Analiza Ryzyka

w Inżynierii Bezpieczeństwa

QRA

(

Quantitative Risk Analysis - Ilościowa Analiza

Ryzyka

)

Definicja ryzyka

Spośród wszystkich zdarzeń, wyróżniamy zdarzenia pożądane i

niepożądane.

Zdarzenia

niepożądane,

dzielimy

na

niekorzystne i korzystne (czasami zdarza się, że coś czego nie

pożądamy wychodzi nam na korzyść).
Wszystkie

poniższe

rozważania

dotyczą

zdarzeń

niekorzystnych.

Pojęcie ryzyka zawsze wiąże ze sobą dwa nierozerwalne

elementy:

prawdopodobieństwo

powstania

zdarzenia

niekorzystnego i jego skutki.

R(t) =p(t) x C(t)

gdzie R - ryzyko, będące funkcją czasu, t - czas na ogół w skali roku, p - prawdopodobieństwo

powstania zdarzenia, C - skutki tego zdarzenia

Matryca

ryzyk

dla różnych sfer zagrożeń

Podstawowe pojęcia z rachunku

prawdopodobieństwa

Zdarzenia elementarne

W rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń zdarzeń

elementarnych lub zbiór zdarzeń elementarnych, oznaczony

literą Ω jest pojęciem pierwotnym.

Zdarzenia elementarne to elementy przestrzeni (zbioru) zdarzeń

elementarnych

Zdarzenie elementarne to wyniki doświadczeń lub obserwacji,

które są niepodzielne.
Można podać więc następującą definicję:

Jeżeli zdarzenia A nie można przedstawić w postaci sumy co

najmniej dwu
zdarzeń różnych od A, to takie zdarzenie nazywamy

elementarnym.

Do zdarzeń elementarnych można zaliczyć pożary, wypadki

drogowe, określony stan stabilności atmosfery, wycieki

substancji niebezpiecznej w wyniku uszkodzenia, prędkości

wiatrów, wielkość opadów itp..

Ważne

Na początku każdej analizy, w każdym konkretnym przypadku

należy określić, co jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, czyli

ustalić, jaki jest zbiór wszystkich możliwych, elementarnych,

niepodzielnych wyników doświadczeń czy obserwacji.

Zdarzeniem elementarnym może być (pożar) i wówczas

analizujemy przestrzeń zdarzeń elementarnych (pożary) ale

zdarzeniem elementarnym może być także (miejscowe

zagrożenie). Może więc mieć miejsce pożar lub miejscowe

zagrożenie.

Możemy jednak zdefiniować przestrzeń zdarzeń złożonych

z kilku zdarzeń elementarnych na przykład pożary i miejscowe

zagrożenia w następujący sposób: (pożary, wynikające z

miejscowych zagrożeń).

W takim przypadku mamy do czynienia ze zbiorem zdarzeń,

będących wynikiem zajścia dwóch zdarzeń elementarnych

miejscowego zagrożenia i pożaru

Algebra zdarzeń

Zdarzenia tworzą zbiory, na których można wykonywać działania
tj. dodawać, mnożyć. Działania te są addytywne, przemienne i
spełniają warunek liniowości:

A + B, A x B, c (A + B) = c A + c B

gdzie A i B zbiory zdarzeń zaś c stała. Takie zdarzenia nazywamy
losowymi, a gdy spełniają powyższą algebrę tworzą one zbiory
borelowskie. Tak więc zdarzenia losowe tworzą zbiory
borelowskie.
Istotne jest, aby działania na zbiorach nie wyprowadzały poza
zbiory zdarzeń,( tak jak niektóre dzielenia liczb naturalnych przez
siebie wyprowadzają poza zbiór liczb naturalnych np.. 4/2 = 2 to
działanie nie wyprowadza poza zbiór liczb naturalnych ale 5/2 już
nie jest liczbą naturalną.
Jeżeli wszystkie zdarzenia należą do pewnego zbioru Ω, a także
ich sumy należą do tego zbioru to w praktyce działania na nich
nie wyprowadzą nas ze zbioru zdarzeń.

Wybrane operacje na zbiorach

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa zbiory zawierają tę samą próbkę zdarzeń

wybraną z przestrzeni zdarzeń.
Stąd:
A U Φ = A w szczególności A ∩ Φ =Φ (sumą zdarzeń „pożarowych” oraz zdarzenia

niemożliwego są zdarzenia „pożarowe”, iloczynem zdarzeń pożarowych i zdarzenia niemożliwego

– częścią wspólną – jest zdarzenie niemożliwe)
i dalej dla przestrzeni wszystkich zdarzeń Ω mamy:
A U Ω =Ω
oraz
A ∩ Ω =A,
Dla dopełnienia zbiorów mamy:
A U A’ = Ω,
A ∩ A’ = Φ,
A’’ =A
Prawo przemienności:
A U B = B U A
A ∩ B = B ∩ A
Prawo łączności:
(AUB)UC = AU(BUC)
(A ∩ B) ∩ C =A ∩ (B ∩ C) lub dla wygody zapisu (A B )C =A( B C)
Prawo rozdzielczości:
(A U B) ∩ C = A ∩ C U B ∩ C lub dla wygody zapisu AC U BC
(AB) C =A (BC)
Również

A U A =A oraz A ∩ A = A

Wzór De Morgan’a:

(A U B) ’ = A’ ∩ B’

Natomiast ujmując rzecz praktycznie zdarzenia losowe
definiuje się następująco:

Jeżeli zajścia lub nie zajścia pewnego zdarzenia nie

można przewidzieć, i jeśli takie przewidywanie ma sens, to

mówimy, że takie zdarzenia jest zdarzeniem losowym
W rozumieniu analizy ryzyka zdarzenia niekorzystne są
zdarzeniami losowymi.

Uwaga na marginesie

Często, mimo znanych praw przyrody, nie jest możliwe jednoznaczne
określenie rozwoju sytuacji, przebiegu procesu lub zjawiska w czasie i w
przestrzeni, związanych z powstaniem zdarzeń niekorzystnych, ze względu
na zbyt dużą liczbę czynników, wpływających na powstanie i rozwój tej
sytuacji, procesu lub zjawiska.

Podział zdarzeń losowych

Istnieją zdarzenia losowe nie do powtórzenia w swojej
indywidualności, dotyczy to zarówno przestrzeni cywilizacyjnej, jak
np. krwawe zdarzenia historyczne, jak również przestrzeni
naturalnej np. powstanie kontynentów z jednego prakontynentu.
Zdarzenia losowe z tego punktu widzenia możemy podzielić
na:

jedyne danego rodzaju - dziura ozonowa

pierwsze danego rodzaju – awarie elektrowni atomowych

bardzo rzadkie ale o najgorszych skutkach - meteoryt

sprzed 65 mln. lat

Inny rodzaj zdarzeń, to zdarzenia „masowe”. Masowe zdarzenie

losowe charakteryzuje się liczbą określającą jego częstość.

Zdarzenia losowe można podzielić na zdarzenia o charakterze

częstym - wypadki drogowe, zachorowania na raka n >1000

sporadycznym – awarie techniczne, tragiczne pożary,

powodzie n<1000

Układ zupełny zdarzeń

Załóżmy, że mamy zbiór elementarnych zdarzeń losowych A

1

, A

2

, …. A

n

spełniający warunek A

i

∩ A

j

= Φ dla i ≠ j dla i, j=1,2,…,n

oraz A

1

υ A

2

…υ A

n

= Ω wówczas mówimy, że zdarzenia A

1

, A

2

…A

n

tworzą układ

zupełny zdarzeń.
Tutaj A

i

+ A

j

oznaczono jako A

i

υ A

j

i jest to suma zbiorów oraz

A

i

x A

j

oznaczono jako A

i

∩ A

j

i jest to iloczyn lub część wspólna zbiorów.

Jeżeli w wyniku identyfikacji zagrożeń, ustalimy, że
A

1

= { ω

1

= pożar }, A

2

={ ω

2

= powódź } , A

3

= { ω

3

= wyciek} to:

1.

widać, że A

1

∩A

2

∩A

3

= Φ.

2. nie zidentyfikowaliśmy więcej zagrożeń, co oznacza, że A

i

i =1,2,3

tworzą

układ zupełny zdarzeń a więc:

Ω =A

1

υA

2

υA

3

lub

Ω = {ω

1

, ω

2

, ω

3

}

Niech zdarzenia losowe niekorzystne stanowią następujący

zupełny układ zdarzeń:

Ω= { pożar, nieumiejętne gaszenie, śmierć człowieka }

Oznaczmy zdarzenia następująco: ω

1

= pożar, ω

2

= nieumiejętne

gaszenie, ω

3

= śmierć człowieka.

Mamy wówczas zdefiniowana trójwymiarową przestrzeń zdarzeń

elementarnych Ω = { ω

1

,ω

2

,ω

3

}

Niech ω

k

oznacza wystąpienie k- tego zdarzenia niekorzystnego

dla k+1 zdarzeń, wówczas:

dla

zdarzenie losowe k elementowe liczba zdarzeń los. k-

elementowych

k = 0

{Φ}- zdarzenie niemożliwe 1

k = 1

{ω

1

} , { ω

2

} , {ω

3

}

3

k= 2 {ω

1

, ω

2

}, {ω

1

,ω

3

} , {ω

2

,ω

3

} 3

k=3 {ω

1

, ω

2

,ω

3

} 1

Ogólnie liczba wszystkich możliwych zdarzeń losowych dana

jest zależnością:





2

0

n

n

k

k

n







Podstawowe pojęcia z rachunku

prawdopodobieństwa

Załóżmy, że mamy przestrzeń zdarzeń, tworzących podzbiór
zbioru Ω na tej przestrzeni określamy funkcję rzeczywistą P,
która spełnia trzy aksjomaty:
AKSJOMAT I dla każdego A zbioru borelowskiego:

P(A) ≥ 0

AKSJOMAT II prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równe
jest jedności:

P(Ω) = 1

AKSJOMAT III dla każdego ciągu A

1

, A

2

…zdarzeń parami

rozłącznych tj. A

i

∩ A

j

= Φ dla i, j =1, 2…. i ≠ j prawdziwa jest

równość:

Funkcję P spełniającą te aksjomaty nazywamy rozkładem
prawdopodobieństwa. Argumentami tej funkcji są zdarzenia,
zaś wartościami liczby zawarte między 0 a 1.
Inaczej mówiąc, każdemu zdarzeniu losowemu
przyporządkowana jest liczba od 0 do 1.













1

)

(

)

1

(

i

i

i

A

P

A

i

P 

Jednym z elementów analizy ryzyka jest znalezienie
tej liczby

P(A) = ?

gdzie A zidentyfikowane zagrożenie

.

A

1

A

2

A

i

P(A

i

)

R

0

1

A

j

?

Pewne własności funkcji prawdopodobieństwa

1.Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się 0.

P( Φ) = 0

Dowód: mamy Φ=Φ υ Φ υ Φ….., a więc P(Φ ) = P(Φ υ Φ υ Φ υ…)
Uwzględniając fakt, że zdarzenie niemożliwe jest rozłączne same ze sobą tj. Φ ∩ Φ

= Φ stąd na podstawie aksjomatu III mamy
P(Φ ) = P(Φ) + P(Φ ) +P(Φ ) + P(Φ) +…. Ponieważ funkcja P jest nieujemna,

aksjomat 1, to tylko suma zer może równa się 0.
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wyraża się wzorem:

Dowód: ponieważ

więc

ale

mamy więc

stąd

ale P( Ω ) = 1 otrzymujemy ostatecznie poszukiwane

równanie.

)

(

1

)

(

_









P

P

























)

(

)

(

)

(

















P

P

P



)

(

)

(

)

(













P

P

P

)

(

)

(











P

P



Własności funkcji prawdopodobieństwa c.d.

Niech Ω = {ω

1

,ω

2

,…). Dla zdarzeń jednoelementowych określamy funkcję P w taki sposób, że:

P({ω

i

}) = p

i

gdzie p

i

≥ 0 oraz wielkość p

i

ze

względu na to, że spełnia aksjomaty I – III nazywamy prawdopodobieństwem.

Jeżeli Ω ={ω

1

,ω

2

,….ω

N

} i wszystkie zdarzenia ω są elementarne i

równoprawdopodobne, to P({ω

1

}) = P({ω

2

}) =…= P({ω

N

})=1/N

Zdefiniujmy zdarzenie A = {ω

1

,ω

2

,…ω

n

} zawarte w Ω. To z faktu, że zdarzenia

elementarne są rozłączne oraz ze spełnienia aksjomatów
I – III możemy zapisać następującą zależność:
P( A ) = P({ω

1

,ω

2

,…ω

n

} = P({ω

1

}) + P({ω

2

}) +…+ P({ω

n

}) = n/N

Wzór podany po raz pierwszy przez Laplace’a jest klasyczną definicją
prawdopodobieństwa. Liczbę n nazywamy liczbą zdarzeń sprzyjających
(wystąpieniu) zdarzeniu A. W przypadku analizy częstotliwościowej wartość n/N
nazywamy częstotliwością względną.

1





i

i

p

Zdefiniujmy częstość względną dowolnego

zdarzenia:

S

= n/N

gdzie N jest całkowitą liczbą zdarzeń, zaś n liczbą zdarzeń niekorzystnych.

Niech
S– częstotliwość (względna) pożarów o tragicznych skutkach,
N - całkowita liczba pożarów,
n – liczba pożarów o tragicznych skutkach (częstotliwość

bezwzględna)
W tym przypadku częstotliwość względna pożarów o skutkach

tragicznych wynosi S.

Ważne

gdy N → S → p

Oznacza to, że czym większa liczba zdarzeń brana jest pod

uwagę (im większa próbka) tym wartość określająca

częstotliwość względną bliższa jest wartości

prawdopodobieństwa.

W analizie ryzyka badanie częstotliwości na ogół odbywa się w

skali roku.



Pożary i miejscowe zagrożenia są zdarzeniami

losowymi. Na ich przypadkowość ma wpływ wiele

czynników .Nic więc dziwnego, że dla danego

obszaru, w różnych latach raz więcej

występowało pożarów innym razem miejscowych

zagrożeń. Przewaga jednych zdarzeń nad drugimi

jest więc również zdarzeniem losowym.
Zbadajmy więc zdarzenie losowe, polegające na

przewadze liczby pożarów w stosunku do liczby

miejscowych zagrożeń w ciągu każdego roku na

przestrzeni 10 lat w 10 centrach zarządzania

kryzysowego.

Studium przypadku

Niech symbol „p” oznacza przewagę pożarów nad miejscowymi zagrożeniami, zaś „z” przewagę

miejscowych zagrożeń nad pożarami, w 10 komendach, ponumerowanych od 1 do 10, w latach 2000 - 2009.

Nr
Kom.
.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p/
(p+z)

(k/n)

00

p

p

z

z

p

z

p

z

p

p

0.6

01

z

z

p

z

z

p

p

z

z

p

0.4

02

z

p

z

p

p

z

p

z

p

z

0.5

03

p

z

p

p

p

z

p

z

p

p

0.7

04

z

z

p

z

z

p

z

z

p

p

0.4

05

p

z

z

z

p

z

p

z

z

z

0.3

06

p

z

p

p

p

z

p

p

p

p

0.8

07

z

p

z

p

p

p

p

p

z

p

0.7

08

z

z

p

z

z

p

p

z

p

z

0.4

09

p

z

z

p

p

p

z

p

p

z

0.6

Statystyka analizy ciąg dalszy. Uwzględniamy kolejne

lata w statystyce licząc p/(p+z)

Liczba wszystkich

zdarzeń dla

wszystkich komend

Liczba przewag

pożarów

p/(p+z)

poprzednio

2000

10

6

0.60 0.6

2 lata

20

10

0.50 0.4

3 lata

30

15

0.50 0.5

4 lata

40

22

0.55 0.7

5 lat

50

26

0.52 0.4

6 lat

60

29

0.48 0.3

7 lat

70

37

0.53 0.8

8 lat

80

44

0.55 0.7

9 lat

90

48

0.53 0.4

10 lat

100

54

0.54 0.6

Na rysunku „a” przedstawiono średnią częstotliwość zdarzeń losowych dla każdej

komendy i dla każdego roku oddzielnie. Natomiast na rys „b” przedstawiono

średnią częstotliwość zdarzeń losowych sumarycznie dla każdej komendy i z

każdego roku.

W przypadku „b” brana jest pod uwagę coraz większa próbka zdarzeń losowych.

Rozrzut średnich częstotliwości skupia się bliżej wartości 0.5. Względna średnia

częstotliwość jest więc bliższa prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia losowego

jakim jest powstanie pożaru.

b

0,8
0

0,7
0

0,6
0

0,5
0

0,4
0

0,3
0

a

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0 10 20 30 40 50 60 70 80
90 100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10

Prawo wielkich liczb

Sformułujmy prawo wielkich liczb wprawdzie dla szczególnego
przypadku, ale oddające jego ogólny sens.
Dla rozpatrywanej przez nas częstotliwości względnej n/N
obowiązuje prawo zapisane w postaci:

1

)

(

lim













p

N

n

P

N

N

W omawianym wyżej przykładzie mieliśmy ciągi liczb zmiennych
losowych takich jak pożary (p) lub miejscowe zagrożenia (z).
Każdej zmiennej losowej przyporządkowaliśmy liczbę naturalną
określającą częstotliwość jej występowania we wszystkich
komendach i w rozpatrywanych latach. Czym większa liczba lat
brana jest pod uwagę, tym częstotliwość względna bliższa jest
prawdopodobieństwu.

Określenie zmiennej losowej

Mówiąc o zdarzeniach elementarnych takich jak powódź, pożar, trzęsienia ziemi,

wypadek drogowy mówimy o różnych przestrzeniach zdarzeń losowych. Aby dla nich

wszystkich ujednolicić sposób rozważań przypisujemy im liczby. Jednym słowem

dokonujemy przekształcenia różnych przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω w R

1

lub jej

podzbiór.

Funkcję przekształcającą Ω w R

1

nazywamy zmienną losową.

Zmienną losową będziemy oznaczać

X(ω).

Podobnie jak w przypadku zdarzeń możemy określić funkcję prawdopodobieństwa

zmiennej losowej. Przykłady zmiennej losowej: liczba wezwań do pożarów, Pożarom

( przestrzeń Ω ) przyporządkowuje się liczbę 100 (liczba pożarów w ciągu roku ),

występowanie ekstremalnych wartości (liczba tych wartości) temperatur w ciągu 10 lat,

liczba ofiar podczas kolejnych powodzi.
Jeżeli zmienna jest nie tylko funkcją zdarzenia losowego ale również czasu

X =X(ω,τ)

to wówczas mamy do czynienia z procesem stochastycznym.

Warto zauważyć, że czas chociaż jest argumentem funkcji losowej nie jest jednak

wielkością losową w przeciwieństwie do drugiego argumentu jakim jest zdarzenie losowe.
Dlatego często procesy stochastyczne opisuje funkcja losowa zapisana w postaci:

X = X

τ

(ω)

Zmienna losowa

Z dyskretną zmienną losową mamy do czynienia wówczas, gdy jej
dziedzina stanowi zbiór (skończony lub policzalny) liczb
rzeczywistych.
Przykłady: liczba pożarów w ciągu roku, liczba powodzi w ciągu roku, liczba
ofiar wypadków drogowych, liczba utonięć, liczba nieobecnych strażaków na
danej służbie, liczba niesprawnych urządzeń wykrywających pożar.

Z ciągłą zmienna losową mamy do czynienia wówczas, gdy jej
dziedzinę stanowi przedział (skończony lub nieskończony) na osi
liczb rzeczywistych.

Przykłady: wartość obciążenia ogniowego, temperatura pożaru,
powierzchnia pożaru, powierzchnia powodzi, prędkość rozchodzenia się
dymu po obiekcie, optyczna widzialność.

Zmienna losowa c. d.

Często w praktyce wartość zmiennej losowej zapisuje się
następująco:

X = x

gdzie X zmienna losowa, zaś x liczba jej przypisana.
Przykład Zmienną losową X jest występowanie powodzi zaś x liczbą
powodzi w danym roku. Tak więc dla każdego roku x przyjmuje rożną
wartość ze względu na losowość zjawiska powodzi.

Pytając o prawdopodobieństwo wystąpienia określonej liczby powodzi
wykorzystujemy zdefiniowaną wcześniej funkcję
prawdopodobieństwa, której argumentem jest wartość zmiennej
losowej:

P ( X = x)

Ale funkcja prawdopodobieństwa musi spełniać trzy aksjomaty
dopiero wówczas jej wartość jest równoznaczna z
prawdopodobieństwem

P (X = x ) = p

Przykład
Określmy ryzyko śmierci w wyniku pożaru 1 dziecka, 2

dzieci, 3 dzieci w domku trzypokojowym, o którym

wiemy, że zawsze przebywają tam trzy osoby.

Oznaczmy osoby dorosłe przez P (pełnoletnie), dzieci

przez N (niepełnoletnie) ponadto wiemy, że

prawdopodobieństwa losowo przebywających osób w

poszczególnych pokojach są następujące:

Nr pokoju 1 2 3 Dane statystyczne

P P P

0.336

P P N

0,084

P N P

0.144

P N N

0.036

N P P

0.224

N P N

0.056

N N P

0.096

N N N

0.024

Nr pokoju 1 2 3 dane statystyczne

P P P 0.336

P P N 0,084

P N P 0.144

P N N 0.036

N P P 0.224

N P N 0.056

N N P 0.096

N N N 0.024

Mając dane statystyczne zmiennej losowej dyskretnej możemy znaleźć
funkcję prawdopodobieństwa w następującej postaci:
1.nie ma dzieci tj. dla X = 0 P(X=0) = 0.336
2.jest jedno dziecko tj. dla X= 1 P(X=1) = 0.084+0.144+ 0.224 =
0.454
3.jest dwoje dzieci tj. dla X = 2 P(X=2) = 0.036+0.056+0.096 =
0.188
4. Jest troje dzieci tj dla X = 3 P(X=3) = 0.024

Funkcja prawdopodobieństwa

x

0 1

2

3

P (X = x)
ΣP(X=x

i

)

0.336
0.336

0.452
0.788

0.188
0.976

0.024
1.000

•Zdarzenia są rozłączne, więc prawdopodobieństwa
można sumować.

•P (X = x) spełnia warunek funkcji nieujemnej (równej
lub większej od zera dla każdego argumentu)
•

ΣP (X = x

i

) = 1

Interpretacja naszego wyniku jest następująca: w tabeli, w
drugim wierszu pokazane są prawdopodobieństwa śmierci
dzieci w pożarze, z definicji ryzyka wynika, że liczby te to jest
właśnie poszukiwana wartość ryzyka utraty życia przez dzieci.

Otrzymane wartości ryzyka są określone dla ryzyka
warunkowego, tj określają ryzyko śmierci pod warunkiem, że
powstanie pożar (p = 1) oraz, że nikt nie ewakuuje się przy
powstaniu warunków krytycznych.

Dystrybuanta

Dystrybuanta zmiennej losowej X określona

jest następująco:

F (

x

) = P (X ≤

x

)

Wracając do obliczeń związanych z ryzykiem śmierci dzieci widać, że
F (0) = P (X ≤ 0) = P (X =0) = 0.336
F (1) = P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0.336+0.452 = 0.788
F (2) = P (X ≤ 2) = P (X =0) + P (X = 1) + P (X =2) = 0.976
F (3) = P (X ≤ 3) = P (X =0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1
Patrząc na powyższe działania widać, że dystrybuantę dla

dyskretnych zmiennych można zapisać następująco

F (x) = P (X ≤ x) =

Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą tj F (- ∞) = 0 i F (∞) = 1







x

a

a

X

P

)

(

Wykres

dystrybuanty

0

1

2

3

X-liczba dzieci

F (x) Wartość dystrybuanty

1

0.8

0.6

0.4

0.2

Dylemat dyżurnego będącego długo na

służbie.

Znowu dzwoni telefon! Już tyle ich było! Do jakiego
zdarzenia tym razem: do pożaru małego, średniego lub
dużego czy też do miejscowego zagrożenia?

Czy można to przewidzieć ?

Załóżmy, że w ciągu swojej długiej służby miał następujące liczby
wezwań do każdego ze zdarzeń:
pożary małe 30, pożary średnie 17, pożary duże 5, miejscowe
zagrożenia 43. łączna więc liczba wezwań wynosi 95.
To jest nasza próbka zmiennych losowych. Daleko jej do próbki
reprezentującej rozkład wezwań około 480 tys. rocznie w całej Polsce.
Przeprowadzone niżej szacowanie przewidywania jakiego wezwania
dotyczy telefon jest więc daleko niedoskonałe, ale ilustruje
metodologię.
Obliczamy częstości względne każdego rodzaju wezwania
Mamy więc : dla pożarów małych

p

m

= n

m

/ N =30/95 = 0.316

dla pożarów średnich:

p

s

= n

s

/ N =17/95 = 0.178

dla pożarów dużych:

p

d

= n

d

/ N = 5/95 = 0.053

dla miejscowych zagrożeń:

p

z

= n

z

/ N=43/95 = 0.453

konstruujemy dystrybuantę dla zmiennych dyskretnych
(punktowych), zdefiniowaną następująco:

F (x) = P( x ≤ a ) =

Uwaga, w przypadku wartości ciągłych zamiast sumowania
wykonujemy całkowanie.







x

a

a

x

P

)

(

1

1

0.8

0.9

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0,2

0.1

Dystrybuanta wezwań dla naszego centrum zarządzania
kryzysowego.

p

z

p

m

p

s

p

d

Metoda Monte - Carlo

Generujemy liczbę pseudo losową. To wcale nie jest łatwe.
Ale spróbujmy tak:
Weźmy liczbę π = 3,14159265358979323846264338327950288
Proszę podać dowolną liczbę naturalną od 0 do 9.
Niech będzie 9. Podzielmy ją przez 3 mamy 3.
Z liczby π wyłuskujemy liczbę sześciocyfrową co 3 cyfry wpisując po zerze , mamy:

0.495893
Następnie tę liczbę np. pierwiastkujemy i mamy

0.704

Liczba 0.704 odpowiada na dystrybuancie pożarom małym (linia przerywana) i

interpretuje się ja następująco:
prawdopodobieństwo tego, że zgłoszenie będzie dotyczyło pożarów małych

jest mniejsze lub równe 0.704 lub

P (pożary małe lub miejscowe zagrożenia) ≤ 0.704

prawdopodobieństwo tego, że zgłoszenie będzie dotyczyło innych pożarów i

miejscowych zagrożeń jest większe niż 1- 0.704 =0.296

P (pozostałe pożary i miejscowe zagrożenia) > 0296

Komentarz

Liczba wezwań do danego rodzaju zdarzenia jest zmienną
losową.
Przy dużej liczbie wezwań rozkład liczby wezwań do
określonego zdarzenia jest zbieżny stochastycznie do
faktycznego rozkładu liczby wezwań na danym terenie.
Zbieżność ta jest z prawdopodobieństwem 1.

Monte Carlo – Probabilistyczna analiza

ryzyka

Jest wiele sytuacji, w stosunku do których nie istnieją algorytmy ich

przebiegu (poprzedni przykład) lub jeśli istnieją są bardzo

skomplikowane. W takich przypadkach możemy tak jak poprzednio

zastosować metodę Monte Carlo. Metoda ta opiera się na

następującym fakcie:

Histogram dużej losowej próbki jest przybliżeniem funkcji

prawdopodobieństwa opisującej zmienne losowe tej próbki.

Załóżmy, że Y wartością, podlegającą analizie ryzyka i jest ona

funkcją wektora X utworzonego ze zmiennych losowych X=(X

1

…X

N

)

Y = f (X)

W metodzie Monte Carlo generujemy próbkę o liczebności N

generując zmienne X

1

…X

N

każdy taki wektor generuje wektor X i

jest jego realizacją Każda realizacja generuje zmienną wyjściową Y.

Otrzymujemy dla N próbek histogram Y, który przybliża rozkład

prawdopodobieństwa z dowolna dokładnością.

Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo

Na rysunku poniżej przedstawiono rozkład czterech pokoi
ponumerowanych znajdujących się na piętrze budynku
mieszkalnego. Przeanalizujmy rozprzestrzenianie się pożaru z
pokoju 1 do pokoju 4.

1

2

3

4

Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo

Przedstawmy nasz rysunek w następującej postaci:

2

3

1

4

Zilustrowana wyżej sieć w tym przypadku odpowiadająca możliwym drogom rozwoju pożaru,
nazywa się siecią Beyes’a . Numery 1,2,3,4 to numery pokoi natomiast wielkości T

i

dla i =1 do

5,oznaczają czasy przejścia pożaru między pokojami.

T

1

T

3

T

4

T

2

T

5

Są cztery możliwości takiego przejścia pożaru z pożaru nr 1 do pokoju nr 4 (1,2, 4),(1,3,4),
(1,2,3,4) oraz (1,3,2,4)

Rozwój pożaru - analiza Monte-Carlo

Wielkości T

i

, określają czas przejścia z pokoju na początku strzałki do pokoju na końcu tej

strzałki. Czasy te są zmiennymi losowymi o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Dla

uproszczenia przyjmijmy, że czasy te są niezależne jeden od drugiego.
Problem: interesuje nas rozkład funkcji prawdopodobieństwa czasu przejścia pożaru z

pokoju nr 1 do pokoju nr 4.
Rozwiązanie: są cztery możliwości takiego przejścia (1,2, 4),(1,3,4),
(1,2,3,4) oraz (1,3,2,4). Odpowiadające im czasy zapiszmy następująco:

U

1

= T

1

+ T

2

U

2

= T

3

+ T

5

U

3

= T

1

+ T

4

+ T

5

U

4

= T

3

+ T

4

+ T

2

Czas rozprzestrzenienia się pożaru stanowi oczywiście minimum jednej z powyższych

wielkości U

i.

Utwórzmy funkcję f w następujący sposób,

f = min.(U

1

, U

2

, U

3

, U

4

)

Ponieważ wielkości T

i

są zmiennymi losowymi więc nie istnieje prosty algorytm, pozwalający

na określenie czasu przejścia pożaru z 1 do 4. I tutaj przydatna jest metoda Monte-Carlo.

Niech wielkości T

i

mają ten sam rozkład lognormalny o log. wartości średniej 1 oraz

o log. średniego standardowego odchylenia równym 0.3.
Metoda Monte Carlo polega na skonstruowaniu (losując z rozkładów) niezależnych próbek,

równej wielkości, zbudowanych ze zmiennych T

i

i = 1,…5 zestawieniu z każdej próbki

wielkości U

i

a następnie określeniu f.

Np. wykonujemy 10 000 losowań przy pomocy generowania liczb pseudolosowych.

Dla każdego losowania budujemy z wielkości T ( odczytanych podobnie jak w dylemacie

dyżurnego) zestaw U, wybieramy minimum z tego zestawu. Losowanie powtarzamy dla

następnego zestawu U. w ten sposób otrzymujemy 10 000 zestawów U, i za każdym razem

wybieramy minimum stąd otrzymujemy rozkład funkcji f.

Metoda Monte-Carlo - losowanie

próbek T

i

Założyliśmy, że wszystkie czasy T

i

mają ten sam rozkład. Niech

to będzie rozkład, którego dystrybuanta ma postać:

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2

4

6

8

min.

T

3

T

5

T

2

T

4

Przykład 1 próbki Generujemy liczby pseudolosowe i
określamy T

i

.

W tym przypadku wartość funkcji f=T

3

+ T

5

=U

2

, gdyż U

2

stanowi min. Losowanie powtarzamy np. 10 000 i w ten
sposób otrzymujemy rozkład funkcji f.

T

1

Rozkład wartości funkcji f

2

4

6

8

500

1000

1500

2000

f = min(U

1

,U

2

,U

3

,U

4

)

Komentarz

1.

Na poprzednim slajdzie przedstawiony jest histogram
wystąpienia czasów określonych przez minimum funkcji f.

2.

Wartość średnia f a dokładnie logarytm wartości średniej
wynosi 1.60.

3.

Logarytm wartości standardowego odchylenia wynosi
0.18.

Uwaga aby obliczyć ile to minut należy wartość podstawy logarytmu naturalnego
podnieść dla wartości średniej do potęgi 1.6. A więc

T

sr.

= e

1.6

= 2.7

1.6

= 4.90

Natomiast dla standardowego odchylenia wartość podstawy logarytmu naturalnego
do potęgi 0.18. A więc

σ = e

0.18

= 2.7

0.18

=1.17

Załóżmy, że czas ewakuacji wszystkich ludzi z
pomieszczenia 4 wynosi 3.5 minuty. Aby policzyć
prawdopodobieństwo rozprzestrzenienia się pożaru z
pokoju 1 do pokoju 4 w ciągu mniej niż 3.5 min wystarczy
policzyć ile wyników wartości funkcji f otrzymaliśmy dla
czasów mniejszych niż 3.5 min. W naszym przypadku
wyniosło to dokładnie 298 razy co odpowiada
prawdopodobieństwu równym

p =298/10 000 ≈ 0.03

Sieć Bayes’a

Przedstawiony poniżej rysunek stanowi szczególny

przypadek sieci Bayes’a dla rozważanego przypadku.

2

3

1

4

T

1

T

3

T

4

T

2

T

5

Sieć Bayes’a stanowią acykliczne grafy. Pokój oznaczony numerem 1 jest
rodzicem dla dzieci tj. pokoju nr 2 i 3. Pokój nr 4 ma dwoje rodziców, pok. Nr
2 jest rodzicem dla 4 lub 3 i analogicznie pokój nr 3 jest rodzicem dla pok. nr
4 lub rodzicem dla pokoju nr 3.

Monte – Carlo powódź

• Obliczanie prawdopodobieństwa przelania się wody przez

wały.

r

s

s

+ z

- z

z = r - s

P(r)

P(s)

P(z)

Z = 0

Prawdop
.przelania.
P (z <0)

Poziom wody

Poziom wałów

Poziom bezpiecz.

r

Zakładamy, że mamy do czynienia z dwiema zmiennymi losowymi: wysokością wałów r
(odporność układu) oraz poziomem wody s ( ekspozycja układu na zagrożenie). Każda z tych
zmiennych losowych ma swoją gęstość prawdopodobieństwa. I tak, p (r) jest gęstością
prawdopodobieństwa wysokości wałów, zaś p (s) jest gęstością prawdopodobieństwa poziomu
wody. Wielkości te dla danej miejscowości są od siebie zależne. Jednak dla ilustracji metody
zakładamy, że są niezależne. Stare zniszczone często wały spełniają w pewnej mierze ten
warunek.

1

r = r

max

F( r)

F (s)

r, s

z

s

1

r

1

z > 0 z = 0 z < 0

Dla wylosowanych r

1

oraz s

1

widać, że r > s, a więc z > 0. Nie ma przelania. Powtarzamy

losowanie np. 100 000 razy. Poszukujemy rozkładu z = r – s. Dla z< 0 jest przelanie.
Liczbę wylosowanych z < 0 dzielimy przez 100 000 i otrzymujemy prawdopodobieństwo
przelania się wody przez wały.

Monte Carlo powódź

Analiza ryzyka

rozprzestrzenianie się pożaru dla trzech stref

Strefa I

Strefa II

Strefa III

Załóżmy, że pożar powstaje w i – tej strefie . W strefach stosuje
się zabezpieczenia, które mogą zablokować pożar.
Niech

F

i

oznacza

częstotliwość

(prawdopodobieństwo)

wystąpienia pożaru w dowolnej strefie, p

c

oznacza

prawdopodobieństwo, że pożar nie rozprzestrzenił się za i- tą
strefę, zaś p

f

oznacza prawdopodobieństwo, że pożar został

zablokowany w i- tej strefie przez urządzenia zabezpieczające.
P

1

, p

2

, p

3

oznaczają prawdopodobieństwa powstania pożaru w

odpowiednio w strefie I , II i III.

Analiza ryzyka pożarowego dla trzech

stref

(przykład c.d.)

Mamy następujące możliwe scenariusze:

1.Pożar zaczyna się w strefie I i tam pozostaje.
2.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy II ale nie III.
3.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy III ale nie do

II
4.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy II a

następnie do strefy III
5.Pożar zaczyna się w strefie I i rozprzestrzenia się do strefy III a

następnie do strefy II.

6.Pożar zaczyna się w strefie II i tam pozostaje
7.Itd..

Dla każdej strefy mamy 5 możliwości. Łącznie 15 scenariuszy.

Uwzględniając równoczesne przejście do stref II i III mamy 18

scenariuszy

Analiza ryzyka pożarowego dla trzech

stref

(przykład c.d.)

Dla naszych celów możemy przedefiniować ryzyko w

następujący sposób:

R = Σ R

i

= Σ C

i

F

i

gdzie R – ryzyko całkowite, R

i

ryzyko związane z i-tym

scenariuszem, C

i

straty związane z i-tym scenariuszem, F

i

częstotliwość i-tego scenariusza.

Uwzględniając niezawodność systemu ryzyko

definiuje się następująco:

R = Σ R

i

= Σ[F

i

(C

i

·P

f

+ C

i

'·(1 - P

f

))]

P

f

= p

a

·p

b

, tutaj p

a

– prawdopodobieństwo, że system zareaguje

w określonych warunkach np. dym dotrze do czujki, zaś p

b

prawdopodobieństwo, że system jest sprawny.

Analiza ryzyka pożarowego dla trzech

stref

drzewo zdarzeń

F

1

p

1

p

2

p

3

p

c

1-p

c

p

c

1-p

c

p

c

1-p

c

p

f

1-p

f

p

f

1-p

f

p

f

1-p

f

C[F

1

p

3

(1-p

c

)(1-p

f

)]

C [F

1

p

2

(1-p

c

)(1-p

f

)]

C [F

1

p

1

(1-p

c

)(1-p

f

)]

[F

1

p

1

(1-p

c

)p

f

]

[F

1

·p

1

·p

c

]

3

C

3

2C

[F

1

·p

2

·p

c

]

3

C

3

2C

3

C

3

2C

[F

1

p

2

(1-p

c

)p

f

]

[F

1

·p

3

·p

c

]

[F

1

p

3

(1-p

c

)p

f

]

I II
III

Analiza ryzyka pożarowego dla trzech

stref

(przykład c.d.)

Dla rozważanych trzech stref możemy zapisać następujące równanie:

3

C

R =

[F

1

·p

1

·p

c

]

+

3

2C

[F

1

p

1

(1-p

c

)p

f

] +C[F

1

p

1

(1-p

c

)(1-p

f

)]

+

3

C

[F

1

·p

2

·p

c

]

3

2C

[F

1

p

2

(1-p

c

)p

f

]+ C[F

1

p

2

(1-p

c

)(1-p

f

)]

+

3

C

[F

1

·p

3

·p

c

] +

3

2C

[F

1

p

3

(1-p

c

)p

f

] +C[F

1

p

3

(1-p

c

)(1-p

f

)]

+

Po wykonaniu działań wzór określający ryzyko sprowadza się do postaci:

R =

3

1

CF

[3 – 2p

c

–p

f

+ p

c

p

f

]

Dla p

c

i p

f

równych po 0.1, wartość ryzyka

R = 0.9

CF

1

dla p

c

i p

f

równych po 0.9, wartość ryzyka

R =

0.37CF

1

dla niezawodnego systemu tj. dla p

c

i p

f

równych po 1.0, wartość ryzyka R

= 033CF

1