Rozkład dwumianowy –
Rozkład dwumianowy –
Bernoulliego i zmienna
Bernoulliego i zmienna
losowa
losowa
Rozkład dwumianowy –
Rozkład dwumianowy –
Bernoulliego i zmienna
Bernoulliego i zmienna
losowa
losowa
Rozkład dwumianowy – definicja
Rozkład dwumianowy – definicja
1
1
Rozkład dwumianowy polega na przeprowadzeniu n jednakowych,
niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się
„sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” z
prawdopodobieństwem q=1-p. Prawdopodobieństwo pojawienia się
sukcesu jest jednakowe w każdym z kolejnych doświadczeń. Zmienną
losową w tym eksperymencie jest zdarzenie polegające na pojawieniu
się k liczby sukcesów w n próbach, przy czym
k<0, n>.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Zadanie 1
Zadanie 1
Rzucamy raz sześcienną kostką .Niech zmienna losowa X oznacza ilość
wyrzuconych oczek.
Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X.
Zadanie 2
Zadanie 2
Mamy trzy pojemniki typu A1 , dwa pojemniki typu A2 i pięć
pojemników typu A3. Pojemniki typu A1 zawierają 12 białych kul, 3
zielone, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu A2 zawierają 3 białe kule,
12 zielonych, 4 czarne i 1 niebieską. Pojemniki typu A3 zawierają 4
białe kule, 3 zielone, 12 czarnych i 1 niebieską. Losujemy ze zwrotem
(zwracamy wylosowaną kulę do pojemnika z którego została wyjęta) 5
kul.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania 2 kul zielonych.
Zadanie 2 cd.
Zadanie 2 cd.
Losowanie odbywa się ze zwrotem, więc mamy do czynienia z
doświadczeniami niezależnymi. Łatwo ustalamy, że
prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu (wylosowania kuli zielonej)
obliczymy stosując wzór na prawdopodobieństwo całkowite
24
,
0
20
3
10
5
20
12
10
2
20
3
10
3
p
76
,
0
1
p
q
A zatem
Zadanie 2 cd.
Zadanie 2 cd.
Stosujemy wzór Bernoulliego
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
253
,
0
439
,
0
0576
,
0
10
)
76
,
0
(
)
24
,
0
(
2
5
3
2
2
,
5
P
Zadanie 3 cd…
Zadanie 3 cd…
W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem
1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana
pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy – 2).
Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo
prawdopodobne. Niech zmienna losowa X oznacza wartość wygranej.
Wyznacz funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.
Zadanie 4
Zadanie 4
Z akt firmy ubezpieczeniowej wynika, że 30 % posiadaczy polis, którzy
przekroczyli 50 lat, zgłasza roszczenia w ciągu jednego roku. Wybrano
losowo pięciu posiadaczy polis mających powyżej 50 lat. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że:
1) roszczenia zgłosi dokładnie dwóch posiadaczy,
2) nie więcej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia,
3) co najmniej trzech z nich zgłosi roszczenia w ciągu nadchodzącego,
4) mniej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia.
Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim
rozkładzie.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Zadanie 4 cd…
Zadanie 4 cd…
0024
,
0
1
00001
,
0
1
1
0024
,
0
)!
0
5
(
!
0
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
5
(
028
,
0
9
,
0
0001
,
0
5
7
,
0
0081
,
0
)!
1
5
(
!
1
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
4
(
13
,
0
81
,
0
001
,
0
2
1
3
2
1
5
4
3
2
1
49
,
0
027
,
0
)!
3
5
(
!
3
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
3
(
30
,
0
73
,
0
01
,
0
3
2
1
2
1
5
4
3
2
1
34
,
0
09
,
0
)!
2
5
(
!
2
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
2
(
36
,
0
24
,
0
3
,
0
5
24
,
0
3
,
0
)!
1
5
(
!
1
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
1
(
17
,
0
17
,
0
1
1
17
,
0
1
)!
0
5
(
!
0
!
5
)
7
,
0
(
)
3
,
0
)(
(
)
0
(
0
5
5
5
1
4
5
4
2
3
5
3
3
2
5
2
4
1
5
1
5
0
5
0
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
1) roszczenia zgłosi dokładnie dwóch posiadaczy,
2) nie więcej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia,
3) co najmniej trzech z nich zgłosi roszczenia w ciągu nadchodzącego,
4) mniej niż trzech posiadaczy zgłosi roszczenia.
Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim
rozkładzie.
Zadanie 4 cd…
Zadanie 4 cd…
Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:
.
5
1
,
5
4
998
,
0
,
4
3
97
,
0
,
3
2
84
,
0
,
2
1
53
,
0
,
1
0
17
,
0
,
0
0
)
(
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
Zadanie 5
Zadanie 5
Lek „Prostamol Uno”, którego skuteczność oceniono na 75%
zastosowano w grupie 4 losowo wybranych chorych. Obserwację
działania tego specyfiku w tej grupie można zapisać w następujący
sposób: niech X=k, gdzie k jest liczbą wyleczonych osób. Oblicz jakie
jest prawdopodobieństwo, że zostanie wyleczonych:
• Dokładnie dwie osoby,
• Co najmniej 3 osoby,
• Nie więcej niż 2 osoby.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
• Dokładnie dwie osoby,
• Co najmniej 3 osoby,
• Nie więcej niż 2 osoby.
Wyznacz średnią oraz odchylenie standardowe w odpowiednim
rozkładzie.
Zadanie 5 cd…
Zadanie 5 cd…
Dystrybuanta zmiennej losowej X przyjmuje więc postać:
F(0) = 0,004
F(1) = 0,004 + 0,047 = 0,051
F(2) = 0,004 + 0,047 + 0,211 = 0,262
F(3) = 0,004 + 0,047 + 0,211 + 0,422 = 0,316
F(4) = 0,004 + 0,047 + 0,211 + 0,422 + 0,316 = 1
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
dla
x
F
4
1
,
4
3
684
,
0
,
3
2
262
,
0
,
2
1
051
,
0
,
1
0
004
,
0
,
0
0
)
(
Zadanie 5 cd…
Zadanie 5 cd…
a) p=0,10
b) p=0,25
c) p=0,50
d) p=0,75
e) p=0,90
Rozkład jest tym bardziej asymetryczny (prawostronnie lub lewostronnie),
im bardziej odbiega od wartości 0,5 prawdopodobieństwo „sukcesu” p (odpowiednio
poniżej 0,5, lub powyżej 0,5). Gdy p = 0,5. rozkład jest symetryczny
Zadanie 6
Zadanie 6
Na osiedlu znajdują się 4 sklepy spożywcze. Prawdopodobieństwo
zamknięcia każdego z nich z powodu choroby pracowników wynosi
0,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
• Będzie otwarty tylko jeden sklep,
• Otwartych będzie co najwyżej dwa sklepy,
• Otwartych będzie co najmniej 2 sklepy.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów
Zadanie 7
Zadanie 7
Stwierdzono, że 40% Polaków korzysta z ROR. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że spośród 10 klientów robiących zakupy:
(1)5 klientów zapłaci czekiem,
(2)nie mniej niż 2 zapłaci czekiem,
(3)żaden nie zapłaci czekiem,
(4)wszyscy zapłacą czekiem.
(5)Oblicz średnią liczbę klientów płacących czekiem. Sporządź wykresy
rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuanty.
k
n
k
k
n
k
n
k
p
p
k
n
k
n
p
p
k
X
P
)
1
(
)!
(
!
!
)
1
(
)
(
gdzie:
k = 1, 2, 3, ..., n - liczba wystąpienia „sukcesów”
n – liczba doświadczeń
p – prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesów