SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 3, 2009-10-21
Elementy topologii
Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z
otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakÅ‚adamy, że zbiory A, B ‚" R
Definicja: Niech x " R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy
przedziaÅ‚ Oµ = (x - µ , x + µ) dla µ > 0
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie Oµ punktu x zawarte w A : Oµ ‚" A
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie Oµ punktu x rozÅ‚Ä…czne z A : Oµ )" A = "
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.
Uwaga: Punkt x " R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde
otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.
Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru
A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).
Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy "A .
Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A *" "A .
Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , "A i zbiór punktów
zewnętrznych.
Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 2: Dla A =< 0, 1)
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 3: Dla A =< 0, ")
int A = (0, ") , "A = {0} , A =< 0, " >
Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych
int A = " , "A = R , A = R
Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = " , "A = {2, 3} , A = {2, 3}
Pewne własności: ( Oznaczamy: A = R \ A)
int A ‚" A ‚" A
(int A) = A
"A = A \ int A
"A = A )" A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A
Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = " , A = (1, 3) *" (5, 6) , A = (0, ")
Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:
A =< 0, 1 > , A = R , A = " , A =< 1, 3 > *" < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ")
Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) *" < 5, 6 > , A = Q
Pewne własności:

Jeśli zbiory Oą są otwarte to zbiór Oą jest otwarty
Ä…

Jeśli zbiory Dą są domknięte to zbiór Dą jest domknięty
Ä…
Jeśli zbiory O1, O2 są otwarte to zbiór O1 )" O2 jest otwarty
Jeśli zbiory D1, D2 są domknięte to zbiór D1 *" D2 jest domknięty
Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar-
tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy
przykład:
1 1
Przykład: On = (- , ) - zbiory otwarte. Zbiór On = {0} nie jest otwarty
n n
n"N
Definicja: LiczbÄ™ x " R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
Definicja: LiczbÄ™ x " A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
/
Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - "
1
Przykład 2: A = { : n " N}
n
1
Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - { : n " N}
n
Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - "
Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x " R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciÄ…g

xn , xn " A , xn = x taki, że lim xn = x

n"N n"
Granica funkcji
Definicja: Niech dana bÄ™dzie funkcja f : D R , D ‚" R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b " R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: lim = b ) wtedy i tylko
xa
wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) spełniającego warunki:
("n)xn " D
("n)xn = a

lim xn = a
n"
zachodzi lim f(xn) = b
n"
Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej
jeden ciąg xn spełniający żądane warunki.
Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicÄ™ dla a = Ä…" oraz b = Ä…" . Dla a = +"
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest
ograniczony od góry. Podobnie dla a = -".
Przykład 1: Obliczyć granicę funkcji lim(4x2 - 3x)
x2
Wez
my dowolny ciÄ…g (xn) : xn " R , xn = 2 , oraz lim xn = 2

n"
Obliczmy granicÄ™ ciagu: lim (4x2 - 3xn) = 16 - 6 = 10
n
n"
Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i
jest równa: lim(4x2 - 3x) = 10
x2
1
x
Przykład 2: Obliczyć granicę funkcji lim 1 + x
x0
Wez
my dowolny ciÄ…g (xn) : xn " R , xn = 0 , oraz lim xn = 0

n"
1
xn
Obliczmy granicÄ™ ciagu: lim 1 + xn = e
n"
Widzimy, że granica ta nie zależy od wyboru ciągu (xn) , a więc granica funkcji f istnieje i
1
x
jest równa: lim 1 + x = e
x0
1
x
Przykład 3: Obliczyć granicę funkcji lim x
x"
1
x
Granica ta jest równa lim x = 1
x"
"
n
Wynik ten można uzyskać korzystając z tego, że lim n = 1 oraz z twierdzenia o 3 ciągach.
n"
xÄ…
Przykład 4: Obliczyć granicę funkcji lim dla a > 1
x"
ax
xÄ…
Granica ta jest równa lim = 0
x"
ax
nÄ…
Wynik ten można uzyskać korzystając z tego, że lim = 0 oraz z twierdzenia o 3 ciągach.
n"
an
Twierdzenie: Dane są funkcje f : Df R oraz g : Dg R . NIech a " R będzie
punktem skupienia zbiorów Df , Dg oraz Df )" Dg. Jeżeli istnieją granice lim f(x) = F oraz
xa
lim g(x) = G to:
xa
1. lim(f(x) + g(x)) = F + G
xa
2. lim(f(x) - g(x)) = F - G
xa
3. lim(f(x)g(x)) = F G
xa
f(x) F
4. lim = , jeśli G = 0

xa
g(x) G
G
5. lim f(x)g(x) = F , jeśli F > 0 lub F = 0 i G > 0
xa
Uwaga 1: a " R można zastąpić a = ą"
Uwaga 2: Widać, że przy obliczaniu granic funkcji można stosować podobne techniki co
przy obliczaniu granic ciągów. Zasady operowania na granicach niewłaściwych ą" są takie
same. Te same są też symbole nieoznaczone
x2 - 4
Przykład 1: Obliczyć lim
x2
x2 + 3x - 10
0
Jest to granica . W liczniku i mianowniku sÄ… wielomiany zerujÄ…ce siÄ™ dla x = 2 . MuszÄ…
0
więc dzielić się przez x - 2
x2 - 4 (x - 2)(x + 2) x + 2 2 1
lim = lim = lim = =
x2 x2 x2
x2 + 3x - 10 (x - 2)(x + 5) x + 5 8 4
x2 - 4
Przykład 2: Obliczyć lim
x"
x2 + 3x - 10
"
Jest to granica
"
4 4
x2 - 4 x2(1 - ) 1 -
x2 x2
lim = lim = lim = 1
3 10 3 10
x" x" x"
x2 + 3x - 10 x2(1 + - ) 1 + -
x x2 x x2
"
x - 1
Przykład 3: Obliczyć lim
x1
x4 - 1
0
Jest to granica .
0
" " "
x - 1 ( x - 1)( x + 1) x - 1 x - 1
lim = lim " = lim " = lim " =
x1 x1 x1 x1
x4 - 1 (x4 - 1)( x + 1) (x4 - 1)( x + 1) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1)( x + 1)
1 1
lim " =
x1
(x3 + x2 + x + 1)( x + 1) 8
x+2

x2 + 3
x
Przykład 1: Obliczyć granicę funkcji lim
x0
2x + 3
Jest to granica 1"
-2x + x2 x + 2

x+2 x+2 2x+3
·
x2 + 3 -2x + x2 -2x + x2
x x
-2x+x2
2x + 3 x
lim = lim 1 + = lim 1 +
x0 x0 x0
2x + 3 2x + 3 2x + 3
2x+3

-2x + x2
-2x+x2
lim 1 + = e
x0
2x + 3
-2x + x2 x + 2 (-2 + x)(x + 2) 4
lim · = lim = -
x0 x0
2x + 3 x 2x + 3 3
StÄ…d
x+2

x2 + 3 4
x
3
lim = e-
x0
2x + 3
Definicja granicy lewostronnej i prawostronnej funkcji
Jeżeli w definicji granicy funkcji zastąpimy warunek xn = a warunkiem xn < a to dostaniemy

definicjÄ™ granicy lewostronnej:
lim f(x)
xa-
Podobnie jeśli, xn > a dostaniemy definicję granicy prawostronnej:
lim f(x)
xa+
Uwaga 1: Należy tez odpowiednio zmodyfikować warunek a jest punktem skupienia D
warunkiem a jest lewostronnym(prawostronnym) punktem skupienia.
Uwaga 2: Stosujemy też oznaczenia:
f(a-) = lim f(x) ; f(a+) = lim f(x)
xa- xa+
Przykład
1
lim = +"
x0+ x
1
lim = -"
x0- x
Twierdzenie:
Niech dana będzie funkcja f : D R oraz niech a będzie obustronnym punktem skupienia
D. Wtedy granica lim f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją i są równe granice:
xa
lim f(x) = lim f(x) . Oczywiście wtedy granica funkcji jest równa granicy lewostronnej i
xa- xa+
prawostronnej.
|x|
Przykład Obliczyć lim
x0+ x
Obliczamy granicÄ™ lewostronnÄ…:
|x| -x
lim = lim = -1
x0- x x0- x
Obliczamy granicÄ™ prawostronnÄ…:
|x| x
lim = lim = 1
x0+ x0+ x
x
|x|
Ponieważ granice te nie są równe, więc granica lim nie istnieje.
x0+ x
Uwaga: Może zdarzyć się, że dziedzina funkcji f zawiera się w przedziale < a, ") lub
(-", a > . Wtedy granica funkcji jest jednocześnie granicą jednostronną np.
lim ln x = lim ln x ponieważ D = (0, ")
x0
x0+
Twierdzenie o trzech funkcjach:
Niech f, g, h : D R będa funkcjami takimi, że g(x) f(x) h(x) , "x " D. Niech
ponadto x0 będzie punktem skupienia dziedziny D. Jeżeli istnieją i są sobie równe granice:
lim g(x) = lim h(x) = b to istnieje też granica lim f(x) = b
xx0 xx0 xx0
Uwaga 1 Twierdzenie to zachodzi też w przypadku x0 = ą" oraz b = ą" ( jeśli b = ą"
to wystarczÄ… dwie funkcje).
Uwaga 2 W twierdzeniu tym wystarczy założyć, ze nierówność ta jest spełniona dla x
dostatecznie bliskich x0 czyli: x " (x0 - , x0 + ). Uwaga ta dotyczy większości twierdzeń
dotycÄ…cych granic funkcji.
ln(1 + x)
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
Korzystamy z nierówności:
x
ln(1 + x) x , dla x > -1
1 + x
1. Dla x > 0 dzielimy obie strony przez x
1 ln x
1
1 + x x
1
lim = 1 = lim 1 więc
x0 x0
1 + x
ln(1 + x)
lim = 1
x0+ x
2. Dla x < 0 dzielimy obie strony przez x
1 ln x
1
1 + x x
1
Ponieważ lim = 1 = lim 1 więc
x0 x0
1 + x
ln(1 + x)
lim = 1
x0- x
Ponieważ obie granice jednostronne są sobie równe, więc
ln(1 + x)
lim = 1
x0
x
ln(1 + x)
lim = 1
x0
x
Szkic dowodu nierówności
x 1
1. Nierówność: ln x x jest prawdziwa dla x = , n " N . Dla takich x ma postać:
1 + x n

1 1 1
< ln 1 + <
n + 1 n n
1
2. Dla x w postaci x = - , n " N , n 2 mamy:
n

1 n - 1 n 1 1
ln(1 + x) = ln 1 - = ln = - ln = - ln 1 + > - =
n n n - 1 n - 1 n - 1
1
-
x
n
=
1
1 + x
1 -
oraz:n

1 1
ln(1 + x) = - ln 1 + < - = x
n - 1 n
m
3. Dla x w postaci x = , m " N , n " Z , n = 0 , n > -m mamy:

n
m
1 m
1 + 1 + : nierówność Bernoulliego, stąd:
n n
m
m 1 1 m
ln(1 + x) = ln 1 + ln 1 + = m ln 1 + < = x
n n n n
4. Dla x " R , x > -1 istnieje ciąg qn " Q taki, że qn > x i lim qn = x . Mamy więc:
n"
ln(1 + x) < ln(1 + qn) < qn
PrzechodzÄ…c do granicy (n ")
ln(1 + x) x
5. Dla x " R , x > -1 mamy
1 -x x
ln(1 + x) = - ln = - ln(1 + )
1 + x 1 + x 1 + x
sin x
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
Korzystamy z nierówności:
Ä„
sin x x tg x dla x " (0, )
2
1. Dla x > 0 dzielimy obie strony przez sin x
x 1
1
sin x cos x
Czyli
sin x
cos x 1
x
Ponieważ lim cos x = 1 = lim 1 więc
x0 x0
sin x
lim = 1
x0+ x
Granica lewostronna:
sin x sin -x sin t
lim = lim = lim = 1
x0- x x0- -x t0+ t
(podstawiamy t = -x , jeśli x < 0 to t > 0 oraz lim t = 0)
x0-
Twierdzenie: Granica złożenia funkcji:
Nieach dane będą funkcje: f : Df R , g : Dg Df .
Niech istnieją granice: lim g(x) = b , lim f(y) = c , a funkcja g spełnia warunek ("x "
xa
yb
Dg)x = a Ò! g(x) = b. Wtedy istnieje granica zÅ‚ożenia i jest równa:

lim f(g(x)) = c
xa
ex - 1
Przykład: Obliczyć lim
x0
x
ln(1 + y)
W granicy lim = 1 podstawiamy y = ex - 1 . Widać, że lim(ex - 1) = 0 . Stąd:
y0 x0
y
ln(1 + ex - 1) ln(ex) x
1 = lim = lim = lim
x0 x0 x0
ex - 1 ex - 1 ex - 1
StÄ…d:
ex - 1
lim = 1
x0
x
x sin 5x
Przykład: Obliczyć lim
x0
1 - cos x
ëÅ‚ öÅ‚
2
x
x sin 5x x sin 5x sin 5x 5x2
ìÅ‚ ÷Å‚
2
lim = lim = lim · íÅ‚ Å‚Å‚ · = 20
x
x2
x0 x0
1 - cos x 2 sin2 x x0 5x sin
2 2
4
Ciągłość funkcji
Defninicja: Funkcja f : D R jest ciągła w punkcie x0 " D wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. lim f(x) = f(x0) : granica funkcji w x0 istnieje i jest równa wartości funkcji w tym
xx0
punkcie
lub
2. x0 jest punktem izolowanym zbioru D.
Uwaga 1: O ciągłości możemy mówić tylko w punktach z dziedziny funkcji: x0 " D
Uwaga 2: Gdy x0 jest punktem izolowanym zbioru D , wtedy nie ma sensu mówienie o
granicy lim f(x) . Wygodnie jest jednak zdefiniować funkcję w tunkcie jako ciągłą.
xx0
Definicja: Funkcja f : D R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym
punkcie x0 " D. Funkcja jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze A ‚" D wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciÄ…gÅ‚a w
każdym punkcie x0 " A.
Uwaga: Jeżeli funkcja jest ciągła i podato jej dziedzina jest przedziałem, to wykres tej
funkcji możemy narysować bez odrywania ręki. Jeżeli dziedzina nie jest przedziałem, to ta
własność nie zachodzi. Wykres funkcji ciągłej określonej na przedziale jest krzywą.
Przykład Pokazać, że f(x) = x2 jest funkcją ciągłą
DziedzinÄ… funkcji jest D = (-", ")
Weżmy dowolne x0 " (-", ")
lim f(x) = lim x2 = x2 = f(x0)
9
xx0 xx0
Funkcja f jest ciągła w każdym punkcie dziedziny, a więc jest ciągła.
Twierdzenie: Funkcje xą (ą > 0), sin x, cos x , ln x , ex są ciągłe
Twierdzenie: Niech dane będą funkcje f : Df R oraz g : Dg R. Wtedy poniższe
funkcje też są ciągłe:
f(x) + g(x) , x " Df )" Dg
f(x) - g(x) , x " Df )" Dg
f(x) · g(x) , x " Df )" Dg
f(x)
, x " Df )" Dg \ {x " Dg : g(x) = 0}

g(x)
f(x)g(x) , x " Df )" Dg (przy założeniu, że f(x) > 0)
f(g(x)) , x " g-1(Df)
Przykład: Funkcja
"
sin(ln(1 + x)) + e-x
f(x) =
tg x - x2
jest ciągła na całej dziedzinie
Uwaga: Znalezienie dziedziny tej funkcji jest trudne, możemy jednak stwierdzić, że na dzie-
dzinie tej funkcja f jest ciągła.
Przykład: Dla jakich wartości: a, b " R jest ciągła funkcja f : R R:
Å„Å‚
ôÅ‚
x4 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x > 1
ôÅ‚
òÅ‚
x3 - 1
f(x) =
ax + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
dla x < 0
x
Rozwiązanie: Funkcja f jest ciągła na zbiorze (-", 0)*"(0, 1)*"(1") . Pozostaje sprawdzić
ciągłość dla x = 0 i dla x = 1
Dla x = 0: Aby funkcja była ciągła w tym punkcie musi zachodzić: f(0-) = f(0+) = f(0)
f(0) = b
f(0+) = lim f(x) = lim (ax + b) = b
x0+ x0+
sin x
f(0-) = lim f(x) = lim = 1
x0- x0- x
Mamy więc równanie: b = 1
Dla x = 1: Aby funkcja była ciągła w tym punkcie musi zachodzić: f(1-) = f(1+) = f(1)
f(1) = a + b
x4 + x - 2 (x - 1)(x3 + x2 + x + 2) x3 + x2 + x + 2
f(1+) = lim f(x) = lim = lim = lim =
x1+ x1+ - 1 x1+ - 1)(x2 + x + 1) x1+ x2 + x + 1
x3 (x
5
3
f(1-) = lim f(x) = lim (ax + b) = a + b
x1- x1-
5
Mamy więc równanie: a + b =
3
2
Rozwiązaniem układu równań jest: a = , b = 1. Dla tych wartości parametrów funkcja f
3
jest ciągła.