Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 2011
1
JAKOÅšCIOWA TEORIA
NIELINIOWYCH RÓWNAC

RÓŻNICZKOWYCH
·ð PÅ‚aszczyzna fazowa
·ð Stabilność punktów krytycznych
2
Liniowe równania różniczkowe zwyczajne można
rozwiązać w systematyczny sposób, w szczególności jako
rozwiązania w postaci szeregów potęgowych. Nie ma
natomiast ogólnych, systematycznych metod analitycznego
rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych. Ale
nawet w przypadku niemożliwości otrzymania rozwiązania
lub sami nie potrafimy rozwiązać danego równania, to
możemy zbadać je jakościowo, tj. określić cechy
(właściwości) rozwiązania.
3
W wielu zagadnieniach pochodzÄ…cych z mechaniki klasycznej
otrzymujemy równania w postaci
x" + f (x, x ) = 0. (1)
Numeryczne rozwiązywanie takich równań jest stosunkowo
proste. Jednakże rozwiązania numeryczne dają dyskretny
zbiór wartości  liczb, nie określają więc dokładnego
przebiegu rozwiązania  całki.
4
Właściwości rozwiązań równań różniczkowych warto badać z
wielu powodów:
1. możemy lepiej zrozumieć sens fizyczny (lub specyficzny
danej nauki, problemu) rozwiÄ…zania;
2. możemy określić ograniczenia na wartości pewnych
parametrów i uwzględnić to w numerycznych
algorytmach rozwiązywania równania; skraca to również
czas wykonywania obliczeń, ich złożoność oraz zmniejsza
błędy numeryczne;
3. mamy możliwość sprawdzenia poprawności rozwiązania
numerycznego.
5
Możemy, na przykład, poznać wiele właściwości rozwiązań
równania wahadła o dowolnej amplitudzie
qð + að2ð ðsin qð ð=ð ð0ð,ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð(ð2ð)ð ð
ð
bez jego rozwiązywania. Istotną rolę odgrywa tutaj pojęcie
płaszczyzny fazowej.
6
Rozpatrzmy następujące równanie różniczkowe (oscylator
harmoniczny):
x + wð 2x = 0. (3)
Wiemy, że jego rozwiązaniem jest funkcja
x(t) = x0 cos wðt + sin wðt, (4)
gdzie: x0  położenie początkowe, v0  szybkość początkowa.
7
RozwiÄ…zanie to jest okresowe z czÄ™stoÅ›ciÄ… wð (wð ð=ð ð2ðpðf, f = ,
czyli wð = , to T =  i to jest okres). WÅ‚asność tÄ… można
odkryć bez rozwiązywania równania (3), czyli nie znając (4).
W tym celu pomnóżmy obie strony równania (3) przez x ,
otrzymamy kolejno:
x' (x + wð 2x) = x' · 0,
x x + x wð 2x = 0.
8
Wykorzystajmy następujące tożsamości:
= x x oraz = xx . (5)
Uwzględniając (5), otrzymamy
+ wð 2 = 0,
(x 2 + wð 2x 2) = 0,
9
czyli
x 2 + wð 2x 2 = const. (6)
Wykreślmy zbiór opisany równaniem (6) w układzie
współrzędnych płaskich x, x . Będzie to rodzina elips o
środku w początku układu współrzędnych (rysunek). Każda
elipsa odpowiada wybranej stałej const. w równaniu (6).
10
Przykład.
Z (6) mamy
x' = .
C  const.
Zauważmy, że równanie (6) da się przekształcić do równania
kanonicznego elipsy, tj.
(7)
11
Rys. 1. Portret fazowy oscylatora harmonicznego.
Strzałki wskazują kierunek biegu czasu.
12
 Płaszczyzna współrzędnych x, x nosi nazwę płaszczyzny
fazowej, każda z elips wykresu przedstawia trajektorię drgań
harmonicznych. PÅ‚aszczyzna fazowa wraz z rodzinÄ…
trajektorii nazywana jest portretem fazowym.
Model matematyczny musi odzwierciedlać istotne cechy
jakościowe i ilościowe badanego zjawiska, a jednocześnie
winien być poprawny matematycznie!
13
Równanie (3) możemy przekształcić do postaci normalnej,
przyjmujÄ…c:
y = x ,
y =  wð2ðx, (8)
czyli
v = Av, (9)
gdzie: v = [x, y]T oraz A = . (10)
14
Zauważmy, że punkt x = y = 0 jest rozwiązaniem układu
(8). Punkt, w którym x = y = 0, nazywamy punktem
krytycznym. W tym przypadku punkt krytyczny odpowiada
oscylatorowi spoczywającemu (będącemu) w położeniu
równowagi. Stąd też punkty krytyczne nazywane są czasami
punktami stacjonarnymi.
Wartości własne macierzy A (z równania 10) i
odpowiadajÄ…ce im wektory wÅ‚asne to: lð1ð ð=ð ð-ð ðiwð, lð2ð ð=ð ðiwð, h1 =
[1, -ð ðiwð]T, h2 = [1, iwð]T, stÄ…d rzeczywiste rozwiÄ…zanie
równania (9) będzie miało postać:
15
v = = c1 + c2 . (11)
Równanie (11) opisuje rodzinę elips o środku w początku
układu współrzędnych. Z układu równań (8) możemy określić
zwrot krzywych. Zauważmy, że x > 0 dla y > 0, więc x rośnie
wraz z czasem t w górnej półpłaszczyz
nie fazowej, w dolnej
zaÅ› maleje, bo x < 0 dla y < 0.
16
Rozpatrzmy teraz tłumiony oscylator harmoniczny, opisuje go
następujące równanie różniczkowe:
x" + gð ðx + wð 2x = 0. (12)
Sprowadz
my je do postaci normalnej, podstawiajÄ…c
y = x ,
y = gð ðy wð 2x, (13)
17
czyli
v = Av = = . (14)
Tutaj także punkt (0, 0) jest punktem krytycznym, co
odpowiada spoczynkowi oscylatora. Wartości własne
macierzy A to:
lð1,2 = , (15)
18
wiÄ™c zachowanie rozwiÄ…zaÅ„ zależy od współzależnoÅ›ci gð oraz
wð. JeÅ›li gð ð2 > 4wð ð2, to obie wartoÅ›ci wÅ‚asne sÄ… rzeczywiste
ujemne, wtedy x(t) monotonicznie wygasa (jest tłumione),
dążąc do 0. Ten typ zachowania układu nazywamy
tłumieniem aperiodycznym.
Przyjmijmy, dla przykÅ‚adu, że: gð ð=ð ð5ð,ð ðwð = 2, wtedy
wartości własne i odpowiadające im wektory własne macierzy
A bÄ™dÄ… równe: lð1ð ð=ð ð-ð ð4ð,ð ðlð2ð ð=ð ð-ð ð1ð,ð ðh1 = [-ð 1, 4]T, h2 = [-ð 1, 1]T.
Rozwiązaniem równania (14) jest więc
v = = c1 + c2 .
19
Wszystkie trajektorie dla t " zbliżają się do początku
układu współrzędnych stycznie do pewnej prostej. Prosta ta
pokrywa siÄ™ z kierunkiem wektora wÅ‚asnego h2 = [-ð 1, 1]T na
płaszczyz
nie fazowej, jest to prosta y = x = -ð x. Dzieje siÄ™ tak
dlatego, że dla dużych t pierwszy składnik w równaniu (14)
maleje szybciej niż drugi i staje się pomijalnie mały.
Trajektoria zmierz wówczas (przy t ") do kierunku
wektora [-ð 1, 1]T. Punkt krytyczny taki, jak (0, 0) nazywamy
węzłem, w tym przypadku jest to węzeł stabilny.
20
Dla gð ð2 < 4wð ð2 obie wartoÅ›ci wÅ‚asne (14) sÄ… zespolone i równe
lð1,2 = , (16)
opisują więc drgania tłumione. Przy t " trajektorie
spiralnie dążą do początku układu współrzędnych (do stanu
równowagi). Punkt krytyczny tego typu nazywamy
ogniskiem. W tym przypadku jest to ognisko stabilne.
21
Rozpatrzmy przypadek wahadła o dowolnej amplitudzie
wahań (równanie nieliniowe), do którego rozwiązania
wykorzystuje siÄ™ funkcje analityczne. Z fizycznego punktu
widzenia jest to punkt materialny o masie m zawieszony na
nieważkim sztywnym cięgle (ramieniu) o długości l,
wahający się w jednej płaszczyz
nie. Opisuje go równanie
qð  + wð 2 sin qð = 0, (17)
gdzie: qð  kÄ…t odchylenia wahadÅ‚a od pionu, wð 2 = , g 
przyspieszenie ziemskie.
22
Wiele własności rozwiązań równania (17) możemy poznać
bez konieczności jego bezpośredniego rozwiązywania.
Przekształćmy to równanie do postaci normalnej (układu
dwóch równań pierwszego rzędu), wykorzystując następujące
oznaczenia:
ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ðWð ð=ð ðqð ,
Wð =  wð ð2ð ðsin qð. (18)
23
Przestrzeń fazowa, w tym przypadku, będzie miała
współrzÄ™dne qð ð i Wð. Punkty krytyczne sÄ… rozwiÄ…zaniami
układu równań:
ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ð ðWð ð=ð ðqð = 0,
Wð =  wð ð2ð ðsin qð ð=ð ð0ð, (19)
czyli: ðWð ð=ð 0 oraz qð ð=ð ðÄ…ð ðnpð ð dla n = 0, 1, 2, & . Dla n = 0, Ä…ð ð2,
Ä…ð ð4, & , punkty krytyczne odpowiadajÄ… wahadÅ‚u w
spoczynku, wiszącemu swobodnie w dół.
24
Stabilność punktów krytycznych.
Trajektorie możemy zaliczyć do jednej z trzech kategorii:
1. Wszystkie trajektorie zbliżają się do punktu krytycznego
przy t ". Dzieje się tak w przypadku, gdy wartości
własne są rzeczywiste ujemne [leżą na lewo od zera na osi
liczb rzeczywistych] lub gdy część rzeczywista pary
sprzężonych wartości własnych jest ujemna [lewa strona
płaszczyzny zespolonej]. Punkt taki nazywamy
asymptotycznie stabilnym.
25
2. Trajektorie nie zbliżają się do punktu krytycznego, ani nie
dążą do nieskończoności przy t ". Dzieje się tak w
przypadku, gdy wartości własne są czysto urojone [część
rzeczywista jest równa zeru!]. Taki punkt nazywamy
stabilnym.
3. Niektóre trajektorie dążą do nieskończoności przy t ".
Dzieje się tak w przypadku, gdy co najmniej jedna wartość
własna jest rzeczywista dodatnia lub gdy część rzeczywista
pary zespolonych wartości własnych jest dodatnia. O takim
punkcie krytycznym mówimy, że jest niestabilny.
26