Kwadrat łaciński

Kwadrat łaciński pozwala planować
doświadczenie na małej liczbie elementów
Analizę wariancji w układzie kwadratu
łacińskiego stosuje się często w
badaniach żywieniowych

Mamy t-obiektów czynnika
doświadczalnego (np. t-dawek
żywieniowych) i chcemy porównać jaki
wpływ wywiera ten czynnik na badaną
cechę (np. na przyrosty zwierząt)

Kwadrat łaciński

zwierzę

A

zwierzę

B

zwierzę

C

Okres 1

a

b

c

Okres 2

b

c

a

Okres 3

c

a

b

Kwadrat łaciński

Założenia:

- każdy z czynników: dawka, zwierzę i okres

musi mieć taką samą liczbę poziomów

- każdy poziom jednego czynnika musi

wystąpić dokładnie raz w każdym z

poziomów innego czynnika

zwierzę

A

zwierzę

B

zwierzę

C

Okres 1

a

b

c

Okres 2

b

c

a

Okres 3

c

a

b

Kwadrat łaciński

Czy zastosowany czynnik doświadczalny
(dawka) wpływa istotnie na badaną
cechę (przyrosty)?
Hipoteza zerowa:
H

0

: μ

1

= μ

2

= μ

3

= …. = μ

t

Hipoteza alternatywna:
H

A

: ~(μ

1

= μ

2

= μ

3

= …. = μ

t

)

Model liniowy dla układu

kwadratu łacińskiego

x

ij(k)

– obserwacja dla (k)-tego obiektu w

i-tym

wierszu oraz j-tej kolumnie

μ – średnia populacji
τ

(k)

– efekt czynnika doświadczalnego

α

i

– efekt wiersza

β

j

– efekt kolumny

e

ij(k)

– zmienność resztowa

)

(

)

(

)

(

ε

β

α

τ

μ

k

ij

j

i

k

k

ij

x











Tabela analizy wariancji

w

układzie kwadratu
łacińskiego

C

t

x

SS

j

K









2

C

x

SS

2

ij

T







C

t

x

SS

k

o







2

)

(

1





t

SS

MS

K

K

E

o

MS

MS

F 

0

O

K

W

T

E

SS

SS

SS

SS

SS









)

2

)(

1

(







t

t

SS

MS

E

E

Źródło
zmiennoś
ci

df

stopnie

swobod

y

SS

suma kwadratów

MS

średni kwadrat

(wariancja)

F

0

statystyka

testowa

Ogólna

t

2

- 1

–

–

Między
wierszam
i

t - 1

Między
kolumna
mi

t - 1

Między
obiektam
i

t - 1

Resztowa

(t-1)(t-

2)

C

t

x

SS

i

W









2

1





t

SS

MS

W

W

1





t

SS

MS

o

o

)

(

)

(

)

(

ε

β

α

τ

μ

k

ij

j

i

k

k

ij

x











Analiza wariancji w układzie

kwadratu łacińskiego

Hipoteza zerowa weryfikowana jest za

pomocą testu F:

Jeśli F

0

> F

α

to odrzucamy H

0

Jeśli F

0

< F

α

to nie ma podstaw do

odrzucenia H

0

F

α

- tablicowa wartość testu F zależna od

poziomu istotności α oraz odpowiednich

stopni swobody:
df

o

= t-1 i df

E

= (t-1)(t-2)

E

o

MS

MS

F 

0

Przykład

Badano przyrosty u tuczników żywionych

trzema różnymi dawkami pokarmowymi

(A, B, C). Doświadczenie przeprowadzono

w układzie kwadratu łacińskiego. Czy

rodzaj dawki pokarmowej ma istotny

wpływ na przyrosty u tuczników?

H

0

: μ

A

= μ

B

= μ

C

(tzn. tuczniki karmione każdą z trzech

dawek pokarmowych uzyskują średnio

takie same przyrosty)

H

A

: ~(μ

A

= μ

B

= μ

C

)

Przykład

0

,

27





ij

x

77

,

3

88

,

90

11

,

87

:

9

3

3

:

9

28

2



















C

SS

C

poprawka

N

obserwacji

liczba

T

88

,

90

2





ij

x

1

2

3

Suma

(x

i

)

I

2,5

A

2,0

B

3,5

C

8,0

II

3,0

B

3,0

C

4,0

A

10,0

III

3,7

C

2,5

A

3,8

B

10,0

suma

(x

j

)

9,2

7,5

11,3 x



=28,0

zwierzę

okres

dawk

a

A

B

C

x

(k)

9,0

8,8

10,2

Przykład

08

,

0

69

,

3

77

,

3

)

38

,

0

42

,

2

89

,

0

(

77

,

3

38

,

0

11

,

87

49

,

87

3

48

,

262

3

2

,

10

8

,

8

0

,

9

42

,

2

11

,

87

53

,

89

3

58

,

268

3

3

,

11

5

,

7

2

,

9

89

,

0

11

,

87

88

3

264

3

0

,

10

0

,

10

0

,

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2





































































E

o

K

W

SS

C

C

SS

C

C

SS

C

C

SS

okres

I

II

III

x

i

8,0

10,

0

10,

0

zwierz

ę

1

2

3

x

j

9,2

7,5

11,

3

dawka

A

B

C

x

(k)

9,0 8,8 10,

2

C=87,11

Tabela analizy wariancji

Źródło
zmiennoś
ci

df

stopnie

swobody

SS

suma kwadratów

MS

średni kwadrat

(wariancja)

F

0

statystyka

testowa

Ogólna

t

2

–

1=8

SS

T

=3,77

–

–

Między
wierszam
i

t – 1=2

SS

W

=0,89

MS

W

=0,445

Między
kolumna
mi

t – 1=2

SS

K

=2,42

MS

K

=1,21

Między
obiektami

t – 1=2

SS

o

=0,38

MS

o

=0,19

Resztowa

(t-1)(t-

2) = 2

SS

E

=0,08

MS

E

=0,04

75

,

4

04

,

0

19

,

0

0





F

Tablice F

Analiza wariancji

dawk

a

A

B

C

9,0

8,8

10,2

średnie

3,0

2,93

3,4

3,11

ij

x



i

x



x

F

0

< F

0,05

więc brak

podstaw

do odrzucenia H

0

Brak podstaw do odrzucenia H

0

na poziomie

istotności α=0,05 oznacza, że między średnimi
przyrostami zwierząt karmionych trzema
dawkami (porównywanymi obiektami czynnika
doświadczalnego) nie występują statystycznie
istotne różnice (średnio przyrosty są podobne,
niezależnie od zastosowanej dawki)

F

0

=4,75

F

0,05

=1

9,0