Pole magnetyczne 

wywołane przez przepływ 

prądu 

Marian Cholewa

Katedra Fizyki 

Politechniki Rzeszowskiej

Podstawy Fizyki 

Halliday, Resnick i Walker 

Rozdział 30

M.C. Esher grafik holenderski

Belvedere 

Niemożliwy sześcian Eschera 

Pole elektryczne wywołane 

przez rozkład ładunku

2

0

1 dq

dE =

.

4πε r

Element o ładunku dq 
wytwarza pole elektryczne o 
natężeniu dE równym 

Aby znaleźć natężenie pola elektrycznego 
wytwarzanego przez cały obszar zapełniony 
ładunkiem należy obliczyć całkę. 

3

0

1 dq

=

.

4πε r

dE

r

r

r

Indukcja magnetyczna 

wywołana przez prąd 

elektryczny

Rozpatrzymy element ds przewodnika liniowego przez 
który płynie prąd o natężeniu I. Wprowadzimy wektor  
    o długości ds i kierunku zgodnym z przepływem 
prądu w elemencie ds.  

ds

r

Definicja: element prądu             
        
Jeżeli wyznaczymy wektor 
indukcji w punkcie P -    

     

   pochodzący od elementu 
prądu        , 

to sumując 

wkłady od innych elementów 

prądu znajdziemy 

całkowity  wektor indukcji 
wytwarzanej 

przez 

przewodnik w punkcie P.   

=I�

dI

ds.

r

r

dB(r)

r r

dI

r

Prawo Biota-Savarta

W wyniku doświadczeń ustalono związek pomiędzy 
elementem prądu i wektorem wodzącym punktu P. 
Element prądu
tworzący z  wektorem wodzącym     punktu P kąt , 

wytwarza pole magnetyczne charakteryzowane 
przez wektor indukcji            o długości dB  

0

2

μ Ids sinθ

dB =

,

4π

r

�

=I�

dI

ds

r

r

r

r

dB

r

gdzie stała 

0

 jest nazywana przenikalnością magnetyczną próżni 

-7

0

μ =4π×10 T m/A.

�

dB jest długością iloczynu wektorowego, który określa kierunek wektora 

dB.

r

0

3

μ I

(prawoBiota-Savarta).

4π r

=

ds×r

dB

r r

r

Jean-Baptiste Biot

Urodzony:

 21 kwietnia 1774 w 

Paryżu 

zmarł:

 3 lutego 1862 w 

Paryżu 

Felix Savart asystent Biota

urodzony: 30 czerwca 1791 w 

Mézières, Francja

zmarł: 16 Marca 1841 w Paryżu, 

France

Zastosowanie prawa Biota-Savarta: 

pole magnetyczne wytworzone 

przez prąd płynący w długim 

przewodzie prostoliniowym 

Przewodnik można uznać za nieskończenie 
długi, zatem wektor indukcji nie zależy od 
położenia elementu ds, a jedynie od jego 
długości i kąta       pomiędzy wektorami  

  i 

ds r.

r r

I

ds

r

R

r

r

P

dB

r





Wektor indukcji 
magnetycznej 
Jest prostopadły do 
płaszczyzny, w której leżą 
wektory                i  
skierowany  jest za tę 
płaszczyznę.      

dB

r

  i 

ds r

r r

0

2

μ Ids sinθ

dB =

4π

r

�

Symetria pola magnetycznego 

nieskończonego prostoliniowego 

przewodnika  

I

W każdej z płaszczyzn prostopadłych 
do przewodnika pole wektorów 
indukcji jest takie same. Ma ono 
symetrię walcową. Dowolny obrót w 
płaszczyźnie dookoła przewodnika 
nie zmienia obrazu pola wektorów 
indukcji.  

Pole magnetyczne

E

r

Pole elektryczne

q

B

r

I

Porównanie pola elektrycznego 

ładunku punktowego i pola 

magnetycznego prądu 

E

r

B

r

I

q

Obydwa pola mają symetrię kolistą – nie zmieniają się 
gdy dokonu-jemy dowolnego obrotu dookoła osi 
przechodzącej przez środek współśrodkowych 
okręgów, prostopadłej do płaszczyzny rysunku. 

Geometria zagadnienia

ds

r

R

r

r

P

dB

r



s

0

ds

r

Wybierzemy początek układu 
współrzędnych w punkcie 0 
przewodnika . Element ds dolny i 
górny dają taki sam wkład. Zatem 

0

2

0

0

μ I

sinθ

B =2 dB =

ds

2π

r

�

�

�

�

Lecz: 

2

2

2

r =s +R .

(

)

2

2

R

sinθ=sin π-θ =

s +R

Obliczenie całki 

(

)

(

)

(

)

(

)

0

2

2

2

2

0

0

0

3/2

0

2

2

0

0

1/2

1/2

2

2

2

2

0

2

2

0

0

s

s

μ I

1

R

B =2 dB =

ds

=

2π

s +R

s +R

μ I

R

ds

=

2π

s +R

μ I

μ I

s

1

=

lim

=

2πR

2πR

s +R

1+R /s

μ I

μ I

lim 1- R /2s =

.

2πR

2πR

�

�

�

��

�

��

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0

μ I

Ostatecznywynik: B =

2πR

Sprawdzenie poprawności 

obliczenia całki

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3/2

1/2

0

2

2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

1/2

2

2

1/2

2

2

2

2

2

3/2

3/2

2

2

2

2

2

2

R

s

F(s) = ds

s

R s +R

2

s +R

s +R

dF(s)

1 d

s

1

=

ds

R ds

R

s +R

s +R

2

s +R

2 s +R

s +R

1

1

R

.

R

R

s +R

s +R

s +R

R

ds

s

s

ds

s

s

s

�

=

+

� +

�

�

�

�= �

=

�

�

�

�

-

-

�

= �

=

�

[

]

[

]

2

du(x)/dx v(x)- u(x) dv(x)/dx

d u(x)

=

dx v(x)

v (x)

�

�

�

�

�

�

Pole magnetyczne 

prostoliniowego przewodu z 

prądem 

I

Pole magnetyczne 

przewodników z prądem

Pojedyncza pętla

Spirala 

Reguła prawej dłoni

B

r

B

r

I

I

Należy uchwycić przewód prawą dłonią w taki 
sposób, aby kciuk wskazywał kierunek płynięcia 
prądu. Wtedy palce wskazują kierunek linii pola 
magnetycznego      wytworzonego przez element 
przewodnika. Zmiana kierunku płynięcia prądu 
powoduje zmianę zwrotów wektorów.  

B

r

B

r

B

r

0

a

μ I

B =

2πd

Wielkość wektora 
indukcji pola 
magnetycznego 
wytwarzanego 
przez przewód 

a 

w 

każdym punkcie 
prostej, na której 
leży drugi 
przewód :

Dwa równoległe długie przewody z 

prądem

Reguła prawej dłoni wskazuje na to, że wektor indukcji 
magnetycznej w punktach tej prostej jest prostopadły do 
płaszczyzny  w której leżą przewody i skierowany za nią. 

Siła z którą działa przewód 

a

 na przewód 

b: 

 

ba

b b

a

=I

×

F

L B

r

r

r

Siły działające między dwoma 

odcinkami o długości L 

równoległych, długich 

przewodów z prądem

Kierunek siły 

ba

:

F

r

ba

b

b

a

=I

×

F

L B

r

r

r

a

B

r

b

L

r

ba

F

r

o

0 a

0

b a

ba

b

ab

μ I

μ LI I

F =I L

sin90 =

F

2πd

2πd

=

b

b

=

L

L

r

r

Gdy zwroty prądów są 
przeciwne to                
   a zatem tym razem 
siła oddziaływania 
leży w płaszczyźnie  

i skierowana jest w 
prawo.  

Oddziaływanie przewodników 

liniowych z prądem: wnioski  

Dwa równoległe 
przewody, w których 
płyną prądy o 
jednakowym zwrocie 
przyciągają się.

Obserwacja:

.

ba

ab

F =F

r

r

a

b

=- ,

L

L

r

r

a

B

r

b

L

r

ba

F

r

a

L

r

André Marie Ampère 

ur: 20 stycznia 1775 w 

Lyonie, 

zm. : 10 czerwca 1836 w 

Marsylii, 

André Marie Ampère

Ampère był francuskim fizykiem, który położył 
podwaliny pod rozwój elektrodynamiki. 
Zajmował się matematyką – napisał dzieło 
poświęcone teorii gier i rachunkiem 
wariacyjnym, równaniami różniczkowymi i 
geometrią analityczną. Zajmował się także 
chemią. Wykładał analizę matematyczną w 
paryskiej the Ecole Polytechnique i w prowadził 
własne wykłady w słynnym Collège de France. 
W  1814 r, 

Ampère 

został członkiem Institut 

National des Sciences. Po zaznajomieniu się w 
1820 z wynikami doświadczeń duńskiego fizyka 
Hansa Christiana Ørsteda, Ampère zrozumiał, 
że prąd elektryczny jest źródłem pola 
magnetycznego i sformułował prawo nazwane 
jego nazwiskiem. Ampère nie był metodycznym 
eksperymen- tatorem, lecz miał twórczą 
intuicję. Zainspirowany doświad- czeniami 
Ørsteda, bardzo szybko sformułował swą teorię, 
która ujmowała istotę rzeczy. 

Ampère i Arago 
powtarzają  
doświad-czenie 

Ørsteda

Prawo Ampère’a – 

magnetyczny odpowiednik 

prawa Gaussa

3

0

1 dq

=

.

4πε r

dE

r

r

r

W przypadku elektrostatyki ładunek elementu dq daje 
wkład do natężenia pola elektrycznego 

Po wykonaniu na ogół skomplikowanego całkowania 
można znaleźć pole elektryczne rozkładu ładunków. W 
szczególnych przypadkach można było zastosować 
całkowe twierdzenie Gaussa. 
Istnieje twierdzenie całkowe, które pozwala znaleźć 
wypadkowe pole elektryczne układu prądów bez 
używania wzoru 

0

3

μ I
4π r

=

ds×r

dB

r r

r

i całkowania. 

Prawo Ampère’a 

(Jemesa Clerka Maxwella)

Kontur C obejmuje przewody (na sąsiednim rysunku 
dwa, nie obejmuje trzeciego).

0 p

μ I

=

�

C

Bds

r r

�



C

prąd przed płaszczyznę 

prąd za 
płaszczy
z-nę

Prawo Ampère’a: 
Całka z wektora 
indukcji po konturze 
zamkniętym 
obejmującym 
przewodniki liniowe 
jest proporcjonalna 
do całkowitego 
natężenia prądu I

P

 

przepływającego 
przez powierzchnię 
płaszczyzny 
ograniczonej 
konturem 

Wyznaczenie znaku prądu: 

reguła prawej dłoni 

I

P

=I

1

-I

2

. 

C

+I

3

Prąd I

3

 nie 

przecina 
obszaru 
ograniczoneg
o przez 
kontur

Ułóż prawą dłoń wzdłuż 
konturu, tak aby palce  
wskazywały kierunek 
obiegu konturu. Jeżeli 
prąd płynie w 
przewodniku 
przecinającym 
płaszczyznę konturu i 
jest skierowany w 
kierunku kciuka – 
przypiszemy mu znak 
„+”, jeżeli w kierunku 
przeciwnym – znak „-”. 
Sumę algebraicz-ną 
prądów 
przepływających przez 
kontur oznaczymy 
przez I

P

. 

Inna postać  

twierdzenia Ampère’a 

Niech w punkcie, w którym znajduje się element        
 konturu  - 
wektor o długości  ds, styczny do konturu i 
skierowany zgodnie z 
obiegiem przeciwnym do wskazówek zegara. Niech 
w tym punkcie wektor indukcji        związany będzie 
prądami płynącymi w prostoliniowym przewodzie. 
Wektor      leży w płaszczyźnie  i tworzy kąt  z 

wektorem     

ds

r

B

r

B

r

ds.

r

0 p

B ds cosθ

B ds cosθ μ I .

�

� �

�

�

� �

=

�

�

C

C

B ds=

B ds=

r

r

r

r

�

�

Dla konturu C: 

0 1

2

B ds cosθ μ (I - I ).

� �

=

�

C

�

Przyczynek od prądu I

3

 do całki po konturze znika! 

Przez długi 
prostoliniowy 
przewód płynie prąd 
przed płaszczyznę 
rysunku. 

Wtedy pole 
magnetyczne ma 
symetrię walcową i B 
ma tę samą wartość we 
wszystkich punktach 
współśrodkowych 
okręgów. Obieg 
konturu

jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Wektory   
           są w każdym punkcie okręgu styczne do 
okręgu i równoległe do siebie, zatem  = 0, cos = 

cos0 = 1.   

ds, B

r

r

Pole magnetyczne na zewnątrz 

długiego prostoliniowego 

przewodnika z prądem 

0 p

0 p

B ds cos0 B ds 2πrB μ I

μ I /2πr. 

B

�

=

=

=

� =

�

�

C

C

�

�

Uwaga 

Zwrot wektora        nie jest określony. 
Gdybyśmy otrzymali ujemną wartość B, 
to należałoby zmienić kierunek obiegu 
konturu. 

B

r

Pole magnetyczne wewnątrz 

długiego prostoliniowego 

przewodu z prądem 

Zastosujemy prawo 
Ampère’a do 
wyznaczenia pola 
magne-tycznego 
wewnątrz prostoli-
niowego przewodu o 
przekroju kołowym, R 
jest jego promieniem. 
Przez przewód płynie 
prąd elektryczny o 
natężeniu I i stałej 
gęstości. Kontur 
całkowania w kształcie 
okręgu o promieniu r 
znajduje się wewnątrz 
przewodu (r<R).    

Pole magnetyczne wewnątrz 

długiego prostoliniowego 

przewodu z prądem

Ze względu na równomierny rozkład prądu w 
przewodzie towarzyszące pole magnetyczne musi mieć 
symetrię walcową. Lewa strona wzoru reprezentującego 
prawo Ampère’a przyjmuje postać 

B ds 2πrB.

�

=

�

�

C

C

B ds=

r

r

�

�

Należy obliczyć natężenie prądu płynącego przez 
kontur: gęstość prądu j = I/(R

2

). Prąd przez kontur 

I

C

=j r

2

=I (r/R)

2

. 

2

0

0

2

2

μ I

r

2πrB =μ I

B =

r .

R

2πR

�

Gdy r=R otrzymujemy znany wynik 

0

0

2

μ I

μ I

B =

R =

.

2πR

2πR

Solenoidy

Solenoid, w którym płynie prąd I

П

L

2R

Warunek: L>>R

Linie pola magnetycznego 

w solenoidzie

Przekrój solenoidu 
i wytworzonego w 
nim pola 
magnetycznego 
otrzymany przy 
pomocy 
płaszczyzny П 
przechodzącej 
przez oś solenoidu. 

W punktach bliskich 
zwojom pole magnetyczne 
jest bliskie polu 
przewodów 
prostoliniowych. 

W tych punktach linie sił pola elektrycznego są 
współśrodkowymi okręgami. Wewnątrz solenoidu i na 
zewnątrz w punktach odległych od zwojów linie sił pola 
magnetycznego są niemal równoległe. Gęste wewnątrz 
(duża wartość B) i rozrzedzone na zewnątrz (B małe). 

Linia sił pola magnetycznego 

wewnątrz rzeczywistego 

solenoidu

Silne pole 
magnetycz
ne

Słabe pole 
magnetycz
ne

Idealny solenoid

W przypadku idealnego, długiego solenoidu całe pole 
magnetyczne 
skoncentrowane jest wewnątrz niego. Na zewnątrz 
solenoidu pole znika.  

Zastosujemy twierdzenie Ampère’a. Wybierzemy 
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z 
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek zegara. 
Długość boku prostokąta || do granicy solenoidu 
wynosi h. Kontur obejmuje obszar na zewnątrz 
solenoidu – bez pola i obszar w jego wnętrzu, gdzie 
B0. 

Kontur całkowania

Pole magnetyczne wewnątrz 

idealnego, długiego solenoidu    

b

b

d

a

a

b

c

d

.

+

�

�

�

�

�

Bds= Bds

Bds+ Bds+ Bds

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

�

Na odcinku ab:

Bds.

�

B ds

Bds=

r

r

r

r

P

Na odcinku bc:

0. 

^

� �

B ds

B ds=

r

r

r

r

Na odcinku cd:

0.

� �

B=0 ds

0 ds=

r

r

r

P

Na odcinku da:

w solenoidzie:

, po za solenoidem

0. 

^

� �

 B ds

 B=0

B ds=

r

r

r

r

r

Ostatecznie: 

b

a

Bh

=

�

�

Bds= Bds

r

r

r

r

�

Przyjmijmy, że gęstość zwojów wynosi n m

-1

. Wybrany 

kontur obejmuje nh zwojów. Natężenie prądów I

P

 prze-

chodzących przezeń równe jest Inh. Z twierdzenia 
Ampère’a otrzymujemy 

0 0

0

0

Bh =μ I =μ nhI

B =μ nI (idealny solenoid).

�

Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole magnetyczne jest 
jednorodne i nie zależy od jego średnicy ani od długości.  

Soleniod nawinięty na 
okrąg nazywa się 
toroidem. 

Przekrój idealnego toroidu. Linie sił 
pola B tworzą współśrodkowe okręgi. 
Wybierzemy kierunek przepływu 
prądu tak, aby linie sił pola 
skierowane były przeciwnie do ruchu 
wskazówek zegara. Niech konturem 
całkowania będzie okrąg o promieniu 
r, współśrodkowy z liniami sił pola o 
kierunku obiegu zgodnym z ruchem 
wskazówek zegara. Wtedy w każdym 
punkcie konturu                                   
    , a więc  

Bds,

�

B ds

Bds=

r

r

r

r

P

B ds B(2πr).

=

�

�

Bds=

r r

�

�

W twierdzeniu Ampère’a należy 
uwzględnić wszystkie zwoje. Niech N 
będzie ich liczbą, zatem 

Toroid -  wybór konturu 

Ampèra

0

0 P

0

μ N I

2πrB =μ I =μ N I

B =

(idealny toroid) .

2πr

�

��