Automatyka i Robotyka
2011/12
Fizyka 1
Materiały do wykładu 2
14 10 2011
wektor położenia
y
r (t)
�
r (t)
� y
x
rx(t)
�
wektor przemieszczenia
y
� r
"
"� r
y
r1(t)
�
r2(t+"t)
�
x
"� rx
wektor prędkości
y
�
" r dr
�
� r
"
"� r �
y
V = lim =
r1(t) " t d t
�
"t 0
r2(t+"t)
�
x
"� rx
d rx d r d rz
� � y �
d r dx dy dz
�
�
�
� �
V = = + + = i + j + k
d t dt dt dt dt dt dt
�
� � x � y � z
� �
V = V + V + V = V i + V j + V k
x y z
wektor przyspieszenia
y
�
V (t)
�
"V
�
V (t+"t)
x
�
�
" V dV
a = lim =
�
" t d t
"t 0
I zasada dynamiki
Ciało trwa w spoczynku
lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym,
dopóki nie zadziała na niego siła, która
zmusi go do zmiany tego stanu
Układ odniesienia, względem którego ciało
swobodne spoczywa lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym
to
układ inercjalny
obiekt obserwowany  dom
układ odniesienia - samochód
t =t1
siły( poziome), działające na dom  brak
�
V =0
wynik obserwacji: obiekt spoczywa
t =t2>t1
I zasada dynamiki - spełniona
�
V =0
układ inercjalny
obiekt obserwowany  dom
t =t1
układ odniesienia - samochód
siły( poziome), działające na dom  brak
stała prędkość
�
V `"0
wynik obserwacji: obiekt porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym
t =t2>t1
stała prędkość
�
V `"0
I zasada dynamiki - spełniona
układ inercjalny
układ odniesienia - samochód, obiekt obserwowany - wagon
m
siła( pozioma), działająca na wagon  działa
wynik obserwacji: obiekt porusza się
�
�
b
F`"0
z przyspieszeniem
m
II zasada dynamiki - spełniona
a
�
�
�
F`"0
b
przyspieszenie wagonu względem
m
samochodu
�
F
�
b =
m
układ inercjalny
II zasada dynamiki
d p
�
�
= F
d t
dla m = const.
�
�
d (mV )
d p d V
�
�
= = m = ma = F
�
d t d t d t
II zasada dynamiki
p
�
p
�
�
F
d p
�
�
F `"0 �! `"0 �! p`"const
�
dt
zasada zachowania pędu
d p
�
�
F =0 �! =0 �! p=const
�
dt
p
�
p
�
III zasada dynamiki
� � j i
Fi j = - F
V
2
1
1
F� 21
�
F12
1 2
�
F21 = -F� 12
środek masy układu punktów materialnych
y
m2
r2
�
m1
środek
masy
r1
�
�
R
m3
r3
�
x
m1 r1+m2 r2+m3 r3
� � �
�
R =
m1+m2+m3
ruch środka masy układu
m1 r1+m2 r2+m3 r3
� � �
d d
�
R =
( )
d t d t m1+m2+m3
prędkość środka masy układu
� 1+m2V � 3
� 2+m3V
m1 V
� u
V =
m1+m2+m3
masa układu
M = m1+m2+m3
u
pęd środka masy układu ciał
� � u � 1+m2V � 3
� 2+m3V
Pu = M V = m1V
u
p2
�
y p1
�
m2
�
F12
� z2
� F
m1 F21
�
F32
� z1
F
�
F31
�
F23
p3
�
�
F13
m3
� z3
F
x
� � � � � �
F12 , F13 , F21 , F23 , F31 , F32 siły wewnętrzne układu
siły zewnętrzne
� z1 � z2 � z3
F , F , F
�
pęd układu
Pu = p1 + p2 + p3
� � �
ruch środka masy układu ciał
d d
� � 1+m2V � 3
� 2+m3V
Pu = m1 V
( )
d t d t
d
d
d
� 3 � � � z3
� 1 � 21+F31+F
� � z1
� 2 � � z2 m3V = F13+F23+F
m1V = F
( )
m2V = F12+F� 32+F
( )
( )
d t
d t
d t
Ł=0
�
d Pu
� � z1+F12+F32+F � � � z3
� � � z2+F13+F23+F
= F21+F� 31+F
d t
Ł=0
Ł=0
�
d Pu
� z1+F � z3
� z2+F
= F
d t
zasada zachowania pędu układu ciał
i=n
�
d Pu
� zi �
F = 0 �! = 0 �! Pu =const
"
d t
i=1
układ odosobniony
Przykład 1.
y
M
� 0
V
m
l
0 x
Przed zderzeniem.
y
M
� 0
V
m
l
0 x
xm =V t
xM =l
0
m xm+M xM mV t+M l
0
xu = =
m+M m+M
d xu mV +0 mV
0 0
prędkość środka masy
V = = =
u
układu przed zderzeniem
dt m+M m+M
d V
przyspieszenie środka masy
u
au = = 0
układu przed zderzeniem
dt
Zderzenie
y
�
F
� M
F
m
l
0 x
�-czas zderzenia
mV +" pm = mV
mV -F � = mV
0 k
0 k
M 0+" pM = M V
M 0+F � = M V
k
k
mV =M 0 = mV +M V = (m+M )V
0 k k k
mV
0
V =
prędkość ciał po zderzeniu
k
(m+M )
Po zderzeniu
y
� k
V
M
m
l
0 x
xm+M = l+V t
k
d ( xm+ M) mV
0 prędkość środka masy
V = =V =
u k
układu po zderzeniu
dt m+M
d V
przyspieszenie środka masy
u
au = = 0
układu po zderzeniu
dt
Przykład 2.
y
y
V
1
h
m1
m1+m2
h
m2
V
2
0
0
y
g t2
y1 = h+V t-
g
� 1
V 2
1
m1
h
g t2
m2
y2 = h-V t-
2
V
2
2
0
m1 y1 + m2 y2 (m1V -m2V )t
g t2
1 2
yu = = h+ -
m1+m2 m1+m2 2
d yu m1V -m2V
1 2
prędkość środka masy układu
V = = -g t
u
dt m1+m2
d V
u
przyspieszenie środka masy układu
au = = -g
dt
Przykład 3.
m
M
l
układ: m i M
siły wewnętrzne
siły zewnętrzne
�
R2
�
R1
mg
�
�
R1
l
�
Mg
y
sM m
m
l
M M
x
sM
0
a
b
ma+Mb m(a+l-sM)+M (b-sM)
xś0 =
xśk =
m+M
m+M
xś0 = xśk
m
sM = l
m+M
obiekt obserwowany  dom
t =t1
układ odniesienia - samochód
siły( poziome), działające na dom  brak
przyspieszenie
�
b `"0
t =t2>t1
wynik obserwacji: obiekt porusza się
z przyspieszeniem
przyspieszenie
�
b `"0
I zasada dynamiki  NIE spełniona
układ nieinercjalny
układ odniesienia - samochód, obiekt obserwowany - wagon
siła( pozioma), działająca na wagon  działa
�
�
F
b
�
b
m
wynik obserwacji: obiekt spoczywa
�
�
F
b
�
b
II zasada dynamiki  NIE spełniona
m
�
b
�
�
B =-m b
�
�
F
b
m
B - siła bezwładności
układ nieinercjalny
układ nieinercjalny
�
�
�
B =-m b
�
F
b
m
a = 0
�
a = przyspieszenie wagonu wzgl. samochodu
�
dynamiczne równanie ruchu wagonu względem samochodu
�
ma = F+� = 0
B
�
ma = F-B = 0