SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 11, 2010-12-16
ëÅ‚ öÅ‚


ax + b
n
íÅ‚ Å‚Å‚
Całki z funkcji: R x, dx
cx + d
ax + b
Całki takie sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej przez podstawienie: = tn
cx + d

1
PrzykÅ‚ad: Obliczyć caÅ‚kÄ™ " " dx
3
x + x
Podstawiamy: x = t6 , dx = 6t5dt

1 6t5dt t3dt 1
" " dx = = 6 = 6 (t2-t+1- )dt = 2t3-3t2-6 ln |t+1|+C =
3
x + t3 + t2 t + 1 t + 1
" "x "
3 6
2 x - 3 x - 6 ln | x + 1| + C


x - 1
Przykład: Obliczyć całkę dx
x + 1
x - 1
Podstawiamy: = t2 , wtedy:
x + 1
x - 1 = xt2 + t2
x(t2 - 1) = -1 - t2
-1 - t2
x =
t2 - 1
-2t(t2 - 1) + 2t(1 + t2) 4t
dx = dt = dt
(t2 - 1)2 (t2 - 1)2


x - 1 4t 4t2
dx = t dt = dt
x + 1 (t2 - 1)2 (t - 1)2(t + 1)2
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
4t2 A B C D
= + + +
(t - 1)2(t + 1)2 t - 1 (t - 1)2 t + 1 (t + 1)2
4t2 = A(t - 1)(t + 1)2 + B(t + 1)2 + C(t - 1)2(t + 1) + D(t - 1)2
Przyrównujemy wielomiany stopnia 3 w 4 różnych punktach:
dla t = 1 : 4 = 4B =Ò! B = 1
dla t = -1 : 4 = 4D =Ò! D = 1
dla t = 0 : 0 = -A + 1 + C + 1 =Ò! C - A = -2
dla t = 2 : 16 = 9A + 9 + 3C + 1 =Ò! 3A + C = 2
stÄ…d:
A = 1 , C = -1

4t2 1 1 1 1
dt = dt + dt - dt + dt = ln |t - 1| -
(t - 1)2(t + 1)2 t - 1 (t - 1)2 t + 1 (t + 1)2
1 1
- ln |t + 1| - + C
t - 1 t + 1
więc:




- 1
- 1

x - 1 x 1 x 1

dx = ln - 1 -
- ln + 1 -
+ C

x-1 x-1
x + 1 x + 1 x + 1

- 1 + 1
x+1 x+1
Całki z funkcji trygonometrycznych:
Często wykorzystujemy pewne wzory trygonometryczne.

Przykład: Obliczyć całkę: sin 3x cos 6xdx
1

1 1 1
sin 3x cos 6xdx = (sin 9x - sin 3x)dx = - cos 9x + cos 3x + C
2 18 6
Całki z wielomianów trygonometrycznych:

Całki takie obliczamy jako sumę całek: sinn x cosm xdx
SÄ… dwa przypadki:
1. Jedna z liczb n ,m jest nieparzysta. Podstawiamy wtedy t = cos x, gdy n jest nieparzysta,
t = sin x, gdy m jest nieparzysta. (jeśli obie są nieparzyste to mamy obie możliwości).

Przykład: Obliczyć całkę: I = sin3 x cos4 dx = sin2 x cos4 sin xdx = (1-cos2 x) cos4 sin xdx
Podstawiamy: t = cos x , dt = - sin xdx

1 1 1 1
I = - (1 - t2)t4dt = (t6 - t4)dt = t7 - t5 + C = cos7 x - cos5 x + C
7 5 7 5
2. Obie liczby n ,m są parzyste. Korzystamy wtedy ze wzorów:
1 + cos 2x
cos2 x =
2
1 - cos 2x
sin2 x =
2

Przykład: Obliczyć całkę: sin4 xdx

(1 - cos 2x)2 1 1
sin4 xdx = (sin2 x)2dx = dx = (1 - 2 cos 2x + cos2 2x)dx = x -
4 4 4

1 1 1 + cos 4x 1 1 1 1 3 1 1
sin 2x+ dx = x- sin 2x+ x+ sin 4x+C = x- sin 2x+ sin 4x+C
4 4 2 4 4 8 32 8 4 32

Całki z funkcji wymiernych trygonometrycznych: R (sin x, cos x) dx
x
Całki takie obliczamy stosując podstawienia: t = sin x , t = cos x , t = tg , t = tg x i.t.p.
2

x
Uwaga: Podstawienie t = tg zawsze sprowadza całkę R (sin x, cos x) dx do całki z funkcji
2
wymiernej. Jeżeli, jednak uda się zastosować podstawienia: t = sin x , t = cos x , lub t = tg x,
to otrzymana całka jest zwykle prostsza.

cos3 x
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
sin2 x + 1

cos3 x (1 - sin2 x) cos x
I = dx = dx
sin2 x + 1 sin2 x + 1
stosujemy podstawienie t = sin x , dt = cos xdx

1 - t2 2
I = dt = (-1 + )dt = -t + 2 arc tg t + C = - sin x + 2 arc tg(sin x) + C
t2 + 1 t2 + 1

1
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
cos x + 2
x
stosujemy podstawienie t = tg
2
wtedy:
x = 2 arc tg t
2
dx = dt
1 + t2
cos2 x - sin2 x 1 - tg2 x - t2
1
2 2 2
cos x = cos2 x - sin2 x = = =
2 2
cos2 x + sin2 x 1 + tg2 x 1 + t2
2 2 2
x x x
2 sin cos 2 tg 2t
x x 2 2 2
sin x = 2 sin cos = = =
2 2
cos2 x + sin2 x 1 + tg2 x 1 + t2
2 2 2
Mamy:
2

1 2 2 2 2 1
I = · dt = = dt = dt =
2
1 - t2 1 + t2 1 - t2 + 2 + 2t2 t2 + 3 3
t
+ 2
"
+ 1
1 + t2
3
"
x
2" t 2 3 tg
2
" "
3 arc tg + C = arc tg + C
3 3
3 3

Całki z funkcji wymiernych zależnych od ex: R(ex)dx
Całki takie obliczamy stosując podstawienie: t = ex

1
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
ex + 1
dt
Podstawiamy t = ex , dt = exdx , dx =
t

1
I = dt
t(t + 1)
Rozkładamy na ułamki proste:
1 A A
= +
t(t + 1) t t + 1
1 = A(t + 1) + Bt
dla t = 0 : A = 1
dla t = -1 : -B = 1 =Ò! B = -1

1 1 ex
I = dt - dt = ln |t| - ln |t + 1| + C = ln |ex| - ln |ex + 1| + C = ln + C
t t+! ex + 1

Całki z funkcji wymiernych zależnych od sinh x i cosh x: R(sinh x, cosh x)dx
Całki takie obliczamy sposobami analogicznymi dla całek z funkcji trygonometrycznych lub
stosujÄ…c podstawienie t = ex

sinh x
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
cosh x + 4
Podstawiamy t = cosh x , dt = sinh xdx

dt
I = = ln |t + 4| + C = ln | cosh x + 4| + C
t + 4
"
Całki z funkcji wymiernych zależnych od x i ax2 + bx + c:

"
R(x, ax2 + bx + c)dx
1. Czasami udaje się obliczyć całkę stosując podstawienie: t = ax2 + bx + c

"
Przykład: Obliczyć całkę: I = x3 x2 + 2dx
1
Podstawiamy: t = x2 + 2 , dt = 2xdx , x3dx = x2 · xdx = (t - 2) dt
2
5 3

" " "
1 1 1 2 1" 5 2" 3
I = t(t - 2) dt = t tdt - tdt = t2 - t2 + C = x2 + 2 - x2 + 2 + C
2 2 5 3 5 3
2. Stosując podtsanienie liniowe s = Ax + B można przekształcić wyrażenie ax2 + bx + c do
postaci: 1 - s2 , s2 + 1 lub s2 - 1 a następnie stosując obpowiednio podstawnienia:
"
" "
1 - s2 : s = sin t , 1 - s2 = 1 - sin2 t = cos2 t = cos t
3

"
"
s2 + 1 : s = sinh t , s2 + 1 = sinh2 t + 1 = cosh2 t = cosh t

"
"
s2 - 1 : s = cosh t , s2 - 1 = cosh2 t - 1 = sinh2 t = sinh t
można pozbyć się pierwiastka.

1
"
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
x2 + 1

"
"
Postawiamy x = sinh t , dx = cosh tdt, x2 + 1 = sinh2 t + 1 = cosh2 t = cosh t

"
cosh t
I = dt = dt = t + C = sinh-1 x + C = ln(x + x2 + 1) + C
cosh t

1
"
Przykład: Obliczyć całkę: I = dx
x2 - 1

"
"
Postawiamy x = cosh t , dx = sin tdt, x2 - 1 = cosh2 t - 1 = sinh2 t = sinh t

"
sinh t
I = dt = dt = t + C = cosh-1 x + C = ln(x + x2 - 1) + C
sinh t
Uwaga: Podstawiając x = cosh t robimy założenie, że x > 0 . Dla x < 0 podstawiamy
x = - cosh t. Ponadto zakładamy, że t 0.

"
Przykład: Obliczyć całkę: I = x - x2dx

"
1 1 1
x - x2 = -(x - )2 + = 1 - (2x - 1)2
2 4 2
"
1 1
Postawiamy 2x - 1 = sin t , 2dx = cos tdt, x - x2 = 1 - (2x - 1)2 = 1 - sin2 t =
2 2
1
cos t
2

1 1 1 1 1 + cos 2t 1 1 1
I = cos t · cos tdt = cos2 tdt = dt = t + sin 2t + C = t +
2 2 4 4 2 8 16 8


1 1 1 1 1
sin t cos t+C = t+ sin t 1 - sin2 t+C = arc sin(2x-1)+ (2x-1) 1 - (2x - 1)2+C
8 8 8 8 8
3. Jeżeli w wielomianie ax2 + bx + c mamy " = b2 - 4ac > 0 to można przekształcić:


"
x - x2
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = ą(x - x1) a i zastosować podstawienie:
x - x1
x - x2
a = t2
x - x1

"
Przykład: Obliczyć całkę: I = x - x2dx


"
1 - x
x - x2 = x(1 - x) = x ( x > 0 )
x
1 - x
Podstawiamy: = t2 , wtedy:
x
1 - x = xt2
x(t2 + 1) = 1
1
x =
t2 + 1
-2t
dx = dt
(t2 + 1)2


1 - x 1 -2t -2t2
x dx = t dt = dt
x t2 + 1 (t2 + 1)2 (t2 + 1)3
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
-2t2 -2t2 - 2 + 2 -2(t2 + 1) 2 -2 2
= = + = +
(t2 + 1)3 (t2 + 1)3 (t2 + 1)3 (t2 + 1)3 (t2 + 1)2 (t2 + 1)3
Korzystając ze wzorów rekurencyjnych, obliczamy:
4

-2t2 1 1 -t t 3t
dt = -2 dt+2 dt = -arc tg t+ + +
(t2 + 1)3 (t2 + 1)2 (t2 + 1)3 t2 + 1 2(t2 + 1)2 4(t2 + 1)
3 t t 1
arc tg t + C = - - arc tg t + C
4 2(t2 + 1)2 4(t2 + 1) 4
więc:


1-x 1-x

"
1 1 - x 1 1 - x
x x
x - x2dx = - - arc tg + C = (2x2 - x) -
2(1-x + 1)2 4(1-x + 1) 4 x 4 x
x x

1 1 - x 2x - 1" 1 1 - x
arc tg + C = x - x2 - arc tg + C
4 x 4 4 x
5