SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 2, 2010-10-14
Granica ciÄ…gu
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an)n"N ma granicę to granica ta jest tylko jedna. (Ciąg nie może
mieć dwóch lub więcej różnych granic).
Definicja podciągu: Niech dany będzie ciąg (an)n"N , an " R oraz rosnący ciąg (nk)k"N
liczb naturalnych nk " N . Wtedy ciąg (bk)k"N zdefiniwany następująco: bk = an nazywamy
k
podciÄ…giem ciagu (an)n"N.
Uwaga: Podciąg otrzymujemy z ciągu wyjściwego usuwając część wyrazów, pozostać jednak
musi nieskończenie wiele wyrazów.
1 1 1 1
Przkład: Podciągami ciągu an = są : bk = , ck = , dk = .
n k + 5 2k - 1 2k2 + 4
Twierdzenie: Jeżeli ciąg ma granicę to każdy jego podciąg ma tę samą granicę.
1 1 1
Przkład 1: lim = 0 ponieważ bn = jest podciągiem ciągu an = który
n"
2n2 + 4 2n2 + 4 n
jest zbieżny do 0.
Przykład 2: Pokazać, ze ciąg an = (-1)n nie ma granicy.
Dowód nie wprost. Gdyby ciąg (an)n"N miał granicę, to kazdy jego podciąg miałby tę samą
granicę. Znajdziemy dwa podciągi mające różne granice.
PodciÄ…g pierwszy: bk = a2k = (-1)2k = 1
lim bk = lim 1 = 1
k" k"
PodciÄ…g drugi: ck = a2k+1 = (-1)2k+1 = -1
lim cn = lim -1 = -1
k" k"
Widzimy, że lim bk = lim ck a więc ciąg an nie ma granicy.

k" k"
Uwaga: Dla każdego ciągu rozbieżnego istnieją dwa podciągi mające różne granice (skoń-
czone lub nieskończone).
Dla dowolnego ciągu zachodzi jeden z poniższych warunków:
1. ciąg ma granicę skończoną
2. ciÄ…g ma granicÄ™ +"
3. ciÄ…g ma granicÄ™ -"
4. ciąg nie ma granicy, czyli dla dowolnie dużych n wyrazy ciągu  oscylują .
1
Symbol
0
1
Jeżeli an = 0 , lim an = 0 to granica ciągu lim jest nioznaczona. Aby znalez
ć tę granicę

n" n"
an
wystarczy sprawdzić znak an:
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są dodatnie: ("n0)("n > n0) an > 0 to
1 1
lim = " (oznaczenie: = +")
n"
an 0+
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są ujemne: ("n0)("n > n0) an < 0 to
1 1
lim = -" (oznaczenie: = -")
n"
an 0-
Jeśli dla dowolnei dużych n wyrazy ciagu zmieniają znak: ("n0)("n > n0) an > 0 oraz
("n0)("n > n0) an < 0 to ciÄ…g (an) nie ma granicy.
Uwaga: W większości twierdzeń dotyczących granic ciągów zamiast warunku dla wszystkich
n : "n wystarczy warunek dla dostatecznie dużych n : ("n0)("n n0)
1
1

Przykład : Obliczyć lim
n" 1
1 + - 1
n

1
lim 1 + - 1 = 0
n
n"
1
Mamy więc symbol .
0

1
Sprawdzamy, czy 1 + - 1 > 0
n

1
1 + > 1 - nierówność prawdziwa. Stąd:
n
1 1

lim = = "
n" 1
0+
1 + - 1
n
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (an) , (bn) mające granice. Jeśli ("n)an bn to lim an
n"
lim bn
n"
Uwaga 1: Granice ciągów mogą być skończone lub nieskończone.
Uwaga 2: W twierdzeniu tym nie można zastąpić nierówności słabej nierównością ostrą,
Dowodzi tego poniższy przykład:
1
an = 0 , bn = .
n
1
Mamy an = 0 < = bn
n
Oraz lim an = 0 , lim bn = 0 czyli lim an = lim bn
n" n" n" n"
Twierdzenie o trzech ciągach: Dane są trzy ciągi: (an) , (bn) , (cn) takie, że ("n) bn
an cn . Jeżeli lim bn = lim cn = g " R to ciąg (an) jest zbieżny i ponadto lim an = g
n" n" n"
Uwaga 1: Podobne twierdzenie zachodzi dla granic nieskończonych; wystarczą wtedy tylko
dwa ciÄ…gi:
Jeśli lim bn = " to lim an = "
n" n"
Jeśli lim cn = -" to lim an = -"
n" n"
Uwaga 2: Wystarczy, żeby warunek bn an cn zachodził dla dostatecznie duzych n .
(-1)n
Przykład: Obliczyć granicę lim
n"
n
1 1
Zastosujemy twierdzenie o trzech ciÄ…gach. Wez
my bn = - , cn = . Wtedy mamy:
n n
1 (-1)n 1
-
n n n
1 1 (-1)n
oraz lim - = 0 = lim . Z twierdzenia o trzch ciagach wynika więc, że lim = 0
n" n" n"
n n n
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (an) , (bn) . Jeżeli ciąg (bn) jest ograniczony, a lim an = 0
n"
to lim anbn = 0
n"
"
n
Przykład: Obliczyć granicę lim a dla a > 0
n"
Mamy:
" " "
n n n
1 a n dla n a stÄ…d: lim a = 1
n"
"
Przykład 1: Obliczyć lim ( n2 + 4n - 5n)
n"
Jest to granica typu " - ". Przekształcamy an

"
4
lim ( n2 + 4n - 5n) = lim n( 1 + - 5) = " · (-4) = -"
n
n" n"
"
Przykład 2: Obliczyć lim ( n2 + 4n - n)
n"
Jest to granica typu " - ". Przekszatłcamy an
2
" "
"
( n2 + 4n - n) · ( n2 + 4n + n) n2 + 4n - n2
" "
lim ( n2 + 4n - n) = lim = lim =
n" n" n"
n2 + 4n + n n2 + 4n + n
4n 4

lim = lim = 2
n" 4 n" 4
n( 1 + + 1) 1 + + 1
n n
2nn3 + 4nn
Przykład 3: Obliczyć lim
n"
3n + 22nn
"
Jest to granica typu . Przekszatłcamy an
"
n3 n3
4nn( + 1) + 1
2nn3 + 4nn 0 + 1
2n 2n
ëÅ‚ öÅ‚
lim = lim = lim = = 1
n" n" n" 1
3n + 22nn 0 + 1
+ 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1
4
ìÅ‚
4nn + 1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ n( )n
4
3
n( )n
3
Uwaga : Częstym błędem przy obliczaniu granic jest przechodzenie do granicy z wybranymi
n w wyrażeniu an . Ryzykujemy wtedy zgubienie symbolu nieoznaczonego i w konsekwencji
błędny wynik. Aby tego uniknąć należy przechodzić do granicy ze wszystkimi n jednocześnie.
1
PrzykÅ‚ad 1: Obliczyć lim · n
n
n"
1
Obliczanie bÅ‚Ä™dne: lim · n = lim 0 · n = lim 0 = 0
n
n" n" n"
1
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem pozostawiając n bez zmian.
n
Obliczanie poprawne:
1
lim · n
n
n"
Dzielimy wyrażenie na dwie części
1
lim = 0
n
n"
lim n = "
n"
Teraz łączymy te części. Tym razem przechodzimy do granicy jednocześnie ze wszystkimi n:
1
lim ·n = 0·" - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Obliczymy
n
n"
jÄ… inaczej:
1
lim · n = lim 1 = 1
n
n" n"
n
1
Przykład 2: Obliczyć lim 1 +
n
n"
n
1
Obliczanie błędne: lim 1 + = lim 1n = lim 1 = 1
n
n" n" n"
1
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem pozostawiając n bez zmian.
n
Obliczanie poprawne:
Dzielimy wyrażenie na dwie części
1
lim (1 + ) = 1
n
n"
lim n = "
n"
n
1
lim 1 + = 1" - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Gra-
n
n"
nica ta zostanie omówiona w dalszej częsci wykładu.
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny to jest ograniczony.
Twierdzenie: Ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę skończoną.
Uwaga 1: Istotnym założeniem w tym twierdzeniu jest to, że wyrazy ciągu i granica są
liczbami rzeczywistymi. Dla liczb wymiernych to twierdzenie nie zachodzi.
Uwaga 2: Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony to ma granicę nieskończoną: ro-
snÄ…cy +" , malejÄ…cy -"
3
1
CiÄ…g an = (1 + )n
n
1
Ciąg an = (1 + )n jest rosnący i ograniczony, ma więc granicę.
n
Dowód


1 n 1 n 1 n 1 n 1 n(n - 1)
n
1
an = (1 + )n = 1 + + + + · · · + = 1 + · + ·
n 1
n 2 n2 3 n3 n nn 1 n 2!

1 n(n - 1)(n - 2) 1 n(n - 1)(n - 2) . . . 1 1 1 1 1 1
+ · + · · · + · = 2 + 1 - + 1 - ·
n2 3! n3 n! nn 2! n 3! n

2 1 1 2 n - 1
1 - + · · · + 1 - · 1 - · · · 1 -
n n! n n n
Widać, że każde wyrażenie w nawiasach jest dodatnie i mniejsze od 1. Stąd
1 1 1 1 1 1 1 1 1
an < 2 + + + · · · + = 2 + + + · · · + < 2 + + + · · · + <
2! 3! n! 2 2 · 3 2 · 3 · · · n 2 22 2n-1
1 1 1 1
2 + + + · · · = 2 + · = 3
1
2 22 2 1 -
2
Mamy więc dowód, ze ciąg (an) jest ograniczony od góry.
Widać, że ciąg jest rosnący. Jeśli zmienimy n na n + 1 to:

1
n+1
1. Dojdzie jeden wyraz dodatni:
n+1
(n + 1)n+1
2. Każdy składnik sumy zwiększy się, np:

1 1 2 1 1 2
1 - · 1 - > 1 - · 1 -
3! n + 1 n + 1 3! n n
GranicÄ™ tego ciÄ…gu oznaczamy e
1
lim (1 + )n = e
n
n"
Liczba e jest liczbą niewymierną. Nawywamy ją liczbą Eulera. Jej przybliżenie jest równe:
e = 2.71828182846 . . .
Uwaga 1: Liczba e często stosujemy jako podstawę funkcji wykładniczej ex oraz logarytmu
loge x . Logarytm przy podstawie e nazwyamy logarytmem naturalnym i oznaczamy:
ln x = loge x
Uwaga 2: Symbol log x oznacza zwykle logarytm przy podstawie 10 : log x = log10 x .
Czasami jednak, może oznaczać logarytm naturalny.
1
Można pokazać, że ciąg bn = (1 + )n+1 jest malejący. Jego granica jest równa:
n
1 1 1
lim (1 + )n+1 = lim (1 + )n · (1 + ) = e · 1 = e
n n n
n" n"
Wynikają stąd następujące ważne nierówności:
an < e < bn dla każdego n " N
1 1
(1 + )n < e < (1 + )n+1
n n
Logarytmując nierówności:

1 1
n ln 1 + < 1 < (n + 1) ln 1 +
n n
Czyli

1 1 1
< ln 1 + <
n + 1 n n
Twierdzenie: Dany jest ciąg (an) taki, że an > -1 , an = 0 oraz lim an = 0 Wtedy istnieje

n"
granica:
1

lim 1 + an an = e
n"
4
Uwaga: Z twierdzenia tego korzystamy często obliczając granice typu 1"
n2
-1
n2 + 4
Przykład: Obliczyć lim
n"
n2 + 2
Jest to granica typu 1". Przekształcamy wyraz ciągu taj, aby skorzystać z twierdzenia:
n2
2
-1 n -1
n2 + 4 2
= 1 +
n2 + 2 n2 + 2
2
Stosujemy twierdzenie biorÄ…c an =
n2 + 2
2
Widać, że lim = 0
n"
n2 + 2
1 n2 + 2
Przkształcamy wykładnik, aby uzyskać w nim =
an 2
2
îÅ‚ Å‚Å‚ · (n2 - 1)
n2 + 2 2 n2 + 2
n2 + 2
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
· · (n2 - 1)
2
n -1 ïÅ‚ëÅ‚ śł
2 n2 + 2 2
ïÅ‚ śł
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ ïÅ‚ Å‚Å‚ śł
1 + = 1+ = 1 +
ïÅ‚íÅ‚ śł
n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Obliczmy granice:
n2 + 2
ëÅ‚ öÅ‚
2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
lim 1 + = e : korzystamy z twierdzenia
n"
n2 + 2
2
2 2n2 - 2 n2(2 - )
n2
lim · (n2 - 1) = lim = lim = 2
2
n" n" n"
n2 + 2 n2 + 2 n2(1 + )
n2
StÄ…d:
n2
-1
n2 + 4
lim = e2
n"
n2 + 2
5
Elementy topologii
Własności topologiczne zbiorów można analizować korzystając z pojęcia granicy ciągu lub z
otoczeń punktu. Są to podejścia równoważne.
Poniżej zakÅ‚adamy, że zbiory A, B ‚" R
Definicja: Niech x " R będzie dowolnym punktem. Wtedy otoczeniem punktu x nazywamy
przedziaÅ‚ Oµ = (x - µ , x + µ) dla µ > 0
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie Oµ punktu x zawarte w A : Oµ ‚" A
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem zewnętrznym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje otoczenie Oµ punktu x rozÅ‚Ä…czne z A : Oµ )" A = "
Definicja: Punkt x " R nazywamy punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x nie jest ani punktem wewnętrznym zbioru A , ani punktem zewnętrznym zbioru A.
Uwaga: Punkt x " R jest punktem brzegowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy każde
otoczenie punktu x zawiera punkty zbioru A oraz punkty nie należące do A.
Definicja: Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru
A. Wnętrzne A oznaczamy int A (interior).
Definicja: Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A.
Brzeg A oznaczamy "A .
Definicja: Domknięciem zbioru A nazywamy A = A *" "A .
Uwaga: Każdy zbiór A dzieli zbiór R na trzy rozłączne części: int A , "A i zbiór punktów
zewnętrznych.
Przykład 1: Dla A =< 0, 1 >
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 2: Dla A =< 0, 1)
int A = (0, 1) , "A = {0, 1} , A =< 0, 1 >
Przykład 3: Dla A =< 0, ")
int A = (0, ") , "A = {0} , A =< 0, " >
Przykład 4: Dla A - zbiór liczb wymiernych
int A = " , "A = R , A = R
Przykład 4: Dla A = {2, 3}
int A = " , "A = {2, 3} , A = {2, 3}
Pewne własności: ( Oznaczamy: A = R \ A)
int A ‚" A ‚" A
(int A) = A
"A = A \ int A
"A = A )" A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A = int A
Definicja: Zbióru A nazywamy zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A = A
Przykład 1: Poniższe zbiory są otwarte:
A = (0, 1) , A = R , A = " , A = (1, 3) *" (5, 6) , A = (0, ")
Przykład 2: Poniższe zbiory są domknięte:
6
A =< 0, 1 > , A = R , A = " , A =< 1, 3 > *" < 5, 6 > , A = N , A =< 0, ")
Przykład 3: Poniższe zbiory nie są otwarte ani domknięte:
A =< 0, 1) , A = (1, 3) *" < 5, 6 > , A = Q
Pewne własności:

Jeśli zbiory Oą są otwarte to zbiór Oą jest otwarty
Ä…

Jeśli zbiory Dą są domknięte to zbiór Dą jest domknięty
Ä…
Jeśli zbiory O1, O2 są otwarte to zbiór O1 )" O2 jest otwarty
Jeśli zbiory D1, D2 są domknięte to zbiór D1 *" D2 jest domknięty
Uwaga: Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest otwarta. Iloczyn dwóch zbiorów otwar-
tych jest otwarty. Wynika stąd, że iloczyn skończonej ilości zbiorów otwartych jest otwarty.
Dla nieskończonej ilości zbiorów otwrtych tak już być nie musi, o czym świadczy poniższy
przykład:
1 1
Przykład: On = (- , ) - zbiory otwarte. Zbiór On = {0} nie jest otwarty
n n
n"N
Definicja: LiczbÄ™ x " R nazywamy punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
Definicja: LiczbÄ™ x " A nazywamy punktem izolowanym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy
x " A \ {x}
/
Przykład 1: A = (0, 1)
Zbiór punktów skupienia A - < 0, 1 > ; zbiór punktów izolowanych A - "
1
Przykład 2: A = { : n " N}
n
1
Zbiór punktów skupienia A - {0} ; zbiór punktów izolowanych A - { : n " N}
n
Przykład 3: A = Q
Zbiór punktów skupienia A - R ; zbiór punktów izolowanych A - "
Przykład własności topologicznych opisywanych za pomocą granic ciągów:
Twierdzenie: x " R jest punktem skupienia zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciÄ…g

xn , xn " A , xn = x taki, że lim xn = x

n"N n"
Granica funkcji
Definicja: Niech dana bÄ™dzie funkcja f : D R , D ‚" R oraz punkt skupienia a zbioru D.
Mówimy, że b " R jest granicą funkcji f w punkcie a (oznaczenie: lim = b ) wtedy i tylko
xa
wtedy, gdy dla każdego ciągu (xn) spełniającego warunki:
("n)xn " D
("n)xn = a

lim xn = a
n"
zachodzi lim f(xn) = b
n"
Uwaga 1: Równoważną definicję granicy można sformułować używając otoczeń.
Uwaga 2: Warunek a jest punktem skupienia zbioru D oznacza, że istnieje przynajmniej
jeden ciąg xn spełniający żądane warunki.
Uwaga 3: Analogicznie definiujemy granicÄ™ dla a = Ä…" oraz b = Ä…" . Dla a = +"
należy jedynie zastąpić warunek a jest punktem skupienia zbioru D warunkiem D nie jest
ograniczony od góry. Podobnie dla a = -".
7