Prądy stałe i zmienne
wielkość
wielkość
przemienna
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
wielkość
stała
wielkość tętniąca
Prądy stałe i zmienne
wielkość
wielkość
przemienna
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
wielkość
stała
wielkość tętniąca
Prądy zmienne
Prądy i napięcia zmienne - takie,
których wartości zależą od czasu.
Wartości prądów i napięć w określonej
chwili czasowej czyli wartości
chwilowe :
u(t) lub u
i(t) lub i
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
Wielkość nazywamy okresową, gdy jej wartości
powtarzają się w jednakowych odstępach czasu.
Okresem T
wielkości okresowej nazywamy
najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego
następuje powtarzanie się wartości.
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
Warunek okresowości:
t
x
kT
t
x
t
x
T
t
x
lub
ogólniej:
przy czym:
,....
2
,
1
k
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
Wielkości zmieniające się nieokresowo
w funkcji czasu nazywamy
nieokresowymi.
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
i
t
0
wielkość
okresowa
i
t
wielkość
nieokresowa
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
Wielkość okresowa jest wielkością
cykliczną, przy czym
cyklem
wielkości
nazywamy zbiór jej wartości
odpowiadający jednemu okresowi.
Odwrotność okresu
T
wielkości okresowej
nazywamy
częstotliwością f
tej
wielkości:
T
f
1
Jednostką częstotliwości jest
herc [Hz]
Prądy zmienne
wielkość
nieokresowa
wielkość
okresowa
wielkość
zmienna
i
t
0
wielkość okresowa
T
cyk
l
okres
Prądy zmienne
Wielkością
przemienną
nazywamy
wielkość okresową, której wartość
średnia za okres równa się zeru, czyli:
wielkość tętniąca
wielkość
przemienna
wielkość
okresowa
0
1
0
T
xdt
T
x
x
t
0
Prądy zmienne
Wielkością
tętniącą
nazywamy wielkość
okresową, której wartość średnia za okres
nie równa się zeru, czyli:
wielkość tętniąca
wielkość
przemienna
wielkość
okresowa
0
1
0
T
xdt
T
x
x
t
0
a
bt
a
x
sin
Elementy idealne w obwodach
prądu zmiennego
Przepływowi prądu elektrycznego
towarzyszą zawsze trzy zjawiska:
1. Powstawanie energii cieplnej kosztem
energii elektrycznej - straty energii
elektrycznej,
2. Występowanie pola elektrycznego
wewnątrz i na zewnątrz przewodów.
3. Występowanie pola magnetycznego
wewnątrz i na zewnątrz przewodów.
Elementy idealne w obwodach
prądu zmiennego
Dowolny element obwodu traktujemy
jako
idealny
, jeśli występuje w nim
tylko jedno
z wymienionych zjawisk a
pozostałe dwa mogą być pominięte.
W elementach rzeczywistych zawsze
występują wszystkie trzy zjawiska ale
jedno z nich może być dominujące.
Idealny opornik
Opornikiem idealnym nazywamy element, w
którym występuje
tylko przekształcanie energii
elektrycznej na cieplną
, nie występuje natomiast
ani pole elektryczne, ani pole magnetyczne.
Parametrem opornika idealnego jest
rezystancja R[
]
lub
konduktancja G[S]
,
przy czym:
R
G
1
Idealny opornik
Oznaczenie opornika idealnego:
i
u
R
Wartości chwilowe napięcia i prądu w
oporniku idealnym są do siebie
proporcjonalne, stąd
równania opornika
idealnego
:
Ri
u
Gu
i
lub
Idealny kondensator
Kondensatorem idealnym nazywamy
element, w którym występuje
tylko pole
elektryczne
, nie ma natomiast ani pola
magnetycznego ani przemiany energii
elektrycznej na cieplną.
Parametrem określającym kondensator
idealny jest
pojemność C[F].
Idealny kondensator
Oznaczenie kondensatora
idealnego:
Jeżeli na zaciskach kondensatora idealnego
istnieje napięcie zmienne, wówczas w
kondensatorze płynie prąd:
i
u
C
dt
du
C
i
Idealny kondensator
i
u
C
dt
du
C
i
0
0
0
0
u
t
u
C
du
C
dt
dt
t
du
C
dt
t
i
t
u
u
t
t
Idealny kondensator
Napięcie na
kondensatorze:
i
u
C
t
idt
C
u
u
0
1
0
gdzie u(0) jest wartością początkową
napięcia na kondensatorze.
idt
C
u
1
Idealny kondensator - przykład
Kondensator o
pojemności
C = 1F
= 10
-6
F
i napięciu
początkowym
u(0) =
-1V.
Obliczmy
napięcie tego
kondensatora, jeżeli
płynący przez niego
prąd ma kształt jak na
rys.
0
1
1
2
2
i(t)
[A
]
t
[s]
Idealny kondensator - przykład
t
idt
C
u
u
0
1
0
t
dt
t
u
t
t
1
10
10
1
1
:
1
0
0
6
6
0
1
1
2
2
i(t)
[A
]
t
[s]
Idealny kondensator - przykład
t
idt
C
u
u
0
1
0
1
2
10
2
10
1
10
10
1
1
:
2
1
1
6
6
1
0
6
6
t
dt
dt
t
u
t
t
0
1
1
2
2
i(t)
[A
]
t
[s]
Idealny kondensator - przykład
t
idt
C
u
u
0
1
0
2
2
:
2
u
t
u
t
0
1
1
2
2
i(t)
[A
]
t
[s]
Idealny kondensator - przykład
0
1
1
2
2
u(t)
[V]
t
[s]
-1
0
1
1
2
2
i(t)
[A
]
t
[s]
Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od
napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prądu w przedziale czasu 0 – t. „Kondensator
pamięta przeszłość”.
Idealna cewka
Cewką idealną nazywamy element, w którym
występuje
tylko pole magnetyczne
, nie
występuje natomiast ani pole elektryczne, ani
zjawiska przekształcania energii elektrycznej
na cieplną.
Parametrem cewki idealnej jest
indukcyjność
L
Jednostką indukcyjności jest
henr
[H].
Idealna cewka
Oznaczenie cewki idealnej:
i
u
L
i
u
Przy przepływie prądu zmiennego w uzwojeniu
cewki idealnej powstaje zmienny strumień
magnetyczny skojarzony z cewką i w cewce o
indukcyjności L indukuje się siła
elektromotoryczna:
dt
di
L
e
i
Idealna cewka
i
u
L
i
u
dt
di
L
u
Na zaciskach cewki
występuje wówczas
napięcie:
0
0
0
0
i
t
i
L
di
L
dt
dt
t
di
L
dt
t
u
t
i
i
t
t
Idealna cewka
i
u
L
i
u
dt
di
L
u
Wobec tego prąd w cewce
idealnej:
t
udt
L
i
i
0
1
0
gdzie i(0) jest tzw. wartością początkową
prądu w cewce.
udt
L
i
1
Idealna cewka - przykład
Cewka o
indukcyjności
L =
0,01 H
, w której
płynie prąd
i(t
) o
kształcie jak na
rys. obliczymy
napięcie cewki.
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Korzystamy ze wzoru:
dt
t
di
L
t
u
i obliczamy napięcie
na zaciskach cewki:
dt
t
di
t
u
01
,
0
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:
10
10
1
,
0
0
t
dt
d
dt
t
di
t
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:
0
1
3
,
0
1
,
0
dt
d
dt
t
di
t
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:
10
10
4
,
0
3
,
0
t
dt
d
dt
t
di
t
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:
0
0
4
,
0
dt
d
dt
t
di
t
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Idealna cewka - przykład
Napięcie na cewce:
t
u
0
1
,
0
0
1
,
0
4
,
0
4
,
0
3
,
0
3
,
0
1
,
0
1
,
0
0
t
t
t
t
dla
dla
dla
dla
Idealna cewka - przykład
0,
1
u(t
)
[V
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
-
0,1
1
i(t
)
[A
]
t
[s
]
0
0,
1
0,
2
0,
3
0,
4
Dwójniki
Dwójnik – element o 2 końcówkach.
i(t)
u(t)
2
1
Dwójnikiem może być
pojedynczy element
lub połączenie
elementów, z którego
wyprowadzono na
zewnątrz dwie
końcówki.
Moc i energia prądu zmiennego
i(t)
u(t)
2
1
Mocą chwilową dwójnika
nazywamy iloczyn wartości
chwilowych jego napięcia i
prądu:
A
V
W
t
i
t
u
t
p
1
1
1
Moc i energia prądu zmiennego
i(t)
u(t)
2
1
Moc chwilowa dwójnika jest
równa pochodnej czasowej
jego energii w
dt
t
dw
t
p
Moc dwójnika może
przybierać wartości dodatnie
lub ujemne, w zależności od
tego, czy energia w wzrasta,
czy maleje.
Moc i energia prądu zmiennego
i(t)
u(t)
2
1
Energia pobrana przez
dwójnik ze źródła
zasilającego w czasie od t
0
do t.
dt
t
i
t
u
dt
t
p
t
t
w
t
t
t
t
0
0
,
0
Moc i energia opornika
idealnego
2
2
1
1
t
u
R
t
i
R
t
i
t
u
t
p
t
u
R
t
i
t
Ri
t
u
Moc opornika:
Moc i energia opornika
idealnego
Energia pobierana przez opornik w
czasie od t
0
do t:
dt
i
R
w
t
t
0
2
Ta energia przekształca się w oporniku
na ciepło.
Moc i energia kondensatora
idealnego
i(t)
u(t)
C
G
e
n
e
ra
to
r
dt
t
du
C
t
i
Energia dostarczona do
kondensatora w czasie od
t
o
do t:
t
u
t
u
t
t
t
t
t
t
Cudu
dt
t
du
C
t
u
dt
t
i
t
u
dt
t
p
t
t
w
0
0
0
0
,
0
Moc i energia kondensatora
idealnego
Załóżmy, że t
o
jest taką chwilą, w której
napięcie na kondensatorze jest równe 0.
Energia kondensatora jest wówczas również
zerowa i:
t
Cu
udu
C
Cudu
t
t
w
t
u
t
u
t
u
2
0
0
2
1
,
0
Moc i energia kondensatora
idealnego
Kondensator gromadzi energię w swoim
polu elektrycznym. Energia kondensatora w
chwili t jest równa energii dostarczonej z
generatora w czasie od t
0
do t.
dt
t
du
C
t
p
t
Cu
t
w
C
2
2
2
1
2
1
Moc kondensatora, jako pochodna jego
energii:
Moc i energia cewki idealnej
u(t)
i(t)
L
G
e
n
e
ra
to
r
dt
t
di
L
t
u
Energia dostarczona z
generatora do cewki w
czasie od t
0
do t
wynosi:
t
i
t
i
t
t
t
t
t
t
idi
L
dt
t
i
dt
t
di
L
dt
t
i
t
u
dt
t
p
t
t
w
0
0
0
0
,
0
Moc i energia cewki idealnej
Załóżmy, że t
0
jest chwilą, w której nie
płynie prąd przez cewkę, czyli:
0
0
t
i
Wówczas strumień magnetyczny cewki jest
0 i nie istnieje pole magnetyczne cewki. W
takim stanie energia cewki jest zerowa i:
2
0
0
0
2
1
,
t
i
L
idi
L
idi
L
t
t
w
t
i
t
i
t
i
Moc i energia cewki idealnej
Cewka magazynuje energię w swoim polu
magnetycznym. Jeżeli w chwili t
0
= 0
energia cewki była zerowa, to energia
dostarczona z generatora w czasie od t
0
do t jest energią zgromadzoną w cewce
w chwili t.
t
Li
t
w
L
2
2
1
Moc cewki:
dt
t
di
L
p
2
2
1
Połączenie szeregowe oporników
idealnych
R
1
i(t
)
u
1
(
t)
R
2
u
2
(
t)
u(t
)
t
i
R
R
t
i
R
t
i
R
t
u
t
u
t
u
2
1
2
1
2
1
Połączenie szeregowe oporników
idealnych
2
1
R
R
t
i
t
u
2
1
R
R
R
Opornik równoważny (zastępczy):
Połączenie szeregowe oporników
idealnych
Dla n szeregowo połączonych
oporników:
n
k
k
R
R
1
Połączenie równoległe
oporników idealnych
t
i
t
i
t
i
2
1
R
1
i
2
(t
)
i
1
(t
)
R
2
u(t
)
i(t
)
Połączenie równoległe
oporników idealnych
Zgodnie z prawem Ohma:
1
1
R
t
u
t
i
2
2
R
t
u
t
i
t
u
R
R
R
t
u
R
t
u
t
i
t
i
t
i
2
1
2
1
2
1
1
1
t
u
R
R
t
i
2
1
1
1
Połączenie równoległe
oporników idealnych
2
1
1
1
1
R
R
R
n
k
k
R
R
1
1
1
Dla n oporników połączonych
równolegle:
Połączenie szeregowe
kondensatorów idealnych
u
1
(
t) u(t
)
C
1
u
2
(
t)
C
2
i(t)
u
(t)
C
i(t)
Połączenie szeregowe
kondensatorów idealnych
u
1
(
t) u(t
)
C
1
u
2
(
t)
C
2
i(t)
Przez obydwa
kondensatory
płynie ten
sam prąd.
Stosujemy
NPK.
0
0
0
2
1
u
u
u
Połączenie szeregowe
kondensatorów idealnych
u
1
(
t) u(t
)
C
1
u
2
(
t)
C
2
i(t)
dt
t
i
C
u
t
u
dt
t
i
C
u
t
u
t
t
0
2
2
2
0
1
1
1
1
0
1
0
Połączenie szeregowe
kondensatorów idealnych
u
1
(
t) u(t
)
C
1
u
2
(
t)
C
2
i(t)
dt
t
i
C
u
dt
t
i
C
dt
t
i
C
u
u
t
u
t
t
t
0
0
2
0
1
2
1
1
0
1
1
0
0
Połączenie szeregowe
kondensatorów idealnych
dt
t
i
C
u
t
u
t
0
1
0
u
(t)
C
i(t)
gdzie:
2
1
1
1
1
C
C
C
n
k
k
C
C
1
1
1
Pojemność zastępcza n
kondensatorów
połączonych
szeregowo:
Połączenie równoległe
kondensatorów idealnych
C
2
i
2
(t)
u(t
)
C
1
i(t)
i
1
(t)
u(t
)
C
i(t)
Napięcia na kondensatorach są w każdej
chwili jednakowe.
Stosujemy PPK.
Połączenie równoległe
kondensatorów idealnych
C
2
i
2
(t
)
u(t
)
C
1
i(t)
i
1
(t
)
dt
t
du
C
t
i
dt
t
du
C
t
i
2
2
1
1
dt
t
du
C
C
dt
t
du
C
dt
t
du
C
t
i
t
i
t
i
2
1
2
1
2
1
Połączenie równoległe
kondensatorów idealnych
n
k
k
C
C
C
C
C
dt
t
du
C
t
i
1
2
1
u(t
)
C
i(t)
Pojemność zastępcza układu n
kondensatorów połączonych
równolegle:
Połączenie szeregowe cewek
idealnych
L
1
i(t
)
u
1
(t
)
u(t
)
L
2
u
2
(t
)
L
u
(t)
Prąd płynący przez obydwie cewki jest w
każdej chwili jednakowy, czyli:
0
0
0
2
1
i
i
i
Połączenie szeregowe cewek
idealnych
L
1
i(t
)
u
1
(
t)
u(t
)
L
2
u
2
(
t)
Stosujemy
NPK
t
u
t
u
t
u
2
1
dt
t
di
L
t
u
dt
t
di
L
t
u
2
2
2
1
1
1
Połączenie szeregowe cewek
idealnych
L
1
i(t
)
u
1
(
t)
u(t
)
L
2
u
2
(
t)
dt
t
di
L
dt
t
di
L
dt
t
di
L
t
u
2
1
Połączenie szeregowe cewek
idealnych
2
1
L
L
L
dt
t
di
L
t
u
L
u
(t)
Dla n cewek,
przy:
0
0
0
1
n
i
i
i
n
k
k
L
L
1
Połączenie równoległe cewek
idealnych
L
u
(t)
i
(t)
u
(t)
L
1
i
1
(t
)
L
2
i
2
(t
)
i
(t)
Prądy
początkowe
cewek:
0
0
0
2
1
i
i
i
Połączenie równoległe cewek
idealnych
u
(t)
L
1
i
1
(t
)
L
2
i
2
(t
)
i
(t)
Napięcia na obydwu
cewkach są jednakowe i
równe u(t)
dt
t
u
L
i
t
i
dt
t
u
L
i
t
i
t
t
0
2
2
2
0
1
1
1
1
0
1
0
Połączenie równoległe cewek
idealnych
u
(t)
L
1
i
1
(t
)
L
2
i
2
(t
)
i
(t)
Zgodnie z PPK:
t
i
t
i
t
i
2
1
dt
t
u
L
i
dt
t
u
L
L
i
i
t
i
t
t
0
0
2
1
2
1
1
0
1
1
0
0
Połączenie równoległe cewek
idealnych
L
u
(t)
i
(t)
2
1
2
1
2
1
1
1
1
L
L
L
L
L
L
L
L
Dla n cewek połączonych
równolegle:
0
0
0
0
2
1
n
i
i
i
i
n
k
k
L
L
1
1
1