Liczby
zespolone
Liczby zespolone – narzędzie (ale tylko narzędzie)
wykorzystywane w analizie sygnałów.
Mechanika kwantowa – rozwiązanie równania
Schroedingera (czyli tzw. funkcja falowa) jest
zwykle funkcją zespoloną, dlatego też sens fizyczny
przypisywany jest kwadratowi jej modułu (gęstość
prawdopodobieństwa)
Przykład elektrochemiczny – ANALIZA
IMPEDANCYJNA
Impedancja
Pojęcie uogólniające opór elektryczny:
100
R
W tym przypadku impedancja ( Z ) równa jest
oporowi omowemu czyli rezystancji ( R ). W
przypadku kondensatora jest nieco gorzej:
Kondensator nie przewodzi prądu stałego,
przewodzi jednakże prąd zmienny.
Kondensator zasilany napięciem przemiennym
stawia opór elektryczny zależny od częstotliwości
dodatkowo wprowadzając przesunięcie fazowe
między napięciem a prądem.
dt
t
dU
C
t
I
)
(
)
(
Jeśli U(t) (napięcie) ma postać:
)
2
sin(
)
(
0
ft
U
t
U
to prąd I(t) będzie wynosił:
)
2
cos(
2
)
(
0
ft
fCU
t
I
amplituda prądu
Wprowadzając nową wielkość (impedancję
kondensatora) możemy ominąć zabawę z równaniami
różniczkowymi, zastępując je równaniami
algebraicznymi
)
(
)
(
)
(
f
Z
f
U
f
I
fCj
f
Z
2
1
)
(
to jest właśnie
IMPEDANCJA
Dla kondensatora impedancja równa jest:
dt
t
dU
C
t
I
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
f
Z
f
U
f
I
operator
różniczkowy
operator
algebraiczny
Kondensator jest układem przetwarzającym „wejście”
U(t) na „wyjście” I(t). Zwykle łatwiej jest operować na
układach opisywanych równaniami algebraicznymi niż
różniczkowymi
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2
z
y
x
t
C
D
t
z
y
x
t
C
II prawo Ficka łatwiej je rozwiązywać w dziedzinie
zespolonej tzw. dziedzinie operatorowej, bo znikają
dziwne trójkąty (operatory Laplace’a) i pochodne
cząstkowe
Niekiedy równanie nie posiada rozwiązania w
dziedzinie liczb rzeczywistych:
Liczby
zespolone
0
1
2
x
wprowadźmy jednak pewną liczbę (liczbę urojoną „i”)
dla której:
1
2
i
wtedy:
ii
ix
ix
x
i
x
i
x
2
)
)(
(
i równanie ma (nawet dwa) rozwiązania
Na liczbach zespolonych zdefiniowane są podstawowe
działania:
di
c
Z
bi
a
Z
2
1
i
d
b
c
a
di
c
bi
a
Z
Z
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
)(
(
2
1
bc
ad
i
bd
ac
iibd
bci
adi
ac
di
c
bi
a
Z
Z
2
1
2
1
1
Z
Z
Z
Z
Implementacja
Reprezentacja graficzna
Postać kanoniczna (kartezjańska)
bi
a
Z
i (w elektrotechnice
„j”, żeby nie myliło
się z prądem)
jednostka urojona
1
2
i
oś rzeczywista
o
ś
u
ro
jo
n
a
oś rzeczywista
o
ś
u
ro
jo
n
a
Postać trygonometryczna
|
|Z
a
b
2
2
|
|
b
a
Z
|
|
)
sin(
Z
b
|
|
)
cos(
Z
a
)
sin(
)
cos(
|
|
i
Z
Z
moduł liczby
faza
o
ś
u
ro
jo
n
a
|
|Z
b
oś rzeczywista
Postać wykładnicza
)
exp(
|
|
j
Z
Z
Takie sobie ciekawostki:
j
Z
Niech liczba zespolona:
1
1
1
j
jj
j
j
Z
j
jx
jx
jx
jx
j
jx
jx
dx
d
x
dx
d
2
)
exp(
)
exp(
2
))
exp(
)
(exp(
2
)
exp(
)
exp(
cos
to jest sinus(x)
Niech |Z|=1 będzie stałą a będzie zmienną niezależną
(0,2) określmy sobie funkcję zespoloną Z=|Z|exp(j )
Re
Im
1
)
exp(
|
|
1
1
j
Z
Z
1
2
)
exp(
|
|
2
2
j
Z
Z
Im
)
exp(
|
|
1
j
Z
Z
1
Zażądajmy aby nasza funkcja Z() przyjmowała jedynie
wartości rzeczywiste (czyli leżące na osi „Re”)
Re
)
exp(
|
|
2
j
Z
Z
)]
exp(
)
[exp(
|
|
j
j
Z
Z
Rozpatrzmy parę wartości funkcji Z():
2
]
1
1
[
|
|
0
0
Z
Z
0
]
[
|
|
2
2
i
i
Z
Z
2
]
1
1
[
|
|
Z
Z
0
]
[
|
|
2
3
2
3
i
i
Z
Z
2
]
1
1
[
|
|
2
2
Z
Z
Uzyskane wartości po podzieleniu przez dwa są podobne
do wartości funkcji cos():
1
)
0
cos(
2
0
Z
0
2
cos
0
2
Z
1
)
cos(
2
Z
0
2
3
cos
0
2
3
Z
)
cos(
|
|
)]
exp(
)
[exp(
|
|
5
,
0
Z
j
j
Z
Sygnał o czasie ciągłym
jakaś chwila t1 dla
której kąt=1
w chwili t2 kąt
zwiększył
się
do
wielkości 2
Zakładamy że każdemu przyrostowi czasu t odpowiada
stały przyrost kąta . Wobec tego możemy użyć
prostego „krzyżakowego” rozumowania:
2 - T (okres)
- t
zatem:
t
T
2
0
2
)
(
t
T
t
0
2
)
(
t
T
t
Pamiętamy że 1/T to częstotliwość. Częstotliwość
określa zatem jak szybko zmienia się kąt . Czyli jak
szybko punkt krąży po okręgu.
częstotliwoś
ć
f
1
f
2
f
3
sygnał
zespolony:
> szybsze wirowanie >
0
określa punkt
startowy
Krążenie punktu po okręgu określone jest przez liczby
zespolone. Jednakże sygnały które mierzymy są
rzeczywiste. Są one punktu „Z” na oś rzeczywistą
(konwencja):
Rzutowanie z matematycznego
punktu widzenia:
Powrót Jedi
(wzór Eulera)
ft
t
2
)
(
ft
t
2
)
(
Dodajemy
geometrycznie
drugi
wektor wodzący dla którego kąt jest
równy co do wielkości i przeciwny co
do znaku
jft
Z
2
exp
Z
jft
Z
2
exp
liczba
sprzężona
Z
częstotliwoś
ć
wirowanie
z
częstotliwością f w
kierunku
dodatnim
wirowanie
z
częstotliwością f w
kierunku
ujemnym
Powstawanie ujemnych prążków
widma nie jest efektem
cyfrowym
f
1
f
2
f
3
częstotliwość
Wektory wirują razem. Zatem sygnał jest sumą
wektorów elementarnych.
f
1
f
2
f
3
częstotliwoś
ć
Inne częstotliwości i
amplitudy...
A
1
f
1
A
2
f
2
A
3
f
3
Przekształcenie Fouriera
umożliwia rozdzielenie
poszczególnych zsumowanych
wektorów elementarnych