GRAFIKA

KOMPUTEROWA

Opracowanie: Daniel Jaroszewski

Źródło: „Grafika Komputerowa – metody i narzędzia”

Redakcja: Jan Zabrodzki, WNT Warszawa

LITERATURA

• „Elementy grafiki komputerowej”

. M. Jankowski, WNT

• „Grafika komputerowa, metody i narzędzia”.

J.Zabrodzki, WNT

• „Projektowanie i analiza algorytmów”.

A.V. Aho, J.E.Hopcroft,

J.D.Ullman, PWN

• „Wprowadzenie do grafiki komputerowej”.

I.O.Ahgell, WNT

• „Psychologiczne aspekty przetwarzania informacji wizualnej”.

J.Modłowski, WNT

• „Operacje w przestrzeniach kolorów dla potrzeb cyfrowej

generacji obrazu”

. J.Rzeszut, Politechnika Warszawska.

WSTĘP

Data narodzin grafiki komputerowej - rok

1950

, kiedy w

Massachusetts Institute of Technology zbudowano pierwszy komputer
wyposażony w grafoskop.

Rozpoznawanie

Przetwarzanie

Grafika komputerowa

Wyodrębnienie
istotnych informacji
zawartych w obrazie

Przetwarzanie

istniejącego obrazu

w inny z

wykorzystaniem

różnych

algorytmów

Synteza obrazów

metodami

cyfrowymi

OBRAZ

Historycznie, prace związane z obrazem rozwijały się w informatyce w
trzech podstawowych kierunkach:

KLASYFIKACJA GRAFIKI KOMPUTEROWEJ

GRAFIKA KOMPUTEROWA

DWUWYMIAROWA

TRÓJWYMIAROWA

RASTROWA

WEKTOROWA

FOTOREALISTYCZNA

CZASU RZECZYWISTEGO

Ze względu na technologię tworzenia grafiki

GRAFIKA RASTROWA

Obraz

grafiki rastrowej

jest plikiem

reprezentującym pionowo-poziomą
siatkę odpowiednio kolorowanych
pikseli na monitorze komputera,
drukarce lub innym urządzeniu
wyjściowym.

Kolor każdego piksela jest definiowany
osobno. Obrazki z głębią kolorów RGB
często składają się z kolorowych
pikseli zdefiniowanych przez trzy bajty
– jeden bajt na kolor czerwony, jeden
na zielony i jeden na kolor niebieski.

Mniej kolorowe obrazki potrzebują
mniej informacji na piksel, np. obrazek
w kolorach czarnym i białym wymaga
tylko jednego bitu na każdy piksel.

GRAFIKA WEKTOROWA

Grafika wektorowa (obiektowa)

–

jeden z dwóch podstawowych rodzajów
grafiki komputerowej, w której obraz
opisany jest za pomocą figur
geometrycznych.

Obrazy wektorowe można łatwo
przetwarzać w ich odpowiedniki
rastrowe podając jedynie docelową
rozdzielczość obrazu rastrowego.

Operacja konwersji w przeciwną stronę,
tzw.

wektoryzacja

lub trasowanie, jest

trudna i niejednokrotnie nie daje
spodziewanych wyników. Głównym
problemem jest tzw. wyszukiwanie
krawędzi, które często nie jest
oczywiste.

GRAFIKA FOTOREALISTYCZNA I CZASU

RZECZYWISTEGO

•wykorzystywana w grach

komputerowych i systemach czasu

rzeczywistego

•niewielka złożoność obrazu
•uproszczone tekstury
•prymitywny model oświetlenia
•szybkie, sprzętowo wspomagane

algorytmy renderowania

•długi czas generowania obrazu
•zaawansowane algorytmy

odwzorowania oświetlenia

•złożone modele, odwzorowanie

szczegółów i detali

•wykorzystywana w wysokiej

klasy

wizualizacjach

•podstawa współczesnych

efektów

specjalnych w

filmie

CZYM JEST GRAFIKA KOMPUTEROWA DZIŚ

Obszar zainteresowań współczesnej grafiki komputerowej:

• prezentacja danych w postaci różnego rodzaju wykresów
• animacja na potrzeby filmów rysunkowych i gier komputerowych
• oprogramowanie interakcyjne przy realizacji systemów okien
• prace edytorskie
• prezentacja wyników złożonych obliczeń i eksperymentów

naukowych

• medycyna
• systemy projektowania
• produkcja reklam
• przemysł rozrywkowy
• tworzenie złożonych systemów czasu rzeczywistego na potrzeby

symulatorów lotu

• symulacja sztucznej rzeczywistości - okulary stereoskopowe, czujniki

umożliwiające interaktywną pracę z systemem

CZYM JEST GRAFIKA KOMPUTEROWA DZIŚ

Zagadnienia grafiki komputerowej:

• Percepcja obrazów przez człowieka

. Metody algorytmiczne oraz

rozwiązania sprzętowe muszą uwzględniać możliwości percepcji
wzrokowej człowieka w aspekcie budowy i działania oka, jak i
psychofizycznej interpretacji informacji przez wyższe warstwy
systemu wzrokowego.

• Barwa

. Modele barw stosowane w grafice komputerowej oraz zasady

wykonywania podstawowych operacji dotyczących wyznaczania
barwy piksela.

• Algorytmy tworzenia sceny

. Algorytmy rastrowe, podstawowe

przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Reprezentacja obiektów graficznych, modelowanie krzywych i
powierzchni. Algorytmy wyznaczania linii i powierzchni zasłoniętych.

• Modele oświetlenia

. Jednym z podstawowych elementów

definiującym scenę trójwymiarową jest określenie warunków
oświetlenia oraz właściwości powierzchni oświetlanych obiektów.

• Wizualizacja

. Metody wizualizacji sceny przy wielokątowej

reprezentacji obiektów, metoda śledzenia promieni i metoda
energetyczna. Pokrywanie powierzchni teksturą - wzorem
wyznaczonym analitycznie, pochodzącym ze zdjęcia lub
wyznaczonym w inny sposób.

CZYM JEST GRAFIKA KOMPUTEROWA DZIŚ

Zagadnienia grafiki komputerowej:

• Obrazy stereoskopowe

. Widzenie stereoskopowe, zasady tworzenia

obrazów stereoskopowych, techniczne metody obserwacji takich
obrazów.

• Animacja

. Sięganie do metod modelowania z innych dziedzin (fizyka,

mechanika, biologia, itd.). Automatyzacja procesu generowania
sekwencji animowanych.

• Sprzęt dla potrzeb grafiki komputerowej

. Architektura sprzętu

obliczeniowego dla potrzeb grafiki. Specjalizowane układy scalone
VLSI: procesory graficzne, specjalizowane pamięci oraz przetworniki
cyfrowo-analogowe. Zasady budowy kart graficznych oraz
charakterystyka stacji graficznych - urządzeń projektowanych
specjalnie do zastosowań graficznych.

• Reprezentacja i struktury danych

. Modelowanie geometryczne,

reprezentowanie obiektów geometrycznych i struktury danych
stosowane w systemach graficznych.

• Biblioteki graficzne

. Biblioteki procedur o różnym poziomie

złożoności - ważne dla programistów zajmujących się
zastosowaniami z zakresu grafiki.

• Kompresja i standardy

. Metody kompresji obrazów i sekwencji video.

Standardy obowiązujące i przyjęte de facto (praktyka wyprzedza
prace standaryzacyjne).

URZĄDZENIA

WYŚWIETLAJĄCE

WYŚWIETLACZ CRT

Chronologicznie pierwszym i wciąż jeszcze najbardziej
rozpowszechnionym urządzeniem wyświetlającym jest

lampa

elektronopromieniowa CRT

Spośród wszystkich typów wyświetlaczy najbardziej nadaje się do
wyświetlania obrazów barwnych.
Osiągane rozdzielczości dochodzą do 4096x3300 dla obrazów czarno-
białych oraz do 2048x2048 dla obrazów kolorowych.

Schemat budowy lampy elektropromieniowej

Wyrzutnia
elektrono
wa

Obszar
formowania
wiązki

Obszar
ogniskowania

Układ odchylania

Ekran

Luminofo
r

Wiązka
elektronowa

Zmiana

jasności

plamki

regulowana jest
poprzez zmianę
prądu
anodowego.

Czas poświaty:

10..60s

Napięcie
anodowe:

15..20kV

STEROWANIE WYŚWIETLACZEM

WEKTOROWYM

Najprostszy sposób sterowania stosowany jest w

lampach

wektorowych

, w których obraz składa się wyłącznie z odcinków

kreślonych plamką o stałej jasności. Możliwe są do uzyskania
rozdzielczości 8000x8000 punktów.

Wyświetlenie odcinka polega na:
- ustawieniu zespołów odchylających tak, aby położenie plamki
odpowiadało początkowi odcinka,
- włączeniu prądu w obwodzie anodowym,
- zmianie sterowania zespołami odchylającymi w sposób
zapewniający liniowe przesuwanie się plamki, aż do osiągnięcia
punktu końcowego odcinka,
- wyłączeniu prądu w obwodzie anodowym.

Częstotliwość odnawiania zależy od złożoności obrazu (ilość
odcinków). Przy zbyt małej częstotliwości odnawiania pojawia się
migotanie obrazu. Częstotliwość zaniku migotania CFF zależy od
warunków obserwacji, przyjmuje się że jest to wartość nie mniejsza
niż 20Hz.
W najszybszych systemach można w ten sposób wyświetlić ponad 100
000 odcinków.

STEROWANIE WYŚWIETLACZEM

RASTROWYM

Wyświetlanie obrazu rastrowego wiąże się z systematycznym
przemiataniem wiązką elektronową kolejnych linii ekranu. Po
zakończeniu wyświetlania każdej linii plamka jest wygaszana na czas
potrzebny do przejścia do linii następnej (

powrót poziomy

). Po

wyświetleniu ostatniej linii plamka jest przesuwana do pierwszej linii
(

powrót pionowy

). Częstotliwość odnawiania ekranu nie zależy od

stopnia złożoności ekranu.

Zasada wyświetlania obrazu rastrowego

Powrót
poziomy

Powrót
pionowy

Oprócz przeglądania kolejnych linii
rastra, możliwe jest

wybieranie

międzyliniowe

. Obraz zestawiany

jest z linii parzystych i
nieparzystych wyświetlanych w
osobnych przebiegach.

Produkowane obecnie monitory potrafią automatycznie dostosowywać
impulsy synchronizacji do wyświetlanych rozdzielczości ekranu.
W monitorach mogących wyświetlać rozdzielczości 1280x1024 pikseli
częstotliwość odchylania pionowego wynosi 72Hz, a poziomego
64kHz.
Częstotliwośc przełączania pikseli wynosi, w tym przypadku ok.
100MHz.

WYŚWIETLACZ MONOCHROMATYCZNY CRT

W wyświetlaczu

monochromatycznym

barwa obrazu zależy od

zastosowanego luminoforu. Najczęściej stosuje się materiały
emitujące światło zielone, bursztynowe i zbliżone do białego. Zakres
zmian jasności plamki zależy od reprezentacji pikseli w pamięci i
dochodzi do 4096 (zdjęcia rengenowskie).
Wielkość ekranu określana jest przez podanie długości przekątnej
ekranu podawanej w calach. Stosunek długości boków ekranu wynosi
zazwyczaj 4:3, a w zastosowaniach specjalnych (np. poligraficznych)
1:1 i 3:4.

Płaski ekran eliminuje
wpływ odbić, zwiększa
także różnice odległości
punktów ekranu od
zespołu ogniskującego.
Spłaszczenie ekranu
wymaga dynamicznej
korekcji ogniskowania
lub zmian powodujących
wydłużenie krzywizny
ekranu bez zmiany
długości lampy.

Schemat powstawania odblasków

WYŚWIETLACZ KOLOROWY CRT

Wyświetlanie obrazów

kolorowych

wymaga zastosowania luminoforów

emitujących światło o różnych długościach fali. Mieszanie
emitowanego światła ma charakter addytywny, a jako podstawowe
zostały wybrane barwy: czerwona (

), zielona (

), i niebieska (

lampach penetracyjnych

luminofory są nałożone na całej

powierzchni ekranu. Dotarcie do głębszej warstwy wymaga większej
energii wiązki.
Znacznie powszechniejszą metodą jest nakładanie luminoforu w
postaci regularnie rozmieszczonych obszarów. Aby właściwie pobudzić
ekran należy zastosować trzy wiązki elektronów - oddzielnie dla
każdej z barw składowych.

- Technologia

delta

: wyrzutnie elektronów umieszczone są w

wierzchołkach trójkąta, a luminofor nanoszony jest w postaci kropek
tworzących triady.
- Technologia

(In-Line): wiązki usytuowane są w jednej linii, a

luminofor

nanoszony jest w postaci pionowych pasków. Taka

konstrukcja zapewnia lepszą zbieżność wiązek.

WYŚWIETLACZ KOLOROWY CRT

Rozdzielenie barw osiąga się dzięki zastosowaniu tzw.

maski

, czyli

cienkiej blachy stalowej z precyzyjnie wywierconymi otworami. Maska
jest umieszczona blisko powierzchni luminoforu, w taki sposób aby
każda wiązka pobudzała wyłącznie luminofor jednej barwy. Odległość
pomiędzy sąsiednimi obszarami jednego rodzaju określa

rozdzielczość

wyświetlacza i sięga 0,21mm.

Maska

Ekran
pokryty
luminoforem

WYŚWIETLACZ CIEKŁOKRYSTALICZNY

Najpoważniejszą konkurencję dla monitorów CRT stanowią

wyświetlacze ciekłokrystaliczne

(LCD).

Ciekłe kryształy

- to nazwa grupy substancji, których właściwości nie

odpowiadają żadnemu ze znanych stanów skupienia. Cząstki
podlegają samoistnemu uporządkowaniu - podobnie jak w kryształach,
natomiast konsystencją przypominają, na ogół, ciecz.

Wyświetlacze ciekłokrystaliczne są płaskie (nie występują problemy
krzywizny ekranu), tanie, lekkie i pobierają niewiele energii. Wadami
tych urządzeń były do niedawna niski kontrast i jasność, ograniczona
rozdzielczość i kąt obserwacji.

W najprostszym przypadku wyświetlacz LCD jest zbudowany z dwóch
przezroczystych polaryzatorów z naniesionymi elektrodami,
oddzielonych warstwą ciekłego kryształu. Specjalna mikroobróbka
sprawia, że najdogodniejszym, energetycznie, ułożeniem cząstek w
krysztale jest struktura taśmy skręconej pod kątem 90 stopni.
W takim stanie kryształ jest optycznie czynny, tzn. powoduje zmianę
polaryzacji światła.

WYŚWIETLACZ CIEKŁOKRYSTALICZNY

Światło bez
większych strat
odbija się w
warstwie
odblaskowej i
powraca do
obserwatora,
powodując wrażenie
jednolitej,

szarej

barwy

Odbicie

Pochłanianie

Polaryzator

Odbłyśnik

Cząsteczki

Światło
zewnętrzn
e

Ilustracja działania wyświetlacza ciekłokrystalicznego TN

Doprowadzenie
napięcia do elektrod
powoduje zmianę
uporządkowania
cząstek.
Spolaryzowana
cząstka dociera bez
zmian do tylnej
ścianki, gdzie jest
pochłaniana.
Efektem jest

zaczernienie

punktu

wyświetlacza.

WYŚWIETLACZ CIEKŁOKRYSTALICZNY

Prezentowana dotychczas technologia nosi oznaczenie

Dopóki liczba wyświetlanych segmentów jest niewielka (mała
rozdzielczość obrazu), dopóty można nimi sterować bezpośrednio. Przy
większej rozdzielczości zachodzi potrzeba sterowania segmentami
wyświetlacza z

podziałem czasu

(każda z N grup jest pobudzana przez

1/N czasu). Mimo znacznej bezwładności ciekłego kryształu powoduje
to zmniejszenie kontrastu obrazu.

Kontrast obrazu (dodatkowo zmniejszany przez odbicia w
poszczególnych warstwach wyświetlacza) wynosi tylko 10:1, natomiast
użyteczny kąt obserwacji nie przekracza ±20 stopni.

WYŚWIETLACZ CIEKŁOKRYSTALICZNY

W celu polepszenia parametrów wyświetlaczy ciekłokrystalicznych LCD
zwiększono kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji z 90 do 180..270
stopni. Ta technologia uzyskała oznaczenie

STN

. Te zabiegi zwiększyły

kontrast obrazu do wartości 20:1 oraz kąt obserwacji do ±40 stopni.
Technologia ta wymaga podświetlania ekranu.

Warstwa STN w różny sposób
skręca płaszczyznę polaryzacji
poszczególnych składowych
przechodzącego przez nią światła,
wskutek czego czarne znaki są
wyświetlane na żółtym tle. W celu
zneutralizowania barwy tła są
stosowane kompensatory optyczne,
zawierające odwrotnie skręcony
ciekły kryształ. Umożliwia to
uzyskanie obrazu o podwojonym
kontraście i kącie obserwacji rzędu
±50 stopni.

Wyświetlacze te są droższe,
grubsze i cięższe.

Polaryzator

Elektrody

Odbłyśnik

Ciekły
kryszta
ł

Szkło

WYŚWIETLACZ CIEKŁOKRYSTALICZNY

Najnowsza technologia LCD polega na wyposażeniu matrycy
wyświetlacza w elementy aktywne (klucz tranzystorowy wykonany w
technologii cienkowarstwowej

TFT

). Umożliwia to wyposażenie

wyświetlacza w integralną pamięć obrazu i sterowanie matrycy
słabszymi sygnałami, co prowadzi do zmniejszenia przesłuchów.
Osiągany kontrast sięga 80:1, a kąt obserwacji ±70 stopni.

Technologie STN i TFT umożliwiają uzyskiwanie

obrazów barwnych

Wymaga to zwiększenia ilości komórek matrycy (na obszarze 1 piksela
wykonuje się trzy komórki). Barwy podstawowe uzyskuje się poprzez
wykorzystanie odpowiednich filtrów i podświetlanie ekranu.

W większości wyświetlaczy LCD

sterowanie jasnością piksela

jest

dwuwartościowe. W celu uzyskania większej liczby poziomów jasności
należy sterować wypełnianiem przebiegów sterujących, polegające na
zmianie proporcji czasu, w którym piksel jest włączony i wyłączony.

Szczególnym zastosowaniem wyświetlaczy LCD, są

urządzenia

projekcyjne

. Wyświetlacz stanowi, w takim przypadku, przeźrocze o

programowalnej zawartości.

WYŚWIETLACZ PLAZMOWY

Wyświetlacze plazmowe

wykorzystują promieniowanie wydzielane

przez atomy gazu wzbudzone pod wpływem pola elektrycznego.
Wyświetlacze tego typu (PDP) emitują światło (nie wymagają
podświetlenia). Obraz jest jasny, stabilny i wolny od zniekształceń, a
kąt obserwacji wynosi około 140 stopni. Wyświetlacz jest lekki, płaski,
odporny na wstrząsy i wibracje, zasadniczą jego wadą jest duże
zapotrzebowanie energetyczne. W niektórych zastosowaniach istotne
jest to, że wyświetlacz plazmowy może być przeźroczysty.

Emisja
światła
widzialnego

Emisja UV

Ścianka
dzieląca
komórki

Wyładowani
e

Luminofor

Mieszanina
ksenonowa

Szkło

Elektrody

Budowa komórki wyświetlacza plazmowego

W kolorowych
wyświetlaczach
plazmowych każdy
logiczny piksel składa się
z trzech umieszczonych
obok siebie komórek
wydzielających światło
barw podstawowych.
Mieszanina gazów
zawiera, w takim
przypadku większą ilość
ksenonu, dzięki czemu
emitowane jest głównie
promieniowanie
ultrafioletowe,
pobudzające luminofor.

WYŚWIETLACZ ELEKTROLIMINESCENCYJNY

W wyświetlaczu elektroluminescencyjnym

ELD

cienka warstwa

materiału o właściwościach świecenia pod wpływem bodźców
elektrycznych, pobudzana jest poprzez zmienne pole elektryczne.
Wartość napięcia sterującego wynosi 100..215V, przy częstotliwości
zmian napięcia 50..1000Hz. Czas bezawaryjnej pracy wynosi 10
000..40 000h. Większość takich urządzeń wykorzystywana jest do
podświetlania ciekłych kryształów, a jedynie 10..20% przypada na
inne zastosowania. Kąt obserwacji dochodzi do 160 stopni, a typowy
kontrast 20:1.
W odróżnieniu od innych technologii wyświetlacze ELD wykonywane
są wyłącznie z ciał stałych - dzięki temu są cienkie, lekkie, zwarte
konstrukcyjnie i dobrze znoszą zmiany temperatur.

Elektrody

Warstwa
świecąca

Szklane
podłoże

Warstwy
izolacyjn
e

Emisja światła

PORÓWNANIE WYŚWIETLACZY

Parametr

Pobór mocy

Rozmiary ekranu

Grubość

Waga

Zwartość

Jasność

Rozdzielczość

Kontrast

Liczba poziomów
jasności

Kąt obserwacji

Odwzorowanie koloru

Koszt

CRT

+++

niski

LCD

+++

niski

PDP

+++

wysoki

ELD

+++

wysoki

Porównanie zalet (+) i wad (-) podstawowych technologii wyświetlania obrazów

GEOMETRIA

W PRZESTRZENI

Do opisu obiektów
trójwymiarowych najczęściej używa
się

kartezjańskiego lewoskrętnego

układu współrzędnych

Czasami przydatniejsze jest
korzystanie ze

współrzędnych

sferycznych

x = r cos sin



y = r

sin

z = r sin cos



Współrzędne (x, y, z) punktu P R

traktujemy jako

macierz

wierszową

Wektory

podawane są w postaci

składowych umieszczonych w
nawiasach kwadratowych, np.:

w = [x, y, z]

PODSTAWOWE OBIEKTY I POJĘCIA

Lewostronny układ współrzędnych kartezjańskich

Współrzędne sferyczne

P = P(r, , )





Długość wektora

|w| rozumiemy jako

długość euklidesową:
|w| = (x

+ y

+ z

)

1/2

Iloczyn skalarny

definiujemy jako liczbę:

 w

= |w

||w

| cos (w

, w

) =

= x

+ y

+ z

Iloczyn wektorowy

wektorów w

i w

wektor w = w

x w

o następujących

własnościach:
- wektor w jest prostopadły do obu
wektorów
- trójka uporządkowana wektorów w, w

jest dodatnio

zorientowana, tzn.

det(w

, w

, w) > 0

- |w| = |w

||w

| sin (w

, w

)

w1 x w2 = [y

- y

, x

- x

, x

]

PODSTAWOWE OBIEKTY I POJĘCIA

w = w1 x w2

Iloczyn wektorowy

(w1,w2)

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

= (x

, z

) i P

, z

) możemy zapisać parametrycznie:

x(t) = x

+ t(x

- x

)

t(-, +)

y(t) = y

+ t(y

- y

)

jeśli t ograniczymy do przedziału [0, 1], to

będzie

z(t) = z

+ t(z

- z

)

stanowiło parametryczne przedstawienie

odcinka

Płaszczyznę

określamy podając punkt P

= (x

, y

, z

) oraz wektor

prostopadły do płaszczyzny (wektor normalny) n = [x

, y

, z

]. Wtedy dla

dowolnego punktu
P = (x, y, z) wektor P - P

jest prostopadły do n, czyli n°(P - P

) = 0.

Stąd równanie płaszczyzny postaci:

x +y

y + z

z = c

c = x

+ y

+ z

Równanie płaszczyzny zawierającej trzy niewspółliniowe punkty

, P

wyprowadza się z zależności:

((P

- P

) x (P

- P

))  (P - P

) = 0

Jeśli dana jest prosta P(t) = P

+ tk i płaszczyzna opisana równaniem n 

P = c, to

punkt przecięcia prostej z płaszczyzną

określa wartość:

t = (c - nP

) / (nk)

PODSTAWOWE OBIEKTY I POJĘCIA

Przesunięcie

(translacja) punktu P = (x, y, z) o wektor [tx, ty, tz] daje

punkt
P’ = (x’, y’, z’) o współrzędnych:

x’ = x + tx

y’ = y + ty

z’ = z + tz

Skalowanie

definiuje się wzorami:

x’ = sx x

y’ = sy y

z’ = sz z

Obrazem punktu P = (x, y, z) po

obrocie

o kąt  wokół osi

jest punkt

P’ = (x’, y’, z’) o współrzędnych:

x’ = x

y’ = y cos - z sin

z’ = y sin - z cos

Wokół osi

y’ = y

x’ = z sin - x cos

z’ = z cos - x sin

Wokół osi

z’ = z

y’ = x cos - y sin

z’ = x cos - y sin

Dodatni kąt obrotu to taki, który widzimy jako przeciwny do ruchu
wskazówek zegara, gdy oś obrotu jest skierowana w głąb patrzenia.

PRZEKSZTAŁCENIA PUNKTÓW W R

Nieco bardziej skomplikowany jest

obrót punktu P = (x, y, z) wokół

dowolnej osi

, np. przechodzącej przez punkt P

= (x

, y

, z

) i P

= (x

, y

). Wymaga on złożenia kilku przekształceń:

- Wykonujemy translację o wektor -P

= [-x

, -y

, -z

]. Punkt P

zostanie

przesunięty do początku układu współrzędnych

(P’

), punkt P

otrzyma

współrzędne P’

. Niech 

oznacza kąt jaki tworzy prosta P’

P’

z płaszczyzną

xz, 

oznacza kąt między jej rzutem P’

P’’

na tę płaszczyznę i osią x.

- Wykonujemy obroty o kąt - wokół osi y, a następnie o kąt  wokół

osi z.

Prosta P’

P’

zostaje przekształcona w oś x.

Kąty wyliczamy ze wzorów:
tg = (x

- x

) / (z

- z

)

tg = (y

- y

) / ((x

- x

+ (z

- z

)

1/2

- Wykonujemy obrót o kąt  wokół osi x.
- Dokonujemy przekształceń odwrotnych do wykonanych w

odpowiedniej

kolejności: obrót o kąt -, obrót o kąt  i

translację o wektor P

PRZEKSZTAŁCENIA PUNKTÓW W R

Dla danego punktu P = (x, y, z)
szukamy punktu P’ = (x’, y’, z’)

symetrycznego względem płaszczyzny

ax + by + cz = d.

po uwzględnieniu, że Q = P + t[a, b, c]
oraz
P’ = P + 2(Q - P) otrzymamy wzór:

[x’, y’, z’] = [x, y, z] +

+ 2 ((d-ax-by-cz) / (a

))

[a, b, c]

Obliczając długość wektora PQ
otrzymamy wzór na odległość punktu P
od płaszczyzny:

|o| = |d - ax - by - cz| / (a

+ b

+ c

)

1/2

PRZEKSZTAŁCENIA PUNKTÓW W R

Symetria względem płaszczyzny

P’

Kolejna transformacja pozwala
„doklejać” jeden obiekt do drugiego.
Jest to tzw.

przekształcenie

trzypunktowe

Dane są dwie trójki punktów P

, P

oraz
Q

, Q

. Szukamy takiej izomerii,

która:

- odwzorowuje punkt P

w punkt Q

- kierunek P = P

- P

przekształca w

kierunek Q = Q

- Q

- transformuje płaszczyznę

wyznaczoną

przez punkty P

, P

, na płaszczyznę

zawierającą punkty Q

, Q

PRZEKSZTAŁCENIA PUNKTÓW W R

Przekształcenie trzypunktowe



Zaczynamy od zbudowania trzech wersorów ortogonalnych:

= (P

- P

) / |P

- P

| u

= (P

- P

) x (P

- P

) / | (P

- P

) x (P

- P

) |

= u

x u

Analogicznie konstruujemy wersory w

, w

na podstawie punktów Q

, Q

Otrzymujemy macierze: U=[u

, u

] i W = [w

, w

]

Szukane przekształcenie jest złożeniem macierzy R = U

-1

W oraz

translacji o wektor w = Q

- P

Podstawowym przekształceniem stosowanym w grafice jest

rzutowanie

gdyż komputerowa wizualizacja jakiegokolwiek obiektu wymaga
odwzorowania go na płaski ekran monitora.

Rzuty dzielą się na dwie klasy:

- rzuty równoległe
- rzuty perspektywiczne albo środkowe

Rzut równoległy

zachowuje równoległość prostych, stosunek długości

odcinków równoległych i związki miarowe figury płaskiej równoległej do
płaszczyzny rzutowania. Stosuje się go głównie w rysunku technicznym.

Rzut perspektywiczny

pozwala na bardziej realistyczną wizualizację

obiektów trójwymiarowych i daje wrażenie głębi.

RZUTOWANIE

Przy

rzucie równoległym

punktu o

współrzędnych P = (x, y, z)
obrazem jest punkt P’ = (x’, y’, 0)

Kierunek rzutu tworzy z rzutnią 

kąt , a jest kątem nachylenia

prostej przechodzącej przez (x, y,
0) i (x’, y’, 0) do osi x.

x’ = x + r cos 
y’ = y + r sin 

gdzie:

r = z ctg 

Najczęściej przyjmuje się  = 30

lub  = 45

RZUT RÓWNOLEGŁY

Rzut równoległy



P = (x, y, z)

P = (x’, y’, 0)

P = (x, y, 0)





Przy

rzucie perspektywicznym

obserwator utożsamiany ze
środkiem rzutowania znajduje się
w ujemnej części osi z układu, np.
w punkcie
(0, 0, -d).

Z podobieństwa trójkątów
otrzymujemy zależności:

x’ = x d / (z + d)
y’ = y d / (z + d)

RZUT PERSPEKTYWICZNY

Rzut perspektywiczny



P = (x, y, z)

P’ = (x’, y’, 0)

E = (0, 0, -d)

W grafice komputerowej często stosuje się

parametryczny zapis krzywej

w postaci:

Q(t) = (x(t), y(t), z(t)) , gdzie parametr t przebiega ustalony przedział

[a,b]

Wektor styczny

do krzywej Q(t) w punkcie t = t

jest równy:

dQ(t

)/dt = [dx(t

)/dt, dy(t

)/dt, dx(t

)/dt]

jeśli pochodna w punkcie nie istnieje lub jest wektorem zerowym to
punkt ten nazywany jest

punktem osobliwym

Długość łuku krzywej

wylicza się z zależności:

s =



|dQ/dt|dt =



((dx/dt)

+ (dy/dt)

+ (dz/dt)

)

1/2

Dla przykładu, tzw. linia śrubowa da się zapisać równaniem:

Q(t)= (r cost, ht, r sin t)

Wektor styczny ma składowe:

[-r sint

, h, r cost

]

Długość krzywej od t=0 do T wyraża się wzorem:

s = (r

+ h

1/2

MATEMATYCZNY ZAPIS KRZYWYCH

Wielomiany Bernsteina

n
B

(u) = i (1 - u)

n-i

u [0, 1]

Wykorzystuje się je do reprezentacji

krzywych Beziera

, które są ich

kombinacją liniową:

Q(t) =  P

(u),

t [t

, t

]

Współczynniki P

noszą nazwę

punktów kontrolnych

Często spotykanym przypadkiem jest n=3 i [t

, t

]=[0, 1].

Wtedy krzywa Beziera przybiera postać:

Q(t) = P

(1 - t)

+ P

3(1 - t)

t + P

3(1 - t)t

+ P

Powierzchnie Beziera

zdefiniowane w obszarze

prostokątnym określa wzór:

S(u, v) =   P

i,j

(q) B

(r),

(q), B

(r) - wielomiany Bernsteina

stopni m i n
q i r [0, 1]

KRZYWE I POWIERZCHNIE BEZIERA

Przy syntezie obrazów często
zachodzi potrzeba

usunięcia linii

niewidocznych

. Najłatwiejszym do

implementacji algorytmem jest
algorytm z buforem głębokości.
Idea algorytmu polega na tym, że
dla każdego piksela ekranu
badamy ścianę najbliższą w
kierunku patrzenia i przypisujemy
mu kolor o wartości
odpowiedniego koloru tej ściany.

ALGORYTM Z BUFOREM GŁĘBOKOŚCI

Idea algorytmu z buforem głębokości

BARWA W GRAFICE

KOMPUTEROWEJ

Wrażenie wzrokowe

człowieka obserwującego obiekt zależy od

warunków obserwacji, od otoczenia obiektu, oświetlenia, widoczności.
Wrażenie związane z odbiorem barwy zależy również od indywidualnych
cech obserwatora, jego sposobu percepcji i interpretacji. Ze względu na
subiektywność i mnogość czynników mających wpływ na percepcję
barwy trudno jest opracować precyzyjny model barwy na potrzeby
grafiki komputerowej.

WSTĘP

Biel

Czerń

Odcień barwy
barwa czysta
(nasycona)

100%

Nasycenie

Przy zmniejszeniu

nasycenia

barwy do zera, niezależnie
od odcienia barwy, uzyskuje
się barwę białą.

Przy zmniejszeniu

jasności

barwy do zera, niezależnie
od odcienia barwy, uzyskuje
się barwę czarną.

Z fizycznego punktu widzenia, światło jest

promieniowaniem

elektromagnetycznym

o określonej wartości strumienia energetycznego



[W]. Światło widzialne leży w zakresie długości fal od 380...780 nm.

Czułość ludzkiego oka w zakresie 380...400 nm jest bardzo mała, a fale
o długościach 700...780 nm są nierozróżnialne (interpretowane jako
barwa czerwona). Stąd praktyczny

zakres

widzialności

wynosi 400...700

nm.
W większości przypadków mamy do czynienia z barwami obiektów
otrzymanymi w wyniku obserwacji promieniowań o różnych długościach
fal. Jeśli oko jest pobudzane promieniowaniem o różnych długościach
otrzymujemy wrażenie innej barwy od barw składowych.

WRAŻENIA BARWNE

300

400

500

600

700

800  [nm]

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

 [W/nm]

Zakres widzialny

Z każdą długością fali jest
związana pewna ilość mocy.
Można więc mówić o

gęstości

widmowego

rozkładu

energetycznego

 [] [W/nm].

Jeśli światło zawiera fale o
wszystkich długościach, to
uzyskuje się wrażenie światła
białego.

Jeżeli rozkład mocy nie jest równomierny i można wyróżnić zakres fal,
dla których moc promieniowania jest większa niż dla innych zakresów,
to odbierane światło będzie dawało

wrażenie barwne

Szczególnym przypadkiem jest ten, gdy jedna długość fali ma większą
moc od pozostałych. Jest to przypadek z

dominującą długością

fali,

której odpowiada odpowiedni odcień barwy.

WRAŻENIA BARWNE

300

400

500

600

700

800  [nm]

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

 [W/nm]

Zakres widzialny



Na rysunku dominująca fala ma
moc e

, dla pozostałych długości

moc wynosi e

Wartość e

- e

czystość

pobudzenia

300

400

500

600

700

800  [nm]

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

V()

Oko ma

czułość

zależną od długości

fali. Największą czułość oko osiąga
dla fali o długości 555 nm
(żółtozielone).

Sposób

percepcji

barwy jest złożoną funkcją znaną jedynie częściowo i

pośrednio na podstawie badań prowadzonych przez psychofizjologów.

Odbieranie barwy zależy od następujących czynników:
- właściwości fizyczne obiektu odbijania lub absorbcji światła o
określonej

długości fali

- właściwości źródła światła oświetlającego obiekt
- właściwości ośrodka, przez który biegnie światło, i odległości między
światłem i

obiektem

- właściwości otaczających obiektów
- stan oka i systemu wzrokowego
- charakterystyki transmisyjne receptorów i ośrodków nerwowych
- poprzednie doświadczenia przy obserwacji podobnego obiektu

Wzorce barw można podzielić na trzy rodzaje:
-

addytywne

, oparte na zasadzie addytywnego mieszania barw,

subtraktywne

, oparte na zasadzie subtraktywnego mieszania barw,

percepcyjne

, oparte na zasadach percepcji barw.

WRAŻENIA BARWNE

Różnica w percepcji barw zależna od tła:

WRAŻENIA BARWNE

Światło

achromatyczne

jest światłem białym. Ma ono cechę ilościową -

strumień światła - odpowiedzialny za jasność. Maksymalnej jasności
odpowiada barwa biała, minimalnej barwa czarna - wartości pośrednie
to poszczególne

poziomy szarości

Badania nad percepcją oka wykazały, że liniowy podział pomiędzy
światłem białym i czarnym nie jest odpowiedni, dlatego przy wyborze
wartości względnych strumienia, reprezentujących kolejne poziomy
szarości przyjmuje się skalę

logarytniczną

= rI

, I

= rI

= r

... I

= r

= 1

, gdzie I

- minimalne natężenie

światła

Z badań wynika, że oko nie rozróżnia dwóch sąsiednich wartości
natężenia, gdy r<1.01. Stąd przy uwzględnieniu najniższego poziomu
luminancji osiąganego przez monitory 0.005.. 0.025 uzyskamy wartość
n = 400...530.

W praktyce sensowne jest przyjęcie wartości n = 256 dla uzyskania
poziomów szarości.

MODEL ŚWIATŁA ACHROMATYCZNEGO

Genezy

modelu RGB

należy szukać

w trójchromatycznej teorii widzenia.
O tym, że wybrano barwy R, G i B
zadecydowały względy techniczne.

Model RGB jest

modelem

addytywnym

. Barwy różne od

podstawowych uzyskuje się poprzez
przestrzenne sumowanie strumieni
świateł o barwach podstawowych.
Proporcje określane są wartościami z
przedziału 0...1.
Wartości (0,0,0) odpowiada barwa
czarna, (1,1,1) - barwa biała. Na
przekątnej sześcianu RGB leżą
poziomy szarości.

Zaletą modelu jest jego prostota i
liniowość (łatwe wyznaczanie barwy
piksela). Wadą trudne ustalenie
barwy w sposób interaktywny.

MODEL RGB

Model HSV

powstał po to, aby

wygodnie dokonywać wyboru
odpowiedniej barwy.
Barwę określa się jako: odcień
(Hue), nasycenie (Saturation) i
wartość (Value).

Na wysokości sześciokąta znajdują
się poziomy szarości. Na obwodzie
sześciokąta umieszczone są barwy
nasycone.

Dla ustalonej wartości (jasności) -
punktu na wysokości ostrosłupa -
otrzymujemy przekrój w postaci
sześciokąta. Reprezentuje on
wszystkie barwy w różnych
nasyceniach dla ustalonej jasności.

MODEL HSV

Procedura konwersji modelu RGB na model HSV wygląda następująco:

procedure

RGB_toHSV (r, g, b:

real

;

var

h, s, v:

real

);

begin

  max:= Maximum(r, g, b);
  min:= Minimum(r, g, b);
  v:= max;

max <>0

then

s:= (max - min) / max

else

s:= 0;

s = 0

then

h:= UNDEFINED

else

begin

delta:= max - min;

r = max

then

h:= (g - b) / delta;

g = max

then

h:= 2 + (b - r) / delta;

b = max

then

h:= 4 + (r - g) / delta;

h:= h * 60;

h < 0

then

h:= h + 360;

end

;

end

;

MODEL RGB -> HSV

Model CMY jest

modelem

subtraktywnym

. Idea funkcjonowania

tego modelu polega na tym, że z
widma światła białego usuwa się
określony zakres długości fal. Jeśli z
widma światła białego usuniemy
składowe żółte (składowa
krótkofalowa) i purpurowe (składowa
środkowa) uzyskamy tylko zakres
długofalowy postrzegany jako barwa
czerwona.

Sześcian CMY jest podobny do
sześcianu RGB. Różnica jest taka, że
barwy biała i czarna oraz barwy R, G,
B, C, M, Y są zamienione miejscami.
Zależności pomiędzy modelami RGB i
CMY są następujące:

R 1

G = 1 - M
B 1

MODEL CMY

Substraktywny proces mieszania
barw jest charakterystyczny dla
procesu drukowania.

W zastosowaniach grafiki komputerowej zawiera się produkcja reklam,
filmów animowanych, itd. Stąd potrzeba znajomości modeli barw
stosowanych w

telewizji

. W europejskim systemie PAL stosuje się

model

YUV

Stanowi on przekształcenie liniowe modelu RGB powstałe na gruncie
optymalizacji warunków transmisji sygnałów telewizyjnych oraz
zgodności z telewizją czarno-białą.

Wartość

luminancji

(jasności) jest definiowana następująco:

Y = 0.299 R + 0.587 G + 0.114 B

Wartość składowej dla danej

barwy różnicowej

wynosi:

= R - Y

= G - Y

= B - Y

Do przesyłania informacji w telewizji stosowane są sygnały

chrominancji

. W systemie PAL noszą one nazwy U i V. Ich wartości są

wyznaczane jako kombinacja składowych różnicowych R

i B

(gdyż

składowa G

ma małą amplitudę i jest podatna na zakłócenia).

U = 0.493 B

V = 0.877 R

MODEL YUV

Zmiana jasności.

Funkcja polegająca na rozjaśnieniu
lub przyciemnieniu w ustalonym
zakresie (na przykład od -50% do
+50%).