PODSTAWOWE
KONSTRUKCJE
GEOMETRYCZNE
Bartosz
Bartosz
Michalski
Michalski
PODSTAWOWE
KONSTRUKCJE
GEOMETRYCZNE
Bartosz
Bartosz
Michalski
Michalski
MEN
MEN
U
U
1.
1.
Konstrukcje elementarne
Konstrukcje elementarne
2.
2.
Podział odcinka na pięć części
Podział odcinka na pięć części
3.
3.
Wielokąty foremne
Wielokąty foremne
4.
4.
Konstrukcje wielokątów foremnych
Konstrukcje wielokątów foremnych
5.
5.
Okrąg wpisany w wielokąt
Okrąg wpisany w wielokąt
6.
6.
Okrąg opisany na wielokącie
Okrąg opisany na wielokącie
7.
7.
Kwadrat wpisany w dany trójkąt
Kwadrat wpisany w dany trójkąt
ostrokątny
ostrokątny
A
B
r
r
C
D
Dany jest odcinek AB
Wybieramy r >
1
/
2
|AB|
Rysujemy o(A,r)
Rysujemy o(B,r)
Otrzymujemy punkty C
i D przecięcia tych
okręgów
Rysujemy prostą CD
Konstrukcja symetralnej odcinka
Opis konstrukcji
E
F
G
F
’
G’
Konstrukcja dwusiecznej odcinka
Opis
konstrukcji
Dany jest kąt FEG
Zakreślamy okrąg o
środku E i dowolnym
promieniu
Otrzymujemy punkty F’
i G’ przecięcia tego
okręgu z ramionami
kąta
Konstruujemy
symetralną odcinka E’G’
Część wspólna tej
symetralnej i kąta FEG
jest poszukiwaną
dwusieczną
Konstrukcja prostej prostopadłej
do danej prostej przechodzącej
przez dany punkt
Opis
konstrukcji
Dana jest prosta k i
punkt A
Kreślimy okrąg o środku
A tak, aby miał on z
prostą k dwa punkty
wspólne
Otrzymujemy odcinek
BC
Kreślimy symetralną
odcinka BC
k
A
B
C
a
a
A
a
k
B
1
B
2
Konstrukcja prostej równoległej
do danej prostej k w odległości a
od tej prostej
Opis
konstrukcji
Dana jest prosta k i
odcinek a
Na prostej k wybieramy
dowolnie punkt A
Kreślimy prostą l
prostopadłą do k,
przechodzącą przez punkt
A
Kreślimy okrąg o(A, a),
który przecina prostą l w
punktach B
1
i B
2
Kreślimy proste
prostopadłe do prostej l
przechodzące przez
punkty B
1
i B
2
A
O
O
1
B
1
B
2
Konstrukcja stycznej do danego
okręgu przechodzącej przez dany
punkt leżący na zewnątrz okręgu
Dany jest okrąg o(O,r)
oraz punkt A leżący na
zewnątrz okręgu
Kreślimy odcinek OA
Kreślimy symetralną
odcinka OA, która
przecina go w punkcie
O
1
Kreślimy okrąg o(O
1
,
O
1
O), który przecina
dany okrąg w punktach
B
1
i B
2
Kreślimy proste B
1
A i
B
2
A
.
Opis
konstrukcji
X’
C’
x
x
x
x
x
B
A
X’
C
D
E
F
G
X’
D’
X’
E’
X’
F’
s
m
Podział odcinka na 5 równych
części
Opis
konstrukcji
Dany jest odcinek AB. Z
punktu A kreślimy półprostą
m, tworzącą z odcinkiem AB
kąt ostry.
Od punktu A na półprostej m
odmierzamy w kolejności pięć
odcinków równej długości; AC,
CD, DE, EF i FG.
Otrzymujemy na półprostej
pięć odcinków: |AC| = |CD| = |
DE| = |EF| = |FG| = x
Przez punkty G i B
kreślimy prostą s, a
następnie przez punkty
C, D, E i F kreślimy
proste równoległe do
prostej s.
Na odcinku AB
otrzymujemy punkty C’,
D’, E’ i F’, które dzielą
odcinek AB na pięć
równych odcinków x’.
Wielokąty foremne
Wielokąty foremne – jest to
wielokąt mający wszystkie
boki równej długości i wszystkie
kąty równe.
Własności:
1. Jest wypukły.
2. Na każdym wielokącie można opisać
okrąg. W każdy wielokąt foremny
można opisać okrąg.
3. Symetralna boku jest jego osią
symetrii.
4. Dwusieczna kąta zawiera się w jego
osi symetrii.
Konstrukcje wielokątów
foremnych
Trójkąt równoboczny
Kwadrat
Pięciokąt foremny
Sześciokąt foremny
a
A
B
C
a
a
Konstrukcja trójkąta
równobocznego o danym boku a
Opis
konstrukcji
Dany jest odcinek o
długości a.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Rysujemy okrąg o(B,a)
Otrzymujemy punkt C
przecięcia
tych okręgów
Punkt C jest trzecim
wierzchołkiem trójkąta.
Konstrukcja kwadratu o danym
boku a
D
C
B
A
a
a
a
a
Opis
konstrukcji
Dany jest odcinek AB o
długości a.
Kreślimy prostą
prostopadłą do AB przez
punkt A.
Rysujemy okrąg o(A,a).
Otrzymujemy punkt C
przecięcia tego okręgu z
prostą prostopadłą do AB.
Rysujemy okręgi o(C,a)
oraz o(B,a).
Otrzymujemy punkt D
przecięcia tych okręgów,
który jest czwartym
wierzchołkiem kwadratu.
Konstrukcja pięciokąta foremnego
o danym boku a
Opis konstrukcji
Dany jest odcinek AB o długości
a.
Kreślimy okręgi o(A,a) oraz
o(B,a). Otrzymujemy punkt P
oraz symetralną odcinka AB.
Kreślimy okrąg o(P,a).
Otrzymujemy punkty R, S i T
przecięcia odpowiednio z
okręgami o(A,a), o(B,a) oraz z
symetralną odcinka AB.
Kreślimy proste RT i ST.
Otrzymujemy punkty C i E
przecięcia tych prostych z o(A,a)
i o(B,a).
Z punktów C i E zakreślamy łuki
okręgu o promieniu a. Przecinają
się one w punkcie D należącym
do symetralnej odcinka AB.
Łączymy kolejno punkty
A,B,C,D,E.
A
B
P
R
S
T
C
E
D
a
Konstrukcja sześciokąta
foremnego o danym boku a
Opis konstrukcji
Dany jest odcinek o
długości a.
Rysujemy okrąg o
promieniu a.
Wybieramy dowolny punkt
A na okręgu.
Z punktu A zakreślamy
kolejno łuki o promieniu a
Otrzymujemy punkty B, C,
D, E, F przecięcia tych
łuków z okręgiem.
B
C
D
E
F
A
a
a
a
a
a
a
a
Okrąg wpisany w wielokąt
Jeżeli każdy bok wielokąta jest styczny do
okręgu, to wielokąt jest opisany na
okręgu, a okrąg nazywa się
okręgiem
okręgiem
wpisanym w wielokąt.
wpisanym w wielokąt.
TWIERDZENIE
Wielokąt można opisać na okręgu (okrąg można wpisać w
wielokąt) wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne kątów
wewnętrznych tego wielokąta przecinają się w jednym
punkcie. Ten punkt jest środkiem okręgu wpisanego w
wielokąt.
Okrąg można wpisać w dowolny
trójkąt.
Okrąg można wpisać w czworokąt
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
długości przeciwległych boków
czworokąta są równe.
A
B
C
S
D
r
Okrąg wpisany w trójkąt
Opis konstrukcji
Dany jest trójkąt ABC.
Kreślimy dwusieczną kąta
BAC.
Kreślimy dwusieczną kąta
ABC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek SD
AB.
Kreślimy okrąg o środku S i
promieniu r=SD.
Okrąg wpisany w romb
A
D
C
B
S
r
E
Opis konstrukcji
Dany jest romb ABCD.
Kreślimy przekątne AC i
BD.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Prowadzimy odcinek SE
AB.
Kreślimy okrąg o środku S i
promieniu r=SE.
Okrąg opisany na wielokącie
Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki
należą do pewnego okręgu, nazywa się
wielokątem wpisanym w
okrąg , okrąg
zaś-
okręgiem opisanym na
okręgiem opisanym na
wielokącie.
wielokącie.
TWIERDZENIE
Wielokąt można wpisać w okrąg (okrąg można opisać na
wielokącie) wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne boków tego
wielokąta przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest
środkiem okręgu opisanego na wielokącie.
Na dowolnym trójkącie można opisać
okrąg.
Okrąg można opisać na czworokącie
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
przeciwległych kątów czworokąta są
równe (i wynoszą 180°).
Okrąg opisany na trójkącie
A
B
C
S
R
R
R
Opis konstrukcji
Dany jest trójkąt ABC.
Kreślimy symetralne boków
AB i BC.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Otrzymujemy równe odcinki
SA, SB i SC.
Kreślimy okrąg o środku S i
promieniu R
=SA=SB=SC
Okrąg opisany na prostokącie
A
B
C
D
S
r
Opis konstrukcji
Dany jest prostokąt ABCD.
Kreślimy przekątne AC i BD.
Otrzymujemy punkt
przecięcia S.
Z własności prostokąta
SA=SB=SC=SD, czyli S
jest środkiem okręgu
opisanego na ABCD.
Kreślimy okrąg o środku
o(S,r), gdzie r =SA.
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt ostrokątny
r
r
r
Trójkąt prostokątny
r
r
r
Środek okręgu jest punktem
leżącym wewnątrz trójkąta.
Środkiem okręgu jest środek
przeciwprostokątnej (bo kąt
wpisany w okrąg oparty na
półokręgu jest kątem
prostym)
Okrąg opisany na trójkącie
Trójkąt ostrokątny
r
r
r
Środek okręgu jest punktem
leżącym na zewnątrz trójkąta.
Kwadrat wpisany w dany trójkąt
ostrokątny
M
A
B
C
K
L
N
D
E
F
G
Opis konstrukcji
Dany jest trójkąt
ostrokątny ABC.
Kreślimy kwadrat DEFG
taki, że punkty D, E AB, G
AC
Kreślimy półprostą AF.
Otrzymujemy punkt M
przecięcia z bokiem BC,
który jest obrazem F w
jednokładności o środku A i
skali s=AM:AF.
Przez M kreślimy prostą
równoległą do AB.
Otrzymujemy punkt N.
Przez punkty M i N
kreślimy proste
prostopadłe do AB.
Otrzymujemy punkty K i L
przecięcia z AB.