SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 8, 2010-11-25
Wypukłość funkcji
Wypukłość dla figur geometrycznych na płaszczyz
nie i brył w przestrzeni jest zdefiniwana
następująco:
Figura (bryła) F jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych punktów A, B "
F odcinek AB ‚" F . Tej definicji wypukÅ‚oÅ›ci nie można bezpoÅ›rednio wykorzystać do
zdefiniowania wypukłości funkcji.
Definicja: f : D R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x " D, y f(x)}
jest wypukły.
Definicja: f : D R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x " D, y f(x)}
jest wypukły.
Uwaga: Jeżeli f : D R jest wypukła lub wklęsła to dziedziną tej funkcji musi być
przedział.
Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) R jest wypukÅ‚a Ð!Ò! ("x1, x2 " (a, b), t "< 0, 1 >)
f(x1 + t(x2 - x1)) f(x1) + t(f(x2) - f(x1))
Twierdzenie to oznacza, że część wykresu funkcji wypukłej wycięta dowolną prostą sieczną
leży pod tą prostą.
Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) R jest wklÄ™sÅ‚a Ð!Ò! "x1, x2 " (a, b), t " (0, 1)f(x1 +
t(x2 - x1)) f(x1) + t(f(x2) - f(x1))
Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna f : (a, b) R jest wypukła wtedy i tylko wtedy,
gdy jej wykres leży nad każdą prostą styczną do wykresu. Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko
wtedy, gdy jej wykres leży pod każdą prostą styczną do wykresu.
Definicja: Niech f : D R będzie funkcją ciagłą . Punkt x " D nazywamy punktem
przegięcia funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. (" > 0)(x - , x + ) ‚" D
2. f jest wypukła na przedziale (x - , 0) oraz wklęsła na przedziale (0, x + ) lub f jest
wklęsła na przedziale (x - , 0) oraz wypukła na przedziale (0, x + )
Twierdzenie Niech f : (a, b) R będzie dwukrotnie różniczkowalna.
Funkcja f jest wypukła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy "x " (a, b) f (x) 0 .
Funkcja jest wklęsła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy "x " (a, b) f (x) 0 .
Przykład: Zbadać przedziały wypukłości, wklęsłości oraz znalez
ć punkty przegięcia funkcji:
f(x) = x3 - 3x
Dziedzina D = (-", ")
f (x) = 3x2 - 3 , D = (-", ")
f (x) = 6x , D = (-", ")
Rozwiązujemy nierówność:
f (x) > 0
6x > 0
x > 0
Analogicznie:
f (x) < 0 Ð!Ò! x < 0
StÄ…d:
f jest wypukła na przedziale < 0, ")
1
f jest wklesła na przedziale (-", 0 >
f ma punkt przegięcia w x = 0
Twierdzenie: Jeżeli f : D R jest wypukła to dla dowolnych punktów x1, x2, . . . xn " D
oraz dowolnych dodatnich liczb p1, p2, . . . pn takich, że p1 + p2 + . . . pn = 1 zachodzi:
f(p1x1 + p2x2 + . . . pnxn) p1f(x1) + p2f(x2) + . . . pnf(xn)

Dowód: Ustawione w kolejności rosnącej xi punkty Wi = xi, f(xi) są wierzchołkami wie-
lokąta wypukłego. Jeżeli w wierzchołkach tych umieścimy masy pi to środek ciężkości układu
tych punktów będzie leżał wewnątrz wielokąta, a więc nad wykresem funkcji. Współrzędne
środka ciężkości:
Sx = p1x1 + p2x2 + . . . pnxn
Sy = p1f(x1) + p2f(x2) + . . . pnf(xn)
Środek ciężkości będzie leżał nad wykresem funkcji: f(Sx) Sy
Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla funkcji wklęsłych.
Przykład: Pokazać, że dla x1, x2, . . . xn > 0 zachodzi:
" x1 + x2 + . . . xn
n
x1 · x2 · . . . xn
n
Uwaga: Lewa strona nierówności nazywa się średnią geometryczną, a prawa średnią aryt-
metycznÄ….
Funkcja f(x) = ln x jest wklęsła na całej dziedzinie D = (0, ") ponieważ:

1 1
f (x) = = - < 0
x x2
1
Wobec tego dla pi = mamy:
n
1 1 1 1 1 1
ln(nx1 + x2 + . . . xn) ln(x1) + ln(x2) + . . . ln(xn)
n n n n n
Czyli:
x1 + x2 + . . . xn "
n
x1 · x2 · . . . xn
n
Asymptoty funkcji
Asymptotą wykresu funkcji nazywamy prostą l taką, że punkty pewnej gałęzi wykresu funkcji
Px(x, f(x)) zliżają się do tej prostej i jednocześnie oddalają się nieskończenie daleko od
początku układu współrzędnych:
lim d(Px, l) = 0
xa+
lim d(Px, O) = "
xa+
gdzie a może być skończone, +", -" , a granica może być też lewostronna. d oznacza
odległość, a O(0, 0) początek układu współrzędnych.
Jeżeli a " R to asymptotę nazywamy pionową. Jeżeli a = +" lub -" to asymptotę
nazywamy ukośną. Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma:
współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy zero.
Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotÄ™ pionowÄ… lewostronnÄ… x = a , a " R wtedy
i tylko wtedy, gdy lim f(x) = Ä…"
xa-
Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotÄ™ pionowÄ… prawostronnÄ… x = a , a " R
wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = Ä…"
xa+
Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę ukośną y = ax + b w +" wtedy i tylko
wtedy, gdy:
f(x)
a = lim
x"
x
2
b = lim (f(x) - ax)
x"
Twierdzenie: Funkcja f : D R ma asymptotę ukośną y = ax + b w -" wtedy i tylko
wtedy, gdy:
f(x)
a = lim
x-"
x
b = lim (f(x) - ax)
x-"
Przebieg zmienności funkcji
Aby zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) badamy następujące elementy:
1. Dziedzina
2. Ciągłość, parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe
3. Granice lub wartości funkcji
(a) Na każdym końcu przedziału
(b) W każdym punkcie nieciągłości
4. Asymptoty
(a) Pionowe
(b) Ukośne w ą"
5. Pochodna f (x)
(a) Dziedzina
(b) Znak
(c) Przedziały monotoniczności
(d) Ekstrema lokalne
6. Druga pochodna f (x)
(a) Dziedzina
(b) Znak
(c) Przedziały wypukłości i wklęsłości
(d) Punkty przegięcia
7. Tabela i wykres
ln x2
Przykład: Zbadać przebieg zmienności funkcji f(x) =
x
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina funkcji: D = (-", 0) *" (0, ")
Funkcja jest ciągła na całej dziedzinie.
Dziedzina jest symetryczna, badamy parzystość f:
ln(-x)2 ln x2
f(-x) = = - = -f(x)
-x x
Funkcja jest nieparzysta.
3
Wystarczy więc ją zbadać na zbiorze D1 = (0, "). Na przedziale (-", 0) wykres będzie
symetryczny.
Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = 1
Obliczamy granice:
ln x2 -"
lim f(x) = lim = = -"
x0+ x0+ x 0+
2x
"
ln x2 2
[ ]
"
lim f(x) = lim =[H] x" x2 = lim = 0
lim
x" x" x"
x 1 x
Asymptoty:
Z obliczonych wcześniej granic wynika, że funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą
y = 0 w +".
Badamy pierwszÄ… pochodnÄ…:
2x
x - ln x2 - ln x2
2
x2
f (x) = =
x2 x2
D = (0, ")
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:
2 - ln x2 > 0
2 - 2 ln x > 0
ln x < 1
x < e
Wniosek: Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca na przedziale (0, e >, malejÄ…ca na przedziale < e, "),
ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D1.
Badamy drugÄ… pochodnÄ…:
-2xx2 - (2 - ln x2)2x -6 + 2 ln x2
x2
f (x) = =
x4 x3
D = (0, ")
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:
-6 + 2 ln x2 > 0
-6 + 4 ln x > 0
3
ln x >
2
3
2
x > e
3 3
2 2
Wniosek: Funkcja f(x) jest wklęsła na przedziale (0, e ), wypukła na przedziale (e , "), ma
3
2
więc w x = e punkt przegięcia.
Tabela:
3
2
x 0+ ... e ... e ... "
1
f (x) + 0 - - -
e3
f (x) - - - 0 +
3
2
e
f(x) -" 3e- 0
e
Wykres: zaznaczamy punkty charakterystyczne z tabeli, rysujemy asymptoty, rysujemy wy-
kres na D1, a następnie symetryczny na zbiorze (-", 0)
4