SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 5, 2010-11-04
Tabela pochodnych funkcji elementarnych:
f(x) f (x) Założenia f(x) f (x) Założenia
1
xÄ… Ä…xÄ…-1 x > 0 , Ä… " R tgh x
cosh2 x
1 1
ln x x > 0 ctgh x - x = 0

x sinh2 x
ex ex
1
"
sin x cos x arc sin x x " (-1, 1)
1 - x2
1
cos x - sin x arc cos x -"
x " (-1, 1)
1 - x2
1 1
2k+1
tg x x = Ä„ , k " Z arc tg x

2
cos2 x 1 + x2
1 1
ctg x - x = kĄ , k " Z arc ctg x -

sin2 x 1 + x2
sinh x cosh x
cosh x sinh x
Pochodna jednostronna
Definicja: PochodnÄ… prawostronnÄ… funkcji f : D R w punkcie x takim, że < x, x+ ) ‚" D
dla pewnego > 0 nazywamy granicÄ™:
f(x + h) - f(x)
f (x+) = lim
h0+ h
Analogicznie, pochodnÄ… lewostronnÄ… funkcji f : D R w punkcie x takim, że (x- , x >‚" D
dla pewnego > 0 nazywamy granicÄ™:
f(x + h) - f(x)
f (x-) = lim
h0- h
Twierdzenie: Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy ma po-
chodną lewostronną równą pochodnej prawostronnej.
"
Przykład: Obliczyć f (0+) jeżeli f(x) = x3
D =< 0, ") , a więc nie można obliczyć pochodnej f (0) . Pochodna prawostronna jest
równa:
"
"
h3 - 0
f (0+) = lim = lim h = 0
h0+ h h0+
Przykład: Pokazać że funkcja f(x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x = 0

f (0+) = x |x=0 = 1

f (0-) = -x |x=0 = -1
Ponieważ f (0+) = f (0-) więc pochodna f (0) nie istnieje.

Twierdzenie Jeśli f jest różniczkowalna w x " D to jest w tym punkcie ciągła
1
Dowód: Niech x + h " D i h = 0 . Wtedy


f(x + h) - f(x)
lim f(x + h) - f(x) = lim · h = f (x) · 0 = 0
h0 h0
h
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Na przykład funkcja f(x) = |x| jest
ciągła w x = 0, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
Przykład: Dla jakich a, b " R jest różniczkowalna funkcja f : R R :
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ ex dla x > 0
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ax + b dla x 0
RozwiÄ…zanie:
Funkcja jest różniczkowalna na zbiorze (-", 0) *" (0, ") . Pozostaje sprawdzić różniczko-
walność w punkcie x = 0. Aby funkcja była różniczkowalna musi być ciągła w tym punkcie,
czyli:
f(0+) = f(0-) = f(0)
1 = b = b
Obliczamy oddzielnie pochodnÄ… lewostronnÄ… i prawostronnÄ…:
f (0+) = ex|x=0 = 1
Uwaga: Obliczając tę pochodną korzystamy już z ciągłości f w punkcie x = 0 .
f (0-) = a
Czyli:
a = 1
Odpowiedz
: Dla a = 1 , b = 1 funkcja jest różniczkowalna.
Pochodna nieskończona
Jeśli granica ilorazu różnicowego w punkcie x jest równa " albo -" to prosta styczna do
wykresu funkcji jest w tym punkcie prostÄ… pionowÄ….
Różniczka
Niech dana będzie funkcja f : D R oraz punkt x " int D . Różniczką funkcji f w punkcie
x nazywamy funkcjÄ™ liniowÄ…: df : R R , df(dx) = a · dx takÄ…, że:
f(x + dx) - f(x) - a · dx
lim = 0
dx0
dx
Widać, że różniczka funkcji f istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jej pochodna, oraz:
df = f (x) · dx
Uwaga 1: Jeżeli przesuniemy układ współrzędnych tak, aby jego początek był w punkcie
(x, f(x)) to różniczka funkcji jest funkcją liniową przechodzącą przez początek przesuniętego
układu współrzędnych. Jej wykresem jest prosta styczna do wykresu funkcji. Pochodna f (x)
jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej.
Uwaga 2: Różniczkę funkcji można traktować jako liniowe przybliżenie przyrostu funkcji:
"f H" df
Błąd tego przybliżenia = "f -df dla małych przyrostów argumentu dx jest dużo mniejszy

niż dx; stosunek dąży do zera. Wykorzystując różniczkę w ten sposób zakładamy, że dx
dx
jest małe (nieskończenie małe). W zastosowaniach fizycznych pochodnej najczęściej przybliża
się przyrost funkcji jej różniczką.
Uwaga 3: Różniczkę funkcji można również traktować jako równanie prostej stycznej do
wykresu funkcji. Wtedy nie zakładamy, że przyrost argumentu dx jest mały, ale różniczka
wyznacza punkt na prostej stycznej, który dla dużych dx może być daleki od wykresu funkcji.
2
df
Uwaga 4: Symbol pochodnej można interpretować jako stosunek różniczki funkcji do
dx
różniczki argumentu. Np. wzór na pochodną funkcji złożonej: h(x) = f(g(x)) przy oznaczeniu
dh dh dg
y = g(x) mamy: = · .
dx dy dx
Często stosuje się oznaczenia: g(x) y(x) , h(x) f(x) ; wtedy mamy wzór:
df df dy
= ·
dx dy dx
Przykład: Obliczyć różniczkę funkcji f(x) = arc tg 2x w punkcie x = 1
df = f (x)dx
2
f (x) =
1 + 4x2
2
f (1) =
5
StÄ…d:
2
df = dx
5
"
Przykład: Obliczyć przybliżoną wartość 4, 01
"
Niech f(x) = x , x0 = 4 , dx = 0, 01
Szukamy f(x0 + dx). Mamy:
f(x0 + dx) - f(x0) = "f H" df
f(x0 + dx) H" f(x0) + df
f(x0) = 2
df = f (x0)dx
1
f (x) = "
2 x
1
f (4) =
4
1
StÄ…d: df = dx = 0, 0025
4
"
Czyli: 4, 01 H" f(x0) + df = 2, 0025
2x
Przykład: Znalez
ć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = w punkcie x = 2
x - 1
2x
Niech y(x) = , x0 = 2 , dx = (x - x0) , y0 = y(x0) = 4 , dy = (y - y0)
x - 1
(Punkt P (x, y) jest punktem na prostej stycznej, a nie na wykresie funkcji, nie zakładamy,
że dx jest małe)
Obliczamy różniczkę:
dy = y (x0)dx
2(x - 1) - 2x 2
y = =
(x - 1)2 (x - 1)2
y (x0) = 2
dy = 2dx
Stąd równanie prostej stycznej:
y - 4 = 2(x - 2)
y = 2x
Przykład: Pokazać, że wykresy funkcji f(x) = x2 i g(x) = 2 ln x + 1 są styczne w punkcie
x = 1
Wykresy sÄ… styczne, gdy przecinajÄ… siÄ™. czyli f(1) = g(1) , oraz majÄ… tÄ™ samÄ… prostÄ… stycznÄ…,
czyli f (1) = g (1)
f(1) = 12 = 1
3
g(1) = 2 ln 1 + 1 = 1
czyli f(1) = g(1)
f (x) = 2x f (1) = 2
1
g (x) = 2 g (1) = 2
x
czyli f (1) = g (1)
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D R nazywamy funkcją róż-
niczkowalną wtedy i tylko wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x " D.
Uwaga: Podobnie mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na zbiorze A ‚" D wtedy i tylko
wtedy, gdy jest rózniczkowalna dla każdego x " A.
Pochodna jako funkcja
Dla ustalonego x " D , pochodna f (x) jest liczbą. Jeżeli punkt x będzie się zmieniał, to
pochodnÄ… f (x) możemy traktować jak funkcjÄ™ f : D1 R. D1 ‚" D . Może siÄ™ przy tym
zdarzyć, że dziedzina pochodnej nie będzie równa dziedzinie funkcji.
Uwaga Funkcje elementarne są różniczkowalne na całej swojej dziedzinie z wyjątkiem funk-
cji:
1. f(x) = xą w punkcie x = 0 dla ą " (0, 1) oraz dla ą > 1 takich, że D =< 0, ")
2. f(x) = |x| w punkcie x = 0
3. f(x) = arc sin x w punkcie x = Ä…1
4. f(x) = arc cos x w punkcie x = Ä…1
Uwaga: Jeżeli uwzględnimy zmianę argumentu, to różniczka jest funkcją dwóch zmiennych:
df(x, dx) = f (x)dx
Przykład: Pochodna funkcji nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład funkcja :
Å„Å‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ x2 sin dla x = 0

x
f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0
Ma dla x = 0 pochodnÄ…:


1 1 -1 1 1
f (x) = 2x sin + x2 cos · = 2x sin - cos
x x x2 x x
A dla x = 0
1
h2 sin
1
h
f (0) = lim = lim h sin = 0
h0 h0
h h
Funkcja:
Å„Å‚
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ 2x sin - cos dla x = 0

x x
f (x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 dla x = 0
1 1
nie jest ciągła w x = 0, ponieważ nie istnieje granica lim(2x sin - cos )
x0
x x
Definicja Niech D ‚" R bÄ™dzie zbiorem, a f : D R. FunkcjÄ™ f nazywamy:
" klasy C wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na D.
" klasy D1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D
" klasy C1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jest różniczkowalna na D i jej pochodna f jest
ciągła na D
4
Uwaga 1: Zbiór wszystkich funkcji klasy C na zbiorze D oznaczamy C(D). Podobnie sto-
sujemy oznaczenia D1(D) , C1(D).
Uwaga 2: Dla funkcji klasy C dziedzina funkcji f może być dowolnym zbiorem. Dla funkcji
klasy D1 i C1 dziedzina zwykle jest zbiorem otwartym. Czasami wygodnie jest, korzystajÄ…c

z pochodnej jednostronnej, rozszerzyć definicję na inne zbiory. Np. dla funkcji klasy D1 <

a, b > i C1 < a, b > traktujemy pochodnÄ… w punktach a i b jako pochodnÄ… jednostronnÄ….
Uwaga 3: Wykres funkcji klasy C1 określonej ma przedziale nazywamy krzywą gładką.
Wyższe pochodne
Definicja: DrugÄ… pochodnÄ… funkcji f : D R w punkcie x0 " int D nazywamy pochodnÄ…
funkcji f (x) w punkcie x0:
f (x0) = (f (x)) |x=x
0
Uwaga 1: Aby istniała druga pochodna f w punkcie x0 musi istnieć pierwsza pochodna
funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x0, oraz granica ilorazu różnicowego funkcji f (x).
Uwaga 2: Jeżeli istnieje druga pochodna f (x0) to pierwsza pochodna f (x) jest ciągła w
punkcie x0 .
Przykład: Obliczyć f (x) jeśli f(x) = x ln x
1
f (x) = ln x + x = ln x + 1
x
1
f (x) = (f (x)) = (ln x + 1) =
x
Definicja: Analogicznie definiujemy n-tÄ… pochodnÄ… funkcji f : D R w punkcie x0 " int D

f(n)(x0) = f(n-1)(x) |x=x
0
Przykład: Obliczyć fIV (x) jeśli f(x) = x5 + 4x + e2x
f (x) = 5x4 + 4 + 2e2x
f (x) = (f (x)) = (5x4 + 4 + 2e2x) = 20x3 + 4e2x
f (x) = (f (x)) = (20x3 + 4e2x) = 60x2 + 8e2x
fIV (x) = (f (x)) = (60x2 + 8e2x) = 120x + 16e2x

n

n
Pochodna iloczynu: (f(x)g(x))(n) = (f(x))(k)(g(x))(n-k)
k
k=0
Przykład: Obliczyć (x2ex)(20)
Niech f(x) = x2 , g(x) = ex
Wtedy:
f (x) = 2x , f (x) = 2 , f (x) = fIV (x) = · · · = f(20)(x) = 0
g (x) = g (x) = · · · = g(20)(x) = ex
StÄ…d:

20 20 20
(x2ex)(20) = x2ex + 2xex + 2ex = x2ex + 40xex + 380ex
0 1 2
Definicja Niech D będzie zbiorem otwartym. Funkcję f : D R nazywamy funkcją klasy
Cn jeśli jest różniczkowalna n razy na D i jej n-ta pochodna f(n) jest ciągła na D. Fumckję
nazywamy funkcją klasy C" jeśli ma na D pochodne dowolnego rzędu.
ZwiÄ…zek funkcji i jej pochodnej
Poniższe twierdzenia są podstawą wielu bardzo ważnych zastosowań pochodnych. Twierdze-
nie te wyrażają związek pomiędzy funkcją a jej pochodną.
5
Twierdzenie Rolle a Niech dana będzie funkcja f :< a, b > R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b), oraz taka, że f(a) = f(b) . Wtedy istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f (c) = 0
Twierdzenie Lagrange a Niech dana będzie funkcja f :< a, b > R ciągła na < a, b > i
różniczkowalna na (a, b). Wtedy istnieje punkt c " (a, b) taki, że
f(b) - f(a) = f (c) · (b - a)
Twierdzenie Cauchy ego Niech dane będą funkcje f, g :< a, b > R ciągłe na < a, b > i
różniczkowalne na (a, b). Niech ponadto g (x) = 0 "x " (a, b). Wtedy istnieje punkt c " (a, b)

taki, że
f(b) - f(a) f (c)
=
g(b) - g(a) g (c)
Zastosowania tych twierdzeń:
Reguła de L Hospitala
Twierdzenie: Niech f, g : D R , gdzie D = (x0 - , x0 + ) \ {x0} będą funkcjami ró-
zniczkowalnymi oraz "x " D (g (x) = 0) . Niech istnieją i są równe zeru granice: lim f(x) =

xx0
f (x) f(x)
lim g(x) = 0. Jeśli istnieje granica lim = b to istnieje też granica lim = b
xx0 xx0 xx0
g (x) g(x)
0
Uwaga 1 Reguła de L Hospitala umożliwia liczenie granic typu poprzez obliczanie granic
0
ilorazu pochodnych.
Uwaga 2 Twierdzenie działa tylko w jedną stronę: jeżeli granica ilorazu pochodnych nie
istnieje to z tego nie wynika , że nie istnieje granica ilorazu funkcji.
"
Uwaga 3 Twierdzenie to można uogólnić na granice typu oraz x0 = ą" , b = ą"
"
Przykład: Obliczyć granicę:
1 - cos x
lim
x0
sin x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicÄ™:
0
f (x) sin x
lim = lim
x0 x0
g (x) 2x cos x2
0
Jest to granica typu . Obliczamy granicÄ™:
0
f (x) cos x 1
lim = lim =
x0 x0
g (x) 2 cos x2 - 4x2 sin x2 2
Granica ta isnieje, a więc
1 - cos x 1
lim =
x0
sin x2 2
Jezeli chcemy stosować regułę de L Hospitala w przypadku innych symboli nieoznaczonych
0 "
musimy je najpierw przekształcić do symbolu lub
0 "
PrzykÅ‚ad: 0 · " Obliczyć granicÄ™: lim x ln x
x0
1
ln x
x
lim x ln x = lim =H lim = lim -x = 0
1 1
x0 x0 x0 x0
-
x x2

1 1
Przykład: " - " Obliczyć granicę: lim -
x0
x sinh x
6

1 1 sinh x - x cosh x - 1 sinh x
lim - = lim =H lim =H lim =
x0 x0 x0 x0
x sinh x x sinh x sinh x + x cosh x cosh x + cosh x + x sinh x
1
2
Uwaga: Granice 1" , "0 ,00 obliczamy przekształcając wyrażenie fg = eln fg = eg ln f , a
nastÄ™pnie obliczajÄ…c granicÄ™ g ln f typu 0 · "
x
2
Przykład: 1" Obliczyć granicę: lim arc tg x
x"
Ä„

2
x x ln arc tg x
2
Ä„
arc tg x = e
Ä„
2
Ä„(1 + x2)

2
2

ln arc tg x
arc tg x
2 -x2
Ä„
Ä„
lim x ln arc tg x = lim =H lim = lim =
1 1
x" x" x" x"
Ä„ - (1 + x2) arc tg x
x x2
-1 2
lim = -
x" 1
Ä„
( + 1) arc tg x
x2
stÄ…d:
x
2 2
Ä„
lim arc tg x = e-
x"
Ä„
7