Dynamika bryły

Wykład 4

Dynamika układu punktów materialnych. Środek 
masy

W  dotychczasowych  naszych  rozważaniach  dotyczących 
dynamiki  trak-towaliśmy  ciała  poruszające  się  jako 
punkty  materialne  nie  uwzglę-dniając  ich  wymiarów 
geometrycznych,  ani  objętości.  Obecnie  przej-dziemy 
do dynamiki układu punktów materialnych
 
Załóżmy,  że  układ  jest  złożony  z  N  punktów 
materialnych 

o 

masach 

m

1

, 

m

2

,... 

m

i

,... 

,m

N

 

umieszczonych odpowiednio w punktach P

1

, P

2

... P

i

,... ,P

N

 

określonych  jednoznacznie  przez  wektory  wodzące  . 
Oczywiście  każdemu  wektorowi  wodzącemu    są 
przypisane współrzędne (x

i

, y

i

, z

i

).

Środkiem masy tego układu nazywamy punkt S, 
którego współrzędne wyrażają się wzorami:



















i

i

i

s

i

i

i

s

i

i

i

s

m

z

m

z

,

m

y

m

y

,

m

x

m

x

Wzory ww można zapisać 
wektorowo za pomocą jednego 
wzoru







i

i

i

s

m

r

m

r





Promień wodzący środka masy

Gdy liczba części N zmierza do nieskończoności, 
powyższe wyrażenie dąży do granicy 
 

Z matematyki wiadomo, że granice sum w powyższym 
wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami 
oznaczonymi.
  Zatem 

 

          

(3.29)

przy czym  

oznacza całkowitą masę ciała.

 

 







i

i

i

n

s

m

r

m

lim

r











dm

dm

r

r

s





m

dm

Dla  brył  o  regularnym  kształcie  środek  masy 
pokrywa  się  ze  śro-dkiem  symetrii.  Na  przykład 
środek  masy  jednorodnej  kuli  leży  w  jej  środku 
geometrycznym,  środek  masy  jednorodnego 
walca  znajduje  się  na  osi  symetrii  w  połowie 
jego wysokości itp. 

Jakie mogą być korzyści wprowadzenia pojęcia „środka 

masy”

……..













F

...

F

F

F

a

m

3

2

1

s











Środek masy ciała ma tę właściwość, że iloczyn 
całkowitej masy m i przyspieszenie środka masy 
      równa się sumie wszystkich sił działających 
na poszczególne punkty układu

.

Siły  te  możemy  podzielić  na  zewnętrzne    (tzn. 
działające  między  punktami  układu  i  punktami 
znajdującymi  się  zewnątrz  rozważa-nego  układu)  i 
wewnętrzne    (tzn.  działające  między  punktami  dane-
go układu):

s

a









w

z

F

F

F







Układ trzech punktów 
materialnych, na które 
działają siły wewnętrzne  
oraz siły zewnętrzne 

ij

F



i

F



Z trzeciej zasady dynamiki wynika, że siły wewnętrzne 
występują parami, których składniki są równe co do 
wartości, lecz przeciwne co do kierun-ku. Stąd wniosek, że 
wypadkowa wszystkich sił wewnętrznych równa się 
zeru i wspomnianą właściwość środka masy można 
wyrazić prostszą zależnością

       

    (3.36)

Innymi słowy, środek masy ciała porusza się 

tak, jakby w nim była skupiona całkowita masa 
poddana działaniu wypadkowej wszy-stkich sił 
zewnętrznych.

 

Stwierdzenie powyższe jest słuszne zarówno w 

odniesieniu do układu sztywnego o niezmiennych wzajemnych 
odległościach poszczególnych cząstek, jak również dla układu, 
w którego skład wchodzą cząstki wykonujące dowolne ruchy 
pod wpływem sił wewnętrznych. 

Równanie (3.36) nosi nazwę równania ruchu ciała.





z

s

F

a

m





Zasada zachowania pędu

w

3

2

1

s

p

...

p

p

p

p





















Pęd środka masy układu (czyli iloczyn 

całkowitej masy układu i prędkości środka 

masy) równa się pędowi wypadkowemu (czyli 

sumie geometrycznej pędów poszczególnych 

jego punktów materialnych).

.

dt

p

d

dt

p

d

F

w

s

z













Wypadkowa  wszystkich  sił  zewnętrznych 
działają-cych 

na 

układ 

punktów 

materialnych 

równa 

się 

pochodnej 

względem  czasu  pędu  środka  masy  lub 
pochodnej 

względem 

czasu 

wypadkowego pędu układu. 

Gdy wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych 

działających na układ równa się zeru, to wektor 
wypadkowego pędu całego układu pozostaje stały. 

Zmiana pędu układu może być wywołana 

jedynie działaniem takich sił zewnętrznych, które 
się nawzajem nie równoważą. Żadne siły 
wewnętrzne nie są w stanie zmienić wypadkowego 
pędu układu

. 

Zasadę zachowania pędu zilustrujemy kilkoma 
przykładami

.

>    Wyskakując  z  łódki  stojącej  przy  brzegu  jeziora 
uzyskujemy 

pęd 

skierowany 

w 

stronę 

lądu. 

Równocześnie  łódka  –  zgodnie  z  zasadą  zachowania 
pędu  –  oddala  się  nieco  od  brzegu  uzyskując  pęd 
równy  co  do  wartości,  lecz  przeciwnie  skierowany. 
Wypadkowy  pęd  układu  łódka  –  człowiek  pozostaje 
nadal równy zeru. 

>  Na  zasadzie  zachowania  pędu  opiera  się  działanie 
śruby  okręto-wej  i  śmigła  samolotu.  Śruba  odrzuca 
wodę  do  tyłu,  statek  uzyskuje  pęd  skierowany  ku 
przodowi.  Podobnie  śmigło  odrzuca  do  tyłu  masy 
powietrza, a samolot przesuwa się naprzód. 

>  Znane  są  ogólnie  zjawiska  „odrzutu”  przy  użyciu 
broni  palnej:  du-beltówka  czy  karabin  „uderzają” 
strzelca,  bo  lufa  cofa  się  (w  stosunku  do  pocisku)  przy 
wystrzale.  Zjawisko  odrzutu  jest  wykorzystywane  na 
szeroką  skalę  w  samolotach  odrzutowych  i  pociskach 
rakietowych.  Zasada  ich  ruchu  polega  na  tym,  że  w 
specjalnej  komorze  wewnętrznej  odbywa  się  spalanie 
mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc 
i z dużym pędem, uchodzą przez otwór w tylnej części 
samolotu  lub  rakiety,  które  równocześnie  uzyskują  pęd 
równy co do wartości, lecz skierowany ku przodowi. 

 

Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywali takie ciało, w którym 
wszystkie punkty mają względem siebie stałe 
odległości, które nie zmieniają się pod wpływem sił 
zewnętrznych działających na to ciało. 

Ciało  sztywne  nie  podlega 
żadnym  od-kształceniom  pod 
wpływem działają-cych sił, tzn. 
w  bryle  sztywnej  odległo-ści 
dwóch  dowolnych  punktów 
pozo-stają 

zawsze 

stałe, 

pomimo  działania  na  to  ciało 
różnych sił. 

Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Odróżniamy dwa rodzaje ruchu bryły sztywnej: ruch 
postępowy i ruch obrotowy. 

Ruchem postępowym 

ciała sztywnego nazywamy taki 

ruch, w którym dowolna prosta przeprowadzona przez to 
ciało przesuwa się równolegle do samej siebie (wektory 
prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili 
jednakowe).

Ciało porusza się 

ruchem 

obroto-wym

, jeżeli 

wszystkie punkty ciała 
poruszają się po okręgach, 
których środki leżą na 
jednej prostej. Prostą tą 
nazywamy chwilową osią 
obrotu. Oś obrotu może 
mieć stałe położenie; 
mówimy wtedy o stałej osi 
obrotu.

Ciało sztywne i jego ruchy

Ciało sztywne i jego ruchy

 

 

Ruchem postępowym

 ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w 

którym 

dowolna 

prosta 

przeprowadzona 

przez 

ciało 

przemieszcza  się  równolegle  do  samej  siebie  (wektory 
prędkości  wszystkich  punktów  ciała  są  w  danej  chwili 
jednakowe). 

Ruchem obrotowym

 ciała sztywnego nazywać będziemy taki 

ruch,  w  którym  układ  współrzędnych  związany  sztywno  z 
ciałem  porusza  się  ruchem  obrotowym  tzn.  zmieniają  się  kąty 
nachylenia  osi  tego  układu  względem  osi  układu  odniesienia. 
Wszystkie  punkty  ciała  poruszają  się  po  okręgach  o  środkach 
leżących na jednej prostej zwanej chwilową osią obrotu. Jeśli 
położenie  chwilowej  osi  obrotu  nie  ulega  zmianie  to  mówimy 
wówczas  o  ruchu  wokół  stałej  osi  obrotu.  Każdy  z  ruchów 
obrotowych  wokół  trzech  osi  układu  współrzędnych  ma  jeden 
stopień swobody.

Każdy  ruch  ciała  sztywnego

  można  złożyć  z 

ruchu 

postępowego

 i 

ruchu obrotowego

 

Ciało sztywne i jego ruchy 

Bryła sztywna w ruchu postępowym

Bryła sztywna w ruchu postępowym

 

 

                                                                    

                                                   m

j

                       m

j 

                                                          r

ij

                   r

ij1 

                                               m

i

                                      m

i

    

            z                   r

j

     r

j

                            

                                         r

i1

                 r

j1

              

                                                      

           O 

                              y    |r

ij

| = r

ij

=const 

           x   

Ciało sztywne i jego ruchy 

Stopnie swobody w ruchu

Stopnie swobody w ruchu

 

 

ciała sztywnego

ciała sztywnego

 ograniczonym przez więzy

 ograniczonym przez więzy

                    z                                              

 

                                                                            

m

2

 

                                

m

2 

                                                         

     

                r                                          m

3

 

 

                                     

m

1

                                   

m

1

                             

m

1 

                        

 

                              

3 stop. swobody            

2 stop. swobody     1 stop. 
swobody

 

                    

O                                                          

 

 

            

                                         

 

      

    x      

Y

Oś obrotu

Ruch postępowy ciała sztywnego

 

przechodzimy od całkowania po masie do całkowania 
po objętości 

Ruch  postępowy  ciała  sztywnego  możemy  opisać  przez 
ruch jego środka masy 

m

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

m

r

m

m

r

m

R

n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

s





































1

1

1

1

1

1

;

;

dV

dm

V

m

V















0

lim











M

M

M

s

dm

r

m

dm

dm

r

R







1



























V

V

V

s

s

s

V

s

zdV

M

z

ydV

M

y

xdV

M

x

dV

r

M

R

1

;

1

;

1

1





C.d. Ruch postępowy ciała sztywnego

Różniczkując to wyrażenie dwukrotnie względem czasu 
otrzymujemy















n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

m

M

dt

dr

m

dt

dR

m

1

1

v

v



















n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

a

m

a

m

dt

r

d

m

dt

R

d

m

1

1

2

2

2

2





 















n

i

i

s

n

i

i

i

s

f

a

m

a

m

a

m

1

1









  

 

















n

i

wi

n

i

zi

n

i

i

f

f

f

1

1

1







 













n

i

i

w

n

i

i

z

s

f

f

a

m

1

1







)

(

wji

wij

f

f









Zatem równanie ruchu 
postępowego  środka 
masy

 







n

i

i

z

s

f

a

m

1





Ciało  sztywne  poddane  siłom  zewnętrznym  będzie  poruszać  się  jak  punkt 
materialny o masie równej masie całego ciała umieszczony w środku masy tego 
ciała i poddany sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało .







n

i

i

i

s

r

m

R

m

1





Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej 

Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej 

osi

osi

Moment pędu cząstki względem pewnego punktu określamy jako iloczyn 
wektorowy promienia wodzącego cząstki poprowadzonego z tego punktu 
przez pęd tej cząstki 

Prędkość  kątowa    może  ulegać  zmianie 
co  do  modułu  i  zwrotu  natomiast  jej 
kierunek pozostaje stały. 

                    z                                               

 

 
                    





    

 

 
                      O

1

     

i

r

                

                                      m

i

 

v



                                                     

 
                             

r

 

 

 

 

                  O                                                      

                                      y                     

                  x                  







































n

i

i

i

i

i

i

n

i

i

r

r

m

m

r

p

r

L

L

1

1

v



















i

n

1

i

i

n

1

i

i

 

 





 































































n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

r

i

i

n

i

i

i

I

r

m

r

r

m

r

r

m

r

r

m

L

1

1

1

2

0

1

2





































i

i

L



Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej 
osi

Momentem 

pędu 

dowolnego 

punktu 

materialnego  wirującego  wokół  stałej  osi  układu 
n punktów materialnych nazywamy jego moment 
pędu  względem  punktu  przebicia  płaszczyzny 
ruchu przez oś obrotu 

Moment 
bezwładności 
i-tego 

pktu 

mat.

moment 
bezwładności 
układu 

punktów 

względem 

osi 

obrotu 





 































































n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

r

i

i

n

i

i

i

I

r

m

r

r

m

r

r

m

r

r

m

L

1

1

1

2

0

1

2





































i

i

2

i

i

i

r

m

I 







n

i

i

i

r

m

I

1

2









I

L



I

L

                    z                                               

 

 
                    





    

 

 
                      O

1

     

i

r

                

                                      m

i

 

v



                                                     

 
                             

r

 

 

 

 

                  O                                                      

                                      y                     

                  x                  









I

L

Moment siły

Aby  spowodować  ruch  obrotowy  bryły  sztywnej 
niezbędna jest siła, podobnie jak w ruchu postępowym. 

>  Z  doświadczenia  wiemy  jednak,  że  nie 

każda siła może wywołać ruch obrotowy. 

Aby wprawić na przykład w ruch koło, ustawionego 

do góry ko-łami roweru, trzeba podziałać na nie siłą 
styczną do opony. Aby zatrzy-mać koło, działamy siłą 
styczną o przeciwnym zwrocie. 

Siła działająca 

prostopadle, tzn. w kierunku osi, nie spowoduje 
zmian w ruchu koła.
 Przykład ten wykazuje, że w ruchu obrotowym 
ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej 
kierunek i punkt przyłożenia. 

Wielkość wywołująca ruch obrotowy nazywamy 
momentem siły

, który definiujemy następująco:

F

x

r

M









F

x

r

M









F

r

sin

rF

M











Moment bezwładności

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa 
sposób  roz-mieszczenia  masy  bryły  wokół  osi  obrotu. 
Wielkością  charakteryzującą  tę  własność  bryły  jest 

moment bezwładności

. 

Rozważmy bryłę sztywną będącą zbiorem punktów 
materialnych , 

       których odległości od osi obrotu 

wynoszą odpowie-dnio 
 

Momentem bezwładności I bryły względem 

danej osi nazywa-my sumę iloczynów mas 
poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich 
odległości od danej osi, a więc

n

2

1

m

...

m

,

m

n

2

1

r

...

r

,

r







n

1

i

2

i

i

r

m

I



 dm

r

I

2

Moment bezwładności ciała sztywnego

Obliczanie momentu bezwładności walca 

dz

d

rdr

dV























V

R

z

z

dz

d

dr

r

dz

d

rdr

r

I

0

2

0

3

2

2

1











V

M

dV

r

dm

r

I

2

2

dla ciągłego rozkładu masy

2

i

i

i

r

m

I 







n

i

i

i

r

m

I

1

2

 

z 

dV=rd

drdz

 

                     



dz



               O

                           y

 

                    



  r         x   

 

                     

 y 

 

         x     

rd

dr

dV

Moment bezwładności walca

2

2

2

0

4

0

4

3

0

2

0 0

3

2

2

1

2

1

4

2

4

2

2

R

m

R

L

R

R

L

r

L

dr

r

L

dz

d

dr

r

dz

d

rdr

r

I

m

R

R

V

R

L

























 























Moment bezwładności rury cylindrycznej

 

 

 

                          dr             

                                       r   R

1

   

                 R

2

          

 

 

 

 

                                                                     L     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczanie momentu bezwładności dla rury 

cylindrycznej obracającej się dokoła swej osi.

rdrL

dV

dm







2





4

2

4

2

2

4

1

4

2

4

3

2

2

1

2

1

R

R

L

r

L

dr

r

L

dm

r

I

R

R

R

R































2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

R

R

m

R

R

R

R

L

I

m













 



 









2

1

2

2

2

1

R

R

m

I





2

2

1

mR

I 

Jeśli promień wewnętrzny zanika (R

1

=0) 

Jeśli  grubość  ścianek  będzie  bardzo  mała  to  cylinder 
przejdzie w obręcz o momencie bezwładności

2

mR

I 

Moment bezwładności. Przykład

2

md

I

I

s





Twierdzenie Steinera:

moment bezwładności ciała względem 
dowolnej 

osi 

jest 

równy 

sumie 

momentu  bezwładności  I

s

,  względem 

osi do niej równoległej i przechodzącej 
przez  środek  masy  m  ciała  oraz 
iloczynu  masy  ciała  przez  kwadrat 
odległości d obu osi 

 

 

 

                          dr             

                                       r   R

1

   

                 R

2

          

 

 

 

 

                                                                     L     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

T a b l i c a     4 . 1 .  

M o m e n ty   b e z w ł a d n o ś c i   w y b r a n y c h   b r y ł   g e o m e tr y c z n y c h  

R o d z a j   b r y ł y   o   m a s i e   m  

O ś   o b r o tu   i   m o m e n t   

b e z w ł a d n o ś c i  

R o d z a j   b r y ł y   o   m a s i e  

m  

O ś   o b r o tu   i   m o m e n t   

b e z w ł a d n o ś c i  

 

                                    B                             R                              

                                                                                   

A  

                                                   

 

l  

w a l e c   p e ł n y  

o ś   A  

2

2

mR

I 

 

 

 

                                            2 R  

 

 

 

k u l a   p e ł n a  

d o w o l n a   ś r e d n i c a  

5

2

2

mR

I 

 

 

                                    B                             R                              

                                                                                   

A  

                                                   

 

l  

w a l e c   p e ł n y  

o ś   B  

















12

4

2

2

h

R

m

I

 

 

 

                                            2 R  

 

 

 

c i e n k a   p o w ł o k a  

k u l i s ta  

d o w o l n a   ś r e d n i c a  

3

2

2

mR

I 

 

 

                                                                            a        

A                                                                              

A  

 

                                b  

                                c        

p r o s to p a d ł o ś c i a n  

o ś   A - A  

















12

2

2

b

a

m

I

 

 

 

                                                  2 R  

 

 

o b r ę c z  

o ś   o b r ę c z y  

2

mR

I 

 

 

                                    B  

 

l  

p r ę t 

o ś   B  

12

2

ml

I 

 

 

 

                                                  2 R  

 

 

o b r ę c z  

d o w o l n a   ś r e d n i c a  

2

2

mR

I 

 

 

                                    B  

                                                                      C  

l  

p r ę t 

o ś   C  

3

2

ml

I 

 

 

 

                                                  2 R  

 

 

o b r ę c z  

d o w o l n a   l i n i a   s ty c z n a  

2

3

2

mR

I 

 

Twierdzenie Steinera

Zastanówmy się obecnie, czy istnieje jakiś związek 

pomiędzy momentem bezwładności względem osi 
przechodzącej przez środek masy ciała, a momentem 
bezwładności względem dowolnej innej osi równoległej 
do tamtej. 

2

s

mh

I

I





Moment bezwładności I 
bryły 

względem 

dowolnej  osi  jest  ró-
wny  sumie  momentu 
bezwła-dności 

I

s

 

względem  osi  równo-
ległej 

przechodzącej 

przez 

śro-dek 

masy 

bryły 

oraz 

iloczynu 

masy  m  tej  bryły  i 
kwadratu  odległości  h 
obu osi.

Momentu pędu

• moment pędu (kręt) cząstki o pędzie p i 

znajdującej się w punkcie określonym wektorem 
wodzącym r wynosi: 

• wektor momentu pędu jest prostopadły do 

płaszczyzny wyznaczonej przez p i r 
przedstawiamy go w postaci:

30

p

r

v

m

r

=

L





























x

y

z

x

y

z

z

y

x

yp

xp

k

xp

zp

j

zp

yp

i

p

p

p

z

y

x

k

j

i

L































p

sin

 

mv

r

=

L



r





L



r



p



x

z

y



r



Posługując się pojęciem momentu pędu można II 
zasadę dynamiki ruchu obrotowego zapisać

 

dt

I

d

dt

d

I

I

M





















dt

L

d

M







czyli

Pochodna momentu pędu      bryły sztywnej 
względem czasu t jest równa momentowi siły   
     działającej na tę bryłę.

L



M



Zasada zachowania momentu pędu  mówi, że moment 
pędu bryły może ulec zmianie jedynie pod działaniem 
momentu siły. 
 

Jeżeli więc łyżwiarz na lodzie wykonuje piruet, to 

rozsuwając szeroko ręce zwiększa swój moment bezwładności, 
a tym samym zmniejsza prędkość kątową obrotu. i odwrotnie – 
„skupiając” możliwie najbardziej całą swą masę dokoła osi 
obrotu zmniejsza swój moment bezwładności, co powoduje 
wzrost prędkości .

Obracający się dysk

rozważmy ciało obracające się z prędkością 



 wokół osi 

przechodzącej przez środek masy ciała

33

m

j



L

j

v

 









 













j

2

j

j

j

j

j

j

j

m

r

r

m

r

v

m

r

=

L



I



L

mj

r

=

I

2

j







dm

2

r

=

I

gdzie

nazywamy momentem bezwładności













I

dt

d

I

=

dt

L

d





T

2

I

2

1





K

konc

pocz





konc

pocz

I

I



Precession.swf

Dzielimy ciało na małe elementy o masie m

j

 

Student na obrotowym stołku

34



I



L

moment 
bezwładności

konc

pocz





konc

pocz

konc

pocz

I

I

L

L









prędkość 
kątowa

Analogia ruchu postępowego i 

obrotowego

Ruch 

postępowy

Ruch 

obrotowy

wielkości

m, v, a

I, , 

Energia 

kinetyczna

mv

2

/2

I

2

/2

II Zasada 
dynamiki

F=ma

F=dp/dt

M=I

M=dL/dt

pęd, moment 

pędu

p=mv

L=I

35

Ruch złożony ciała sztywnego

Ruch złożony ciała sztywnego

 

 

Układ  sił  działających  na  swobodne  ciało  sztywne 
zastępujemy  siłą  wypadkową,  natomiast  wszystkie 
momenty  sił  zewnętrznych  zastępujemy  momentem  siły 
równym  momentowi  układu  sił  względem  środka  masy. 
Energia 

kinetyczna 

złożonego 

ruchu 

postępowo-

obrotowego będzie równa sumie energii kinetycznej ruchu 
postępowego i ruchu obrotowego 

2

1

2

v

2

1

v

2

1

s

n

i

i

kp

m

m

E









2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

obr

k

I

I

I

I

E

















gdzie  I

x

,  I

y

,  I

z

,  

x

,  

y

,  

z

  są  odpowiednimi  momentami 

bezwładności  i  prędkościami  kątowymi  związanymi  z 
obrotami wokół stałych osi x,y,z przechodzących przez środek 
masy

Przykład r

Przykład r

uch

uch

u

u

 złożony ciała 

 złożony ciała 

sztywnego

sztywnego

 

 

Obliczymy 

energię 

kinetyczną 

jednorodne-go  walca  o  masie  m 
toczacego 

się 

po 

pła-szczyźnie 

ruchem  postępowym  z  prędko-ścią 
środka masy równą v. 
Energia kinetyczna walca

2

2

2

2

2

2

2

2

4

3

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

v

v

v

m

m

m

mr

m

I

m

E

k































