Dynamika bryły

Wykład 4

Dynamika układu punktów materialnych. Środek
masy

W dotychczasowych naszych rozważaniach dotyczących
dynamiki trak-towaliśmy ciała poruszające się jako
punkty materialne nie uwzglę-dniając ich wymiarów
geometrycznych, ani objętości. Obecnie przej-dziemy
do dynamiki układu punktów materialnych
 
Załóżmy, że układ jest złożony z N punktów
materialnych

o

masach

m

1

,

m

2

,...

m

i

,...

,m

N

umieszczonych odpowiednio w punktach P

1

, P

2

... P

i

,... ,P

N

określonych jednoznacznie przez wektory wodzące .
Oczywiście każdemu wektorowi wodzącemu są
przypisane współrzędne (x

i

, y

i

, z

i

).

Środkiem masy tego układu nazywamy punkt S,
którego współrzędne wyrażają się wzorami:



















i

i

i

s

i

i

i

s

i

i

i

s

m

z

m

z

,

m

y

m

y

,

m

x

m

x

Wzory ww można zapisać
wektorowo za pomocą jednego
wzoru







i

i

i

s

m

r

m

r





Promień wodzący środka masy

Gdy liczba części N zmierza do nieskończoności,
powyższe wyrażenie dąży do granicy
 

Z matematyki wiadomo, że granice sum w powyższym
wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami
oznaczonymi.
  Zatem

(3.29)

przy czym

oznacza całkowitą masę ciała.

 

 







i

i

i

n

s

m

r

m

lim

r











dm

dm

r

r

s





m

dm

Dla brył o regularnym kształcie środek masy
pokrywa się ze śro-dkiem symetrii. Na przykład
środek masy jednorodnej kuli leży w jej środku
geometrycznym, środek masy jednorodnego
walca znajduje się na osi symetrii w połowie
jego wysokości itp.

Jakie mogą być korzyści wprowadzenia pojęcia „środka

masy”

……..













F

...

F

F

F

a

m

3

2

1

s











Środek masy ciała ma tę właściwość, że iloczyn
całkowitej masy m i przyspieszenie środka masy
równa się sumie wszystkich sił działających
na poszczególne punkty układu

.

Siły te możemy podzielić na zewnętrzne (tzn.
działające między punktami układu i punktami
znajdującymi się zewnątrz rozważa-nego układu) i
wewnętrzne (tzn. działające między punktami dane-
go układu):

s

a









w

z

F

F

F







Układ trzech punktów
materialnych, na które
działają siły wewnętrzne
oraz siły zewnętrzne

ij

F



i

F



Z trzeciej zasady dynamiki wynika, że siły wewnętrzne
występują parami, których składniki są równe co do
wartości, lecz przeciwne co do kierun-ku. Stąd wniosek, że
wypadkowa wszystkich sił wewnętrznych równa się
zeru i wspomnianą właściwość środka masy można
wyrazić prostszą zależnością

(3.36)

Innymi słowy, środek masy ciała porusza się

tak, jakby w nim była skupiona całkowita masa
poddana działaniu wypadkowej wszy-stkich sił
zewnętrznych.

Stwierdzenie powyższe jest słuszne zarówno w

odniesieniu do układu sztywnego o niezmiennych wzajemnych
odległościach poszczególnych cząstek, jak również dla układu,
w którego skład wchodzą cząstki wykonujące dowolne ruchy
pod wpływem sił wewnętrznych.

Równanie (3.36) nosi nazwę równania ruchu ciała.





z

s

F

a

m





Zasada zachowania pędu

w

3

2

1

s

p

...

p

p

p

p





















Pęd środka masy układu (czyli iloczyn

całkowitej masy układu i prędkości środka

masy) równa się pędowi wypadkowemu (czyli

sumie geometrycznej pędów poszczególnych

jego punktów materialnych).

.

dt

p

d

dt

p

d

F

w

s

z













Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych
działają-cych

na

układ

punktów

materialnych

równa

się

pochodnej

względem czasu pędu środka masy lub
pochodnej

względem

czasu

wypadkowego pędu układu.

Gdy wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych

działających na układ równa się zeru, to wektor
wypadkowego pędu całego układu pozostaje stały.

Zmiana pędu układu może być wywołana

jedynie działaniem takich sił zewnętrznych, które
się nawzajem nie równoważą. Żadne siły
wewnętrzne nie są w stanie zmienić wypadkowego
pędu układu

.

Zasadę zachowania pędu zilustrujemy kilkoma
przykładami

.

> Wyskakując z łódki stojącej przy brzegu jeziora
uzyskujemy

pęd

skierowany

w

stronę

lądu.

Równocześnie łódka – zgodnie z zasadą zachowania
pędu – oddala się nieco od brzegu uzyskując pęd
równy co do wartości, lecz przeciwnie skierowany.
Wypadkowy pęd układu łódka – człowiek pozostaje
nadal równy zeru.

> Na zasadzie zachowania pędu opiera się działanie
śruby okręto-wej i śmigła samolotu. Śruba odrzuca
wodę do tyłu, statek uzyskuje pęd skierowany ku
przodowi. Podobnie śmigło odrzuca do tyłu masy
powietrza, a samolot przesuwa się naprzód.

> Znane są ogólnie zjawiska „odrzutu” przy użyciu
broni palnej: du-beltówka czy karabin „uderzają”
strzelca, bo lufa cofa się (w stosunku do pocisku) przy
wystrzale. Zjawisko odrzutu jest wykorzystywane na
szeroką skalę w samolotach odrzutowych i pociskach
rakietowych. Zasada ich ruchu polega na tym, że w
specjalnej komorze wewnętrznej odbywa się spalanie
mieszanki wybuchowej. Gazy z dużą prędkością, a więc
i z dużym pędem, uchodzą przez otwór w tylnej części
samolotu lub rakiety, które równocześnie uzyskują pęd
równy co do wartości, lecz skierowany ku przodowi.

Bryła sztywna

Bryłą sztywną będziemy nazywali takie ciało, w którym
wszystkie punkty mają względem siebie stałe
odległości, które nie zmieniają się pod wpływem sił
zewnętrznych działających na to ciało.

Ciało sztywne nie podlega
żadnym od-kształceniom pod
wpływem działają-cych sił, tzn.
w bryle sztywnej odległo-ści
dwóch dowolnych punktów
pozo-stają

zawsze

stałe,

pomimo działania na to ciało
różnych sił.

Rodzaje ruchów bryły sztywnej

Odróżniamy dwa rodzaje ruchu bryły sztywnej: ruch
postępowy i ruch obrotowy.

Ruchem postępowym

ciała sztywnego nazywamy taki

ruch, w którym dowolna prosta przeprowadzona przez to
ciało przesuwa się równolegle do samej siebie (wektory
prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili
jednakowe).

Ciało porusza się

ruchem

obroto-wym

, jeżeli

wszystkie punkty ciała
poruszają się po okręgach,
których środki leżą na
jednej prostej. Prostą tą
nazywamy chwilową osią
obrotu. Oś obrotu może
mieć stałe położenie;
mówimy wtedy o stałej osi
obrotu.

Ciało sztywne i jego ruchy

Ciało sztywne i jego ruchy

Ruchem postępowym

ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w

którym

dowolna

prosta

przeprowadzona

przez

ciało

przemieszcza się równolegle do samej siebie (wektory
prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili
jednakowe).

Ruchem obrotowym

ciała sztywnego nazywać będziemy taki

ruch, w którym układ współrzędnych związany sztywno z
ciałem porusza się ruchem obrotowym tzn. zmieniają się kąty
nachylenia osi tego układu względem osi układu odniesienia.
Wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach o środkach
leżących na jednej prostej zwanej chwilową osią obrotu. Jeśli
położenie chwilowej osi obrotu nie ulega zmianie to mówimy
wówczas o ruchu wokół stałej osi obrotu. Każdy z ruchów
obrotowych wokół trzech osi układu współrzędnych ma jeden
stopień swobody.

Każdy ruch ciała sztywnego

można złożyć z

ruchu

postępowego

i

ruchu obrotowego

Ciało sztywne i jego ruchy

Bryła sztywna w ruchu postępowym

Bryła sztywna w ruchu postępowym

m

j

m

j

r

ij

r

ij1

m

i

m

i

z r

j

r

j

r

i1

r

j1

O

y |r

ij

| = r

ij

=const

x

Ciało sztywne i jego ruchy

Stopnie swobody w ruchu

Stopnie swobody w ruchu

ciała sztywnego

ciała sztywnego

ograniczonym przez więzy

ograniczonym przez więzy

z

m

2

m

2

r m

3

m

1

m

1

m

1

3 stop. swobody

2 stop. swobody 1 stop.
swobody

O

x

Y

Oś obrotu

Ruch postępowy ciała sztywnego

przechodzimy od całkowania po masie do całkowania
po objętości

Ruch postępowy ciała sztywnego możemy opisać przez
ruch jego środka masy

m

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

m

r

m

m

r

m

R

n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i

s





































1

1

1

1

1

1

;

;

dV

dm

V

m

V















0

lim











M

M

M

s

dm

r

m

dm

dm

r

R







1



























V

V

V

s

s

s

V

s

zdV

M

z

ydV

M

y

xdV

M

x

dV

r

M

R

1

;

1

;

1

1





C.d. Ruch postępowy ciała sztywnego

Różniczkując to wyrażenie dwukrotnie względem czasu
otrzymujemy















n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

m

M

dt

dr

m

dt

dR

m

1

1

v

v



















n

i

i

i

s

n

i

i

i

s

a

m

a

m

dt

r

d

m

dt

R

d

m

1

1

2

2

2

2



















n

i

i

s

n

i

i

i

s

f

a

m

a

m

a

m

1

1

























n

i

wi

n

i

zi

n

i

i

f

f

f

1

1

1



















n

i

i

w

n

i

i

z

s

f

f

a

m

1

1







)

(

wji

wij

f

f









Zatem równanie ruchu
postępowego środka
masy







n

i

i

z

s

f

a

m

1





Ciało sztywne poddane siłom zewnętrznym będzie poruszać się jak punkt
materialny o masie równej masie całego ciała umieszczony w środku masy tego
ciała i poddany sumie wszystkich sił zewnętrznych działających na to ciało .







n

i

i

i

s

r

m

R

m

1





Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej

Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej

osi

osi

Moment pędu cząstki względem pewnego punktu określamy jako iloczyn
wektorowy promienia wodzącego cząstki poprowadzonego z tego punktu
przez pęd tej cząstki

Prędkość kątowa może ulegać zmianie
co do modułu i zwrotu natomiast jej
kierunek pozostaje stały.

z





O

1

i

r

m

i

v



r

O

y

x







































n

i

i

i

i

i

i

n

i

i

r

r

m

m

r

p

r

L

L

1

1

v



















i

n

1

i

i

n

1

i

i





 































































n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

r

i

i

n

i

i

i

I

r

m

r

r

m

r

r

m

r

r

m

L

1

1

1

2

0

1

2





































i

i

L



Ruch obrotowy ciała sztywnego względem stałej
osi

Momentem

pędu

dowolnego

punktu

materialnego wirującego wokół stałej osi układu
n punktów materialnych nazywamy jego moment
pędu względem punktu przebicia płaszczyzny
ruchu przez oś obrotu

Moment
bezwładności
i-tego

pktu

mat.

moment
bezwładności
układu

punktów

względem

osi

obrotu





 































































n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

i

i

i

r

i

i

n

i

i

i

I

r

m

r

r

m

r

r

m

r

r

m

L

1

1

1

2

0

1

2





































i

i

2

i

i

i

r

m

I 







n

i

i

i

r

m

I

1

2









I

L



I

L

z





O

1

i

r

m

i

v



r

O

y

x









I

L

Moment siły

Aby spowodować ruch obrotowy bryły sztywnej
niezbędna jest siła, podobnie jak w ruchu postępowym.

> Z doświadczenia wiemy jednak, że nie

każda siła może wywołać ruch obrotowy.

Aby wprawić na przykład w ruch koło, ustawionego

do góry ko-łami roweru, trzeba podziałać na nie siłą
styczną do opony. Aby zatrzy-mać koło, działamy siłą
styczną o przeciwnym zwrocie.

Siła działająca

prostopadle, tzn. w kierunku osi, nie spowoduje
zmian w ruchu koła.
Przykład ten wykazuje, że w ruchu obrotowym
ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej
kierunek i punkt przyłożenia.

Wielkość wywołująca ruch obrotowy nazywamy
momentem siły

, który definiujemy następująco:

F

x

r

M









F

x

r

M









F

r

sin

rF

M











Moment bezwładności

W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa
sposób roz-mieszczenia masy bryły wokół osi obrotu.
Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest

moment bezwładności

.

Rozważmy bryłę sztywną będącą zbiorem punktów
materialnych ,

których odległości od osi obrotu

wynoszą odpowie-dnio

Momentem bezwładności I bryły względem

danej osi nazywa-my sumę iloczynów mas
poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich
odległości od danej osi, a więc

n

2

1

m

...

m

,

m

n

2

1

r

...

r

,

r







n

1

i

2

i

i

r

m

I



 dm

r

I

2

Moment bezwładności ciała sztywnego

Obliczanie momentu bezwładności walca

dz

d

rdr

dV























V

R

z

z

dz

d

dr

r

dz

d

rdr

r

I

0

2

0

3

2

2

1











V

M

dV

r

dm

r

I

2

2

dla ciągłego rozkładu masy

2

i

i

i

r

m

I 







n

i

i

i

r

m

I

1

2

z

dV=rd

drdz



dz



O

y



r x

y

x

rd

dr

dV

Moment bezwładności walca

2

2

2

0

4

0

4

3

0

2

0 0

3

2

2

1

2

1

4

2

4

2

2

R

m

R

L

R

R

L

r

L

dr

r

L

dz

d

dr

r

dz

d

rdr

r

I

m

R

R

V

R

L

























 























Moment bezwładności rury cylindrycznej

dr

r R

1

R

2

L

Obliczanie momentu bezwładności dla rury

cylindrycznej obracającej się dokoła swej osi.

rdrL

dV

dm







2





4

2

4

2

2

4

1

4

2

4

3

2

2

1

2

1

R

R

L

r

L

dr

r

L

dm

r

I

R

R

R

R































2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

R

R

m

R

R

R

R

L

I

m













 



 









2

1

2

2

2

1

R

R

m

I





2

2

1

mR

I 

Jeśli promień wewnętrzny zanika (R

1

=0)

Jeśli grubość ścianek będzie bardzo mała to cylinder
przejdzie w obręcz o momencie bezwładności

2

mR

I 

Moment bezwładności. Przykład

2

md

I

I

s





Twierdzenie Steinera:

moment bezwładności ciała względem
dowolnej

osi

jest

równy

sumie

momentu bezwładności I

s

, względem

osi do niej równoległej i przechodzącej
przez środek masy m ciała oraz
iloczynu masy ciała przez kwadrat
odległości d obu osi

dr

r R

1

R

2

L

d

T a b l i c a 4 . 1 .

M o m e n ty b e z w ł a d n o ś c i w y b r a n y c h b r y ł g e o m e tr y c z n y c h

R o d z a j b r y ł y o m a s i e m

O ś o b r o tu i m o m e n t

b e z w ł a d n o ś c i

R o d z a j b r y ł y o m a s i e

m

O ś o b r o tu i m o m e n t

b e z w ł a d n o ś c i

B R

A

l

w a l e c p e ł n y

o ś A

2

2

mR

I 

2 R

k u l a p e ł n a

d o w o l n a ś r e d n i c a

5

2

2

mR

I 

B R

A

l

w a l e c p e ł n y

o ś B

















12

4

2

2

h

R

m

I

2 R

c i e n k a p o w ł o k a

k u l i s ta

d o w o l n a ś r e d n i c a

3

2

2

mR

I 

a

A

A

b

c

p r o s to p a d ł o ś c i a n

o ś A - A

















12

2

2

b

a

m

I

2 R

o b r ę c z

o ś o b r ę c z y

2

mR

I 

B

l

p r ę t

o ś B

12

2

ml

I 

2 R

o b r ę c z

d o w o l n a ś r e d n i c a

2

2

mR

I 

B

C

l

p r ę t

o ś C

3

2

ml

I 

2 R

o b r ę c z

d o w o l n a l i n i a s ty c z n a

2

3

2

mR

I 

Twierdzenie Steinera

Zastanówmy się obecnie, czy istnieje jakiś związek

pomiędzy momentem bezwładności względem osi
przechodzącej przez środek masy ciała, a momentem
bezwładności względem dowolnej innej osi równoległej
do tamtej.

2

s

mh

I

I





Moment bezwładności I
bryły

względem

dowolnej osi jest ró-
wny sumie momentu
bezwła-dności

I

s

względem osi równo-
ległej

przechodzącej

przez

śro-dek

masy

bryły

oraz

iloczynu

masy m tej bryły i
kwadratu odległości h
obu osi.

Momentu pędu

• moment pędu (kręt) cząstki o pędzie p i

znajdującej się w punkcie określonym wektorem
wodzącym r wynosi:

• wektor momentu pędu jest prostopadły do

płaszczyzny wyznaczonej przez p i r
przedstawiamy go w postaci:

30

p

r

v

m

r

=

L





























x

y

z

x

y

z

z

y

x

yp

xp

k

xp

zp

j

zp

yp

i

p

p

p

z

y

x

k

j

i

L































p

sin

mv

r

=

L



r





L



r



p



x

z

y



r



Posługując się pojęciem momentu pędu można II
zasadę dynamiki ruchu obrotowego zapisać

 

dt

I

d

dt

d

I

I

M





















dt

L

d

M







czyli

Pochodna momentu pędu bryły sztywnej
względem czasu t jest równa momentowi siły
działającej na tę bryłę.

L



M



Zasada zachowania momentu pędu mówi, że moment
pędu bryły może ulec zmianie jedynie pod działaniem
momentu siły.
 

Jeżeli więc łyżwiarz na lodzie wykonuje piruet, to

rozsuwając szeroko ręce zwiększa swój moment bezwładności,
a tym samym zmniejsza prędkość kątową obrotu. i odwrotnie –
„skupiając” możliwie najbardziej całą swą masę dokoła osi
obrotu zmniejsza swój moment bezwładności, co powoduje
wzrost prędkości .

Obracający się dysk

rozważmy ciało obracające się z prędkością



wokół osi

przechodzącej przez środek masy ciała

33

m

j



L

j

v

 









 













j

2

j

j

j

j

j

j

j

m

r

r

m

r

v

m

r

=

L



I



L

mj

r

=

I

2

j







dm

2

r

=

I

gdzie

nazywamy momentem bezwładności













I

dt

d

I

=

dt

L

d





T

2

I

2

1





K

konc

pocz





konc

pocz

I

I



Precession.swf

Dzielimy ciało na małe elementy o masie m

j

Student na obrotowym stołku

34



I



L

moment
bezwładności

konc

pocz





konc

pocz

konc

pocz

I

I

L

L









prędkość
kątowa

Analogia ruchu postępowego i

obrotowego

Ruch

postępowy

Ruch

obrotowy

wielkości

m, v, a

I, , 

Energia

kinetyczna

mv

2

/2

I

2

/2

II Zasada
dynamiki

F=ma

F=dp/dt

M=I

M=dL/dt

pęd, moment

pędu

p=mv

L=I

35

Ruch złożony ciała sztywnego

Ruch złożony ciała sztywnego

Układ sił działających na swobodne ciało sztywne
zastępujemy siłą wypadkową, natomiast wszystkie
momenty sił zewnętrznych zastępujemy momentem siły
równym momentowi układu sił względem środka masy.
Energia

kinetyczna

złożonego

ruchu

postępowo-

obrotowego będzie równa sumie energii kinetycznej ruchu
postępowego i ruchu obrotowego

2

1

2

v

2

1

v

2

1

s

n

i

i

kp

m

m

E









2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

obr

k

I

I

I

I

E

















gdzie I

x

, I

y

, I

z

, 

x

, 

y

, 

z

są odpowiednimi momentami

bezwładności i prędkościami kątowymi związanymi z
obrotami wokół stałych osi x,y,z przechodzących przez środek
masy

Przykład r

Przykład r

uch

uch

u

u

złożony ciała

złożony ciała

sztywnego

sztywnego

Obliczymy

energię

kinetyczną

jednorodne-go walca o masie m
toczacego

się

po

pła-szczyźnie

ruchem postępowym z prędko-ścią
środka masy równą v.
Energia kinetyczna walca

2

2

2

2

2

2

2

2

4

3

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

v

v

v

m

m

m

mr

m

I

m

E

k































