Analiza danych 

eksperymentalnych 

Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:

• błędy grube
• błędy systematyczne 
• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane 

instrumentem 

o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości 

eksperymentalnej, 

nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.

 

 

Błąd gruby

• wynika  z  niedbałości  lub  ewidentnej  pomyłki

 

eksperymentatora,  wyraźnej  niesprawności  sprzętu 
albo 

nieoczekiwanego 

zaburzenia 

układu 

pomiarowego

• objawia  się  istnieniem  jednego  wyniku  znacząco 

odstającego  od  pozostałych,  uzyskanych  w  danej 
serii pomiarów

• wynik  pomiaru  obarczony  błędem  grubym  jest 

zazwyczaj łatwo zauważalny i należy go odrzucić.

23,3 ppm;  24,5 ppm;  27,9 ppm ;  33,5 
ppm;  0,02 ppm 

ppm = g/g

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować 
czasami skomplikowane testy statystyczne !!!!

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

błąd gruby

BŁĘDY „GRUBE” 
ODRZUCAMY

Błędy grube

 

 

Błąd systematyczny

• błąd 

polegający 

na 

stałym 

lub 

zmiennym, 

systematycznym 

odchyleniu 

wyniku 

pomiaru 

od 

rzeczywistej

 wartości wielkości mierzonej 

• przesunięcie wyniku następuje zwykle 

w tę sama stronę

• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.

 niedoskonałość przyrządów pomiarowych

 błędne wyskalowanie, niewyzerowanie

 błąd paralaksy

 w analityce – złe wzorce

 nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru 
    do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
    próbki i wzorca) 

Oddziaływania systematyczne:

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do 
czynienia, gdy przy powtarzaniu pomiaru 
występuje ta sama różnica między 
wartościami zmierzonymi a wartością 
rzeczywistą, natomiast rozrzut wyników 
poszczególnych pomiarów jest mały. Błędy te 
są powodowane

 

oddziaływaniami 

systematycznymi

Błędy (niepewności) systematyczne

 

 

Błędy przypadkowe

powstaje na skutek działania 

czynników 

losowych

jest miarą rozrzutu

 otrzymywanych 

wyników 
   wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.

błędu przypadkowego w zasadzie 

nie da się

   wyeliminować

 a także nie da się go 

oszacować 
   przed dokonaniem pomiaru

staramy się tak zaprojektować i 
przeprowadzić pomiar,
    aby wartość błędu przypadkowego była jak 
najmniejsza

po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny 
wielkości
   błędu losowego przy użyciu narzędzi 
statystycznych.

 niedokładność odczytu (niedokładna ocena części 
    działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie 
    optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)

 fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, 
    ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)

 obecność źródeł zakłócających;

 nieokreśloność mierzonej wielkości; 

 niedoskonałość zmysłów obserwatora; 

Oddziaływania przypadkowe:

x

i

 – wyniki pomiarów 

(oznaczone 
symbolem       )

x

0

 – wartość 

prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym 
odchyleniem wyniku pomiaru od wartości 
rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i przestrzenne 
wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. 
Źródłem błędów przypadkowych są tzw. 

oddziaływania przypadkowe:

Błędy (niepewności) przypadkowe

„

„

Dane należy 

Dane należy 

torturować tak długo, 

torturować tak długo, 

aż zaczną zeznawać”

aż zaczną zeznawać”

*

*

*  - Napotkane w sieci internetowej

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich

W pomiarach pośrednich

Pomiar kilku wielkości x

1

,x

2

,

…x

n

Obliczenie wielkości 
pośredniej 
zgodnie ze wzorem 
funkcyjnym:

y=f(x

1

,x

2

,…x

n

)

Na przykład pomiar okresu 
drgań
i długości wahadła 
matematycznego. Obliczenie 
wartości przyspieszenia
ziemskiego g.

Pomiar jednej 
wielkości 
(np. pomiar masy 
ciała, 
pomiar 
temperatury, itd.

2

2

T

l

4

g

   

     

g

l

2

T











l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w 
pomiarach
          bezpośrednich, mają swoje 
niepewności

Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych 
warunkach?
Jak policzyć niepewność g?

Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiar
wielkości l (wielkości nieskorelowane)

Zgodnie z Przewodnikiem niepewności

klasyfikujemy  na dwie kategorie 

w zależności od metody ich obliczania:

TYPU    A

TYPU    B

BŁĄD  NIEPEWNOŚĆ

Omyłka, uchyb, błąd

*)

, 

niepewność

SYNONIMY?

* - 

Asystent zwraca się do studentki:

 A z jakim błędem wyznaczyła Pani 
grubość  próbki?

Studentka:

No, wie Pan! Ja nie robię błędów

Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:

Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I 
Pracowni Fizycznej

METODA TYPU A
Błędy (niepewności) 
przypadkowe

Metoda szacowania 
niepewności, która 
opiera się na obliczeniach 
statystycznych
(statystyczna analiza serii 
pomiarów – 
  n  4)

 

 

Najczęściej pomiar jednokrotny

METODA TYPU B
Błędy (niepewności) 
systematyczne

Metoda szacowania niepewności, 
która 
Wykorzystuje inne metody niż 
statystyczne:

 doświadczenie eksperymentatora

 porównanie z wcześniej 
wykonywanymi
    podobnymi pomiarami

 certyfikat producenta 
wykorzystywanych 
    w pomiarach przyrządów

 analiza materiału wzorcowego 
(odniesienia)

 

 

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A  W  POMIARACH  BEZPOŚREDNICH

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

)

x

(

u

1. Wykonujemy serię (skończoną) 

pomiarów

2. Wielkością najbardziej 

prawdopodobną
    jest średnia arytmetyczna :

3. 

Niepewność standardowa 

pojedynczego pomiaru u(x) 

(tzw. odchylenie standardowe 
pojedynczego 

pomiaru S

x

)

 

 

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność 
wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa 
średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















 

 

 

 

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A    W  POMIARACH    POŚREDNICH

)

x

,...

x

,

x

(

f

y

K

2

1



K

2

1

x

,...

x

,

x

)

x

(

u

),...

x

(

u

),

x

(

u

K

2

1

x

1

, x

2

,…,x

K

 – wielkości wejściowe nieskorelowane,  

każde określone                w pomiarach 
bezpośrednich. Znamy:                     oraz 
niepewności standardowe średnich: 

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?   

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową 
wielkości y ?

   

(*)

 

 

   

   

  

  





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

1

x

2

x

K

x

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

 

 

 

2.

 Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością 

     standardową (ang. combined standard uncertainty)























K

1

i

i

2

2

i

c

)

x

(

u

x

f

)

y

(

u

)

x

(

u

1

)

x

(

u

2

)

x

(

u

K

)

y

(

u

c

Schemat przenoszenia niepewności 

wielkości wejściowych

 

 

 

Metoda szacowania niepewności 
wykorzystująca 
inne metody niż statystyczne:

 wcześniejsze doświadczenie 
eksperymentatora
 specyfikacja producenta odnośnie 
używanego
w pomiarach przyrządu (klasa 
przyrządu)
 z kalibracji (wcześniej wykonanej)
 badania na materiale odniesienia 
(chemia 
analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

METODA TYPU B

 

 

100

pomiaru

 

zakres

K

x

k







Parametry metrologiczne 
aparatury:

Klasa przyrządu K

 (dana przez 

producenta)
Niepewność pomiaru wynikająca z 
klasy 
przyrządu kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na 
zakresie 50 V
popełniamy „błąd” kx = 0,1 V

 

 

Rozdzielczość przyrządu :  

Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla 
suwmiarki;
0,01 mm dla śruby 
mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:
0,1 °C dla termometru 
lekarskiego;
10 °C dla termometru 
„zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – 
„odstęp” 
pomiędzy kreskami (ew. połowa)

 

 

x

x

x

k

d

g











Rozdzielczość przyrządu:  

Dla mierników analogowych -  zmiana 
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 
0,01 V)

Niepewność wynikająca z rozdzielczości 
aparatury 

d

Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B 
wynosi:

 

 

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  B    W  POMIARACH    POŚREDNICH

 x

1

   

 

y

  

x

2

x

K





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y 

x

1,

 x

2

, …,x

K

 – wielkości pomiarów 

jednokrotnych

 

 

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru 

g

(y)

może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej



g

x

1



g

x

2



g

x

K



g

(y)

i

g

K

1

i

i

g

x

x

f

y

















UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do 
zawyżonych wyników niepewności (zwłaszcza dla K> 3)

 

 

 

 

 

A w jaki sposób  obliczyć niepewność wielkości, która 
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?

   

2

B

2

A

c

u

u

)

x

(

u





Standardowa 
niepewność 
całkowita

 

 

PAMIĘTAJ !!! 

Do obliczania wielkości pośrednich i 
niepewności używaj wielkości 
niezaokrąglonych

 

 

 

 

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy 
w postaci:
                                   

X

R

  =  X

M

   ±   ΔX

gdzie:  
X

R

     - wartość rzeczywista wielkości mierzonej, 

X

M    

- wartość uzyskana w wyniku pomiaru, 

ΔX    - niepewność lub błąd pomiaru.
 
 Powyższy zapis oznacza, że:
- najlepszym przybliżeniem wartości  mierzonej jest 
według eksperymentatora liczba X

M

 

;

- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana 
wartość znajduje się gdzieś  pomiędzy X

m

 - ΔX   i    X

m

 

+

 ΔX.

 

 

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników II

Błąd pomiaru  ΔX

  jest wielkością oszacowaną

.

  Nie  ma  więc  sensu  podawać  wszystkich  cyfr,  które 
otrzymujemy  z  obliczeń.  Obliczone  wartości    X

m

      i     

ΔX    podajemy  zaokrąglone.  Oznacza  to,  że 
przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.
  

Cyframi  znaczącymi

  danej  liczby  różnej  od  zera 

nazywamy  wszystkie  jej  cyfry  z    wyjątkiem 
występujących na początku zer. 
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, 
jeśli  są  one  wynikiem  obliczeń,  a  nie  zaokrągleń. 
Oznacza  to,  że  pierwsza  liczba  znacząca  musi  być 
różna od zera, natomiast druga, trzecia i dalsze mogą 
być zerami.

 

 

Przedstawianie błędów 

pomiarowych 

i zaokrąglanie wyników III

Przy  zaokrąglaniu 

wyniku  pomiaru

  stosowane  są 

powszechnie  przyjęte  zasady  zaokrągleń  :  liczbę 
kończącą się cyframi   0-4  zaokrąglamy w dół, a 5 - 9  
w górę .
Oszacowane

  błędy

  zaokrąglamy  zawsze  w  górę,   

ponieważ w żadnym przypadku nie wolno pomniejszać 
błędów. Zawsze  lepiej  podać zawyżoną wartość  błędu 
niż go niedoszacować . 

Obliczenia  wykonujemy  zawsze  z  większą  liczbą  cyfr, 
niż  chcemy  podać  wynik.  Zaokrągleń  dokonujemy 
dopiero po zakończeniu obliczeń.
Błędy    pomiarów  zaokrąglane  są  do  pierwszej  cyfry 
znaczącej  (wyjątek:  1,  2).  Ostatnia  cyfra  znacząca  w 
każdym  wyniku  pomiaru  powinna  stać  na  tym  samym 
miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru. 

 

 

DLACZEGO MUSIMY 

DLACZEGO MUSIMY 

ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI 

ZAOKRĄGLAĆ BŁĘDY I WYNIKI 

KOŃCOWE

KOŃCOWE

:

:

PRZYKŁAD:

PRZYKŁAD:

Pewien 

eksperymentator 

Pewien 

eksperymentator 

wykonał 

kilkaset 

pomiarów 

wykonał 

kilkaset 

pomiarów 

grubości włosa i uzyskał wynik:

grubości włosa i uzyskał wynik:

100,543

100,543

6

6

787

787

2

2

341

341

1

1





 

 

5,800

5,800

2

2

341

341

7

7

894

894

4

4

3   

3   





m

m

rozmiar 

rozmiar 

atomu

atomu

rozmiar jądra

rozmiar jądra

rozmiar kwarka

rozmiar kwarka

 

 

Liczbę cyfr znaczących danego wyniku znajdujemy licząc z

lewa na prawo cyfry: od pierwszej cyfry niezerowej.

ZAPAMIĘTAJ  POJĘCIE:  CYFRA  ZNACZĄCA!

 

 

PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :

Do jednego miejsca znaczącego, gdy

na skutek zaokrąglenia błąd ten nie

zwiększy się nie więcej niż o 10%

 

 

0,12501      może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?

Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

 

 

3. W zależności od wartości tej cyfry 
postępujemy

     według następujących zasad:

 

Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół

tzn. gdyby wynik był 123,37489  to dostaniemy

123,37  0,13

 

 

 

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w

górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:

123,38 0,13

 Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a

po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od

zera
W  sytuacji  np.  wyniku  123,3750000001
lub                                      123,3753210023
zaokrąglamy do 

123,38   0,13

 

 

ZAPAMIĘTAJ !

ZAPAMIĘTAJ !

PRAWIDŁOWO  ZAOKRĄGLONE:

PRAWIDŁOWO  ZAOKRĄGLONE:

WARTOŚĆ  WIELKOŚCI  FIZYCZNEJ  

WARTOŚĆ  WIELKOŚCI  FIZYCZNEJ  

I  JEJ  NIEPEWNOŚĆ  MAJĄ  TAKĄ  

I  JEJ  NIEPEWNOŚĆ  MAJĄ  TAKĄ  

SAMĄ  ILOŚĆ  MIEJSC  

SAMĄ  ILOŚĆ  MIEJSC  

DZIESIĘTNYCH !

DZIESIĘTNYCH !

 

 

   NIE   !!!

R = 123, 35602    0,12501 

     TAK  !!!!

     R = 123,36     0,13  

PRAWIDŁOWO:     36,35  0,04 

0

C

                                     2,5  0,4 

kg

                                     3,7110

-2 

 0,02 10

-2 

m

NIEPRAWIDŁOWO:     36,35  

0,04 

                                  2,51  0,4 

kg

                                   3,7110

-2 

 

0,023 10

-2 

m

                                   12,34567  

0,22643 Bq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PRECYZJA  

PRECYZJA  

A  DOKŁADNOŚĆ  ?

A  DOKŁADNOŚĆ  ?

 

 

STRZELAMY DO  TARCZY

Nieprecyzyjnie i niedokładnie

Precyzyjnie ale niedokładnie

Nieprecyzyjnie ale dokładnie

Precyzyjnie i dokładnie