Obwody prądu zmiennego

Podział sygnałów w

elektrotechnice:

Podział sygnałów:

Sygnałami w elektrotechnice nazywamy najczęściej funkcje napięcia lub
prądu, ale sygnałem może inna funkcja wielkości występującej w teorii
obwodów np. częstotliwość.

Sygnałem przemiennym będziemy nazywali okresową funkcję
pewnej wielkości, której całka za okres jest równa zero.

Jeśli Pole1 = Pole2 to sygnał nazywamy przemiennym, nie ma przy
tym znaczenia czy kształt krzywej określającej Pole1 jest taki sam jak
w przypadku Pola2. W dalszym ciągu będziemy rozważali sygnały
sinusoidalne, dla których wykażemy, że są przemienne.

Funkcja sinusoidalna – koło

trygonometryczne.

O funkcji sinusoidalnej (na przykładzie prądu):

)

t

sin(

I

)

t

(

i

m











-postać czasowa prądu,

gdzie: I

m

- amplituda,

- faza pocztkowa prądu (sygnału), -pulsacja prądu (częstość kołowa)

Funkcja sinusoidalna – koło

trygonometryczne.

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Wykresem przedstawiającym zmianę
wartości wielkości A w czasie jest
sinusoida, taki przebieg nazywamy
sinusoidalnym.

W podanym wzorze wartość A(t) to
wartość chwilowa, Am nazywamy
amplitudą, czyli największa wartością
chwilową, t okresem, ω pulsacja,
zwana również prędkością kątowa
natomiast φ fazą początkową.

Przesunięcie fazowe

Zwróć uwagę, że określenie kąta przesunięcia pomiędzy dwoma
wskazami ma sens tylko wtedy gdy wirują z jednakową
prędkością. Mówiąc kąt pomiędzy prądem i napięciem mamy na
myśli kąt mierzony od wskazu I do U w kierunku mniejszego z
dwóch dopełniających się kątów.

Przesunięcie fazowe

I

U

- 

Przesunięcie fazowe

Przesunięcie fazowe

Zwróć uwagę, że jeżeli dwie sinusoidy ( o tej samej częstotliwości)
mają wspólne miejsca zerowe to kąt przesunięcia pomiędzy ich
wskazami jest równy zero. Mówimy wówczas, o tzw. zgodności faz
lub że oba przebiegi są w fazie.

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Prąd (napięcie), którego
wartość w czasie zmienia się
tak jak sinusoida, nazywamy
prądem (napięciem)
sinusoidalnym.

Wartość średnia sygnału

okresowego (składowa

stała):.

Wartość średnia sygnału

okresowego (składowa

stała):.

+

-

Wniosek: przebieg przemienny ma wartość
średnią = 0

Zwróć uwagę, że tak zdefiniowane wartości średnia i półokresowa
przyjmują jednakowe wartości dla funkcji sinusoidalnej, przy czym
definiowanie wartości średniej półokresowej ma sens tylko dla
przebiegów przemiennych.

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Wartością średnią prądu
sinusoidalnego o okresie T,
nazywamy całkę za okres T
podzieloną przez T.

Definicja wartości

skutecznej prądu

zmiennego:

Jeżeli prąd stały o wartości I przepływając przez
opornik o rezystancji R spowoduje wydzielenie się tyle
samo ciepła w czasie T ile wydzieliłoby się w tym samym
czasie przy przepływie prądu okresowego i(t) o okresie T
to taka wartość I jest wartością skuteczną prądu
zmiennego i(t)

Interpretacja fizyczna

wartości skutecznej

dQ

dt

R

i

2







i

R













T

0

T

0

2

2

2

dt

i

T

1

I

RT

I

Rdt

i

Q

Zwróć uwagę, że w przypadku prądu stałego ciepło Q w interpretacji
graficznej jet polem prostokąta P

2

T, Zatem aby obliczyć ciepło wydzielane

w rezystorze przy przepływie prądu zmiennego w tym samym czasie T
musimy obliczyć pole pod krzywą i(t)

2

R. Porównując (zgodnie z definicją )

oba ciepła otrzymamy ogólny wzór na wartość skuteczną sygnału.

Wartość skuteczna

sygnału









T

t

t

2

df

sk

0

0

dt

)]

t

(

i

[

T

1

I

Udowodnij, że dla sinusoidy

2

I

dt

)

t

(

sin

I

T

1

I

m

T

0

2

2

m

sk

















2

Czy wartość skuteczna dla każdego przebiegu okresowego
jest równa

amplitudzie przez

?

Wartość skuteczna

sygnału

Do obliczenia wartości skutecznej wykorzystamy następującą własność
trygonometryczną:

2

2

cos

1

sin

sin

2

1

sin

cos

2

cos

2

2

2

2





















































































dt

)

2

t

2

cos(

dt

1

T

2

I

dt

)

2

t

2

cos(

1

T

2

I

dt

2

)

2

t

2

cos(

1

I

T

1

T

0

T

0

2

m

T

0

2

m

T

0

2

m

 

2

I

2

I

t

T

2

I

m

2

m

T
0

2

m









Przebieg
przemienny
=0

Jeżeli spróbujemy obliczyć wartość skuteczną innego przebiegu
okresowego np.. piłokształtnego to okaże się, że wartość skuteczna
tego przebiegu będzie inna.

Różne przebiegi okresowe charakteryzują się różnymi stosunkami
wartości skutecznej do amplitudy lub skutecznej do średniej. Stąd w
elektrotechnice definiuje się szereg współczynników takich jak:

Obwody sinusoidalne z elementami R,

L, C

Wartością skuteczną prądu
sinusoidalnego
o okresie T nazywamy taką wartość
prądu stałego, który przepływając
przez rezystancję R w czasie jednego
okresu prądu T powoduje wydzielenie
takiej ilości energii cieplnej, jak prąd
sinusoidalny w tym samym czasie.

Całkowita energia wydzielona
podczas okresu T jest ograniczona
przebiegiem krzywej kwadratu
prądu.
Jeżeli prąd przepływający przez
rezystor L byłby stały, to jego
wartość wyniosłaby I, natomiast
energia wydzielona na rezystorze
wyniosłaby W.
Szukany prąd równoważny prądowi
I nazywamy wartością skuteczną,
wartość skuteczną prądu
sinusoidalnego jest równa
amplitudzie Im/√2, w ten sam
sposób określa się wartość
skuteczną napięcia sinusoidalnego.

Moc chwilowa

)

t

(

i

)

t

(

u

)

t

(

p





Załóżmy, że przy zastrzałkowaniu
źródłowym otrzymano następujące
przebiegi prądu i napięcia:

W przypadku przebiegów zmiennych interpretacja mocy chwilowej jest
taka sama jak w obwodach prądu stałego. Czyli jeżeli iloczyn prądu i
napięcia jest większy od zera dla zastrzałkowania źródłowego tzn. że
dwójnik wydaje energię.

I

U

t

1

u

i

u,i