PAYTY
Wstęp
We wszystkich zagadnieniach rozpatrywanych w poprzednich rozdziałach
związki geometryczne były zadawane w swej ścisłej postaci, natomiast w czasie
rozwiązywania wprowadzono przybliżenia. W klasycznej teorii płyt wprowadza się
założenie o liniowej zmienności odkształceń i naprężeń na prostych prostopadłych do
płaszczyzny płyty, w celu sprowadzenia do zagadnienia dwuwymiarowego. Założenie to
dotyczy tzw. płyt cienkich przy małych ugięciach.
Stan odkształceń płyty może być całkowicie opisany za pomocą jednej
wielkości. Jest nią poprzeczne przemieszczenie uz powierzchni środkowej płyty. Warunki
ciągłości pomiędzy elementami są teraz nałożone nie tylko na uz, lecz również na jej
pochodne. Funkcje kształtu, które nie zapewniają ciągłości nachylenia między
elementami nazywamy niedostosowanymi. Te, które zapewniają tę ciągłość
nazywamy dostosowanymi. Najprostszym elementem do opisu jest element prostokątny.
Funkcje przemieszczeń
Przemieszczenia płyty według teorii płyt cienkich są jednoznacznie określone przez ugięcia uz.
Ugięcie to zapiszemy w postaci:
uz = [N]{d}
(5.1)
gdzie
di
d
j
{d}=
d ż
k
dl
Ponieważ odkształcenia w płycie są definiowane przez drugie pochodne, jako parametry
(
węzłowe przyjmujemy przemieszczenia
, obroty
uzi)
Q(i) wokół osi x i obrót
Q(yi)
x
wokół osi y (rys. 5.1).
Element płytowy prostokątny
k
l
j
i
uz(Fz)
z
Qy(My)
y
Rys. 5.1.
Qx(Mx)
x
Możemy, więc zapisać, zgodnie z teorią płyt cienkich
(
uzi)
(
uzi)
(i)
ć
śuz
(i)
{di}= =
Q ż ż
x (5.2)
śy
Ł ł
(i)
Q
(i)
y
śuz
ć
-
śx
Ł ł
W elemencie prostokątnym występuje wobec tego dwanaście parametrów. Przyjmujemy następującą
aproksymację
(5.3)
uz = a1 +a2x +a3y +a4x2 +a5xy +a6 y2 +a7x3 +a8x2 y +a9xy2 +a10y3 +a11x3y +a12xy3
inaczej
(5.4)
uz = [P]{a}
gdzie
[P] = [1, x, y, x2, xy, y2, x3, x2 y, xy2, y3, x3y, xy3]
(5.5)
(5.6)
{a} ={a1,a2,a3,...,a12}T
Stałe do można określić pisząc dwanaście równań wiążących wielkości uz
a1
a12
i jej pochodnych w węzłach
i
uz = a1 +a2xi +a3yi +a4xi2 +a5xi yi +a6 yi2 +...+a12xi yi3
ć
śuz
= Qxi = a3 +a5xi + 2a6 yi +a8xi2 + 2a9xi yi + 3a10yi2 +a11xi3 + 3a12xi yi2
(5.7)
śy
Ł łi
śuz
ć
- = Qyi = -a2 - 2a4 yi -a5 yi -a9 yi2 - 2a8xi yi - 3a7xi2 -a12yi3 - 3a11xi2 yi
śx
Ł łi
Te dwanaście równań możemy zapisać w postaci macierzowej
e
{d} = [C]{a} (5.8)
gdzie
[C] macierz 12x12 zależna od współrzędnych węzłów.
Odwracając to równanie mamy
(5.9)
{a} = [C]-1{d}e
Teraz możemy zapisać wyrażenie na przemieszczenia wewnątrz elementu w postaci standardowej
uz = [N]{d}e = [P][C]-1{d}e
(5.10)
Jawną postać powyższego wyrażenia wyprowadził Melosh w 1963r. We współrzędnych
znormalizowanych macierz funkcji kształtu
[N] = [Ni N Nk Nm]
(5.11)
j
1
2
[Ni ] = [(x0 +1)(h0 +1)(2 +x0 +h0 -x -h2),
8
2 2
axi(x0 +1) (x0 -1)(h0 +1), bhi(x0 +1)(h0 +1) (h0 -1)]
(5.12)
gdzie
x - xC y - yC
x = h =
(5.13)
a b
x0 = xxi h0 = hhi
Odkształcenia
Zależność między odkształceniami {e}, a ugięciem płyty uz zgodnie z teorią cienkich płyt płaskich
ma postać
ś2uz
-
śx2
kx
ś2uz
(5.14)
{e}= =
k ż - ż
y
śy2
k
xy
ś2uz
-
śxśy
e
Uwzględniając (5.10) i (5.11) znajdujemy macierz [B] występującą w
{e}= [B]{d}
w której
ś2
- [Ni ]
śx2
ś2
[Bi ] = - [Ni ]
ż
śy2
ś2
[Ni ]
-
(5.15)
śxśy
Naprężenia
Naprężenia odpowiadające zdefiniowanym wcześniej odkształceniom są w istocie
momentami zginającymi i skręcającymi na jednostkę długości
M
x
{s} = M
ż (5.16)
y
M
xy
ć
ś2uz ś2uz
M = -D +
x
Zgodnie z teorią płyt cienkościennych
śx2 śy2
Ł ł
ć
ś2uz ś2uz
M = -D +
y
śy2 śx2
Ł ł
ś2uz
M = -D(1- )
xy
Macierz sprężystości [D] określa się ze związku
śxśy
{s} = [D]({e}-{e0})
(5.17)
Dla płyty izotropowej
1 0
ł
Et3 ę
ś
[D] = 1 0
(5.18)
2
ę ś
12(1- )
ę
0 0 1- ś
Macierz sztywności
Macierz sztywności, wiążącą siły węzłowe z odpowiadającymi im
przemieszczeniami węzłów, można zapisać w postaci
T
(5.19)
[k] =
[B] [D][B]dxdy
Siły węzłowe od obciążenia ciągłego
Jeśli obciążenie ciągłe q działa na jednostkę pola elementu w kierunku uz,
wówczas udział tego obciążenia w siłach węzłowych wynosi
e
T
{F} = -
(5.20)
p
[N] qdxdy
Całkę tę można łatwo wyznaczyć. Należy zauważyć, że w przypadku ogólnym wszystkie trzy
składowe sił zewnętrznych w każdym węzle nie będą mieć wartości zerowych. Dla elementu
prostokątnego pod obciążeniem równomiernym q otrzymamy:
Fz(i)
1/ 4
(i)
M
x
- b /12
(i)
M
a /12
y
Fz( j)
1/ 4
( j)
M
b /12
x
( j)
(5.21)
M
a /12
y
= 4qab
ż ż
1/ 4
Fz(k )
(k
M x )
b /12
(k )
M - a /12
y
1/ 4
Fz(m)
(m)
- b /12
M
x
M (m)
- a /12
y
Obliczenie naprężeń
W wyniku rozwiązania podstawowego układu równań
[K]{d} ={F}
(5.22)
otrzymujemy wektor przemieszczeń węzłowych. Dalej na podstawie związków geometrycznych
{kx ky kxy}
wyznaczamy składowe odkształceń płytowych
A ze związków fizycznych określimy momenty zginające i skręcające {Mx M Mxy}
y
Dalej wiedząc, że
t / 2
(5.23)
M =
x x
s zdz itd.
-t / 2
i że
s
zmieniają się liniowo na grubości płyty, można znalezć takie wyrażenia jak
x
12M
x
(5.24)
s = z itd.
x
t3
W celu określenia wytężenia płyty wyznacza się naprężenia dla górnej (z=t/2) i dla dolnej warstwy (z=-t/2).
Ponadto w znany sposób oblicza się naprężenia główne
s1, s2, j
i naprężenia zredukowane według Hubera-Misesa
s
zred
.
Element płytowy trójkątny
Wprowadza się znormalizowane współrzędne dla trójkątów, są to tzw. współrzędne
powierzchniowe L1, L2, L3 określone następującą zależnością liniową między tymi
współrzędnymi a współrzędnymi kartezjańskimi
x = L1x1 + L2x2 + L3x3
(5.25)
y = L1y1 + L2 y2 + L3y3
1 = L1 + L2 + L3
3
(x ,y )
3 3
Miejscem geometrycznym dla L1=const są
proste równoległe do boku 2-3. W punkcie
1 jest L1=1, a w punktach 2 i 3 jest
L2=L3=0.
P(L , L , L )
1 2 3
Rys. 5.2. Współrzędne powierzchniowe trójkąta
1
(x ,y )
1 1
(x ,y )
2 2
2
L =1 L =0,75
L =0,5 L =0,25
L =0
1 1
1 1
1
Odmienna definicja współrzędnej L1 punktu P może być wyrażona przez stosunek
pola trójkąta DP23 do pola całego trójkąta D123
ADP23
L1P =
(5.26)
AD123
Rozwiązując (5.25) względem x i y otrzymamy
1
L1 = (a1 + b1x + c1y)
2D
(5.27)
1
L2 = (a2 + b2x + c2 y)
2D
1
gdzie
L3 = (a3 + b3x + c3y)
2D
1 x1 y1
a1 = x2 y3 - x3y2
2D = det1 x2 y2
b1 = y2 - y3
1 x3 y3
c1 = x3 - x2
Tutaj podobnie przy aproksymacji przemieszczeń stosujemy rozwinięcia w wielomiany, np.:
(5.28)
a1L1 +a2L2 +a3L3
jest wielomianem liniowym, a
2
(5.29)
a1L1L2 +a2L2L3 +a3L3L1 +a4L1 +a5L2 +a6L2
2 3
zawiera wszystkie sześć wyrazów rozwinięcia kwadratowego (w tym także i
rozwinięcie liniowe). Dziewięć wyrazów sześciennych jest ukształtowanych z
iloczynów wszystkich możliwych kombinacji, tj.:
3 2 2
(5.30)
[L1, L3 , L3, L1L2, L2L3, L2L1, L2L1, L2L2, L1L3, L1L2L3]
2 3 2 3 2 3
Dla elementu o dziewięciu stopniach swobody każdy z tych wyrazów może być użyty w dowolnej
kombinacji. Przemieszczenia płyty opisuje się w następujący sposób
1 1
2
uz = b1L1 + b2L2 + b3L3 + b4ć L2L1 + L1L2L3 +L+ b9ć L1L2 + L1L2L3
(5.31)
2
2 2
Ł ł Ł ł
i podstawiając wartości:
ć
śuz śuz
(
uzi), Q(i) = oraz Q(yi) = -ć
x
śy śx
Ł łi
Ł łi
można obliczyć stałe b, a zatem i funkcje kształtu.
ł
2 2
ę ś
L1 + L1L2 + L1L3 - L1L2 - L1L2
2 3
ę ś
Typowa funkcja kształtu
T
2 2
ęb ć L1L2 + 1 L1L2L3 b2ć L1L3 + 1 L1L2L3 ś
[N1] = -
w odniesieniu do węzła
ś (5.32)
3
ę
2 2
Ł ł Ł ł
1 ma postać
ę
1 1
2 2
ę
c3ć L1L2 + L1L2L3 - c2ć L1L3 + L1L2L3 ś
ś
2 2
ę ś
Ł ł Ł ł
Elementy opisane za pomocą powyższych funkcji przedstawione były po raz pierwszy w pracy z 1965r.
W celu wyznaczenia macierzy [B] należy liczyć drugie pochodne od [N], względem
współrzędnych kartezjańskich x i y. Jest to proste zważywszy, że
ć
ś śL1 ś śL2 ś śL3 ś 1 ś ś ś
= + + =
(5.33)
b1 + b2 śL2 + b3 śL3
śx śx śL1 śx śL2 śx śL3 2D śL1
Ł ł
Wszystkie wyrażenia pozostają wielomianami we współrzędnych powierzchniowych i można je łatwo
scałkować w sposób ogólny. Istnieje wyrażenie
a!b! c!
a
L1 Lb Lc dxdy = 2D
2 3
(5.34)
(a + b + c + 2)!
D
Prościej jednak jest wykonać program na maszynę cyfrową, stosując całkowanie numeryczne.
POWAOKA JAKO ZBIÓR PAASKICH
ELEMENTÓW
Wstęp
Przyjmuje się aproksymację powierzchni
zakrzywionej w sposób ciągły za pomocą
powierzchni utworzonej z małych płaskich
elementów.
W powłokach element poddany jest, w
ogólnym przypadku, zarówno zginaniu jak i
działaniu sił w płaszczyznie .
W praktyce stosujemy elementy trójkątne
i czworokątne. Możliwości obliczania powłok
za pomocą MES są duże, łatwo można
obliczać powłoki z otworami, o zmiennej
grubości, powłoki o strukturze anizotropowej.
Sztywność elementu płaskiego we współrzędnych lokalnych
Rozpatrzmy typowy element poddany działaniu sił w płaszczyznie i zginaniu.
Należy odnotować dwa fakty. Pierwszy, że przemieszczenia powodowane działaniem
sił stanu tarczowego nie wpływają na odkształcenia gięte i odwrotnie. Drugi, że obrót Qz nie
może występować jako parametr przy określaniu deformacji. Wprowadzamy ten obrót do
rozważań i połączymy z nim fikcyjny moment Mz.
Przemieszczenia węzłów definiujemy jako:
a odpowiednie siły węzłowe
(
uxi)
Fx(i)
(i)
uy
Fy(i)
dip
( (6.1)
uzi)
Fi p
Fz(i)
{di}= = dib ż
ż
(i)
{Fi}= = Fib ż
(6.2)
ż
(i)
x (i)
Q Q
x (i)
M M
z
z
(i)
Q(yi)
M y
(i)
(i)
M z
Qz
p p p
{F }=[k ]{d }
przy czym mamy
b
{Fb}=[kb]{d }
uy(i)
x
uy(i) Qy(i)
Qy(i)
y
ux(i) Qx(i)
i i
Qx(i) ux(i)
z
i
uz(i)
j j
uz(i)
j
=
+
m m
Qz(i)
m
Element Element Element
tarczowy płytowy powłokowy
Macierz sztywności elementu
e e e
powłokowego może być zapisana w
(6.3)
{F} = [k] {d}
postaci
p
ł
[krs] 0 0
i składa się z następujących podmacierzy
ę ś (6.4)
b
[krs]= 0 [krs] 0ś
ę
ę
0 0 0ś
Transformacja współrzędnych
Macierz sztywności, wyprowadzona w poprzednich rozważaniach, odniesiona była
do układu współrzędnych lokalnych w płaszczyznie elementu.
W celu połączenia elementów w całość i wypisania równań równowagi niezbędna
jest transformacja tego układu do globalnego układu współrzędnych. Układ lokalny
oznaczamy przez x , y , z , układ zaś globalny przez x, y, z.
Z drugiej strony bardziej dogodne jest przyporządkowanie węzłów elementów
współrzędnym globalnym i wyrażenie za ich pomocą współrzędnych lokalnych, temu
celowi służyć będzie transformacja odwrotna.
Siły i przemieszczenia węzłów transformuje się z układu globalnego na lokalny
poprzez macierz [L] w następujący sposób
y y
x
{di'}= [L]{di}; {Fi'}= [L]{Fi}
(6.5)
x x
l 0
ł
gdzie
[L] = z
(6.6)
ę0 lś
x
z
Tutaj [l] jest macierzą rzędu 3x3 kosinusów kierunkowych kątów pomiędzy dwoma układami tj.
ł
lx'x lx'y lx'z
ęl ly'y ly'z ś
[l] =
(6.7)
y'x
ę ś
ęlz'x lz'y lz'z ś
gdzie
lx'x
jest kosinusem kierunkowym kąta pomiędzy osiami x oraz x .
Dla całego układu sił działających w węzłach na dany element można, zatem napisać
e e e e
{d '} = [T]{d} ; {F'} = [T]{F}
(6.8)
Jeśli macierz sztywności została zapisana w lokalnych współrzędnych (primowanych), to równanie
e
e
(6.9)
{F'} = [k']e{d '}e +{F'}e +{F'}e
p
0
w ogólnych współrzędnych (nieprimowanych) ma postać
e
{F}e = [T]-1{F'}e = [T]-1[k']e[T]{d}e +[T]-1{F'}e +[T]-1{F'}e
(6.10)
p
0
Macierz sztywności w globalnych współrzędnych wyraża się, zatem następująco
[k]e = [T]-1[k']e[T]
(6.11)
Ponieważ, macierz transformacji jest ortogonalna, to transpozycja macierzy równa się jej
odwrotności, mamy
[T]-1 = [T]T
(6.12)
a więc
[k]e = [T]T[k'][T]
(6.13)
W powyższych równaniach [T] oznacza
L 0 0 0 L
ł
ę
0 L 0 0 Lś
ę ś
(6.14)
ę ś
[T ] = 0 0 L 0 L
ę
0 0 0 L Lś
ę ś
ęL L L L Lś
jest macierzą quasidiagonalną zbudowaną z macierzy [L] w liczbie odpowiadającej liczbie
węzłów elementu. Aatwo pokazać, że typowa podmacierz macierzy sztywności jest teraz równa
[krs] = [L]T[k'rs ][L]T
(6.15)
gdzie
[k'rs ]
jest określone za pomocą równania (6.4) we współrzędnych lokalnych.
Współrzędne lokalne określa się według podobnego schematu. Jeśli początki układów
lokalnego i globalnego pokrywają się, wówczas
ł
x' lx'x lx'y lx'z x
y' ęl
= ly'y ly'z śy
ż
y'x
ę ś ż
(6.16)
z'
ęlz'x lz'y lz'z śz
Ponieważ przy obliczaniu macierzy sztywności położenie początku układu jest nieistotne,
transformacja ta wystarczy do określenia lokalnych współrzędnych w płaszczyznie elementu.
Przemieszczenia obliczone z rozwiązania podstawowego układu równań odniesione są do
globalnego układu współrzędnych. Zanim więc przystąpimy do obliczania naprężeń, konieczna
jest transformacja przemieszczeń węzłowych elementu do układu lokalnego elementu.
ELEMENT BELKOWY
Przemieszczenia i siły uogólnione
Rozważmy element belkowy (rys. 8.1) prosty o długości l, stałym przekroju A,
wykonany z jednorodnego materiału o module Younga E, liczbie Poissona i gęstości r.
Znane są także: Is, Iy, Iz wskaznik sztywności pręta na skręcanie[1] i główne momenty
bezwładności przekroju poprzecznego odpowiednio na zginanie względem osi ye oraz ze, które
dla elementu przyjmujemy jako stałe. W elemencie przyjmujemy dwa węzły i oraz j
znajdujące się na jego końcach. Oś układu lokalnego xe pokrywa się z osią obojętną zginania
pręta, a początek układu znajduje się w węzle i (rys. 8.1)
(j)
Q
y
(j)
Q
x
x
(j) e
(j)
u
y
u
y
x
e
(i)
Rys. 8.1. Element belkowy o
(j)
Q (j)
j
y
u
Q
z
z
12 stopniach swobody w
układzie lokalnym xe, ye, ze.
(i)
(i)
(i)
u
y
Q Osie ye i ze pokrywają się z
u
x
x
głównymi centralnymi osiami
bezwładności przekroju.
(i)
(i)
i
u
z
z
e
Q
z
Ml
j =
[1]Kąt skręcenia pręta pryzmatycznego o długości l obciążonego momentem M określa zależność
GIs
Mr
a naprężenie styczne przy skręcaniu w odległości r od osi - t =
Is
Przemieszczeniami uogólnionymi węzłów elementu są przemieszczenia translacyjne oraz trzy
rotacyjne. Wektor przemieszczeń węzłowych elementu ma postać:
(8.1)
di
{d} =
d ż
e
j
gdzie
T
( (
{di} = {uxi) u(i) uzi) Q(i) Q(yi) Q(i)}
y x z
( (
uxi), u(i), uzi) - przemieszczenia translacyjne i-tego węzła w kierunku osi xe, ye, ze.
y
Q(i), Q(yi), Q(i) - przemieszczenia rotacyjne i-tego węzła względem osi xe, ye, ze.
x z
Siły uogólnione węzłowe są siłami i momentami sił działającymi w kierunkach zgodnych z
przemieszczeniami uogólnionymi (rys. 8.1). Wektor sił uogólnionych ma postać
Fi
(8.2)
{F} =
F ż
e
j
gdzie
T
( (i) (
{Fi} ={Fx(i) Fy(i) Fz(i) Mxi) M Mzi)}
y
Fx(i), Fy(i), Fz(i) -siły działające w i-tym węzle w kierunku osi xe, ye, ze.
( (i) (
Mxi), M , Mzi) - momenty sił w i-tym węzle względem osi xe, ye, ze.
y
Przemieszczenia przekroju elementu belkowego dla punktu leżącego na osi obojętnej elementu
określamy za pomocą trzech składowych translacyjnych oraz trzech składowych rotacyjnych,
będących obrotami względem osi xe, ye, ze. Wektor przemieszczeń dowolnego przekroju ma, zatem
postać
T
{
{u} = ux uy uz Qx Qy Qz }
(8.3)
Dla elementu belkowego przyjmujemy wielomiany aproksymujące przemieszczenia zgodnie z
elementarną teorią belek
ux = a1 +a2xe
2 3
uy = a3 +a4xe +a5xe +a6 xe
(8.4)
2 3
uz = a7 +a8xe +a9xe +a10xe
Qx = a11 +a12xe
natomiast obroty względem osi ye i ze zgodnie z klasyczną teorią belek są równe
śuz
2
Qy = - = -a3 - 2a9xe - 3a10xe
śxe
(8.5)
śuy
2
Qz = = a4 + 2a5xe + 3a6xe
śxe
Stałe a1, a2,& ,a12 wyznaczymy z warunków
{u(0)}= {di}
(8.6)
{ }
{u(l)}= d
j
W ten sposób otrzymamy zależność wektora przemieszczeń od wektora przemieszczeń węzłowych
(8.7)
{u}= [N] {d}
e e
gdzie macierz funkcji kształtu jest równa
1- x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0
ł
ę 3 2 2 2 2
0 2x - 3x +1 0 0 0 xl(x - 2x +1) 0 x (-2x + 3) 0 0 0 x l(x -1)ś
ę ś
3 2 2 2 2
ę ś
0 0 2x - 3x +1 0 xl(-x + 2x -1) 0 0 0 x (-2x + 3) 0 x l(-x +1) 0
ę ś
0 0 0 1- x 0 0 0 0 0 x 0 0
[N] =
e
ę ś
6 6
ę 2 ś
0 0 - x (x -1) 0 3x - 4x +1 0 0 0 x (x -1) 0 x (3x - 2) 0
ę ś
l l
ę ś
6 6
2
0 x (x -1) 0 0 0 3x - 4x +1 0 x (-x +1) 0 0 0 x (3x - 2)ś
ę
l l
(8.8)
xe
x =
przy czym przyjęto współrzędną bezwymiarową
l
Odkształcenia
Pomijając odkształcenia belki wywołane siłami porzecznymi, wektor odkształceń jednostkowych
wygodnie jest przyjąć w postaci
e
x
k
(8.9)
x
{e}= = [L]{u}
ż
k y
kz
gdzie
(8.10)
śux
ex =
ex - wydłużenie jednostkowe osi obojętnej
śx
(8.11)
śQx
kx - jednostkowy kąt skręcenia
kx =
śx
ky - jednostkowy kąt ugięcia względem osi ye (8.12)
śQy ś2uz
k = = -
y
śx śx2
śQz ś2uz
kz - jednostkowy kąt ugięcia względem osi ze
k = =
(8.13)
y
śx śx2
stąd mamy liniowy operator różniczkowy
ś
ł
ęśx 0 0 0 0 0 ś
ę ś
ś
ę 0 0 0 0 0 ś
(8.14)
śx
ę ś
[Gl]=
ś
ę ś
0 0 0 0 0
ę ś
śx
ę ś
ś
0 0 0 0 0
ę ś
śx
Macierz [B] uzależniająca odkształcenia od współrzędnych uogólnionych
elementu, otrzymamy podstawiając (8.8) do (8.9). Ma ona postać
1
0 0 0 0 0 Kł
ę- l ś
ę ś
1
ę 0 0 0 - 0 0 L
ś
l
ę ś
[B] = [G][N]e =
(8.15)
6 1
ę
0 0 - (2x -1) 0 - (-6x + 4) 0 Lś
ę ś
l2 l
ę ś
6 1
0 (2x -1) 0 0 0 (6x - 4) L
ę ś
l2 l
Naprężenia
Tworzymy wektor naprężeń (sił) przekrojowych
Fx
M
x
(8.16)
{s}=
M ż
Fx = s A
x
y
Is
M z
M = t
s
r
(8.17)
M = zs dz
y x
gdzie
M = ys dz
z x
Związki fizyczne pomiędzy wektorem sił przekrojowych a wektorem odkształceń
jednostkowych zapisujemy w postaci
Fx EA e
ł
x
(8.18)
M ę śk
GIs
s
ę ś x
=
ż
ę ś y ż
EI k
y
M y
ę ś
M z
EI
z kz
(8.19)
lub krótko
{s} = [D]{e}
Macierz sztywności
Macierz sztywności elementu belkowego w układzie lokalnym jest równa
l
T
[k'] =
[B] [D][B]dxe
(8.20)
0
W postaci jawnej
EA
0 0 0 0 0 Lł
ę ś
l
ę ś
12EI 6EI
z z
ę ś
0 0 0 0 L
l3 l2
ę ś
12EI 6EI
ę
y y
(8.21)
0 0 0 - 0 Lś
ę ś
l3 l2
ę ś
GIs
[k'] =
ę ś
0 0 0 0 0 L
l
ę ś
6EI 4EI
ę ś
y y
0 0 - 0 0 Lś
ę
l2 l
ę ś
4EI
6EI
y
z
ę
0 0 0 0 Lś
ę ś
l2 l
ę L L L L L L L
ś
Transformacja układów współrzędnych
Transformacja z układu lokalnego (primowanego) do globalnego przemieszczeń i sił
węzłowych odbywa się za pomocą zależności
{d '}e = [T]{d}e {F'}e = [T]{F}e
(8.22)
Po uwzględnieniu ich macierz sztywności w globalnych współrzędnych możemy przedstawić w postaci
[k]e = [T]T[k'][T]
(8.23)
Jednoznaczne określone jest położenie osi xe wynikające z kolejności podania węzłów
ograniczających element. Osie ye i ze pokrywają się z głównymi centralnymi osiami bezwładności
przekroju elementu belkowego tworząc układ prawoskrętny.
W programach MES wprowadzając charakterystyki elementu belkowego tj. momenty
bezwładności przekroju Iy i Iz należy określić położenie osi względem, których obliczono te
momenty bezwładności. Osi te, jak podano powyżej, są osiami ye i ze lokalnego układu
współrzędnych elementu. Ponieważ oś xe jest jednoznacznie określona przez kolejność podawania
węzłów opisujących element belkowy, wystarczy podać orientację osi ye. Oś ze wynika z faktu, że
układ ma być kartezjański prawoskrętny.
STRUKTURA PROGRAMÓW MES
Typowy program MES zbudowany jest z szeregu bloków (podprogramów). Na rys. 9.1
pokazano schemat blokowy programu MES.
Typowe bloki to:
- wprowadzanie danych,
- budowanie macierzy sztywności elementu i układu
- procedura rozwiązywania równań,
- obliczenie naprężeń
- wydruk wyników (tabele lub graficznie w postaci warstwic).
Na początku rozwoju MES dane wprowadzało się w tzw. sposób wsadowy, tj.
przygotowywało się listę węzłów z ich współrzędnymi, listę elementów z węzłami, pomiędzy
którymi się te elementy znajdują, własności materiałowe, listę obciążonych węzłów, listę węzłów,
w których występują zerowe przemieszczenia, (czyli podparcia, utwierdzenia). Obecnie przy
wprowadzaniu danych bazuje się na geometrii modelu, tj. na liniach, powierzchniach lub bryłach.
Węzły i elementy są w określony sposób generowane na geometrii zakładając ich wielkość lub
liczbę, typ elementu i rząd elementu. Również obciążenia węzłowe wprowadzane są posiłkując
się geometrią, czyli siły przykłada się do punktu, linii czy powierzchni. Podobnie jest z
podparciami.
- geometria (węzły i elementy),
Schemat blokowy programu MES
- własności materiału,
CZYTANIE ZBIORU DANYCH
- obciążenia,
- podparcia.
{F}
BUDOWANIE WEKTORA OBCIŻEC ZEWNTRZNYCH
Obliczanie macierzy sztywności elementu
[k ]
w układzie lokalnym
i transformacja do układu globalnego
[k]=[T]T[k ][T]
AGREGACJA
Wprowadzenie macierzy sztywności elementu
[K]
do macierzy sztywności układu
Uwzględnienie zerowych przemieszczeń
(podparcia, utwierdzenia)
[K] {d}={F}
Rozwiązanie układu równań
- metody bezpośrednie
- metody iteracyjne
Wydruk przemieszczeń
tabelarycznie lub graficznie
Transformacja przemieszczeń
{d }e=[T]{d}e
do układu lokalnego elementu
Obliczenie naprężeń w elemencie
{s }e=[D] [B]{d }e
Wydruk naprężeń
tabelarycznie lub graficznie
Pętla po elementach
Pętla po elementach
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
5 11 10 18 07 26 476 11 10 18 07 26 471 11 10 18 07 26 463 11 10 18 07 26 474 11 10 18 07 26 472 11 10 18 07 26 47Benedykt XVI 2011 10 17 list apostolski cz 11Analiza Wykład 7 (18 11 10) ogarnijtemat compdm? 2016 10 18więcej podobnych podstron