Pole magnetyczne

wywołane przez przepływ

prądu

Marian Cholewa

Katedra Fizyki

Politechniki Rzeszowskiej

Podstawy Fizyki

Halliday, Resnick i Walker

Rozdział 30

M.C. Esher grafik holenderski

Belvedere

Niemożliwy sześcian Eschera

Pole elektryczne wywołane

przez rozkład ładunku

2

0

1 dq

dE =

.

4πε r

Element o ładunku dq
wytwarza pole elektryczne o
natężeniu dE równym

Aby znaleźć natężenie pola elektrycznego
wytwarzanego przez cały obszar zapełniony
ładunkiem należy obliczyć całkę.

3

0

1 dq

=

.

4πε r

dE

r

r

r

Indukcja magnetyczna

wywołana przez prąd

elektryczny

Rozpatrzymy element ds przewodnika liniowego przez
który płynie prąd o natężeniu I. Wprowadzimy wektor
o długości ds i kierunku zgodnym z przepływem
prądu w elemencie ds.

ds

r

Definicja: element prądu

Jeżeli wyznaczymy wektor
indukcji w punkcie P -

pochodzący od elementu
prądu ,

to sumując

wkłady od innych elementów

prądu znajdziemy

całkowity wektor indukcji
wytwarzanej

przez

przewodnik w punkcie P.

=I�

dI

ds.

r

r

dB(r)

r r

dI

r

Prawo Biota-Savarta

W wyniku doświadczeń ustalono związek pomiędzy
elementem prądu i wektorem wodzącym punktu P.
Element prądu
tworzący z wektorem wodzącym punktu P kąt ,

wytwarza pole magnetyczne charakteryzowane
przez wektor indukcji o długości dB

0

2

μ Ids sinθ

dB =

,

4π

r

�

=I�

dI

ds

r

r

r

r

dB

r

gdzie stała 

0

jest nazywana przenikalnością magnetyczną próżni

-7

0

μ =4π×10 T m/A.

�

dB jest długością iloczynu wektorowego, który określa kierunek wektora

dB.

r

0

3

μ I

(prawoBiota-Savarta).

4π r

=

ds×r

dB

r r

r

Jean-Baptiste Biot

Urodzony:

21 kwietnia 1774 w

Paryżu

zmarł:

3 lutego 1862 w

Paryżu

Felix Savart asystent Biota

urodzony: 30 czerwca 1791 w

Mézières, Francja

zmarł: 16 Marca 1841 w Paryżu,

France

Zastosowanie prawa Biota-Savarta:

pole magnetyczne wytworzone

przez prąd płynący w długim

przewodzie prostoliniowym

Przewodnik można uznać za nieskończenie
długi, zatem wektor indukcji nie zależy od
położenia elementu ds, a jedynie od jego
długości i kąta pomiędzy wektorami

i

ds r.

r r

I

ds

r

R

r

r

P

dB

r





Wektor indukcji
magnetycznej
Jest prostopadły do
płaszczyzny, w której leżą
wektory i
skierowany jest za tę
płaszczyznę.

dB

r

i

ds r

r r

0

2

μ Ids sinθ

dB =

4π

r

�

Symetria pola magnetycznego

nieskończonego prostoliniowego

przewodnika

I

W każdej z płaszczyzn prostopadłych
do przewodnika pole wektorów
indukcji jest takie same. Ma ono
symetrię walcową. Dowolny obrót w
płaszczyźnie dookoła przewodnika
nie zmienia obrazu pola wektorów
indukcji.

Pole magnetyczne

E

r

Pole elektryczne

q

B

r

I

Porównanie pola elektrycznego

ładunku punktowego i pola

magnetycznego prądu

E

r

B

r

I

q

Obydwa pola mają symetrię kolistą – nie zmieniają się
gdy dokonu-jemy dowolnego obrotu dookoła osi
przechodzącej przez środek współśrodkowych
okręgów, prostopadłej do płaszczyzny rysunku.

Geometria zagadnienia

ds

r

R

r

r

P

dB

r



s

0

ds

r

Wybierzemy początek układu
współrzędnych w punkcie 0
przewodnika . Element ds dolny i
górny dają taki sam wkład. Zatem

0

2

0

0

μ I

sinθ

B =2 dB =

ds

2π

r

�

�

�

�

Lecz:

2

2

2

r =s +R .

(

)

2

2

R

sinθ=sin π-θ =

s +R

Obliczenie całki

(

)

(

)

(

)

(

)

0

2

2

2

2

0

0

0

3/2

0

2

2

0

0

1/2

1/2

2

2

2

2

0

2

2

0

0

s

s

μ I

1

R

B =2 dB =

ds

=

2π

s +R

s +R

μ I

R

ds

=

2π

s +R

μ I

μ I

s

1

=

lim

=

2πR

2πR

s +R

1+R /s

μ I

μ I

lim 1- R /2s =

.

2πR

2πR

�

�

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

μ I

Ostatecznywynik: B =

2πR

Sprawdzenie poprawności

obliczenia całki

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3/2

1/2

0

2

2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

2

3/2

3/2

2

2

2

2

2

2

R

s

F(s) = ds

s

R s +R

2

s +R

s +R

dF(s)

1 d

s

1

=

ds

R ds

R

s +R

s +R

2

s +R

2 s +R

s +R

1

1

R

.

R

R

s +R

s +R

s +R

R

ds

s

s

ds

s

s

s

�

=

+

� +

�

�

�

�= �

=

�

�

�

�

-

-

�

= �

=

�

[

]

[

]

2

du(x)/dx v(x)- u(x) dv(x)/dx

d u(x)

=

dx v(x)

v (x)

�

�

�

�

�

�

Pole magnetyczne

prostoliniowego przewodu z

prądem

I

Pole magnetyczne

przewodników z prądem

Pojedyncza pętla

Spirala

Reguła prawej dłoni

B

r

B

r

I

I

Należy uchwycić przewód prawą dłonią w taki
sposób, aby kciuk wskazywał kierunek płynięcia
prądu. Wtedy palce wskazują kierunek linii pola
magnetycznego wytworzonego przez element
przewodnika. Zmiana kierunku płynięcia prądu
powoduje zmianę zwrotów wektorów.

B

r

B

r

B

r

0

a

μ I

B =

2πd

Wielkość wektora
indukcji pola
magnetycznego
wytwarzanego
przez przewód

a

w

każdym punkcie
prostej, na której
leży drugi
przewód :

Dwa równoległe długie przewody z

prądem

Reguła prawej dłoni wskazuje na to, że wektor indukcji
magnetycznej w punktach tej prostej jest prostopadły do
płaszczyzny  w której leżą przewody i skierowany za nią.

Siła z którą działa przewód

a

na przewód

b:

ba

b b

a

=I

×

F

L B

r

r

r

Siły działające między dwoma

odcinkami o długości L

równoległych, długich

przewodów z prądem

Kierunek siły

ba

:

F

r

ba

b

b

a

=I

×

F

L B

r

r

r

a

B

r

b

L

r

ba

F

r

o

0 a

0

b a

ba

b

ab

μ I

μ LI I

F =I L

sin90 =

F

2πd

2πd

=

b

b

=

L

L

r

r

Gdy zwroty prądów są
przeciwne to
a zatem tym razem
siła oddziaływania
leży w płaszczyźnie 

i skierowana jest w
prawo.

Oddziaływanie przewodników

liniowych z prądem: wnioski

Dwa równoległe
przewody, w których
płyną prądy o
jednakowym zwrocie
przyciągają się.

Obserwacja:

.

ba

ab

F =F

r

r

a

b

=- ,

L

L

r

r

a

B

r

b

L

r

ba

F

r

a

L

r

André Marie Ampère

ur: 20 stycznia 1775 w

Lyonie,

zm. : 10 czerwca 1836 w

Marsylii,

André Marie Ampère

Ampère był francuskim fizykiem, który położył
podwaliny pod rozwój elektrodynamiki.
Zajmował się matematyką – napisał dzieło
poświęcone teorii gier i rachunkiem
wariacyjnym, równaniami różniczkowymi i
geometrią analityczną. Zajmował się także
chemią. Wykładał analizę matematyczną w
paryskiej the Ecole Polytechnique i w prowadził
własne wykłady w słynnym Collège de France.
W 1814 r,

Ampère

został członkiem Institut

National des Sciences. Po zaznajomieniu się w
1820 z wynikami doświadczeń duńskiego fizyka
Hansa Christiana Ørsteda, Ampère zrozumiał,
że prąd elektryczny jest źródłem pola
magnetycznego i sformułował prawo nazwane
jego nazwiskiem. Ampère nie był metodycznym
eksperymen- tatorem, lecz miał twórczą
intuicję. Zainspirowany doświad- czeniami
Ørsteda, bardzo szybko sformułował swą teorię,
która ujmowała istotę rzeczy.

Ampère i Arago
powtarzają
doświad-czenie

Ørsteda

Prawo Ampère’a –

magnetyczny odpowiednik

prawa Gaussa

3

0

1 dq

=

.

4πε r

dE

r

r

r

W przypadku elektrostatyki ładunek elementu dq daje
wkład do natężenia pola elektrycznego

Po wykonaniu na ogół skomplikowanego całkowania
można znaleźć pole elektryczne rozkładu ładunków. W
szczególnych przypadkach można było zastosować
całkowe twierdzenie Gaussa.
Istnieje twierdzenie całkowe, które pozwala znaleźć
wypadkowe pole elektryczne układu prądów bez
używania wzoru

0

3

μ I
4π r

=

ds×r

dB

r r

r

i całkowania.

Prawo Ampère’a

(Jemesa Clerka Maxwella)

Kontur C obejmuje przewody (na sąsiednim rysunku
dwa, nie obejmuje trzeciego).

0 p

μ I

=

�

C

Bds

r r

�



C

prąd przed płaszczyznę

prąd za
płaszczy
z-nę

Prawo Ampère’a:
Całka z wektora
indukcji po konturze
zamkniętym
obejmującym
przewodniki liniowe
jest proporcjonalna
do całkowitego
natężenia prądu I

P

przepływającego
przez powierzchnię
płaszczyzny
ograniczonej
konturem

Wyznaczenie znaku prądu:

reguła prawej dłoni

I

P

=I

1

-I

2

.

C

+I

3

Prąd I

3

nie

przecina
obszaru
ograniczoneg
o przez
kontur

Ułóż prawą dłoń wzdłuż
konturu, tak aby palce
wskazywały kierunek
obiegu konturu. Jeżeli
prąd płynie w
przewodniku
przecinającym
płaszczyznę konturu i
jest skierowany w
kierunku kciuka –
przypiszemy mu znak
„+”, jeżeli w kierunku
przeciwnym – znak „-”.
Sumę algebraicz-ną
prądów
przepływających przez
kontur oznaczymy
przez I

P

.

Inna postać

twierdzenia Ampère’a

Niech w punkcie, w którym znajduje się element
konturu -
wektor o długości ds, styczny do konturu i
skierowany zgodnie z
obiegiem przeciwnym do wskazówek zegara. Niech
w tym punkcie wektor indukcji związany będzie
prądami płynącymi w prostoliniowym przewodzie.
Wektor leży w płaszczyźnie  i tworzy kąt  z

wektorem

ds

r

B

r

B

r

ds.

r

0 p

B ds cosθ

B ds cosθ μ I .

�

� �

�

�

� �

=

�

�

C

C

B ds=

B ds=

r

r

r

r

�

�

Dla konturu C:

0 1

2

B ds cosθ μ (I - I ).

� �

=

�

C

�

Przyczynek od prądu I

3

do całki po konturze znika!

Przez długi
prostoliniowy
przewód płynie prąd
przed płaszczyznę
rysunku.

Wtedy pole
magnetyczne ma
symetrię walcową i B
ma tę samą wartość we
wszystkich punktach
współśrodkowych
okręgów. Obieg
konturu

jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wektory
są w każdym punkcie okręgu styczne do
okręgu i równoległe do siebie, zatem  = 0, cos =

cos0 = 1.

ds, B

r

r

Pole magnetyczne na zewnątrz

długiego prostoliniowego

przewodnika z prądem

0 p

0 p

B ds cos0 B ds 2πrB μ I

μ I /2πr.

B

�

=

=

=

� =

�

�

C

C

�

�

Uwaga

Zwrot wektora nie jest określony.
Gdybyśmy otrzymali ujemną wartość B,
to należałoby zmienić kierunek obiegu
konturu.

B

r

Pole magnetyczne wewnątrz

długiego prostoliniowego

przewodu z prądem

Zastosujemy prawo
Ampère’a do
wyznaczenia pola
magne-tycznego
wewnątrz prostoli-
niowego przewodu o
przekroju kołowym, R
jest jego promieniem.
Przez przewód płynie
prąd elektryczny o
natężeniu I i stałej
gęstości. Kontur
całkowania w kształcie
okręgu o promieniu r
znajduje się wewnątrz
przewodu (r<R).

Pole magnetyczne wewnątrz

długiego prostoliniowego

przewodu z prądem

Ze względu na równomierny rozkład prądu w
przewodzie towarzyszące pole magnetyczne musi mieć
symetrię walcową. Lewa strona wzoru reprezentującego
prawo Ampère’a przyjmuje postać

B ds 2πrB.

�

=

�

�

C

C

B ds=

r

r

�

�

Należy obliczyć natężenie prądu płynącego przez
kontur: gęstość prądu j = I/(R

2

). Prąd przez kontur

I

C

=j r

2

=I (r/R)

2

.

2

0

0

2

2

μ I

r

2πrB =μ I

B =

r .

R

2πR

�

Gdy r=R otrzymujemy znany wynik

0

0

2

μ I

μ I

B =

R =

.

2πR

2πR

Solenoidy

Solenoid, w którym płynie prąd I

П

L

2R

Warunek: L>>R

Linie pola magnetycznego

w solenoidzie

Przekrój solenoidu
i wytworzonego w
nim pola
magnetycznego
otrzymany przy
pomocy
płaszczyzny П
przechodzącej
przez oś solenoidu.

W punktach bliskich
zwojom pole magnetyczne
jest bliskie polu
przewodów
prostoliniowych.

W tych punktach linie sił pola elektrycznego są
współśrodkowymi okręgami. Wewnątrz solenoidu i na
zewnątrz w punktach odległych od zwojów linie sił pola
magnetycznego są niemal równoległe. Gęste wewnątrz
(duża wartość B) i rozrzedzone na zewnątrz (B małe).

Linia sił pola magnetycznego

wewnątrz rzeczywistego

solenoidu

Silne pole
magnetycz
ne

Słabe pole
magnetycz
ne

Idealny solenoid

W przypadku idealnego, długiego solenoidu całe pole
magnetyczne
skoncentrowane jest wewnątrz niego. Na zewnątrz
solenoidu pole znika.

Zastosujemy twierdzenie Ampère’a. Wybierzemy
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek zegara.
Długość boku prostokąta || do granicy solenoidu
wynosi h. Kontur obejmuje obszar na zewnątrz
solenoidu – bez pola i obszar w jego wnętrzu, gdzie
B0.

Kontur całkowania

Pole magnetyczne wewnątrz

idealnego, długiego solenoidu

b

b

d

a

a

b

c

d

.

+

�

�

�

�

�

Bds= Bds

Bds+ Bds+ Bds

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

�

Na odcinku ab:

Bds.

�

B ds

Bds=

r

r

r

r

P

Na odcinku bc:

0.

^

� �

B ds

B ds=

r

r

r

r

Na odcinku cd:

0.

� �

B=0 ds

0 ds=

r

r

r

P

Na odcinku da:

w solenoidzie:

, po za solenoidem

0.

^

� �

B ds

B=0

B ds=

r

r

r

r

r

Ostatecznie:

b

a

Bh

=

�

�

Bds= Bds

r

r

r

r

�

Przyjmijmy, że gęstość zwojów wynosi n m

-1

. Wybrany

kontur obejmuje nh zwojów. Natężenie prądów I

P

prze-

chodzących przezeń równe jest Inh. Z twierdzenia
Ampère’a otrzymujemy

0 0

0

0

Bh =μ I =μ nhI

B =μ nI (idealny solenoid).

�

Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole magnetyczne jest
jednorodne i nie zależy od jego średnicy ani od długości.

Soleniod nawinięty na
okrąg nazywa się
toroidem.

Przekrój idealnego toroidu. Linie sił
pola B tworzą współśrodkowe okręgi.
Wybierzemy kierunek przepływu
prądu tak, aby linie sił pola
skierowane były przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara. Niech konturem
całkowania będzie okrąg o promieniu
r, współśrodkowy z liniami sił pola o
kierunku obiegu zgodnym z ruchem
wskazówek zegara. Wtedy w każdym
punkcie konturu
, a więc

Bds,

�

B ds

Bds=

r

r

r

r

P

B ds B(2πr).

=

�

�

Bds=

r r

�

�

W twierdzeniu Ampère’a należy
uwzględnić wszystkie zwoje. Niech N
będzie ich liczbą, zatem

Toroid - wybór konturu

Ampèra

0

0 P

0

μ N I

2πrB =μ I =μ N I

B =

(idealny toroid) .

2πr

�

��