Metoda węzłowa w

SPICE

Metoda węzłowa

 Pierwsze prawo Kirchhoffa: suma

prądów w węźle jest równa 0 (suma
prądów wpływających jest równa
sumie prądów wypływających)

Metoda węzłowa

 Równań prądowych jest tyle ile

węzłów

 Każdy prąd wypływa z jednego

węzła (ze znakiem ‘-’) i wpływa do
innego węzła (ze znakiem ‘+’)

Metoda węzłowa

 Jeśli zsumować wszystkie równania

prądowe, prądy zsumują się do zera

 Czyli suma wszystkich równań jest zero
 Czyli każde równanie da się wyrazić

jako suma pozostałych ze znakiem ‘-’

 Czyli dla n węzłów w obwodzie można

sformułować tylko n-1 niezależnych
równań

Metoda węzłowa

 Ten dodatkowy, n-ty węzeł jest

traktowany jako węzeł odniesienia,
czyli tzw. masa, oznacza się go
symbolem ‘0’

Metoda węzłowa























































































































0

4

0

3

2

2

3

0

2

3

2

3

0

2

1

1

2

0

1

2

1

1

R

V

R

V

V

R

V

V

R

V

R

V

V

R

V

V

I

Metoda węzłowa

4

1

4

3

1

3

2

1

2

1

1

1

R

G

R

G

R

G

R

G































































































































0

4

0

3

2

2

3

0

2

3

2

3

0

2

1

1

2

0

1

2

1

1

R

V

R

V

V

R

V

V

R

V

R

V

V

R

V

V

I











































0

0

1

3

4

3

3

3

3

3

2

3

2

1

1

1

2

1

1

1

I

V

G

G

V

G

V

G

V

G

G

G

V

G

V

G

V

G

Metoda węzłowa











































0

0

1

3

4

3

3

3

3

3

2

3

2

1

1

1

2

1

1

1

I

V

G

G

V

G

V

G

V

G

G

G

V

G

V

G

V

G













































































0

0

1

3

2

1

4

3

3

0

3

3

2

1

1

0

1

1

I

V

V

V

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

I

GV 

Metoda węzłowa

 Właściwie wszystkie analizy SPICE

prowadzą do rozwiązania takiego układu
równań:



analiza .DC, .OP dla układów liniowych – w
sposób oczywisty



analiza .DC, .OP dla układów nieliniowych –
algorytm Newtona-Raphsona w zasadzie składa
się z kolekcji problemów liniowych



analiza .TRAN – całkowanie numeryczne to
szereg kroków liniowych

Konstrukcja układu

równań z netlist

 Opis topologii (netlist):

Konstrukcja układu

równań

 Szablony elementów, np. rezystor:





























































































n

n

n

n

n

n

n

n

V

V

G

G

G

G

n

n

G

V

V

G

V

V

n

G

V

V

n

:

:

:

:

Konstrukcja układu

równań



































































































































































































































1

1

1

1

N

n

n

V

V

V

V

G

G

G

G

N

n

n

Konstrukcja układu

równań

 Np. szablon źródła prądowego:



















































I

I

V

V

n

n

n

n

:

:

itd...

Konstrukcja układu

równań











































m

m

V

V

1

1

0

0

0

0

:

1

:

0

1

0

Konstrukcja układu

równań











































































0

1

1

2

.

0

2

.

0

0

2

.

0

2

.

0

0

0

0

0

:

2

:

1

:

0

2

1

0

m

m

V

V

V

m

m

m

m

Konstrukcja układu

równań

















































































0

1

1

3

.

0

2

.

0

1

.

0

2

.

0

2

.

0

0

1

.

0

0

1

.

0

:

2

:

1

:

0

2

1

0

m

m

V

V

V

m

m

m

m

m

m

m

Konstrukcja układu

równań



































































































0

0

1

1

125

.

0

125

.

0

0

0

125

.

0

425

.

0

2

.

0

1

.

0

0

2

.

0

2

.

0

0

0

1

.

0

0

1

.

0

:

3

:

2

:

1

:

0

3

2

1

0

m

m

V

V

V

V

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

Konstrukcja układu

równań







































































































0

0

1

1

625

.

0

125

.

0

0

5

.

0

125

.

0

425

.

0

2

.

0

1

.

0

0

2

.

0

2

.

0

0

5

.

0

1

.

0

0

6

.

0

:

3

:

2

:

1

:

0

3

2

1

0

m

m

V

V

V

V

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

Konstrukcja układu

równań







































































































0

0

1

1

625

.

0

125

.

0

0

5

.

0

125

.

0

425

.

0

2

.

0

1

.

0

0

2

.

0

2

.

0

0

5

.

0

1

.

0

0

6

.

0

:

3

:

2

:

1

:

0

3

2

1

0

m

m

V

V

V

V

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

V0 z

założeni

a równe

0

Jedno równanie

jest liniowo

zależne od

pozostałych

Konstrukcja układu

równań













































































0

0

1

625

.

0

125

.

0

0

125

.

0

425

.

0

2

.

0

0

2

.

0

2

.

0

:

3

:

2

:

1

3

2

1

m

V

V

V

m

m

m

m

m

m

m

Ten układ równań można już rozwiązać za pomocą np.
eliminacji Gaussa

Inna metoda

rozwiązywania

 Rozkład LU:

LU

G 











































































1

0

0

1

0

1

0

0

0

2

1

12

2

1

22

12

11

2

1

2

22

21

1

12

11









































n

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

u

u

u

l

l

l

l

l

l

g

g

g

g

g

g

g

g

g

Rozkład LU

Algorytm wyznaczania LU jest modyfikacją

algorytmu Gaussa

D

UV

UV

D

I

LD

I

LUV

I

GV











,

Rozkład LU

 „podstawianie do przodu”:













































































n

n

nn

n

n

I

I

I

d

d

d

l

l

l

l

l

l

















2

1

2

1

2

1

22

12

11

0

0

0

I

LD

Rozkład LU













































































n

n

n

n

d

d

d

V

V

V

u

u

u



















2

1

2

1

2

1

12

1

0

0

1

0

1

D

UV

 „podstawianie wstecz”:

Rozkład LU

 Podstawowa zaleta:

Pracochłonny rozkład LU jest wykonywany

tylko raz, natomiast wielokrotne
obliczenia potencjałów węzłowych dla
zmieniających się pobudzeń (a nie
zmieniającej się topologii układu)
obejmują tanie obliczeniowo operacje
podstawiania do przodu i wstecz

Problemy nieliniowe

 Rozwiązywanie równań

nieliniowych o postaci:

gdzie f(x) jest funkcją nieliniową

 Obejmuje to oczywiście przypadek

każdego równania:

 

0



x

f

 

 

0

0

)

(













x

g

b

x

f

b

x

f

Problemy nieliniowe

 Szczególnym przypadkiem są wszelkiego

rodzaju problemy optymalizacyjne –
poszukiwanie ekstremum (maksimum
albo minimum) funkcji kosztu lub zysku:

gdzie f’(x) to pierwsza pochodna funkcji f(x)

 

0

'



x

f

Rozwinięcie w szereg

Taylora

 Jeżeli znamy wartość funkcji i

wszystkich jej pochodnych w
pewnym punkcie, można wyznaczyć
na tej podstawie wartość w innym
punkcie:





 

 

 

 

 



























k

k

x

x

f

k

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

!

1

''

2

1

'

2

Rozwinięcie w szereg

Taylora

 Przy obcięciu do wyrazu rzędu k

reszta rozwinięcia może być
oszacowana jako składnik rzędu
(O - funkcja Landaua):





 

 

 

 

 





1

2

!

1

''

2

1

'



























k

k

k

x

O

x

x

f

k

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f







1





k

x

O

Rozwinięcie w szereg

Taylora

 Często jest stosowane nawet rozwinięcie

obcięte pierwszego rzędu:

 Jest to tym lepsze przybliżenie prawdziwej

wartości, im mniejsza jest wartość Δx

 Do takiego przybliżenia nawiązuje

algorytm Newtona-Raphsona





 

 

x

x

f

x

f

x

x

f











'

Algorytm Newtona-

Raphsona

Isaac Newton (1643-1727)

Joseph Raphson (1648-1715)

Algorytm Newtona-

Raphsona

)

(x

f

)

f(x

-

= x

x

i

i

i

i



1

f ( x )

f ( x

i

)

f ( x

i - 1

)

x

i + 2

x

i + 1

x

i

X

 

 





i

i

x

f

x

,

Algorytm Newtona-

Raphsona

 Algorytm zaczyna z pewnego punkty

x

0

, będącego pierwszym

oszacowaniem prawdziwego
rozwiązania x

*

 W punkcie x

0

na podstawie

znajomości pochodnej funkcji f(x

0

)

rozwiązywane jest równanie liniowe:





 

 

0

'

0

0

0

0

0













x

x

f

x

f

x

x

f

Algorytm Newtona-

Raphsona

 Rozwiązanie tego równania:

wyznacza kolejne oszacowanie

rozwiązania x

*

:

 

 

0

0

0

' x

f

x

f

x







 

 

0

0

0

0

0

1

' x

f

x

f

x

x

x

x











Algorytm Newtona-

Raphsona

 Ten sam sposób postępowania jest

stosowany w kolejnych iteracjach:

 Kolejne wartości x

i

są coraz lepszymi

oszacowaniami x

*

 

 

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x

'

1







Przykład

Algorytm Newtona-

Raphsona

 Zamiast wyprowadzenia bazującego na

rozwinięciu Taylora można zastosować intuicję
geometryczną:

f(x)

f(x

i

)

x

i+1

x

i

X

B

C

A



)

(

'

)

(

1

i

i

i

i

x

f

x

f

x

x







1

)

(

)

(

'







i

i

i

i

x

x

x

f

x

f

AC

AB







tan(

Algorytm Newtona-

Raphsona

 Problem nieliniowy jest zastąpiony

serią problemów liniowych

 Każdy problem liniowy jest

lokalnym przybliżeniem Taylora
pierwszego rzędu dla problemu
nieliniowego

Algorytm Newtona-

Raphsona

 W każdej iteracji jest wyznaczane kolejne

przybliżenie rozwiązania

 Proces iteracyjny jest kończony kiedy

względny błąd procentowy:

spadnie poniżej ustalonej wartości

(dokładności algorytmu)

0%

10

1

1

x

- x

x

=

i

i

i

a









Algorytm Newtona-

Raphsona



System rozwiązujący równanie:

zgodnie z algorytmem Newtona-Raphsona nie zna

„globalnie” funkcji f(x), natomiast musi mieć możliwość

zapytać o wartość f(x), f’(x) w arbitralnym punkcie x



Kolejne pytania o wartość funkcji zwiększają wiedzę

systemu rozwiązującego o funkcji.



Początkowa hipoteza dotycząca rozwiązania x

0

z każdą

iteracją ulega zmianie, dzięki uwzględnieniu nowych

informacji o funkcji f(x)

 

0



x

f

Pułapki – wybór punktu

startowego

Pułapki – wybór punktu

startowego

Pułapki – oscylacje

dookoła ekstremum

Ekstrema – dzielenie

przez zero

-1.00E-05

-7.50E-06

-5.00E-06

-2.50E-06

0.00E+00

2.50E-06

5.00E-06

7.50E-06

1.00E-05

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

x

f(x)

0.02

Pułapki – jedno z wielu

rozwiązań

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-2

0

2

4

6

8

10

x

f(x)

-0.0630690.54990

4.462

7.53982