SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 7, 2010-11-18
Twierdzenie: Niech dana będzie funkcja f : (a, b) R różniczkowalna na (a, b) taka, że
f (x) = 0 "x " (a, b). Wtedy funkcja f jest stała: f(x) = C , "x " (a, b) .
Uwaga 1: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste: ( C = 0).
Uwaga 2: Twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego przedziału. W końcach przedziału wy-
starczy założyć ciągłość. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem twierdzenie nie jest prawdziwe.
Na przykład funkcja o dziedzinie D = (-1, 0) *" (0, 1) zdefiniowana:

1 dla x " (0, 1)
f(x) =
-1 dla x " (-1, 0)
Ma w każdym punkcie dziedziny pochodną równą zero, a nie jest to funkcja stała.
Ä„
Przykład: Pokazać, że: arc sin x + arc cos x =
2
Niech f(x) = arc sin x + arc cos x
Dziedzina funkcji D =<-1 , 1> , funkcja jest ciągła.
Obliczamy pochodnÄ…:
1 -1
" "
f (x) = + = 0 dla x " (-1 , 1)
1 - x2 1 - x2
Wynika stąd, że f jest stała na przedziale <-1 , 1>
f(x) = C
Obliczamy stałą:
Ä„ Ä„
C = f(0) = arc sin 0 + arc cos 0 = 0 + =
2 2
StÄ…d:
Ä„
f(x) = dla x "<-1 , 1>
2
Definicja: Funkcja f : D R jest rosnÄ…ca wtedy i tylko wtedy, gdy:
("x1, x2 " D) x2 > x1 =Ò! f(x2) > f(x1)
Definicja: Funkcja f : D R jest słaborosnąca (lub niemalejąca) wtedy i tylko wtedy, gdy:
("x1, x2 " D) x2 > x1 =Ò! f(x2) f(x1)
Uwaga 1: Analogicznie definiujemy funkcję malejącą i słabomalejącą (nierosnącą)
Uwaga 2: Funkcje rosnące i malejące nazywamy funkcjami monotonicznymi. Funkcje sła-
borosnące i słabomalejące nazywmamy funkcjami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: Badanie monotoniczności
Niech dana będzie funkcja f :< a, b > R ciągła na < a, b > i różniczkowalna na (a, b) taka,
że f (x) > 0 "x " (a, b). Wtedy funkcja f jest rosnąca na < a, b >.
Dowód: Wez
my dowolone x1, x2 "< a, b > takie, że x1 < x2 . Z twierdzenia Lagrange a na
przedziale < x1, x2 > mamy:
f(x2) - f(x1) = f (c)(x2 - x1) dla pewnego c "< x1, x2 >
Widać, że prawa strona jest dodatnia. Wynika stąd:
f(x2) > f(x1)
Wobec dowolności x1, x2 oznacza to, że funkcja f jest rosnąca na < a, b >
Uwaga 1: Jeżeli warunek f (x) > 0 zastąpimy warunkiem f (x) 0 to funcja f będzie
słaborosnąca. Ale jeżeli zbiór punktów zerowych pochodnej nie będzie zawierał żadnego
przedziału to funkcja f będzie rosnąca.
Uwaga 2: Twierdzenie odwrotne jest oczywiste. Jeśli funkcja jest słaborosnąca to f (x) 0.
Uwaga 3: Bardzo ważnym założeniem jest to, że dziedzina funkcji jest przedziałem. Dla
innych dziedzin teza nie musi być prawdziwa.
Uwaga 4: Analogiczne twierdzenie można sformułować dla f (x) < 0 . Wtedy funkcja jest
malejaca.
1
Przykład: Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji f(x) = x3 - 3x
DziedzinÄ… funkcji f jest D = (-", ")
Obliczamy pochodną f (x) = 3x2 - 3 . Pochodna istnieje na całej dziedzinie, czyli f jest
różniczkowalna.
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0
3x2 - 3 > 0
(x - 1)(x + 1) > 0
x " (-", -1) *" (1, ")
Wniosek:
f jest rosnÄ…ca na przedziale: (-", -1 >
f jest rosnÄ…ca na przedziale: < 1, -")
Uwaga: Funkcja nie musi być (i zwykle nie jest) rosnąca na sumie tych przedziałów!
Nierówność f (x) < 0 jest prawdziwa dla x " (-1, 1) a więc funkcja jest malejąca na prze-
dziale < -1, 1 >
Ekstrema funkcji
Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x0 " D minimum lokalne wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie O punktu x0 takie, że:
"(x " O )" D) f(x) f(x0)
Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x0 " D minimum lokalne właściwe wtedy i
tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie O punktu x0 takie, że:
"(x " O )" D) x = x0 =Ò! f(x) > f(x0)

Uwaga 1: Analogicznie definujemy maksimum lokalne i maksimum lokalne właściwe.
Uwaga 2: Ekstremum lokalne jest to minimum lokalne lub maksimum lokalne.
Twierdzenie - warunek konieczny istnienia ekstremum: Jeżeli funkcja f : D R ma
w punkcie x0 " int D ekstremum lokalne i istnieje f (x0) to f (x0) = 0 .
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 1: Jeżeli funkcja f : D R
ma w punkcie x0 " int D drugÄ… pochodnÄ… oraz f (x0) = 0 i f (x0) > 0 to funkcja f ma w
x0 minimum lokalne właściwe.
Jeśli f (x0) = 0 i f (x0) < 0 to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie - warunek dostateczny istnienia ekstremum 2: Jeżeli funkcja f : D R
jest ciągła w punkcie x0 " int D oraz ma pochodną f (t) dla t " O \ {x0} dla pewnego
otoczenia O punktu x0 oraz dla t " O zachodzi
f (t) < 0 dla t < x0 oraz f (t) > 0 dla t > x0 to funkcja f ma w x0 minimum lokalne
właściwe.
f (t) > 0 dla t < x0 oraz f (t) < 0 dla t > x0 to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne
właściwe.
Uwaga: Twierdzenie to jest bezpośrednim wnioskiem z badania przedziałów monotoniczno-
ści funkcji.
Przykład 1: Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x) = x3 - 3x
Z badania przedziałów monotonicznoście tej funkcji (przykład poprzedni) wynika, że funkcja
ta ma maksimum lokalne w punkcie x = -1 i minimum lokalne w punkcie x = 1.
2
Przykład 2: Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x) = xe-2x
Dziedzina f : D = (-", ") jest zbiorem otwartym.
2 2 2
f (x) = e-2x - 4x2e-2x = (1 - 4x2)e-2x
2
Pochodna istnieje na całej dziedzinie.
Rozwiązujemy równanie f (x) = 0
2
(1 - 4x2)e-2x = 0
1
x = Ä…
2
1
Z warunku koniecznego wynika, że dla x = ą funkcja nie ma ekstremów. Badamy, czy

2
1
funkcja ma ekstremum w punkcie x = korzystajÄ…c z warunku dostatecznego. Obliczamy:
2
2 2 2
f (x) = -8xe-2x - 4x(1 - 4x2)e-2x = -4x(3 - 4x2)e-2x
druga pochodna istnieje na całej dziedzinie.
1 1
2
f ( ) = -2 · 2 · e- < 0
2
1
a więc funkcja f ma w punkcie x = maksimum lokalne.
2
1
Badamy punkt x = -
2
1 1
2
f (- ) = 2 · 2 · e- > 0
2
1
a więc funkcja f ma w punkcie x = - minimum lokalne.
2
"
Przykład 3: Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x) = x 2 - x2
" "
Dziedzina f : D =< - 2, 2 >
"
-2x 2(1 - x2)
" "
f (x) = 2 - x2 + x =
2 2 - x2 2 - x2
" "
D = (- 2, 2)
" "
W punktach x " D \ D = {- 2, 2} funkcja jest ciągła.
Badamy znak pierwszej pochodnej:
f (x) > 0
2(1 - x2)
"
> 0
2 - x2
1 - x2 > 0
x " (-1, 1)
" "
Analogicznie: f (x) < 0 Ð!Ò! x " (- 2, -1) *" (1, 2)
StÄ…d f jest:
"
malejÄ…ca na przedziale < - 2, -1 >
rosnaca na przedziale < -1, 1 >
"
malejÄ…ca na przedziale < 1, 2 >
"
Wniosek: f ma minimum lokalne w punktach x = -1 oraz x = 2, oraz maksimum lokalne
"
w punktach x = - 2 oraz x = 1
Ekstrema globalne funkcji
Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x0 " D minimum globalne wtedy i tylko
wtedy, gdy:
"(x " D) f(x) f(x0) .
Wartość f(x0) nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na D
Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x0 " D maksimum globalne wtedy i tylko
wtedy, gdy:
"(x " D) f(x) f(x0) .
Wartość f(x0) nazywamy wartością największą funkcji f na D
3
Uwaga: Jeżeli istnieje maksimum globalne, to odpowiadająca mu wartość największa jest
tylko jedna, natomiast moża być kilka punktów x " D , w których funkcja osiąga tę wartość.
Twierdzenie: Jeżeli x0 " D jest ekstremum globalnym funkcji f : D R to jest też
ekstremum lokalnym tej funkcji.
Przykład 1: Znależć ekstrema globalne f(x) = x2 , x "< -1, 2 >
Funkcja f jest ciągła, dziedzina D =< -1, 2 > jest zbiorem domkniętym i ograniczonym,
więc istnieją oba ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna we wnętrzu D. Jeżeli eks-
tremum jest we wnętrzu D, to ponieważ jest jednocześnie ekstremum lokalnym musi spełniać
warunek konieczny f (x) = 0.
f (x) = 2x = 0
x1 = 0
Brzeg składa się z dwóch punktów: x2 = -1, x3 = 2.
Obliczamy:
f(x1) = 0
f(x2) = 1
f(x3) = 4
Najmniejsza z tych wartości 0 jest w punkcie x1 = 0 - jest to minimum globalne.
Największa z tych wartości 4 jest w punkcie x3 = 4 - jest to maksimum globalne.
1
1
Przykład 2: Znależć ekstrema globalne f(x) = x + na D =< , 3)
2
x
Funkcja f jest ciągła, ale dziedzina D nie jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc nie
muszą istnieć ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna na D. Obliczamy
1
f (x) = 1 -
x2
Badamy znak f
f (x) > 0
1
1 - > 0
x2
x > 1
1
f jest malejÄ…ca na < , 1 > i rosnÄ…ca na < 1, 3)
2
Obliczamy wartości (granice):
5
f(1) =
2
2
f(1) = 2
10
lim f(x) =
3
x3-
Szkicujemy wykres funkcji.
Wnioski:
Istnieje minimum globalne w punkcie x = 1 , o wartości f(1) = 2.
Nie istnieje maksimum globalne.
Uwaga 1: Jeżeli f jest ciągła to obrazem przedziału jest przedział. W tym przykładzie
1 10
f(< , 3)) =< 2, )
2 3
Uwaga 2: Jeżeli f nie ma wartości największej to nie znaczy, że może osiągać dowolnie duże
10
wartości. W naszym przykładzie wartości funkcji mogą być dowolnie blisko wartości ) , ale
3
zawsze sÄ… mniejsze.
Kresem górnym funkcji nazywamy kres górny zbioru wartości funkcji:
sup f(x) = sup f(D)
x"D
Analogicznie definiuje siÄ™ kres dolny: inf f(x)
x"D
W tym przykładzie:
10
sup f(x) =
3
x"D
4
inf f(x) = 2
x"D
Uwaga: Jeżeli f : D R to ekstrema lokalne (a więc i globalne) mogą (ale nie muszą) być
tylko w punktach:
1. x " intD , f (x) = 0
2. x " intD , pochodna f (x) nie istnieje
3. x " "D - punkty brzegowe
Aby znalez
ć ekstrema globalne funkcji określonej na skończonej sumie przedziałów, ciągłej
na każdym z tych przedziałów i różniczkowalnej z wyjątkiem być może skończonej liczby
punktów, wystarczy obliczyć:
" wartości (lub granice) na końcach przedziałów,
" wartości w punktach stacjonarnych: f (x) = 0 ,
" wartości w punktach nieróżniczkowalności f.
Wartość największa z tej listy jest maksimum globalnym jeśli jest osiągana w punkcie x " D.
Jeżeli wartość największa z tej listy jest granicą funcji na końcu przedziału, to maksimum
globalne nie istnieje, ale wartość ta jest kresem górnym funkcji. Podobnie jest z minimum
globalnym.
5