Prognozowanie i symulacje

ćwiczenia

dr Stanisław Cichocki
mgr Grzegorz Ogonek
mgr Paweł Sakowski
mgr Piotr Wójcik

2. Prognozowanie w modelach SARIMA

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Definicja białego szumu

2

)

var(





t

y





)

(

t

y

E















k

t

k

t

k

t

,

0

,

2





Proces białego szumu spełnia następujące
założenia:

1)

2)

3)

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Funkcja autokowariancji:

Funkcja autokowariancji, ACF,

PACF

Funkcja autokowariancji nie posiada oczywistej
interpretacji, dlatego częściej stosuje się funkcję
autokorelacji (ACF):

,...

2

,

1

,

0

,

)]

(

)][

(

[













k

y

E

y

y

E

y

E

k

k

t

k

t

t

t



,...

2

,

1

,

0

,

0





k

k

k







Funkcja częściowej autokorelacji (PACF), , mierzy
korelację pomiędzy obserwacjami oddalonymi od siebie o
opóźnień, i po wyjęciu efektów:

kk



k

t

y

k

t

y



,

,...,

,

1

2

1











t

k

t

k

t

y

y

y

Różnicę między ACF i PACF można sobie wyobrazić jako analogię
różnicy między współczynnikiem regresji przy pewnej zmiennej w
regresji prostej i w regresji wielu zmiennych (przy uwzględnieniu
ich wpływu).

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Proces ARMA

(autoregressive

moving average process)



Proces ARMA(1,1):

gdzie jest białym szumem.



Proces ARMA(p,q):

t



q

t

q

t

t

t































...

2

2

1

1

1

1

1

1













t

t

t

t

y

y





























p

t

p

t

t

t

y

y

y

y









...

2

2

1

1

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Procedura Boxa-Jenkinsa

1.

Identyfikacja

2.

Estymacja

3.

Diagnostyka

4.

Prognozowanie

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Identyfikacja

Model ARIMA ma 3 parametry, które szacujemy:



p – rząd procesu AR;



d – stopień zintegrowania oryginalnego szeregu;



q – rząd procesu MA;

Po uprzednim zidentyfikowaniu d, przystępujemy

do identyfikacji p oraz q przez analizę wykresów
funkcji autokorelacji (ACF) i funkcji cząstkowej
autokorelacji (PACF);

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

ACF i PACF w modelach

ARIMA



Proces autoregresyjny - AR :

–

geometrycznie wygasająca funkcja ACF

–

liczba niezerowych wartości PACF = rząd AR



Proces średniej ruchomej - MA:

–

liczba niezerowych wartości ACF = rząd MA

–

geometrycznie wygasająca funkcja PACF



Proces ARMA:

–

geometrycznie wygasająca funkcja ACF

–

geometrycznie wygasająca funkcja PACF

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Modele SARIMA – Stosowana

notacja

Na początek zacznijmy od zapisu. Symbolem

B

będziemy jest

oznaczać operator przesunięcia (backshift operator, lag
operator etc.):

i

t

t

i

t

t

t

t

x

x

B

x

Bx

x

x

B











1

0

Przykłady:

2

1

2

2

2

2

1

2

)

2

1

(

)

1

)(

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(









































t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

B

B

x

B

B

x

B

x

x

x

B

x

x

x

B

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Proces SARIMA (Seasonal

ARIMA)

0

N

, 

D

d

Niech

. Proces {x

t

} nazywamy sezonowym procesem

ARIMA (

p

,

d

,

q

)x(

P

,

D

,

Q

)

s

jeśli proces:

t

D

s

d

t

x

B

B

y

)

1

(

)

1

(







jest stacjonarnym procesem ARMA z:

t

s

t

s

B

V

B

R

y

B

H

B

P



)

(

)

(

)

(

)

(



gdzie:

(biały szum)

)

,

0

(

~

}

{

2





WN

t









p

i

i

i

B

B

P

1

1

)

(











q

i

i

i

B

B

R

1

1

)

(











P

i

si

i

s

B

B

H

1

1

)

(











Q

i

si

i

s

B

B

V

1

1

)

(



oraz:

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Przykłady modeli 1/2

SARIMA (0,1,0)(0,1,1)

12

(dane miesięczne)

SARIMA (1,1,1)(0,1,0)

4

(dane kwartalne)

13

1

12

12

)

1

)(

1

(





















t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

B

B

y

12

1

12

1

)

1

(











t

t

t

t

B

y











4

1

4

4

)

1

)(

1

(





















t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

B

B

y

t

t

B

y

B







)

1

(

)

1

(

1

1







1

1

1

1











t

t

t

t

y

y









1

1

1

1











t

t

t

t

y

y









różnicowanie regularne i

sezonowe:

stacjonarna postać ARMA:

różnicowanie regularne i

sezonowe:

stacjonarna postać ARMA:

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Przykłady modeli 2/2

SARIMA (0,1,0)(1,1,1)

4

(dane kwartalne)

5

1

4

4

)

1

)(

1

(





















t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

B

B

y

t

t

B

y

B







)

1

(

)

1

(

4

1

4

1







4

1

4

1











t

t

t

t

y

y









4

1

4

1











t

t

t

t

y

y









różnicowanie regularne i

sezonowe:

stacjonarna postać ARMA:

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Przykłady składni w SASie

1/2

Chcemy oszacować model SARIMA (

1

,

1

,

1

)x(

1

,

1

,

1

)

12

13

1

12

12

)

1

)(

1

(





















t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

B

B

y

t

t

B

B

y

B

B











)

1

)(

1

(

)

1

)(

1

(

12

1

1

12

1

1











proc ARIMA data=[nazwazbioru];

identify var=[zmienna](

1

,

12

);

estimate p=(

1

)(

12

) q=(

1

)(

12

)

[noconstant];

forecast lead=...;

run;

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Przykłady składni w SASie

2/2

Chcemy oszacować model SARIMA (

2

,

1

,

3

)x(

1

,

1

,

4

)

4

proc ARIMA data=[nazwazbioru];

identify var=[zmienna](

1

,

4

);

estimate p=(

1 2

)(

4

) q=(

1 2 3

)(

4 8 12 16

)

[noconstant];

forecast lead=...;

run;

5

1

4

4

)

1

)(

1

(





















t

t

t

t

t

t

x

x

x

x

x

B

B

y

t

t

B

B

B

B

B

B

B

y

B

B

B























)

1

)(

1

(

)

1

)(

1

(

16

4

12

3

8

2

4

1

3

3

2

2

1

4

1

2

2

1

























dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Jak znaleźć właściwy model?

1. Sprowadzić szereg do postaci stacjonarnej poprzez

różnicowanie regularne (najczęściej jednokrotne,
rzadziej dwukrotne) oraz różnicowanie sezonowe
(zdecydowanie najczęściej jednokrotne).

2. Na podstawie ACF i PACF ustalić rzędy

P

oraz

Q

(sezonowe)

3. Na podstawie ACF ustalić rzędy rzędy

p

oraz

q

(regularne)

W punktach 2. i 3. pomocna może się okazać
analiza istotności dodatkowych parametrów oraz
wartości kryteriów AIC i SBC.

dr Stanisław Cichocki, mgr Grzegorz
Ogonek, mgr Paweł Sakowski, mgr
Piotr Wójcik

Prognozowanie i symulacje - ćwiczenia

W

N

E

U

W

2

0

0

8

/2

0

0

9

Dziękujemy za uwagę