Automatyka i Robotyka
2011/12
Fizyka 1
Materiały do wykładu 7
18 11 2011
faza drgania
x = Acos(Ét+Õ)
t
fazy
fazy
zgodne
przeciwne
stan równowagi
k
m
x
m ax=0
0
×
k
F (x)
m ax=-k x
m
x
k
0
x
ax=- x
m
k
É2=
m
stan równowagi
k
m ax=m g-k s=0
s
0
m
k s
mg
x
m ax=m g-k (s+x)
k
m ax=m g-k s-k x
s
0
x
m ax=-k x
m
k (s+x)
k
k
x
É2=
ax=- x
m
mg
m
k
k
m
m
m
k
mg
mg
s =
s = 0
s =
k
k
T
T
T
1
2
3
m
T = 2 Ä„
T = T = T
1 2 3
k
"
g2=const
T
2
T
1
g1=const
równik
T = T
1 2
T
1
k
m
s
T
p = const
×
2
k
mp
m
s = =const
k
T = T
1 2
połączenie szeregowe
ksz
k1
k2
m m
m
1 1 1
= +
k k1 k
s 2
k1
połączenie równoległe
kr
m
m
k2
kr = k1+k
2
siła wyporu
położenie równowagi
wychylenie z położenia równowagi
D
m
D
Fw
F
h
0 0
x
mg
Á
Á
x x
m ax=mg-Á g D h=0
F = - Á g D x
D
Á
Á
Á
k
k
D
m
m
m
Á
Á
k
Á g D+k
Á g D
T =
T =
T =
1
3
2
m
" m
"
m
"
częściowe zanurzenie
całkowite zanurzenie
k
k
k
T
T
T
1
3
2
T = T `"T
1 2 3
natężenie i potencjał pola grawitacyjnego jednorodnej kuli
R
x
M
0
potencjał pola
natężenie pola
grawitacyjnego
grawitacyjnego
E =G M x V =-G M (3R2-x2)
xR3 2R3
G M
E =
xe"R
V =-G M
x2
x
ciało w tunelu
start
F = -m E =-G M m x
M
R3
×
F
x
R
0
m
ax =-G M x
R3
ax =-É2 x
G M
É2=
R3
R3
Ä„
Ä =
R3
2 GM
"
T =2 Ä„
GM
" czas ruchu do środka Ziemi
okres drgań
ciało w tunelu - prędkość dla x= 0
M
M
×
×
F
F
x
x
R
R 0
0
m
m
drganie harmoniczne
zasada zachowania energii
x =R cosÉt
2
-GMm -GMm mV
= 3R2 +
R 2
2 R3
V =-R Ésin É t =-É R2-x2
"
GM
V (0)=-É R = - R
GM
R3
"
V =
R
"
GM
V (0)=-
R
"
składanie drgań równoległych
równe okresy
x2 = A2sinśąÎÄ… tƒÄ…ËÄ…2źą
x1 = A1sinśąÎÄ…tƒÄ…ËÄ…1źą
ruch wypadkowy - drganie harmoniczne
x = A1sinśąÎÄ…tƒÄ…ËÄ…1źąƒÄ… A2sinśąÎÄ… tƒÄ…ËÄ…2źą = A sinśąÎÄ… tƒÄ…Ëąźą
2
A = A1 ƒÄ… A2 ƒÄ… 2 A1 A2 cosśąËÄ…1-ËÄ…2źą
ćą
2
A1sin ËÄ…1ƒÄ… A2 sinËÄ…2
tg ËÄ… =
A1 cosËÄ…1ƒÄ… A2 cosËÄ…2
ËÄ…1-ËÄ…2=Ćą A1=A2Ò! A=0
Õ1=Õ2 A1=A2Ò! A=2A1
składanie drgań równoległych
różne okresy
x1 = A1sinśąÎÄ…1tƒÄ…ËÄ…1źą
x2 = A2sinśąÎÄ…2tƒÄ…ËÄ…2źą
T
T/3
x
ÎÄ…2=3ÎÄ…1
ËÄ…1=ËÄ…2=0
t
x
t
ruch okresowy nieharmoniczny
składanie drgań równoległych
różne okresy
x2 = A2cosśąÎÄ…ƒÄ…­Ä… Îąźąt
x1 = A1cosÎÄ… t
ruch wypadkowy  dudnienia
2
Aśąt źą = A1 ƒÄ… A2 ƒÄ… 2 A1 A2 cosśą­Ä… ÎÄ…t źą
ćą
2
okres dudnień
­Ä… ÎÄ…T =2Ćą
d
2Ćą
T =
d
­Ä… ÎÄ…
składanie drgań prostopadłych
parametryczne równania toru
x = Asin śąÎÄ… tźą
y = B sinśąÎÄ…t źą
y
B
równanie toru
B
y = x
x
x
-A
A
A
-B
składanie drgań prostopadłych
parametryczne równania toru
x = Asin śąÎÄ… tźą
y = B sinśąÎÄ… tƒÄ…Ćąźą
y
B
równanie toru
B
y =- x
x
x
-A
A
A
-B
składanie drgań prostopadłych
parametryczne równania toru
Ćą
x = Asin śąÎÄ… tźą
y = B sinśąÎÄ… tƒÄ… źą
2
y
B
równanie toru
x2 ƒÄ… y2 = 1
x
x
-A
A
A2 B2
-B
składanie drgań prostopadłych
parametryczne równania toru
x = AsinśąÎÄ… tźą
y = A sinśą2ÎÄ… t źą
y
B
równanie toru
x
2 x
A
y = A2- x2 -A
ćą
A
-B
złożenie drgań harmonicznych prostopadłych
równe pulsacje
parametryczne równania toru
x = AcosśąÎÄ… t źą
y = B cosśąÎÄ… t-Ëąźą
równanie toru
x2 ƒÄ… y2 - 2 x y
cos ËÄ… = sin2ËÄ…
A B
A2 B2
y
B
x
x
-A
A
-B
złożenie drgań harmonicznych prostopadłych
równe pulsacje
x2 ƒÄ… y2 - 2 x y
cosËÄ… = sin2ËÄ…
A B
A2 B2
y
y
y y y
B
B
B B B
x
x x x
x
-A A
-A A -A A -A A -A A
-B
-B
-B -B -B
Ćą
Ćą
3Ćą ËÄ…=Ćą
ËÄ…=0
ËÄ…=
ËÄ…=
ËÄ…=
4
2
4
y
y
y y
B
B
B B
x
x x
x
-A A
-A A -A A -A A
-B
-B
-B -B
5Ćą
3Ćą
7Ćą
ËÄ…=
ËÄ…= ËÄ…=2Ćą
ËÄ…=
4
2
4
dynamiczne równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem
2
d x
k
m = -k x -r V
× s
dt2
F
r - współczynnik oporu
F× op
2
d x dx
m ƒÄ…r ƒÄ… k x = 0
Śą
V
x
dt
dt2
2
d x r dx k
ƒÄ… ƒÄ… x = 0
m dt m
dt2
k
r
= ÎÄ…02
= 2 ¸Ä…
²  współczynnik tÅ‚umienia
m
m
kinematyczne równanie oscylatora harmonicznego tłumionego
małe tłumienie
x śątźą = A0e-¸Ä… t sin ÎÄ…t
x
T
T
A0
t
amplituda
(małe tłumienie)
prędkość kątowa
Aśątźą = A0e-¸Ä… t
ÎÄ…2 = ÎÄ…2 - ¸Ä…2Ä…0
0
tłumienie krytyczne
tłumienie nadkrytyczne
ÎÄ…2 - ¸Ä…2=0
ÎÄ…2 - ¸Ä…2"Ä…0
0
0
krytyczne
nadkrytyczne
dynamiczne równanie drgań harmonicznych wymuszonych
z tłumieniem
k
Śąs Śą
F Fop Śą
F
F = F0cos śą t
m siła wymuszająca
x
2
d x
m = -k x -r V ƒÄ…F0 cos śą t
dt2
2
F0
d x r dx k
ƒÄ… ƒÄ… x = cos śą t
m dt m m
dt2
r
k
= 2 ¸Ä…
= ÎÄ…02
m
m
kinematyczne równanie ruchu drgań harmonicznych wymuszonych
z tłumieniem
stan ustalony
x śąt źą = Acosśąśą t-Ëąźą
!
x
stan ustalony
t
amplituda drgań harmonicznych wymuszonych tłumionych
A
¸Ä… = 0
F
0
¸Ä…1 Ä… 0
A =
m śąÎÄ…02-śą2źą2 ƒÄ… 4 ¸Ä…2śą2
ćą
¸Ä…2 Ä… ¸Ä…1
Ast
śą
É0
F0
śąr = ÎÄ…02-2 ¸Ä…2
ćą
Ar = Aśąśąrźą =
r ÎÄ…
częstość rezonansowa
amplituda w rezonansie
¸Ä…=0Ò!śąr=ÎÄ…0
opóz
nienie fazowe
siła - wychylenie
2²©
tg Õ =
É02-©2
Õ
Ä„
Ä„
A
2
¸Ä… = 0
¸Ä…1 Ä… 0
¸Ä…2 Ä… ¸Ä…1
Ast
śą
É0 É0
©