SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 1, 2010-10-07
Zbiory - oznaczenia, operacje
Oznaczenia zbiorów:
N = {1, 2, 3. . . . } - zbiór liczb naturalnych
Z = {0, ą1, ą2, ą3. . . . } - zbiór liczb całkowitych
p
Q = { : p, q " Z, q = 0} - zbiór liczb wymiernych

q
R - zbiór liczb rzeczywistych
< a, b > , (a, b > , (-", b > , (a, ") i.t.p. - przedziały
Działania na zbiorach:
A *" B - suma zbiorów
A )" B - iloczyn zbiorów (przecięcie)
A \ B - różnica zbiorów
A × B = {(a, b) : a " A, b " B} - iloczyn kartezjaÅ„ski zbiorów
A2 = A × A
Funkcje
FunkcjÄ… nazywamy trójkÄ™ (X, Y, W ) , gdzie X, Y sÄ… zbiorami, a W ‚" X ×Y jest podzbiorem
iloczynu kartezjańskiego mającym własność:
Dla każdego x " X istnieje dokładnie jeden element y " Y taki, że (x, y) " W
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji, Y przeciwdziedziną funkcji, a W wykresem funkcji.
Stosujemy też oznaczenie: y = f(x) zamiast (x, y) " W , oraz f : X Y
Element x nazywamy argumentem funkcji, a y = f(x) obrazem lub wartością funkcji.
JeÅ›li A ‚" X jest podzbiorem X to zbiór f(A) = {y " Y : ("x " X) y = f(x)} nazywamy
obrazem zbioru A.
Obraz dziedziny f(X) nazywamy zbiorem wartości funkcji.
JeÅ›li B ‚" Y jest podzbiorem Y to zbiór f-1(B) = {x " X : ("y " B) y = f(x)} nazywamy
przeciwobrazem zbioru B.
Funkcja jest  na wtedy i tylko wtedy, gdy f(X) = Y - zbiór wartości jest równy przeciw-
dziedzinie. Inaczej można to sformułować: przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty.
Funkcja jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz zbioru jednoelemen-
towego jest zbiorem jednoelementowym lub pustym: ("x1, x2 " X) x1 = x2 =Ò! f(x1) =

f(x2)
Jeżeli funkcja jest różnowartościowa i  na to istnieje funcja odwrotna f-1 : Y X zdefi-
niowana następująco:
("x " X, y " Y ) x = f-1(y) Ô! y = f(x)
Uwaga: Zmiast funkcja używa się też sformułowań: przekształcenie, odwzorowanie, trans-
formacja, operator, działanie.
Elementy logiki
1
p - zdanie. Może być prawdziwe albo fałszywe
p(x) , p(x, y) i.t.p - funkcja zdaniowa jednej lub wielu zmiennych. Dla pewnych wartości
zmiennych może być prawdziwa, dla innych fałszywa.
Uwaga: W poniższych przykładach zmienne x, y " R.
Przykład:
Funkcja zdaniowa p(x) : x 1 jest prawdziwa dla x = 2 , a fałszywa dla x = 0
">
Funkcja zdaniowa p(x) : x2 = x jest prawdziwa dla x 0 , a fałszywa dla x < 0
Negacja
Stosowane oznaczenia:
<" p
Źp
Czytamy: nie p ; nieprawda, że p
Wartość logiczna: Negacja <" p jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie p jest fałszywe.
Koniunkcja
Oznaczenia: p '" q
Czytamy: p i q
Wartość logiczna: Koniunkcja p '" q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie p
i q sÄ… prawdziwe.
Alternatywa
Oznaczenia: p (" q
Czytamy : p lub q
Wartość logiczna: Alternatywa p("q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest prawdziwe
lub q jest prawdziwe.
Implikacja
Oznaczenia: p Ò! q
Czytamy: Jeśli p to q ; z p wynika q ; q wtedy, gdy p ; p jest warunkiem dostatecznym dla q
; q jest warunkiem koniecznym dla p
Wartość logiczna: Implikacja p (" q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p jest fałszywe
lub p i q sÄ… prawdziwe.
Równoważność
Oznaczenia: p Ô! q
Czytamy: q jest równoważne q ; q wtedy i tylko wtedy, gdy p ; p jest warunkiem koniecznym
i dostatecznym dla q
Wartość logiczna: Równoważność p Ô! q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy p i q sÄ…
prawdziwe lub p i q są fałszywe.
Kwantyfikatory
Kwantyfikator ogólny:
Dla każdego x, dla wszystkich x
Oznaczenia:
"x

x
Kwantyfikator szczegółowy:
Istnieje x
"x
2

x

Uwaga: Niech p(x) będzie funkcją zdaniową. Wtedy "x p(x) jest zdaniem, a nie funkcją

zdaniową zmiennej x. Mówimy, że x jest zmienną związaną. Np. zdanie "x (x > 1) jest
prawdziwe, a zdanie (x > 1) prawdziwe dla x = 2, fałszywe dla x = 0 .
Pewne prawa logiczne:
<" (p (" q) a" (<" p) '" (<" q)
<" (p '" q) a" (<" p) (" (<" q)
p Ò! q a" (<" q) Ò! (<" p) - dowód nie wprost
<" (p Ò! q) a" p '" (<" q)
p Ò! q a" (p '" (<" q) Ò! FaÅ‚sz) - dowód przez doprowadzenie do sprzecznoÅ›ci
Kresy
Niech A ‚" R bÄ™dzie dowolnym zbiorem liczb rzeczywistych. Wtedy
Definicja: M jest ograniczeniem górnym (dolnym) zbiotu A ‚" R wtedy i tylko wtedy, gdy:

"x " A x M (x M)
Liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym ciagu.
Definicja: Zbiór A ‚" R jest ograniczony od góry (od doÅ‚u) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
ograniczenie górne (dolne). Zbiór jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony
zarówno od góry jak i od dołu.
Definicja: Elementem najwiÄ™kszym (maksimum) zbioru A ‚" R nazywamy element y " A
będący ograniczeniem górnym zbioru A. Oznaczamy:
y = max A
Definicja: Elementem najmniejszym (minimum) zbioru A ‚" R nazywamy element y " A
będący ograniczeniem dolnym zbioru A. Oznaczamy:
y = min A
Pzrykład:
min < 0, 1 > = 0
min (0, 1 > nie istnieje
min (-", 1 > nie istnieje
Uwaga: W przykładzie 2 zbiór jest ograniczony od dołu, ale nie ma elementu najmniejszaego.
Definicja: Kresem górnym (supremum) zbioru A ‚" R nazywamy najwiÄ™kszy element zbioru
ograniczeń dolnych zbioru A. Oznaczamy:
y = sup A
Definicja: Kresem dolnym (infimum) zbioru A ‚" R nazywamy najmniejszy element zbioru
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy:
y = inf A
Przykład:
inf < 0, 1 >= max (-", 0 >= 0
inf (0, 1 >= max (-", 0 >= 0
inf (-", 1 >= max " nie istnieje
Uwaga:
3
Jeżeli nie istnieje kres górny zbioru A ‚" R to stosuje siÄ™ też oznaczenie:
sup A = "
Jeżeli nie istnieje kres dolny zbioru A ‚" R to stosuje siÄ™ też oznaczenie:
inf A = -"
Aksjomat ciągłości: Każdy niepusty, ograniczony od góry podzbiór zbiou liczb rzeczywi-
stych ma kres górny.
Uwaga 1: Wynika stąd, że każdy niepusty, ograniczony od dołu podzbiór zbiou liczb rze-
czywistych ma kres dolny.
Uwaga 2: Jest to bardzo ważna własność zbioru liczb rzeczywistych. Własności tej nie ma
zbiór liczb wymiernych.
CiÄ…gi
Definicja ciÄ…gu CiÄ…giem liczb rzeczywistych (an)" nazywamy funkcjÄ™ a : N R. War-
n=1
tości funkcji a oznaczamy an.
Przykłady:
1 1 1 1
an = = (1, , , , . . . )
n 2 3 4
an = n2 = (1, 4, 9, 16, 25, . . . )
an = (-1)nn = (-1, 2, -3, 4, -5, . . . )
Definicja ciÄ…gu monotonicznego: CiÄ…g (an)" nazywamy rosnÄ…cym (niemalejÄ…cym, ma-
n=1
lejÄ…cym, nierosnÄ…cym) wtedy i tytlko wtedy, gdy
"n, m " N m > n =Ò! am > an (am an , am < an , am an)
Uwaga: CiÄ…gi rosnÄ…ce i malejÄ…ce nazywamy ciÄ…gami monotonicznymi. CiÄ…gi niemalejÄ…ce i
nierosnące ciągami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: CiÄ…g (an)" jest rosnÄ…cy wtedy i tylko wtedy, gdy "n " N an+1 > an
n=1
Uwaga: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ciągów: niemalejących, malejących i nierosną-
cych.
n
Przykład 1: Pokazać , ze ciąg an = jest rosnący.
n + 2
Mamy pokazać, ze nierówność an+1 > an zachodzi dla wszystkich n " N
n + 1 n
> - mnożymy obie strony przez (n + 2)(n + 3) > 0
n + 3 n + 2
(n + 1)(n + 2) > n(n + 3)
n2 + 3n + 2 > n2 + 3n
2 > 0 - nierówność prawdziwa dla wszystkich n , więc ciąg jest rosnący.
Przykład 2: Pokazać , ze ciąg an = (-1)n nie jest monotoniczny
a1 = -1 , .a2 = 1 , a3 = -1
Widać, że a2 > a1 oraz a3 < a2
Z tych nierówności wynika, że ciąg nie jest monotoniczny.
Definicja ciągu ograniczonego: Ciąg (an)" jest ograniczony (ograniczony od góry ,
n=1
ograniczony od dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy ograniczony (od góry, od dołu) jest zbiór jego
elementów.
Przykład 1: Pokazać , ze ciąg an = (-1)n jest ograniczony
(-1)n 1 nierówność prawdziwa dla każdego n " N
(-1)n -1 nierówność prawdziwa dla każdego n " N
4
Przykład 2: Pokazać , ze ciąg an = n nie jest ograniczony od góry
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Przypuśćmy, że ciąg jest ograniczony od góry.
Wtedy istnieje M " R takie, że nierówność
n M zachodzi dla wszystkich n " N
W szczególności postawiając n = 1 mamy M 1
Liczba n = [M] + 1 2 jest liczbą naturalną. ([M] oznacza część całkowitą liczby M)
A nierówność :
n M Ð!Ò! [M] + 1 M jest faÅ‚szywa.
Definicja granicy ciÄ…gu
Mówimy, że ciąg (an)n"N ma granicę g " R wtedy i tylko wtedy, gdy:
(" > 0)("n0)("n n0) |an - g|
Stosujemy oznaczenie:
lim an = g
n"
Uwaga: Zamiast mówić, że ciąg ma granicę g mówimy też, że ciąg jest zbieżny do granicy
g .
n
Pzykład: Pokazać, że lim = 1
n"
n + 2
Weżmy dowolne > 0
Rozwiązujemy nierówność:
|an - g|

n

- 1

n + 2
2

n + 2
2
n - 2

2
Jeżeli przyjmiemy n0 = - 2 to dla n n0 zachodzi |an - g|

Granica ciągu stałego: lim a = a
n"
"
n
Przykład: Pokazać, że lim n = 1
n"
"
n
Musimy pokazać, że : (" > 0)("n0)("n n0) | n - 1|
Wez
my dowolne > 0. Chcemy, aby zachodziła nierówność:
"
n
| n - 1|
"
n
- n - 1
lewa nierówność jest oczywista. Przekształcamy prawą nierówność:
"
n
n 1 +
n (1 + )n

n n n
n 1 + + 2 + · · · + n
1 2 n
Powyższa nierówność będzie spłeniona jeśli zachodzić będzie:

n
n 2 (zakładamy, że n 2)
2
n(n - 1)
n 2
2
2
n 1 +
2
2 "
n
Widać, że jeśli wez
miemy n0 = max(2, 1 + ) to dla n n0 zachodzi n - 1
2
To kończy dowód.
5
Granice nieskończone
Definicja: Ciąg (an)n"N jest rozbieżny do +" (ma granicę +") wtedy i tylko wtedy, gdy
("M)("n0)("n n0) an M
Oznaczenie: lim an = "
n"
Analogicznie:
Definicja: Ciąg (an)n"N jest rozbieżny do -" (ma granicę -") wtedy i tylko wtedy, gdy
("M)("n0)("n n0) an M
Oznaczenie: lim an = -"
n"
Uwaga: Ciągi mające granicę +" lub -" nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Przykład 1: lim n = "
n"
Przykład 2: lim (-n) = -"
n"
Własności granic ciągów
Twierdzenie:
Zakładamy, że istnieją granice ciągów : a = lim an , oraz b = lim bn
n" n"
Wtedy poniższe granice istnieją i są równe:
lim kan = ka , k " R
n"
lim (an + bn) = a + b
n"
lim (an - bn) = a - b
n"
lim (anbn) = ab
n"
an a
lim = przy założeniu b = 0

n"
bn b
n
lim (ab ) = ab przy założeniu a > 0. Równość ta zachodzi też, dla a = 0 , b > 0
n
n"
1
Przykład : lim = 0 dla ą > 0
n"
nÄ…
Działania na granicach nieskończonych:
Pdobne twierdzenia zachodzą dla ciągów mających granice +" i -" ; na przykład:
" + a = "
" - a = "
-" + a = -"
-" - a = -"
" + " = "
-" - " = -"
a · " = " dla a > 0
a · " = -" dla a < 0
" · " = "
-" · " = -"
a
= 0
"
"
= " dla b > 0
b
a" = " dla a > 1
a" = 0 dla 0 a < 1
"b = " dla b > 0
"b = 0 dla b < 0
6
"" = "
Przykład 1: lim ną = " dla ą > 0, oraz lim ną = 0 dla ą < 0.
n" n"
Przykład 2: Obliczyć lim (n2 + n)
n"
lim (n2 + n) = " + " = "
n"
Symbole nieoznaczone
Własności sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i potęgowania granic skończonych lub nieskończo-
nych są wykorzystywane często. W niektórych przypadkach jednak, znając granice ciągów
lim an oraz lim bn nie możemy nic powiedzieć o granicy sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu czy
n" n"
potęgi. Przypadki te są to symbole nieoznaczone. Mamy następujące symbole nieoznaczone:
0 "
" - " , 0 · " , , , 1" , 00 , "0
0 "
PrzykÅ‚ad 1: Pokażemy, że symbol 0 · " jest nieoznaczony. W tym celu skonstruujemy dwa
przykłady ciągów lim an = 0 oraz lim bn = " mające różne granice lim anbn .
n" n" n"
1
1. an = , bn = n
n
1
lim anbn = lim · n = lim 1 = 1
n" n" n"
n
1
2. an = , bn = n
n2
1 1
lim anbn = lim · n = lim = 0
n" n"
n2 n" n
Przykład 2: Obliczyć lim (n2 - n)
n"
lim (n2 - n) = " - "
n"
Jest to symbol nieoznaczony, nie możemy więc obliczyć granicy w ten sposób. Przekształcamy
ciąg tak, aby usunąć symbol nieoznaczony:
1
lim (n2 - n) = lim n2(1 - ) = "(1 - 0) = "
n" n"
n
n2 + 3n
Przykład 3: Obliczyć lim
n"
n2 - 2n + 5
3 3
2n2 + 3n n2(2 + ) 2 + 2 + 0
n n
lim = lim = lim = = 2
1 1 1 1
n" n" n"
n2 - 2n + 5 n2(1 - 2 + 5 ) 1 - 2 + 5 1 - 0 + 0
n n2 n n2
nk
Przykład 4: Obliczyć granicę lim dla a > 1 , k " R
an
ëÅ‚ öÅ‚n n"
"
n
nk nk 1 "
íÅ‚ Å‚Å‚
lim = lim = = 0
n" n"
an a a
7