Wykład 1: Wstępne

przetwarzanie danych

Biometria i

Biostatystyka

Statystyka – cóż to jest?

Naukowa analiza
danych opisujących
naturalną zmienność.

Naukowa analiza:



Zbieranie danych dokonywane jest z
uwzględnieniem ogólnie akceptowanych
kryteriów przeprowadzania
eksperymentów naukowych.



Prezentacja danych oraz wyników analiz
musi być przeprowadzana obiektywnie,
zgodnie z zasadami ‘kodu etycznego
naukowca’.

„Liczby nigdy nie kłamią, wszystkiemu

winni są statystycy”

Dane:



Statystyka to analiza zjawisk, które
dotyczą populacji lub grupy
osobników; opiera się na analizie
zbioru informacji, a nie pojedynczego
pomiaru. Oznacza to, że nie będzie
nas interesować pojedynczy osobnik.



Dane stanowią pomiary bądź
zliczenia.

Naturalna zmienność:



Analizować będziemy jedynie takie
zdarzenia, które w naturze nie
podlegają bezpośrednie naszej kontroli
(np. liczba ziaren grochu w strąku).



Czasami dopuszczalne jest częściowe
kontrolowanie czynników przez badacza
(np. mierząc krzywą cukrową u osób z
podejrzeniem cukrzycy podaje się im
wcześniej odpowiednią dawkę cukru).

Podstawowym celem analizy
statystycznej jest wnioskowanie o
cechach dużej grupy osobników na
podstawie informacji uzyskanej z
relatywnie małolicznej grupy badanej.

Takie podejście wymaga
sprecyzowania pojęć populacji i próbki.

Podstawowe definicje



Dane składają się z pojedynczych

obserwacji

, które są pomiarami

dokonanymi na pojedynczej
jednostce.

Jeśli mierzymy wzrost u 100 osób,
wówczas wzrost każdej z osób stanowi
pojedynczą obserwację.

Podstawowe definicje



Próba

jest zbiorem pojedynczych

obserwacji wybranych z
zastosowaniem specyficznych
kryteriów selekcji.

Zebranych 100 pomiarów wzrostu

stanowi próbę.

Podstawowe definicje



Cecha, którą mierzymy w
pojedynczych obserwacjach
nazywana jest

zmienną

.



Więcej niż jedna zmienna może być
mierzona u pojedynczej jednostki.

Możemy mierzyć u każdej z osób jej wzrost
oraz np. masę ciała i wiek.

Podstawowe definicje



Populacja

to całość pojedynczych

obserwacji, o których przeprowadzane
jest wnioskowanie statystyczne,
istniejąca gdziekolwiek na świecie,
albo przynajmniej w dokładnie
zdefiniowanym w dziedzinie czasu i
przestrzeniu obszarze próbkowania.

Przykładowo:

1. Wszyscy ludzie w wieku 18-25 lat

2. Wszyscy ludzie w wieku 18-25 w

Gliwicach

Trochę więcej o zmiennych
...



Możemy zatem powiedzieć, że zmienna
to cecha, która zmienia się u osobników
w jakiś określony sposób.



Cecha, która nie jest różnorodna nie
podlega zainteresowaniu statystyków.

Trochę więcej o zmiennych
...

Stałocieplność u ssaków nie jest
zmienną ponieważ wszystkie one
są stałocieplne.
Temperatura ciała poszczególnych
ssaków może być zmienną.

Trochę więcej o zmiennych
...

Zmienne

Zmienne

pomiarowe

Zmienn

e

rangow

e

Atrybut

y

Zmienne

ciągłe

Zmienne

dyskretne

Zmienne pomiarowe
(mierzalne)



Zmienne pomiarowe

to takie,

których różne wartości mogą być
uporządkowane numerycznie .



Mogą być wyrażone w skali
ilorazowej bądź przedziałowej.

Zmienne pomiarowe

Są dwie najważniejsze cechy

skali

ilorazowej

:



W całym zakresie skali jest ustalona, niezmienna
jednostka.



Zdefiniowany jest punkt zerowy, który ma
znaczenie fizyczne.

Cóż to oznacza?



Stała jednostka

:

Przykładowo, różnica wzrostu pomiędzy
osobąmi o wzrostach 166 cm i 167 cm
jst taka sama jak różnica pomiędzy
osobami 180 cm i 181 cm

.



Punkt zerowy

:

Pozwala na określenie stosunku dwóch
pomiarów. Możemy zatem powiedzieć, że 90
cm to połowa 180 cm.

Zmienne pomiarowe



Niektóre skale spełniają warunek stałej

jednostki, ale nie posiadają zera

fizycznego. Takie skale nazywamy

skalami przedziałowymi

.

Książkowym przykładem są skale temperatury: Celsius (ºC)

i Fahrenheit (ºF). Różnica temperatur pomiędzy 20ºC a

25ºC jest taka sama w sensie energetycznym jak różnica

pomiędzy 5ºC 10ºC. Jednak nie można powiedzieć, że

temperatura 40ºC jest dwukrotnością temperatury 20ºC;

punkt zerowy został zdefiniowany arbitralnie. (Takiego

problemu nie ma w przypadku stosowania skali Kelvina)

Zmienne pomiarowe



Niektóre skale, często stosowane w
biologii i medycynie, to skale
przedziałowe zwane

skalami

cyklicznymi.

Pora dnia, pora roku to przykłady takich skal. Okres
czasu pomiędzy 14:00 a 15:30 jest taki sam jak
pomiędzy 8:00 a 9:30. Nie możemy nic powiedzieć
o stosunku pór dnia.

Zmienne pomiarowe

Występują dwa typy zmiennych pomiarowych:



Zmienne ciągłe

teoretycznie przyjmujące

nieskończoną liczbę wartości pomiędzy dwoma

ustalonymi wielkościami.



Zmienne dyskretne

to zmienne, które

przyjmują wartości ze ściśle określonego,

skończonego zbioru wartości dopuszczalnych.

Ciągłe versus dyskretne

Ciągłe:



długość (cm, in), waga (mg, lb), powierzchnia

(sq cm, sq ft), objętość (ml, qt), prędkość

(cm/sec, mph, mg/min), czas trwania (hr, yr),

kąt (grad, rad), temperatura (º), procenty

Dyskretne:



Liczność (liści, fragmentów, zębów), liczba

potomków, liczba białych krwinek w 1mm

3

krwi, liczba żyraf u wodopoju, liczba jajeczke

złożonych przez konika polnego

Zmienne rangowe



Niektóre zmienne nie mogą być
dokładnie zmierzone, ale można
uporządkować ich poziomy rosnąco
lub malejąco. O takich danych mówi
się, że są przedstawione w

skali

porządkowej (rangowej)

, opisującej

bardziej relacje aniżeli ilościowe
różnice .

Zmienne rangowe



Wyrażając jakąś zmienną w skali rangowej,
jako ciąg wielkości 1, 2, 3, 4, 5 my nie
zakładamy, iż różnica pomiędzy rangami 1 i
2 jest taka sama (bądź proporcjonalna do)
jak różnica pomiędzy rangami 2 i 3.



Zmienne przedstawione w skali porządkowej
wnoszą znaczniej mniej informacji aniżeli
zmienne w skali ilorazowej bądź
przedziałowej.

Atrybuty



Zmienne, które nie mogą być

zmierzone, a jedynie wyrażone są

jakościowo nazywa się

atrybutami

a

skalę, w której są wyrażone nazywamy

skalą nominalną

(od słowa „name”).



Atrybuty to przykładowo takie cechy

jak: żywy/martwy, prawo-/leworęczny,

mężczyzna/kobieta, kolor oczu (zielony,

niebieski, szary, brązowy), kolor włosów

(czarne, brązowe, blond czy rude)

.

Wstępne przetwarzanie
danych

Kiedy dane zostały już zebrane w

konkretnym eksperymencie badawczym,
powinne być najpierw przedstawione w
postaci, któa jest użyteczna dla dalszych
obliczeń i interpretacji.

W pierwszym kroku najczęściej wykreśla się

wykresy częstościowe (histogramy)

oraz

wyznacza się tzw.

statystyki opisowe

.

Wykresy częstościowe



Ilościowe

Są to reprezentacje graficzne realizacji

zmiennych pomiarowych, zarówno

ciągłych jak i dyskretnych, oraz

zmiennych rangowych.



Jakościowe

Dotyczą tylko zmiennych typu atrybut.

Przykład

U 462 dzieci z terenu Górnego Śląska

została rozpoznana cukrzyca typu 1 na
przestrzeni lat 1989-1996.

Zebrano następujące dane:



Płeć dziecka (chłopiec/dziewczynka)



Numer kolejny dziecka w rodzinie



Rok urodzenia



Waga urodzeniowa

Przykład – Płeć

251

207

0

50

100

150

200

250

300

Female

Male

N

o

of

c

as

es

54.8

45.2

Female
Male

Można przedstawić dane w postaci zliczeń bądź
procentów

Przykład – numer dziecka

165

54

7

5

1

223

0

50

100

150

200

250

1st

2nd

3rd

4th

5th

6th

Child number in a family

N

o

of

c

as

es

165

67

223

0

50

100

150

200

250

1st

2nd

3rd or later

Child number in a family

N

o

of

c

as

es

Czasami zachodzi potrzeba przekodowania

danych

Zmienna dyskretna

Zmienna rangowa

Przykład – rok urodzenia

1315

30

43

29

52

4144

36

25252525

2021

1311

5 4 2 1

6

0

10

20

30

40

50

60

Birth year

N

o

of

c

as

es

102

137

86

66

29

8

34

0

20

40

60

80

100

120

140

160

75-77 78-80 81-83 84-86 87-89 90-92 93-96

Birth year

N

o

of

c

as

es

Grupowanie klas często pozwala uzyskać

bardziej spójny i regularny kształt wykresu.

Statystyki opisowe



Istnieje potrzeba zwięzłego podsumowania
danych w takiej postaci, która pozwoli na
ocenę i łatwą prezentację ich własności.
Wykresy częstościowe są taką formą.
Jednakże potrzebujemy również opisu w
formie liczb, które pozwoliłyby na zwięzły i
dokładny ilościowy opis własności
obserwowanego rozkładu częstości.
Nazywamy je

statystykami opisowymi

.

Statystyki opisowe

Definiuje się dwie podstawowe grupy

statystyk opisowych:



Statystyki położenia

(miary centralnej

tendencji) – określają położenie próbki w
przestrzeni reprezentującej analizowaną
zmienną losową.



Statystyki rozrzutu

(miary zmienności) –

oceniają rozrzut pomiarów wokół środka
dystrybucji.

Średnia arytmetyczna



Najszerzej używaną statystyką
położenia jest

średnia arytmetyczna

,

powszechnie nazywana średnią.

Każdy pomiar (realizacja zmiennej
lsowej) wchodzący w skłąd próby
oznaczamy jako X

i

. Indeks i jest liczbą

całkowitą przyjmującą wartości od 1
do N – całkowitej liczby osobników w
próbie.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna najczęściej oznaczana jest jako

N

X

X

N

i

i







1

X

Średnia ważona



Często występuje potrzeba wyznaczenia
wartości średniej średnich bądź innych
statystyk, których wiarygodność jest
różna z powodu np. różnych liczności
próbek. W takim przypadku trzeba
wyznaczyć

średnią ważoną

.











N

i

i

N

i

i

i

w

w

X

w

X

1

1

Przykład

W tym przypadku trzy wartości
średnie wyznaczono na
podstawie trzech prób o różnych
licznościach, ich średnia ważona
wynosi:

n

i

3.85 12

5.21 25

4.70

8

i

X

76

.

4

8

25

12

70

.

4

8

21

.

5

25

85

.

3

12



















w

X

i różni się od standardowej
średniej arytmetycznej

59

.

4

3

70

.

4

21

.

5

85

.

3









X

Średnia geometryczna



Często dokonuje się transformacji
zmiennej losowej wyliczając logarytmy
ich wartości. Jeśli wyliczymy średnią
arytmetyczną pomiarów po
transformacji i dokonamy transformacji
odwrotnej, to uzyskana liczba będzie
inna niż średnia arytmetyczna danych w
surowej postaci. Nazywa się ją

średnią

geometryczną

.

Średnia geometryczna

Ponieważ sumowanie logarytmów jest równoważne

logarytmowaniu iloczynu argumentów możemy tę

wielkość przedstawić jako

N

X

X

N

i

i

GM







1

log

log

N

N

i

i

GM

X

X







1

Średnia harmoniczna



Odwrotność średniej arytmetycznej
odwrotności pomiarów nazywana
jest

średnią harmoniczną

i

oznaczana jest najczęściej
symbolem H







N

i

i

H

X

N

X

1

1

1

1

Mediana



Mediana

M definiowana jest jako taka

wartość zmiennej (po uporządkowaniu
danych w szereg rosnący), że taka
sama liczba pomiarów jest od niej
większa i mniejsza.



Jeśli liczność próbki jest liczbą
nieparzystą, wówczas

2

/

)

1

( 



N

X

M

Mediana



Gdy N jest liczbą parzystą wtedy
wyrażenie (N+1)/2 nie jest liczbą
całkowitą – nie ma po prostu liczby
środkowej. Miast niej są dwie liczby
najbliższe środka, a mediana jest
wyznaczana jako średnia z nich:

2

/

)

(

1

2

2







N

N

X

X

M

Pozostałe kwartyle



Mediana jest jedną ze statystyk
porządkowych, dzielących dystrybucję
zmiennej losowej na równoliczne części.
Mediana dzieli ją na dwie połowy.

Kwartyle

, definiują przez analogię do

mediany punkty 25%, 50%, i 75%, tzn. są
to punkty dzielące dystrybucję na
pierwsza, drugą, trzecią i czwartą ćwiartkę
jej powierzchni. Zazwyczaj oznacza się je
jako Q

1

(dolny kwartyl), M (mediana), Q

3

(górny kwartyl).

Mode



Modę

zazwyczaj definiuje się jako pomiar

występujący najczęściej w analizowanym
zbiorze danych. Jednakże czasami lepiej
zdefiniować ją jako pomiar o istotnie
większej koncentracji/częstości
występowania od pozostałych.



W niektórych przypadkach może
występować więcej niż jeden punkt
koncentracji.

Przykład



Załóżmy, iż próba składa się z następujących
pomiarów: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10,
11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, i 14 mm.

0

1

2

3

4

5

6

7

N

o

o

f

in

d

iv

id

u

a

ls

6

7

8

9 10 11 12 13 14

length [mm]

Główna moda

Moda oboczna

Rozkład dwumodalny

Uwagi

Uwagi



Średnia arytmetyczna jest najczęściej
stosowaną statystyką położenia, jednak
jest bardzo wrażliwa na wartości odstające
(istotnie różne od pozostałych), podczas
gdy mediana i moda są nań odporne.



W przypadku symetrycznego i
jednomodalnego rozkładu zmiennej
losowej średnia arytmetyczna, mediana i
moda są sobie równe.

Miary rozrzutu - zakres



Zakres

jest miarą, która ukazuje

zmienność/rozrzut pomiarów zmiennej.

i

N

i

i

N

i

X

X

Range

,...,

1

,...,

1

min

max











Jest silnie wrażliwy na pojedyncze
wielkości odstające i z tego
powodu może być traktowany
jedynie jako zgrubna ocena
zmienności pomiarów.

Przedział
międzykwartylowy



Odległość pomiędzy Q

1

a Q

3

, pierwszym

i trzecim kwartylem (inaczej 25-tym i
75-tym percentylem) jest nazywana

przedziałem międzykwartylowym

albo

odchyleniem kwartylowym.

1

3

Q

Q

IQR





Średnie odchylenie



Ponieważ średnia jest użyteczną miarą
położenia, wielkość mierząca odchyłki od
średniej wyrażać będzie zmienność
pomiarów w próbie.



Suma wartości absolutnych odchyłek od
wartości średniej podzielona przez liczność
próby N daje w wyniku statystykę
nazywaną

średnim odchyleniem (AD)

N

X

X

AD

N

i

i









1

Wariancja



Alternatywnym sposobem pomiaru odchyleń
od wartości średniej jest posługiwanie się
kwadratem odległości a nie wartością
absolutną. Ich suma jest bardzo ważną
wielkością w statystyce, nazywaną

sumą

kwadratów

(SS).

Wariancja

jest średnią

kwadratów odchyleń.





1

1

1

1

2

1

2

1

2





































N

X

N

X

N

X

X

Var

N

i

N

i

i

i

N

i

i

Odchylenie standardowe



Odchylenie standardowe

jest dodatnim

pierwiastkiem wariancji; dzięki temu
wyrażany jest w oryginalnych
jednostkach zmiennej losowej.





1

1

2











N

X

X

s

N

i

i

Przykład

Współczynnik zmienności



Zarówno wariancja jak i odchylenie

standardowe przyjmują wartości ściśle

zależne od poziomu pomiarów.



Słonie mają uszy, których wielkość jest

około stukrotnie większa od uszu myszy.

Tym samym odchylenie standardowe będzie

(zakładając podobną zmienność osobniczą

w grupie słoni i myszy) liczbowo stukrotnie

większe w grupie słoni w odniesieniu do

myszy. A ich wariancja będzie 100

2

razy

większa.

Współczynnik zmienności



Współczynnik zmienności (CV)

wyraża

zmienność pomiarów w ramach próbki
odniesioną do średniej arytmetycznej
próbki

%

100





X

s

CV

Wskaźniki różnorodności



Dla zmiennych wyrażanych w skali
nominalnej (atrybuty) nie istnieje
pojęcie średniej czy mediany, które
byłby odniesieniem dla pomiaru
rozrzutu. Możemy jednak przenieść
ideę różnorodności dla dystrybucji
obserwacji w ramach
poszczególnych kategorii.

Wskaźniki różnorodności



Najczęściej stosowanym wskaźnikiem
różnorodności jest entropia

Shannona-

Wienera

definiowana jako:



gdzie k jest liczbą kategorii,
natomiast p

i

jest częścią

obserwacji zakwalifikowanych do
kategorii i.









k

i

i

i

p

p

H

1

log

Wskaźniki różnorodności



Jeśli N jest licznością próby, a f

i

liczbą obserwacji dla kategorii i, to

N

f

p

i

i



więc

N

f

f

N

N

H

k

i

i

i









1

log

log

Przykład

2990

.

0

458

)

207

log

207

251

log

251

(

458

log

458

H









Wskaźniki różnorodności



Zdefiniujmy maksymalną entropię jako

k

N

f

i



i

k

H

log

max



Możemy zatem wyrazić
obserwowaną entropię jako część
maksymalnej możliwej – nazywa
się ją wówczas

relatywnym

wskaźnikiem różnorodności

.

max

H

H

J 

Przykład

65

45

12

51

0

10

20

30

40

50

60

70

Black

Brown

Blonde

Red

Hair color - Italian

N

o

of

c

as

es

34

169

15

11

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Black

Brown

Blonde

Red

Hair color - Swedish

N

o

of

c

as

es

5486

.

0



H

60

.

0



J

9112

.

0



J

3612

.

0



H