TWIERDZENIE 

TALESA

Zastosowanie w 

matematyce i życiu 

codziennym

      

Tales     z   

Miletu

Był on gr. filozofem i matematykiem. 

Uważany był za jednego z siedmiu mędrców 

czasów starożytnych i za ojca nauki 

greckiej. Być może ze względu na jego 

wielostronne zainteresowania. Jeden z 

twórców jońskiej teorii filozofii przyrody. 

Zapoczątkował poszukiwanie pierwszej 

zasady w filozofii. Interesował się 

astronomią i matematyką, dowodem na to 

jest np.: przewidzenie przez Talesa 

zaćmienia słońca, które miało miejsce w dn. 

18 maja 585 roku.
Tales założył jońską szkołę filozofii przyrody, 

był aktywny politycznie i gospodarczo 

szczególnie w stosunku do Babilonu, Egiptu 

i Fenicji. Zasady geometrii przyswoił sobie 

będąc w Egipcie, tam obliczył wysokość 

piramid za pomocą ich cienia. 

Przypisuje mu się 

następujące    odkrycia:

• o przepołowieniu koła przez średnicę,
• dwa kąty przy podstawie trójkąta 

równoramiennego są równe,

• jeżeli dwie linie proste przecinają się, 

przeciwległe kąty są równe,

• kąt wpisany w półkole jest kątem 

prostym

• trójkąt jest określony, jeżeli dana jest 

jego podstawa i kąty przy podstawie.

Tales jako filozof

W zakresie filozofii Tales stworzył ogólną zasadę z której 

powstała wszelka natura, nosiła ona miano „arche”. Wg 

niego była to woda. Woda jest przyczyną wszelkiego 

życia. Ziemia pływa na wodach oceanu. Woda w jego 

kosmologii odgrywała rolę wiecznej substancji nadającej 

żywotność wszelkiej materii.

Nie uznawał on bogów mitologicznych. W jego 

racjonalistycznych koncepcjach nie było na to miejsca. 

Interpretacja świata była świecka: sztormów morskich 

nie powodował Posejdon, ale wiatry.

Platon wspomina anegdotę dotyczącą Talesa, który jakoby 

poszedł wraz ze służącą obserwować w ciemności 

gwiazdy. Nie spostrzegł on dołu, wpadł do niego i potłukł 

się. Pomocnica zaś miała mu dogryźć, iż chciał zobaczyć, 

co się dzieje na niebie, a nie dostrzegł, co znajduje się 

pod jego nogami.

proporcje

Proporcja – równość dwóch stosunków 

postaci

                                    lub

W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami 

skrajnymi, b i c – środkowymi.

Własności proporcji

•Podstawowa własność 

proporcji mówi, 

że iloczyn wyrazów 

skrajnych jest równy 

iloczynowi wyrazów 

środkowych.

Treść 

Twierdzenia    

 Talesa

Jeżeli 
ramiona kąta przec
ięte są prostymi 
równoległymi, 
to odcinki 
wyznaczone przez 
te proste na jednym 
ramieniu kąta, 
są proporcjonalne 
do odpowiednich 
odcinków na 
drugim ramieniu 
kąta.

A TAK WYGLĄDA RYSUNEK 

OZNACZONY POJEDYNCZYMI 

LITERAMI

• Jeżeli k || l, 

to:  a:b = c:d ,   a:c = b:d ,   a:
(a+b)=x:y, c:(c+d)=x:y

KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ 

ODCINKA NA RÓWNE 

CZĘŚCI

Zaczynamy od narysowania 
półprostej k zaczynającej się w 
jednym z końców odcinka AB.

KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ 

ODCINKA NA RÓWNE 

CZĘŚCI

Teraz cyrkiel rozstawiamy na dowolną 
rozwartość. Stawiamy nóżkę cyrkla na 
złączeniu odcinka AB i półprostej k (tutaj 
punkt A) i zaznaczamy odległość na 
półprostej k. Tak powstaje punkt M.

KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ 

ODCINKA NA RÓWNE 

CZĘŚCI

Dalej, nie zmieniając rozwartości cyrkla, stawiamy nóżkę w 
punkcie M i odmierzamy ponownie odległość na półprostej k. 
Powstaje punk N. Całość powtarzamy tyle razy, na ile części 
musimy podzielić odcinek. Nasz dzielimy na 3 części. Dwie już 
mamy odmierzone, więc zaznaczamy jeszcze jedną stawiając 
nóżkę cyrkla w punkcie N. Powstaje punkt L.

KONSTRUKCYJNY PODZIAŁ 

ODCINKA NA RÓWNE 

CZĘŚCI

Rysujemy prostą przechodzącą 
przez ostatni zaznaczony punkt i 
drugi koniec odcinka (tutaj punkty 
L i B).

KONSTRUKCYJNYPODZIAŁ 

ODCINKA NA RÓWNE 

CZĘŚCI

Rysujemy proste równoległe do tej 
pierwszej, przechodzące przez wyznaczone 
wcześniej punkty (tutaj N i M)

Twierdzenie  odwrotne do 

twierdzenia  Talesa

   Jeżeli ramiona kąta przecięte są 

kilkoma prostymi i stosunki 
długości odcinków na jednym 
ramieniu kąta równe są 
stosunkom długości 
odpowiednich odcinków na 
drugim ramieniu kąta, to te 
proste są równoległe.

Odcinki  
proporcjonalne

Jeżeli narysujemy kąt 

np.: ostry i ramiona 

tego kąta przetniemy 

dwoma prostymi 

równoległymi to 

długości odcinków 

wyznaczonych przez te 

proste na jednym 

ramieniu kata są 

proporcjonalne do 

długości odpowiednich 

odcinków na drugim 

ramieniu. A co to 

znaczy proporcjonalne? 

To znaczy, że zachodzi 

proporcja pomiędzy ich 

długościami ( AB do 

BC, ma się tak jak AD 

do DE). 

Zastosowanie 
twierdzenia Talesa

Twierdzenie (o 

odcinku 

łączącym
środki boków 

trójkąta):

W każdym 

trójkącie 

odcinek łączący 

środki dwóch 

boków jest 

równoległy do 

trzeciego boku i 

równy jego 

połowie.

A’

B’

Zastosowanie 
twierdzenia 
Talesa

•  Biorąc krótki przedmiot, np. 

kij o znanej długości "A", 

stawiamy go pionowo i 

mierzymy jego cień "B", oraz 

cień "C" rzucany przez 

drzewo. Z twierdzenia szybko 

ustalimy iż wysokość drzewa 

"D" wyliczymy z proporcji: 

D:A = C:B

• Możemy też  doczekać chwili, 

w której  cień kija "B" będzie 

równy jego wysokości. 

Zgodnie z twierdzeniem 

Talesa w tym samym czasie 

cień "C" drzewa będzie równy 

jego wysokości "D". Według 

tego rozumowania 

wystarczyło tylko, właśnie w 

tym momencie, zmierzyć 

długość cienia na odcinku "C" 

by poznać wysokość drzewa.

Jak zmierzyć 
wysokość drzewa nie 
wchodząc na nie?

Zastosowanie 
twierdzenia 
Talesa

Pomiar odległości 
statku od brzegu
Nieco inne 
rozumowanie pozwala 
obliczyć odległość 
statku znajdującego 
się na morzu.  Z 
wniosku z twierdzenia 
Talesa mamy: (|A′A|
+x):|B′A′| = x:|BA| 
skąd x=|A′A|·|BA|:(|B′A
′|- |BA|).
Mierząc długości 
odcinków 
występujących w tej 
równości 
wyznaczamy x.

Linia brzegu

Wykonała :
                  Martyna Gawryś
                  uczennica klasy III
             Publicznego Gimnazjum  
                       w Klwowie