GEODEZJA

WYKŁAD

Teoria błędów

Katedra Geodezji im. K. Weigla

ul. Poznańska 2/34 

TEORIA BŁĘDÓW

Twórca teorii błędów 

CARL FRIEDRICH GAUSS

 niemiecki 

matematyk i astronom  Uniwersytetu Helmstedt. 

Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny geodezji. 
Pierwsze 

prace z zakresu teorii błędów w geodezji

.

„Theoria combinationia observationum erroribus minimis 

obnoxiae”

Gauss jako pierwszy zastosował rachunek 

prawdopodobieństwa do oszacowania błędów (rozkład 
Gaussa). 

- hipotezy Hagena o rozkładzie błędów. 
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), matematyk francuski, 

autor podstaw teorii pomiarów geodezyjnych, wydaje 
"Elementy geometrii”

praca, która wyparła obowiązujące wcześniej "Elementy" 

Euklidesa.

- postulat 

Legendre’a

 – metoda najmniejszych kwadratów,

Błędy pomiarów i ich charakterystyka

 

Błąd  prawdziwy 

obserwacji 



  -  różnica  między 

nieznanym  wymiarem   

X

    (prawdziwą  wartością)   

mierzonej 

    wielkości i wynikiem pomiaru 

L

 



i

 = X - L

Źródła błędów: 
- niedoskonałość zmysłów obserwatora, 
- narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator) 
- warunki pracy, czyli środowisko (temperatura, 

ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie 

słoneczne).

Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji: 
- 

błędy grube

 

(omyłki),

 

- 

systematyczne

, 

- 

przypadkowe (losowe)

.

Błędy pomiarów i ich charakterystyka

 

Wyniki pomiarów (obserwacji) mają wartości przybliżone, 
różniące się o pewną wielkość (błąd pomiaru) od wartości 
prawdziwej mierzonego elementu. Błędy pomiarów 
można podzielić na:
Błędy grube wynikają z 

nieuwagi obserwatora

, są 

spowodowane omyłkowym odczytem przyrządów użytych 
do pomiaru.  Są łatwe do wykrycia, przez powtórny 
pomiar i wyeliminowane z wyników pomiarów, teoria 
błędów i rachunek wyrównawczy nie zajmują się nimi.
Błędy systematyczne powstają wskutek jednostronnego 
działania różnych czynników (

wady instrumentów lub 

wpływ środowiska

), np. temperatury na pomiar długości. 

Znając źródło i prawo powstawania błędu, można 

obliczyć poprawkę 

i wyeliminować błąd z wyników 

pomiarów. Stosowanie specjalnych metod pomiarów 
eliminuje niektóre błędy systematyczne.
Błędy przypadkowe mają 

charakter losowy

, 

spowodowane przyczynami, których nie da się uniknąć  
(

niedoskonałość zmysłów 

obserwatora, niedoskonałość 

instrumentów (przyrządów) użytych do pomiarów. 

ROZKŁAD BŁĘDÓW (molekularna teoria)

Hipotezy Hagena:
Błędy przypadkowe mają niewielkie wartości i mogą z 
jednakowym prawdopodobieństwem przyjmować 
wartości dodatnie i ujemne. 
Prawdopodobieństwo wystąpienia błędu dużego jest 
bliskie zeru.
Największe prawdopodobieństwo wystąpienia ma błąd o 
wartości zerowej.
W ogólnych teoriach rozkładu błędów przyjmuje się 
założenie zerowania się wartości średniej  błędów oraz 
założenie niezależności błędów. 

Rozkład błędów przypadkowych w 

teorii prawdopodobieństwa

Błędy przypadkowe są 

zmiennymi  losowymi

. 

Charakteryzuje je 

rozkład normalny

 zwany 

rozkładem 

Gaussa-Laplace'a

  N(μ,σ). 

Jest  to  najczęściej  spotykany  w  naturze 

rozkład zmiennej losowej ciągłej.

Rozkład normalny ma dwa parametry:

 μ – wartość oczekiwana,
 σ – odchylenie standardowe

.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

2

2

1

(

)

( )

exp(

)

2

2

x

f x





 







Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego 

dla parametrów μ,σ.

 

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

Własności rozkładu normalnego

Empiryczne wartości parametrów rozkładu 

normalnego

Brak informacji o wartości błędu  zmusza do operowania 

zastępczymi wielkościami do oceny błędu obliczonymi z 
próby losowej.

Empiryczne  wartości  parametrów  rozkładu    μ,σ   
obliczone 

z  serii pomiarów

 :

  

wartość  średnia  -  x

s

  błąd średni  -  m

.

Błąd średni to empiryczna ocena parametru  σ,  
       Definicja:          P(|| < m) = 0.68 

Różne charakterystyki do oceny błędów:

 

błąd średni

, błąd przeciętny, błąd prawdopodobny, 

błąd graniczny

 oraz 

błąd względny

.

Różnica między wartością średnią z próby losowej x

s

 

i  obserwacją l

i

 nazywa się 

błędem pozornym

 v

i

v

i

 =  x

s

 - l

i

Ocena dokładności w oparciu o pojęcie  niepewności 
standardowej 

W 1995 roku Międzynarodowa Organizacja 
Normalizacyjna (ISO) opublikowała normy dotyczące 

niepewności pomiarowych

. Według tych norm, 

niepewności 

typu A

 oblicza się z analizy statystycznej 

serii pomiarów {X

1

, X

2

, ....X

n

}. Jako 

wynik pomiaru

 

przyjmuje się średnią arytmetyczną serii X

s

 . a 

niepewność standardową :

Jeżeli mamy tylko jeden wynik pomiaru, mówimy o 
niepewności typu B, Δ

1

 = niepewność wzorcowania, 

wartość działki podziałki przyrządu pomiarowego,
Δ

2

 = niepewność wpływu środowiska pomiaru,

Δ

3

 = niepewność wpływu parametrów z literatury, 

wyznaczonych doświadczalnie.

2

3

2

2

2

1













X

u











n

i

S

i

X

x

x

n

n

u

1

2

)

(

)

1

(

1

Niepewność standardowa 

Gdy występują oba typy niepewności A i B niepewność 
standardową obliczamy ze wzoru:

Seria wyników Y

i

 , z n 

pomiarów pośrednich 

jest próbką 

podobnie jak w pomiarach bezpośrednich. Przyjmuje się, 
że wynikiem pomiaru pośredniego jest Y

s  

 , a 

złożona 

niepewność standardowa wyniku:

                         Y(x) = F(x

1

 , x

2

 ,  … x

p

 )

2

2

B

A

X

u

u

u



























p

i

i

p

Y

Xi

u

x

x

x

x

F

u

1

2

2

1

)

,

,

,

(



Obliczenie błędu średniego z próby losowej

2

m=

n

e

�

Wielokrotny  pomiar  tej  samej  wielkości  daje 
nadliczbowe  elementy  i  pozwala  obliczyć  błędy 
pozorne  v

i

    oraz  błąd  średni  m.  Dotyczy  to  zarówno 

pomiarów bezpośrednich jak też pośrednich. 
v

i

 =  x

s

 - l

i

2

v

m=

n-1



Błąd graniczny

 

Małe prawdopodobieństwo zdarzenia:  P(||

<m)=0.68 nakazuje szukać korzystniejszego 
parametru do oceny błędów

:  P(|| < m

gr

) = 0.997

,  

m

gr

 = 3 m

.  (0.3% ryzyka wystąpienia błędów || 

większych od błędu granicznego w serii pomiarów).

Błąd graniczny jest przyjmowany do obliczenia 

największej wartości błędu (dopuszczalnej) dla 
obserwacji. W metrologii w budownictwie, do 
określania 

odchyłki dopuszczalnej,

 często 

przyjmuje się 5% poziom istotności, 

stąd  P(|| < 2 m) = 0.95  

Błąd  przeciętny  t

  jest  średnią  arytmetyczną 

bezwzględnych  wartości  błędów  danego  szeregu 
jednakowo dokładnych obserwacji:

 

| |

t=

n





Błąd względny

Błąd względny to 

stosunek bezwzględnej błędu do 

wartości mierzonej wielkości  (m/L)

. 

W pewnych zadaniach przy ocenie błędu korzystniej 
jest użyć 

miary względnej

. Na przykład porównanie 

błędów długości odcinków, pola figur, objętości 
obiektów lub ich masy. Błędy pomiaru odcinka 
krótkiego i bardzo długiego, ewentualnie błędy 
pomiaru objętości lub masy takich obiektów są 
trudne do porównania. Takie porównania wymagają 

względnej miary dokładności

:

1

w = 

L

(

)

|m|

Prawo Gaussa przenoszenia się błędów 

średnich.

 

Błędy obserwacji

 powodują, że wszelkie

 funkcje

 

tych 

obserwacji

 są również obarczone błędami. W 

przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji 
obserwacji nie jest skomplikowana.  Błąd średni 

funkcji nieliniowej

  F = f(x, y, z, ...),  może  być  

obliczony  dla przybliżonej  postaci tej funkcji, przy 
założeniu, że daje się ona rozwinąć na szereg 
Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci 

szeregu Taylora

 

w otoczeniu punktu P (x

0

, y

0

, z

0

):

F (x,y,z) = F (x

0

 + dx ,y

0 

+ dy, z

0

 + dz) = F (x

0

,y

0

,z

0

) 

+   

 

0

0

0

F

F

F

...

x

y

z

dx

dy

dz



















Wzór na średni błąd dowolnej funkcji 

 

...

2

2

2

2

2

2



























































z

y

x

F

m

z

F

m

y

F

m

x

F

m























p

i

i

p

F

Xi

m

x

x

x

x

F

m

1

2

2

1

)

,

,

,

(



Utożsamiając zmiany dx, dy, dz  z błędami: 

x

, 

y

, 

z

 

 F(x,y,z)=a*X+b*Y+c*Z = F

o

+ a*dx+b*dy+c*dz 

Pomiędzy błędem prawdziwym funkcji F i błędani 
zmiennych X,Y,Z zachodzi związek:



F

 = a*

x

 + b*

y

+ c*

z

 

Przykład

: Pole prostokątnej działki o bokach a, b.

    

    

      

     

  

    

    

      

     

    

    

      

     

    

    

      

     

    

   

 

 

Z pomiaru długości boków figury:    a =300m, 
m

a

=0,10 m,  b = 20m m

b

= 0,01m 

Obliczyć pole figury, błąd średni oraz względny pola.
Funkcja zmiennych a i b  -  P = F(a,b) = a * b = 
6000 m

2

= 60 a. 

Średni błąd tej funkcji

:

 

 

 

 

2

2

2

2

P

b

a

P

P

m

m

m

a

b





































a

b

Pochodne cząstkowe:

              

 

 
 
 

 

 

 

P = 6000 m

2 

± 4 m

2

Błąd względny pola figury:

 

b

a

P







a

b

P







  

2

2

2

2

b

2

a

P

m

 

3.6

 

  

0.01)

*

300

(

0.1)

*

(20

 

  

 

)

m

*

a

(

)

m

*

(b

m













P

1600

1

 

 

m

 

6000

m

 

3.6

2

2



Wyrównanie obserwacji i ocena dokładności

Obserwacje bezpośrednie: 
- 

jednakowo dokładne

. 

- 

niejednakowo dokładne

 (o różnej dokładności). 

Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez 

nadanie wag p

i

 

dla każdej obserwacji,
Wagi  p

i

 =1 dla każdej obserwacji jednakowo 

dokładnej. 

Wagi

 to liczby niemianowane, które określają 

dokładność

względną poszczególnych 

obserwacji. 

Wyrównanie i ocena dokładności 

obserwacji 

bezpośrednich jednakowo dokładnych

Teoria  błędów  posługuje  się  błędami  pozornymi 

przy 

obliczaniu 

wartości 

najbardziej 

prawdopodobnej. 

W  statystyce  wyrównanie  wyników  pomiaru  nosi 

nazwę estymacji parametrów rozkładu. 

 
Wyrównanie  obserwacji  metodą  najmniejszych 

kwadratów  jest  wykonywane  przy  założeniu  v

2

  = 

minimum  dla  obserwacji  jednakowo-dokładnych. 
Dla  obserwacji  niejednakowo-dokładnych  warunek 
ten ma postać: 

pv

2 

= minimum. Wyrównanie takie nazywane jest 

wyrównaniem ścisłym.

W  zadaniach  geodezyjnych  często  występują 

obserwacje  pośrednie,  których  wartości  oblicza  się 
na podstawie innych pomierzonych wielkości.  

Próba

 złożona z n obserwacji: l

1

, l

2

, ..., l

n

 

wykonanych z tą samą 

dokładnością, Jeżeli 

wartość prawdziwa poszukiwanej wielkości 
wynosi X, to zgodnie z podaną wcześniej definicją 
błędu 

prawdziwego można zapisać:



1

= X—l

1



2

= X—l

2

...



n

= X—l

n

Sumując równania, otrzymuje się:

       stąd    X = 

/n    dąży do zera, 

        

dąży do wartości prawdziwej  

X

Wartość średnia

:

i

nX

l











l

n

n









x

i

l

x

n





Przykład wyrównania obserwacji jednakowo 

dokładnych

i

Obs. l

i

 v

i

pv

i

1

1.419

-5

25

2

1.408

6

36

3

1.415

-1

1

4

1.410

4

16

5

1.415

-1

1

6

1.418

-4

16

7

1.412

2

4

8

1.415

-1

1

9

1.422

-8

64

10

1.406

8

64

1.414     

=

0

228

 =

14.140

x

2

v

m

n 1







 =

     

±

5 mm

              

Błąd średni średniej 

arytmetycznej

    M:





2

m

5

M

  = 

 =  1.6 mm

n n 1

n

10

v













 

Średnia 

arytmetyczna:

i

l

x

 = 1.414

n





1

2

2















n

v

n

m







2

m

M

n n 1

n

v









Średni błąd pojedynczej obserwacji z próby (m): 
Błąd średni średniej arytmetycznej (M): 
(po wyrównaniu obserwacji)

n





i

l

x

i 

i

v = x- l

Ocena dokładności pomiarów

 

Błąd średniej arytmetycznej M można wyznaczyć 

jako 

błąd

 

funkcji:

     = F(l):
 
 
 

Przyjmując, że suma obserwacji ma 

odchyleni 

standardowe σ

x

, 

otrzymuje się wzór na tzw. średni 

błąd średniej 

arytmetycznej

:

 

x

2

i

2

m

M

n





2

2

2

x

2

M

n











2

2

M

n(n-1)

v





Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji 

bezpośrednich niejednakowo dokładnych

Próba 

losowa 

n 

obserwacji 

niejednakowo 

dokładnych: l

1

, l

2

, ..., l

n

  

średnie błędy

 m

1

, m

2

, ..., rn

n

 

lub 

wagi

 p

1

, p

2

, ..., p

n

 , 

       

lub

2

i

l

p

1/ m



1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

p :p :...:p

:

:...:

m m

m

n

n



             

Ogólna średnia arytmetyczna

 (ważona):

1 1

2 2

1

2

pl

p l

p l

... p l

p

p

... p

p

n n

n

X



 







 





Błąd średni 

typowej obserwacji

 o wadze p

0

=1.

2

0

pv

m

n 1







Błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej:

2

pv

M

p(n-1)







Przykład wyrównania obserwacji 
różnodokładnych

i

Obs. l

i

p

i

 v

i

pv

i

pvv

i

1

1.419

0.3

-4.85

-1.455 7.05

6

2

1.408

0.5

6.15

3.075

18.9

11

3

1.415

1.2

-0.85

1.020

0.86

7

4

1.410

0.6

4.15

2.490

10.3

34

5

1.415

1.5

-0.85

-1.275 1.08

4

6

1.418

0.2

-3.85

-0.770 2.96

4

7

1.412

0.4

2.15

0.860

1.84

9

8

1.415

1.5

-0.85

-1.275 1.08

4

9

1.422

0.5

-7.85

3.925

30.8

11

10

1.406

0.4

8.15

3.260

26.5

69

1.414 

pl

10.0

4

7.1

0.030

98.5

65

pl
=

10.040

x

                

Średni błąd obserwacji typowej:

2

0

pv

m

n 1







2

pv

M

p(n-1)







x

= 1.4141.2 mm

= 

3.3 

mm

= 

1.2 

mm

Średni błąd wartości oczekiwanej:

Dla bardzo małych prób wyniki pomiarów podlegają 
rozkładowi 

tStudenta

. Przyjmując interpretacje 

probabilistyczną odchylenia standardowego w rozkładzie 
normalnym (prawdopodobieństwo uzyskania wyniku 

spoza przedziału 

<x

s

 - m

x

  ;x

s

 + m

x

> wynosi  0,3174), 

znajdujemy taką 

wartość krytyczną 

w rozkładzie 

Studenta t

n,

, dla której =0.31740.32. Wtedy dla 

bardzo małej próby
                              S

xt

  = t

n, 0.32

 m

x    

m

x

    S

xt

 

t

n, 0.32

 – wartość krytyczna z rozkładu tStudenta

Wartości krytyczne t

n,0.32

 dla niektórych wartości n 

podane są w tabeli 

n

Wart. Krytyczna 

t(n,0.32)

3

1.3210

4

1.1966

6

1.1103

8

1.0765

10

1.0585

15

1.0368

Dziękuję za uwagę