Egzamin z matematyki dla Ochrony Åšrodowiska II stopieo
ImiÄ™ i nazwisko:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
nr albumu:& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Specjalnośd:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1. Na odcinku *0,1+ umieszczono losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A będzie
zdarzeniem, że x>y+0.5 , natomiast B, że x<0.5 . Czy zdarzenia A i B są niezależne?
2. W rodzinie jest czwórka dzieci. Prawdopodobieostwo, że dziecko jest chłopcem
wynosi 0.51. Wylicz prawdopodobieostwo zdarzenia, że w rodzinie są sami chłopcy,
jeśli wiadomo, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec.
( )
3. Wiedząc, że zmienna losowa X ma funkcję gęstości { ,
wyznacz wartośd parametru a oraz oblicz EX.
4. Przy założeniu, że ciśnienie w komorze spalania silnika rakietowego ma rozkład
normalny wyznacz 99% realizację przedziału ufności dla średniego ciśnienia w
komorze spalania tego silnika, jeżeli dokonano 7 pomiarów ciśnienia otrzymując:
31.85, 31.36, 30.32, 30.90, 31.70, 32.40, 31.60.
5. Wylosowano 120 sztuk pewnego wyrobu wyprodukowanego starÄ… technologiÄ… i
otrzymano 12 sztuk wadliwych, a wśród 160 sztuk wyprodukowanych nową
technologiÄ… byÅ‚o 20 sztuk wadliwych. Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.05 sprawdz

hipotezę o jednakowych procentach braków przy produkcji obu metodami, wobec
hipotezy, że jakośd produkcji nową technologią jest lepsza.
6. Wykonano 200 serii po 6 niezależnych rzutów monetą i uzyskano następujące wyniki:
Liczba orłów w serii 0 1 2 3 4 5 6
Liczba serii 7 18 45 60 46 19 5
Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.05 zweryfikuj hipotezÄ™, że liczba orłów wyrzuconych w
serii rzutów ma rozkład dwumianowy z prawdopodobieostwem sukcesu p= .
1 2 3 4 5 6 Suma
Egzamin z matematyki dla Ochrony Åšrodowiska II stopieo
ImiÄ™ i nazwisko:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
nr albumu:& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Specjalnośd:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1. Z kwadratu [0,1]‰ð[0,1] wybieramy losowo punkt o współrzÄ™dnych (p,q). Oblicz
prawdopodobieostwo, że równanie będzie miało pierwiastki rzeczywiste.
2. W pierwszej urnie są dwie białe kule i jedna czarna, a w drugiej jedna biała i dwie czarne. Z
pierwszej urny losujemy jedną kulę i przekładamy do drugiej. Następnie z drugiej urny
losujemy dwie kule. Oblicz prawdopodobieostwo, że będą to dwie białe kule.
3. Zysk netto osób prowadzących działalnośd gospodarczą w pewnym regionie jest zmienną
( ) . Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu i
losową X z funkcją gęstości {
oblicz prawdopodobieostwo, że zysk osoby prowadzącej taką działalnośd będzie od 4 do 6.
4. W celu oszacowania średniej wytrzymałości na ściskanie pewnego typu betonu, dokonano 80
niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując wyniki:
Wytrzymałośd 190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214
Liczba pomiarów 6 12 26 20 11 5
Wyznacz 99% realizację przedziału ufności dla średniej wytrzymałości na ściskanie tego
betonu.
5. W pewnym instytucie hodowli roślin wysiano 800 ziaren grochu nowej odmiany i
zaobserwowano, że wykieÅ‚kowaÅ‚o 728 ziaren. Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.01 zweryfikuj
hipotezę, że siła kiełkowania grochu tej odmiany wynosi 85%, wobec hipotezy, że jest
mniejsza.
6. Przeprowadzono ewidencję awarii urządzeo technicznych w zakładzie produkcyjnym w ciągu
kolejnych 100 dni roboczych, uzyskujÄ…c wyniki:
Liczba awarii 0 Poniżej 2 Poniżej 3 Poniżej 4
Liczba dni 20 65 95 100
Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.05 zweryfikuj hipotezÄ™, że rozkÅ‚ad liczby awarii jest rozkÅ‚adem
Poissona (z parametrem lð=  ).
1 2 3 4 5 6 Suma
Egzamin z matematyki dla Ochrony Åšrodowiska II stopieo
ImiÄ™ i nazwisko:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
nr albumu:& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Specjalnośd:& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
1. Na kartce egzaminacyjnej jest 5 pytao i 3 możliwe odpowiedzi na każde z pytao. Zdający
losowo wybiera odpowiedz
na każde z pytao. Oblicz prawdopodobieostwo otrzymania 4
poprawnych odpowiedzi.
2. Z odcinka [-1,1+ wybrano losowo i niezależnie dwie liczby x i y. Oblicz prawdopodobieostwo,
że , jeśli wiadomo, że .
( ) .
3. Znajdz
wartośd oczekiwaną zmiennej losowej X, o gęstości {
4. Z 400 przebadanych zakładów produkcyjnych danego regionu w pewnym roku 330 zapłaciło
kary umowne za niedotrzymanie umów korporacyjnych. Znajdz
95% realizację przedziału
ufności dla procentu zakładów produkcyjnych w tym regionie w danym roku, które zapłaciły
kary umowne.
5. Zmierzono w dwóch ulach średnice komórek plastrów zbudowanych przez pszczoły . Dla 7
wylosowanych komórek z pierwszego ula otrzymano: 5.36, 5.20, 5.28, 5.16, 5.30, 5.08, 5.23 ,
a dla drugiego ula: 5.15, 5.04, 5.30, 5.22, 5.19, 5.24, 5.12. Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.05
zweryfikuj hipotezę, że odchylenia standardowe średnic komórek plastra są jednakowe,
wobec hipotezy, że są różne.
6. Wykonano 120 rzutów sześcienną kostką do gry otrzymując wyniki:
Liczba oczek 1 2 3 4 5 6
Liczba rzutów 11 30 14 10 33 22
Na poziomie istotnoÅ›ci að=0.05 zweryfikuj hipotezÄ™, że kostka jest symetryczna (tzn.
prawdopodobieostwo wyrzucenia każdej liczby oczek jest takie samo).
1 2 3 4 5 6 Suma