SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 10, 2010-12-9
Wzory rekurencyjne
Przy obliczaniu niektórych całek wygodnie jest czasem wyprowadzić pewien wzór rekuren-
cyjny.

1
Przykład: Obliczyć In = dx
(x2 + 1)n
Najpierw obliczymy:


x 1 -1 -1
t = x2 + 1
dx = = dt = + C = +
dt = 2xdx
(x2 + 1)n 2tn 2(n - 1)tn-1 2(n - 1)(x2 + 1)n-1
C, n = 2, 3, 4, . . .

1 1 + x2 - x2 1 x2
In = dx = dx = dx - dx
(x2 + 1)n (x2 + 1)n (x2 + 1)n-1 (x2 + 1)n
Poniższą całkę obliczamy całkując przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
x
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ f(x) = x g (x) = ôÅ‚

òÅ‚ żł
x2 -x
(x2 + 1)n
dx = = -
-1
ôÅ‚ ôÅ‚
(x2 + 1)n 2(n - 1)(x2 + 1)n-1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół f (x) = 1 g(x) = þÅ‚
2(n - 1)(x2 + 1)n-1

-1 -x 1 1 -x
dx = + dx = +
2(n - 1)(x2 + 1)n-1 2(n - 1)(x2 + 1)n-1 2(n - 1) (x2 + 1)n-1 2(n - 1)(x2 + 1)n-1
1
In-1 , n = 2, 3, 4, . . .
2(n - 1)
stÄ…d:
x 1 x 2n - 3
In = In-1 + - In-1 = + In-1 , n =
2(n - 1)(x2 + 1)n-1 2(n - 1) 2(n - 1)(x2 + 1)n-1 2n - 2
2, 3, 4, . . .
ObliczajÄ…c jeszcze:

1
I1 = dx = arc tg x + C
(x2 + 1)1
Dostajemy wzór rekurencyjny:
Å„Å‚
ôÅ‚
I1 = arc tg x + C
òÅ‚
x 2n - 3
ôÅ‚
In = + In-1 , n = 2, 3, 4, . . .
ół
2(n - 1)(x2 + 1)n-1 2n - 2
KorzystajÄ…c z tego wzoru obliczamy:

1
dx = I3
(x2 + 1)3
x 1 x 1
I2 = + I1 = + arc tg x + C
2(x2 + 1) 2 2(x2 + 1) 2
x 3 x 3x 3
I3 = + I2 = + + arc tg x + C
4(x2 + 1)2 4 4(x2 + 1)2 8(x2 + 1) 8
Całkowanie funkcji wymiernej
P (x)
Funkcja wymierna R(x) jest funkcjÄ… w postaci: R(x) = , gdzie P, Q sÄ… wielomianami.
Q(x)
Całki z prostych funkcji wymiernych:

1
dx = {t = x - a} = ln |x - a| + C
x - a

1 -1
dx = {t = x - a} = + C
(x - a)2 x - a
1

1 -1
dx = {t = x - a} = + C
(x - a)3 2(x - a)2

1
dx = arc tg x + C
x2 + 1


x 1 1 1
t = x2 + 1
dx = = dt = ln |t| + C = ln |x2 + 1| + C
dt = 2xdx
x2 + 1 2t 2 2


x 1 -1 -1
t = x2 + 1
dx = = dt = + C = + C
dt = 2xdx
(x2 + 1)2 2t2 2t 2(x2 + 1)

1
dx - korzystamy ze wzoru rekurencyjnego
(x2 + 1)2

1 1 1 1 1
dx = dx = dx = dx =


x2 - 6x + 13 (x - 3)2 + 4 (x - 3)2 4 x - 3 2
4 + 1 + 1
4 2

x - 3 1 x - 3
{t = } = arc tg + C
2 2 2
Całki z funkcji wymiernych:
Sposób obliczania całki z funkcji wymiernej na przykładzie całki:

x4 + 1
dx
x3 - x
1. Dzielimy licznik przez mianownik ( o ile st P st Q ) :
x4 + 1 x2 + 1
= x +
x3 - x x3 - x

x2 + 1
Obliczamy teraz całkę dx (stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika).
x3 - x
2. Sprawdzamy czy licznik jest pochodną mianownika pomnożona przez stałą:
(x3 - x) = 3x2 - 1 = a(x2 + 1)

3. Rozkładamy mianownik na czynniki:
x3 - x = x(x - 1)(x + 1)
Uwaga: W rozkładzie tym występują tylko wielomiany stopnia pierwszego lub drugiego z
deltÄ… ujemnÄ….
4. Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
x2 + 1 A B C
= + +
x(x - 1)(x + 1) x x - 1 x + 1
Uwaga: Każdemu czynnikowi w rozkładzie odpowiadają ułameki proste:
A
1. Czynnik stopnia pierwszego jednokrotny: (x - a) -
x - a
A1 A2 An
2. Czynnik stopnia pierwszego wielokrotny: (x-a)n - + +· · ·+
x - a (x - a)2 (x - a)n
Ax + B
3. Czynnik stopnia drugiego jednokrotny: (x2 + ax + b) -
x2 + ax + b
A1x + B1 A2x + B2
4. Czynnik stopnia drugiego wielokrotny: (x2+ax+b)n - + +
x2 + ax + b (x2 + ax + b)2
Anx + Bn
. . .
(x2 + ax + b)n
Obliczamy niewiadome współczynniki A, B, C :
x2 + 1 = A(x - 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 1)
2
Wielomiany stopnia drugiego są sobie równe "x " R wtedy i tylko wtedy, gdy są równe w 3
różnych punktach:
x = 0 : 1 = -A
x = 1 : 2 = 2B
x = -1 : 2 = 2C
stÄ…d A = -1 , B = 1 , C = 1 :
x2 + 1 -1 1 1
= + +
x(x - 1)(x + 1) x x - 1 x + 1
5. Obliczamy całki:

x4 + 1 1 1 1 1
dx = xdx- dx+ dx+ dx = x2-ln |x|+ln |x-1|+ln |x+1|+C
x3 - x x x - 1 x + 1 2
Przykład: Obliczyć całkę:

2x - 3
dx
x4 + x2
Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, nie dzielimy więc wielomianów.
Rozkład mianownika na czynniki:
x4 + x2 = x2(x2 + 1)
Rozkład na ułamki proste:
2x - 3 A B Cx + D
= + +
x2(x2 + 1) x x2 x2 + 1
2x - 3 = Ax(x2 + 1) + B(x2 + 1) + (Cx + D)x2
Porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach x:
A + C = 0 , B + D = 0 , A = 2 , B = -3
stÄ…d: C = -2 , D = 3
mamy więc:
2x - 3 2 -3 -2x + 3
= + +
x2(x2 + 1) x x2 x2 + 1
stÄ…d:

2x - 3 1 1 x 1
dx = 2 dx - 3 dx - 2 dx + 3 dx =
x4 + x2 x x2 x2 + 1 x2 + 1
3
2 ln |x| + - ln |x2 + 1| + 3 arc tg x + C
x

x
całkę dx obliczyliśmy przez podstawienie: t = x2 + 1 , dt = 2xdx,
x2 + 1

x 1 1 1
dx = dt = ln |t| + C = ln |x2 + 1| + C
x2 + 1 2t 2 2
Przykład: Obliczyć całkę:

4x3 + 6x + 1
dx
x4 + 3x2 + x + 2
Licznik jest pochodną mianownika, więcc podstawiamy t = x4 + 3x2 + x + 2 i dostajemy:

4x3 + 6x + 1 1
dx = dt = ln |t| + C = ln |x4 + 3x2 + x + 2| + C
x4 + 3x2 + x + 2 t
ëÅ‚ öÅ‚


ax + b
n
íÅ‚ Å‚Å‚
Całki z funkcji: R x, dx
cx + d
ax + b
Całki takie sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej przez podstawienie: = tn
cx + d

1
PrzykÅ‚ad: Obliczyć caÅ‚kÄ™ " " dx
3
x + x
3
Podstawiamy: x = t6 , dx = 6t5dt

1 6t5dt t3dt 1
" " dx = = 6 = 6 (t2-t+1- )dt = 2t3-3t2-6 ln |t+1|+C =
3
x + t3 + t2 t + 1 t + 1
" "x "
3 6
2 x - 3 x - 6 ln | x + 1| + C


x - 1
Przykład: Obliczyć całkę dx
x + 1
x - 1
Podstawiamy: = t2 , wtedy:
x + 1
x - 1 = xt2 + t2
x(t2 - 1) = -1 - t2
-1 - t2
x =
t2 - 1
-2t(t2 - 1) + 2t(1 + t2) 4t
dx = dt = dt
(t2 - 1)2 (t2 - 1)2


x - 1 4t 4t2
dx = t dt = dt
x + 1 (t2 - 1)2 (t - 1)2(t + 1)2
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
4t2 A B C D
= + + +
(t - 1)2(t + 1)2 t - 1 (t - 1)2 t + 1 (t + 1)2
4t2 = A(t - 1)(t + 1)2 + B(t + 1)2 + C(t - 1)2(t + 1) + D(t - 1)2
Przyrównujemy wielomiany stopnia 3 w 4 różnych punktach:
dla t = 1 : 4 = 4B =Ò! B = 1
dla t = -1 : 4 = 4D =Ò! D = 1
dla t = 0 : 0 = -A + 1 + C + 1 =Ò! C - A = -2
dla t = 2 : 16 = 9A + 9 + 3C + 1 =Ò! 3A + C = 2
stÄ…d:
A = 1 , C = -1

4t2 1 1 1 1
dt = dt + dt - dt + dt = ln |t - 1| -
(t - 1)2(t + 1)2 t - 1 (t - 1)2 t + 1 (t + 1)2
1 1
- ln |t + 1| - + C
t - 1 t + 1
więc:




- 1
- 1

x - 1 x 1 x 1

dx = ln - 1 -
- ln + 1 -
+ C

x-1 x-1
x + 1 x + 1 x + 1

- 1 + 1
x+1 x+1
4