakładany zapas fazy. Jeżeli ,
wyprzedzenie fazy z PID zniosłoby się z
opóźnieniem fazy sensora. Zmiana fazy sensora
zaczyna się w 2/10=0.2. Przyjmijmy więc
)
2
(
8
.
1
1
)
(
1
2
s
s
s
s
G
s
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-100
0
100
200
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-360
-340
-320
-300
-280
-260
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
d
i
1
d
2
1
d
2
1
d
1
.
0
2
.
0
1
1
d
d
Projekt regulatora PID
Krok 4:
Chcą uzyskać maksymalne
wyprzedzenia fazy dla częstotliwości
odcięcia, ustalamy
zero w
ponad dekadę
mniej niż . Dla bezpieczeństwa
przyjmujemy
Krok 5:
Narysuj wykres Bode’go układu
otwartego przed kompensacją.
Wyznacz wzm.
Aby uzyskać
Zapas fazy - PM>64º
Jeśli czest. odcięcia
. Więc
005
.
0
20
/
1
1
d
i
1
i
1
d
sec
/
5
.
0 rad
c
0562
.
0
)
(
)
005
.
0
)(
1
10
(
1
5
.
0
K
s
G
s
s
s
K
j
s
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
(
de
g)
; M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Bode Diagrams
-50
0
50
100
150
200
Gm=-40.056 dB (at 0.022972 rad/sec), Pm=64.079 deg. (at 0.5004 rad/sec)
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-300
-250
-200
-150
-100
Projekt regulatora PID
Step 6:
See if specifications are met. If
not, iterate.
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-300
-250
-200
-150
-100
P
ha
se
(
de
gr
ee
s)
Frequency (rad/sec)
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
M
ag
ni
tu
de
(
dB
)
Uncompensated
Compensated
º
64
PM
Projekt regulatora PID
Wykres linii pierwiastkowych – bieguny układu
zamkniętego
bieguny
zera
-2
-1.5
-1
-0.5
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Real Axis
Im
ag
A
xi
s
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Real Axis
Im
ag
A
xi
s
Zoom
005
.
0
1
10
0562
.
0
)
(
s
s
s
s
K
268
.
1
,
592
.
0
,
135
.
0
,
005
.
0
2
,
1
.
0
,
005
.
0
Projekt regulatora PID
Odpowiedź skokowa pokazuje wolną
kompensację zakłóceń ponieważ występuje
skracanie zera z biegunem
Wniosek:
Skracanie zera z biegunem jest
niepożądane dla biegunów niestabilnych lub
słabo tłumionych
d
T
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
time
S
te
p
D
is
tu
rb
an
ce
Zakłócenie
Pojawia się tutaj
Loop Shaping – Przykład
Obiekt
Struktura sterowania
2
1
s
G(s)
G(s)
_
K(s)
d
y
n
r
e
u
Regulator
Obiekt
F
2
1
)
(
)
(
1
,
s
s
F
s
X
M
x
M
F
x
F
x
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
s
S
s
G
s
K
s
R
s
E
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
s
T
s
K
s
G
s
K
s
G
s
N
s
Y
)
(
)
(
)
(
1
1
)
(
)
(
s
S
s
G
s
K
s
D
s
Y
Loop Shaping – Przykład
Zaprojektuj K(s) aby ustabilizować G(s) i
spełnić:
1.
Zmniejszyć o –80dB wpływ d na y w paśmie
częstotliwości
2.
Nadążać z uchybem mniejszym niż -40dB za
sygnałami zadanymi r w paśmie częstotliwości
3.
Tłumić co najmniej o –20dB szum n w paśmie
4.
Uchyb ustalony na wymuszenie paraboliczne
5.
Zapas fazy i zapas modułu:
1
1
.
0
,
0
,
0
rad
d
1
1
,
0
,
0
rad
r
1
3
2
2
1
10
,
10
,
rad
n
n
02
0.
)
(
par
e
0
45
M
dB
G
M
20
Loop Shaping – Przykład
Geometryczne warunki z założeń 1, 2 i
3
i)
1
1
10
,
0
,
80
)
(
rad
dB
j
S
1
1
10
,
0
,
80
)
(
)
(
rad
dB
j
K
j
G
ii)
1
1
,
0
,
40
)
(
rad
dB
j
S
1
1
,
0
,
40
)
(
)
(
rad
dB
j
K
j
G
iii
1
3
2
10
,
10
,
20
)
(
rad
dB
j
T
1
3
2
10
,
10
,
20
)
(
)
(
rad
dB
j
K
j
G
1
)
(
)
(
j
K
j
G
1
)
(
)
(
j
K
j
G
1
)
(
)
(
j
K
j
G
Warunek
przybliżony
Warunek
przybliżony
Warunek
przybliżony
Loop Shaping – Przykład
Ograniczenia wzmocnienia (na
)
)
(
)
(
j
K
j
G
0db
)
(
1
rads
db
20
3
10
2
10
1
0.
1
db
40
db
80
Ograniczenia nisko częstotliwościowe
r, d
Ograniczenia wysoko częstotliwościowe
n
Loop Shaping – Przykład
Warunek 4 jest możliwy do spełnienia
gdyż G(s) ma dwa bieguny w zerze
)
(
)
(
)
(
)
(
s
K
s
G
s
R
s
E
1
)
(
)
(
)
(
s
K
s
G
s
s
E
1
1
2
3
Niech
1
)
0
(
);
(
)
(
D
s
kD
s
K
02
.
0
2
1
1
2
lim
)
(
lim
)
(
2
3
0
0
k
s
k
s
s
s
sE
e
s
s
par
100
k
Loop Shaping – Przykład
Pierwszy proponowany regulator
(proporcjonalny)
100
;
1
)
(
);
(
)
(
k
s
D
s
kD
s
K
0db
)
(
1
rad
db
20
3
10
2
10
1
0.
1
db
40
db
80
2
100
)
(
)
(
)
(
j
j
K
j
G
)
(
1
rad
)
(
)
(
j
K
j
G
0
180
Faza
0
0
M
10
Zapas fazy za mały!
Loop Shaping – Przykład
Ponieważ zapas fazy jest za mały to
musimy wprowadzić dodatkowe
wyprzedzenie fazy
Jeśli wzmocnienie w pętli nie zmienia
się istotnie możemy przyjąć
real
M
des
M
dla bezp.
rzecz. zapas
fazy = 0
0
Przyjmujemy regulator PD dający wyprzedzenia fazy = 45º dla z
1
10
;
)
(
rad
z
z
z
s
k
s
K
z
z
1
,
)
(
k
j
K
odb
)
(
1
rads
)
(
1
rads
0
90
0
45
)
(
j
K
Loop Shaping – Przykład
0dB
)
(
1
rad
dB
20
3
10
2
10
1
.
0
1
dB
40
dB
80
)
(
)
(
j
K
j
G
)
(
1
rad
)
(
)
(
j
K
j
G
0
180
Faza
Nowy
)
(
~
j
K
0
90
0
135
1
10
;
100
;
)
(
)
(
~
);
(
~
)
(
rad
z
k
z
z
s
s
K
s
K
k
s
K
Wszystkie założenia
spełnione !
Loop Shaping – Przykład
Układ po kompensacji
Sprawdzenie stabilności (wykres
Nyquist’a)
10
)
10
(
100
)
(
)
(
~
)
(
)
(
2
s
s
s
G
s
K
k
s
K
s
G
10
)
10
(
100
)
(
)
(
~
)
(
)
(
2
s
s
s
G
s
K
k
s
K
s
G
x
x
Liczba biegunów układu otwartego
wewnątrz konturu Nyquist’a
P=0
Liczba okrążeń
wokół –1 N=0
x
-1
Stabilny!
Zapas wzm. = niesk.!
Loop Shaping – Przykład
Linie pierwiastkowe
-25
-20
-15
-10
-5
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Real Axis
Im
ag
A
xi
s
Kilka uwag na koniec !
Zajmowaliśmy się układami liniowymi,ciagłymi o jedny
wejściu i jednym wyjściu (ang. single input - single output
(
SISO
) control).
Co robić jeśli układ ma wiele wejść i wyjść np. samolot
(ciąg, ster kierunku, ster wysokości,itd. jako wejścia,
położenie środka masy, obroty wokół trzech osi itd. jako
wyjścia) ? Układy
MIMO (ang. multiple input - multiple output
systems) – potrzebne są metody przestrzeni stanu.
Zapraszam na wykład Komputerowe
sterowanie obiektami
Dynamika samolotu jak i większości układów
dynamicznych jest nieliniowa. Może być tylko przybliżona
dynamiką liniową wokół punktu równowagi (pracy). Jak
można rozwiązywać problemy sterowania układów
nieliniowych?
Zapraszam na wykład – Nieliniowe układy sterowania.
Specjalność: Automatyka i Inżynieria Komputerowa,
Specjalizacja: Inżynieria sterowania