Wykresy i własności
funkcji
trygonometrycznych
Funkcja y = sin x
Funkcja y = cos x
Funkcja y = tg x
Funkcja y = ctg x
3
4
2
6
0
1
-1
X
Y
A
Wykresy i własności
funkcji
trygonometrycznych
Funkcja y = sin x
Funkcja y = cos x
Funkcja y = tg x
Funkcja y = ctg x
3
4
2
6
0
1
-1
X
Y
A
Wykres funkcji y = sin x
Wykres funkcji
y = sin x
w przedziale
2
;
0
r
y
sin
1
r
3
4
2
3
2
2
2
3
6
5
6
0
1
-
1
X
Y
otrzymujemy przy pomocy okręgu o promieniu 1,
wykorzystując definicję funkcji sinus dowolnego kąta.
zatem
y
sin
(wartości sinusów
są rzędnymi
odpowiednich
punktów na
okręgu)
,
-
1
2
2
2
3
0
1
X
Y
2
5
3
2
Wykres funkcji y = sin x
Dalsze części wykresu sinusoidy otrzymujemy w
wyniku przesunięcia o wektor
0
;
2
k
u
C
k
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = sin
x
Dziedzina:
Zbiór
wartości:
1
;
1
Y
R
D
f
Miejsca zerowe:
Nieskończenie wiele miejsc zerowych
k
x
C
k
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = sin
x
Monotoniczność:
f
malejąca
k
k
x
2
2
;
2
2
k
k
x
2
2
3
;
2
2
C
k
f
rosnąc
a
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = sin
x
Wartości dodatnie:
Wartości
ujemne:
k
k
x
2
;
2
0
x
f
C
k
k
k
x
2
;
2
0
x
f
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = sin
x
Inne własności funkcji:
Funkcja nie jest różnowartościowa:
[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]
Funkcja nieparzysta:
x
f
x
f
R
x
2
1
,x
x
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = sin
x
Funkcja jest okresowa
xR
sin (
x + 2k
) =
sin
x
okresem zasadniczym jest
s = 2
Wykres funkcji y =
cos x
Wykres funkcji
y = cos x
możemy otrzymać
wykorzystując sinusoidę i wzór:
x
x
2
sin
cos
R
x
Wystarczy zatem sinusoidę przesunąć
równolegle o wektor
0
;
2
u
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
u
x
y cos
x
y sin
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = cos
x
Dziedzina:
Zbiór
wartości:
1
;
1
Y
R
D
f
Miejsca zerowe:
Nieskończenie wiele miejsc zerowych
k
x
2
C
k
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = cos
x
Monotoniczność:
f
malejąca
k
k
x
2
0
;
2
k
k
x
2
;
2
0
C
k
f
rosnąc
a
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = cos
x
Wartości dodatnie:
Wartości
ujemne:
k
k
x
2
;
2
0
x
f
C
k
k
k
x
2
;
2
0
x
f
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = cos
x
Inne własności funkcji:
Funkcja nie jest różnowartościowa:
[Wykres symetryczny względem osi OY]
Funkcja parzysta:
x
f
x
f
R
x
2
1
,x
x
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
-
1
2
2
2
3
0
1
Y
2
5
3
2
X
Własności funkcji y = cos
x
Funkcja jest okresowa
xR
cos (
x + 2k
) =
cos
x
okresem zasadniczym jest
s = 2
Wykres funkcji y = tg x
Wykres funkcji y
= tg x w
przedziale
2
;
0
3
4
2
6
0
1
-
1
X
Y
otrzymujemy przy
pomocy okręgu o
promieniu 1
i środku A(-1; 0),
wykorzystując
definicję funkcji
tangens kąta ostrego.
A
Wykres funkcji y = tg x
Wykres funkcji y
= tg x w
przedziale
0
;
2
3
4
2
6
0
1
-
1
X
Y
otrzymujemy
wykorzystując
nieparzystość funkcji
tangens, a zatem f(-x)
= -f(x),
gdy
2
3
3
3
3
3
3
2
;
2
x
Wykres funkcji y = tg x
Kolejne części
wykresu
otrzymujemy
wykorzystując
okresowość
funkcji tangens,
a zatem wartości
powtórzą się co
3
4
2
6
0
1
-
1
X
Y
2
3
3
3
3
3
3
2
3
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Dziedzina:
k
R
D
f
2
\
C
k
Zbiór wartości:
R
Y
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Miejsca zerowe:
k
x
C
k
Nieskończenie wiele miejsc zerowych
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Monotoniczność:
k
k
x
2
;
2
C
k
funkcja rosnąca <=>
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Wartości dodatnie i ujemne:
0
x
f
C
k
k
k
x
2
;
0
x
f
k
k
x
;
2
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Funkcja nieparzysta:
[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]
x
f
x
f
D
x
3
3
Własności funkcji y = tg x
Funkcja nie jest różnowartościowa:
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
2
1
,x
x
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
Własności funkcji y = tg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
3
2
5
2
2
Funkcja jest okresowa
xD
tg (
x + k
) =
tg
x
okresem zasadniczym jest
s =
Wykres funkcji y = ctg x
X
2
0
1
-1
Y
2
2
3
Wykres funkcji y = ctg x otrzymujemy z wykresu
funkcji y = tg x, wykorzystując wzór
2
x
tg
ctgx
Zatem cotangensoida jest obrazem wykresu
funkcji tangens powstałym w złożeniu
przesunięcia o wektor
0
;
2
w
i symetrii względem osi
OX
tgx
y
2
x
tg
y
ctgx
y
Własności funkcji y = ctg x
Dziedzina:
k
R
D
f
\
C
k
Zbiór wartości:
R
Y
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Miejsca zerowe:
k
x
2
C
k
Nieskończenie wiele miejsc zerowych
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Monotoniczność:
k
k
x
;
C
k
funkcja malejąca <=>
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Wartości dodatnie i ujemne:
0
x
f
C
k
k
k
x
2
;
0
x
f
k
k
x
;
2
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Funkcja nieparzysta:
[Wykres symetryczny względem punktu (0;0)]
x
f
x
f
D
x
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Funkcja nie jest różnowartościowa:
2
1
,x
x
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
Własności funkcji y = ctg x
2
0
1
-1
X
Y
2
2
3
2
2
2
3
Funkcja jest okresowa
xD
ctg (
x + k
) =
ctg
x
okresem zasadniczym jest
s =
Zadania
Rozwiąż zadania: 1, 2 str. 84, 1,
2 str. 90,
1, 2 str. 97 z
podręcznika.